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专题74 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
1.　带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
分析思路和方法
两种 思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
两种方法 物理方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值
数学方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图象法等
从关键词找突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件
2. 解决带电粒子圆周运动临界问题的技巧方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
(2)临界问题的一般解题流程
　
3. “动态圆”模型在电磁学中的应用
（1）、“放缩圆”模型的应用
适 用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
（2）、“旋转圆”模型的应用
适 用方法 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
4. 突破“磁发散”和“磁汇聚”两大难点
在圆形边界的匀强磁场中，若带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域的半径，则有如下两个重要结论：
磁发散 磁汇聚
　　当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，而且与入射点的切线方向平行。如图甲所示，此种情境称为“磁发散”。 当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行。如图乙所示，此种情境称为“磁汇聚”。
最新高考题精选
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)
A． B．
C． D．
【参考答案】C　
【名师解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0.5R(R为的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R2　(2020·全国卷Ⅱ)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
【名师解析】　(1)由题意知粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
qv0B＝m①
可得R＝②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足
R≤h③
由题意，当粒子的半径为h时，磁感应强度最小，由此得
Bm＝。④
(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径
R′＝2h⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系得
sin α＝＝⑥
则α＝⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离
y＝2h(1－cos α)⑧
联立⑦⑧式得
y＝(2－)h。
[答案]　(1)　(2)　(2－)h
最新模拟题精选
1.（2022吉林长春二模）坐标原点O处有一粒子源，沿xoy平面向第一象限的各个方向以相同速率发射带正电的同种粒子。有人设计了一个磁场区域，区域内存在着方向垂直于xoy平面向里的匀强磁场，使上述所有粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动。不计粒子的重力和粒子间相互作用，则该匀强磁场区域面积最小时对应的形状为
【参考答案】D
【名师解析】由于粒子带正电，磁场方向垂直纸面向里，由左手定则可知粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，其中初速度沿x轴正方向的粒子在第一象限内的运动轨迹如图中的圆弧a所示。此部分轨迹即为磁场区域的右边界。由于各个粒子的速率相同，则半径R均相同，故各个粒子在磁场中运动轨迹为一簇“旋转圆”，磁场在第二象限内的范围应包含这簇“旋转圆”的最远点，即磁场的右边界应是以O为圆心，2R为半径的1/4圆弧，如图1中圆弧b所示。如图2所示，初速度方向与x轴正方向夹角为θ的粒子，其轨迹的圆心位于C点，OC与y轴夹角也为θ。设粒子从磁场边界上的A点出射，此时速度沿y轴负方向，则AC平行于x轴，A点的横坐标为x=-R（1+sinθ），A点的纵坐标为y=Rcosθ，则有（x+R）2+y2=R2，即磁场下边界在x轴上方，圆心位于（-R，0，半径为R的半圆，所以选项D正确。
2. （2022湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（　　）
A. 从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
B. 从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
【参考答案】AD
【名师解析】
粒子运动轨迹如图所示，可以看出，粒子落到b点到c点的过程中，半径越老越大，则由可知，速度越来越大，所以从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率。又因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心角的一半，所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，当弦与圆周相切时，弦切角最小，因为Ob长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为，所以圆心角为
所以最短运动时间为
即从M点射出粒子在磁场中运动时间与从N点射出粒子所用时间大小不能确定。
故选AD。
3. (2022四川成都三模)如图，半径为R的半圆形区域内（含边界）有方向垂直面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，MN为位于磁场下边界的粒子收集板，磁场左侧边界与MN相距处有一粒子源S，以不同速率沿平行于MN的方向射入大量质量均为m、电荷量均为q的粒子，部分粒子能够打收集板上。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则（　　）
A. 粒子带正电
B. 到达收集板上O点的粒子在磁场中的速度偏转角为30°
C. 到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 到达收集板的粒子的速度最大值为
【参考答案】CD
【名师解析】
粒子平行于MN的方向射入磁场后，根据题意可知，粒子向下偏转，根据左手定则可知，粒子带负电，A错误；粒子源S距离MN相距，可知SO与水平面的夹角为30°，根据几何关系可知到达收集板上O点的粒子在磁场中的速度偏转角为60°，B错误；到达收集板在磁场中运动的最长时间的粒子在磁场中的偏转角最大，由几何关系可知，偏转角最大的为π，故到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为,C正确；带点粒子在磁场中运动有,整理得
到达收集板的粒子的速度最大值对应的轨道半径最大，即到达N的离子速度最大，由几何关系得
,解得
故到达收集板的粒子的速度最大值为,D正确。
4.（2020高考信息卷11）如图所示，半径R＝2 cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度B＝2 T，一个比荷为2×106 C/kg的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A点以v0＝8×104 m/s的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且∠AON＝120°。下列选项正确的是
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1 cm
B．带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上
C．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则该圆形磁场的最小面积为3π×10－4 m2
【参考答案】BCD
【名师解析】根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得r＝，代入数据解得r＝2 cm，故A错误；粒子运动轨迹如图所示，可知四边形AONP为菱形，又因为∠AON＝120 ，根据几何知识可得圆心P一定在圆周上，故B正确；从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如图所示，易知四边形SCON为菱形，根据几何知识可知粒子一定N点射出，故C正确；当带电粒子从A点入射，从N点出射，以AN为直径的圆的磁场，此时有最小面积即S＝π(AN)2＝π(Rcos 30°)2＝3π×10－4 m2，故D正确。
5.（14分）（2022河南南阳期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为-q的带电粒子从第三象限无初速度释放后，经电压为U的电场加速后从P（L， 0）点垂直x轴进入第二象限，然后从A（0，2L）点进入第一象限，又经磁场偏转后由x轴上的M点（图中未画出）垂直于x轴进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子重力。
（1）求第二象限内电场强度的大小；
（2）若第一象限各处均分布有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，求M点坐标；
（3）若第一象限内的匀强磁场分布在某矩形区域内，磁场方向垂直纸面向外，求此矩形区域的最小面积。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）设粒子从点进入电场的速度大小为，根据动能定理有
粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
其中
联立解得
（2）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，如图所示
由
解得
则粒子进入磁场中的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动半径为，则有
由几何关系可知粒子偏转，则点坐标为
解得
（3）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向外，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，如图所示
由几何关系可知粒子偏转，所以矩形的长为
宽为
则最小面积为
6.（2022山东高考模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(未画出)，第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为－q的带电粒子从第三象限无初速度释放后，经电压为U的电场加速后从P(，0)点垂直x轴进入第二象限，然后从A(0，2L)点进入第一象限，又经磁场偏转后垂直x轴进入第四象限。不计粒子重力。
(1)求第二象限内电场强度的大小；
(2)若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，求磁场的磁感应强度大小；
(3)若第一象限某矩形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外，磁感应强度大小取第(2)问计算结果，求矩形区域的最小面积。
【名师解析】(1)设粒子从P点进入电场的速度大小为v0，则
(1分)
粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向有 (1分)
竖直方向有2L=v0t (1分)
其中 (1分)
联立解得 (1分)
(2)粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，如图所示
由得 （1分）
解得θ=60° （1分）
则粒子进入磁场中的速度为 (1分)
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则有 (1分)
解得 (1分)
由洛伦兹力提供向心力得 (1分)
联立解得 (1分)
(3)磁感应强度大小不变，粒子做匀速圆周运动的半径大小不变，即，画出粒子轨迹示意图如图所示
由几何关系可知粒子偏转240°，所以矩形的长边为 (1分)
宽边 (1分)
则最小面积为 (2分)
7. (2022江苏名校质检)如图，在xOy坐标系中的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第二象限内存在方向垂直纸面向外磁感应强度的匀强磁场，磁场范围可调节（图中未画出）。一粒子源固定在x轴上M（L，0）点，沿y轴正方向释放出速度大小均为v0的电子，电子经电场后从y轴上的N点进入第二象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，ON的距离，不考虑电子的重力和电子间的相互作用，求：
（1）第一象限内所加电场的电场强度；
（2）若磁场充满第二象限，电子将从x轴上某点离开第二象限，求该点的坐标；
（3）若磁场是一个圆形有界磁场，要使电子经磁场偏转后通过x轴时，与y轴负方向的夹角为30°，求圆形磁场区域的最小面积。
【参考答案】（1）；（2）（-2L，0）；（3）
【名师解析】
（1）在第一象限内，做类平抛运动
根据牛顿第二定律
eE=ma
解得
（2）粒子射入磁场时，速度方向与y轴夹角的正切值
速度大小
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
得
根据几何关系
该点的坐标为（-2L，0）
（3）根据题意，作出轨迹图如下
电子在磁场中偏转90°射出，则磁场的最小半径
最小面积
解得

8.　电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行。求：
(1)荧光屏上光斑的长度；
(2)所加磁场范围的最小面积。
【名师解析】　(1)如图所示，初速度沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P点，为荧光屏上光斑的最高点，初速度沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q点，为荧光屏上光斑的最低点。电子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
ev0B＝m
解得R＝
光斑长度PQ＝R＝。
(2)所加磁场的最小面积是以O′为圆心、R为半径的斜线部分，其面积大小为
S＝πR2＋R2－πR2＝。
[答案]　(1)　(2)
9.如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d。现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0。现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向O1O2的速度v0＝射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。求：
(1)粒子射出电场时位置离O2点的距离范围及对应的速度；
(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？
【名师解析】　(1)当粒子由t＝nT(n＝0，1，2，…)时刻进入电场，向下侧移最大，
则s1＝＋－＝，
当粒子由t＝nT＋(n＝0，1，2，…)时刻进入电场，向上侧移最大，
则s2＝＝，
在距离中点O2下方至上方的范围内有粒子射出。
打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为
vy＝·＝，
所以射出速度大小为
v＝＝ ＝。
(2)粒子运动示意图如图所示。设速度方向与v0的夹角为θ，
则tan θ＝＝，得θ＝30°。
要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界某一点且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等。
粒子宽度D＝(s1＋s2)cos 30°，
即D＝ cos 30°
＝。
故磁场区域的最小半径为
r＝＝，
而粒子在磁场中做匀速圆周运动有
qvB＝m，解得B＝。
[答案]　(1)见解析　(2)　专题74 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
1.　带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
分析思路和方法
两种 思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
两种方法 物理方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值
数学方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图象法等
从关键词找突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件
2. 解决带电粒子圆周运动临界问题的技巧方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
(2)临界问题的一般解题流程
　
3. “动态圆”模型在电磁学中的应用
（1）、“放缩圆”模型的应用
适 用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
（2）、“旋转圆”模型的应用
适 用方法 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
4. 突破“磁发散”和“磁汇聚”两大难点
在圆形边界的匀强磁场中，若带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域的半径，则有如下两个重要结论：
磁发散 磁汇聚
　　当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，而且与入射点的切线方向平行。如图甲所示，此种情境称为“磁发散”。 当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行。如图乙所示，此种情境称为“磁汇聚”。
最新高考题精选
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)
A． B．
C． D．
2　(2020·全国卷Ⅱ)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
最新模拟题精选
1.（2022吉林长春二模）坐标原点O处有一粒子源，沿xoy平面向第一象限的各个方向以相同速率发射带正电的同种粒子。有人设计了一个磁场区域，区域内存在着方向垂直于xoy平面向里的匀强磁场，使上述所有粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动。不计粒子的重力和粒子间相互作用，则该匀强磁场区域面积最小时对应的形状为
2. （2022湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（　　）
A. 从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
B. 从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
3. (2022四川成都三模)如图，半径为R的半圆形区域内（含边界）有方向垂直面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，MN为位于磁场下边界的粒子收集板，磁场左侧边界与MN相距处有一粒子源S，以不同速率沿平行于MN的方向射入大量质量均为m、电荷量均为q的粒子，部分粒子能够打收集板上。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则（　　）
A. 粒子带正电
B. 到达收集板上O点的粒子在磁场中的速度偏转角为30°
C. 到达收集板的粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 到达收集板的粒子的速度最大值为
4.（2020高考信息卷11）如图所示，半径R＝2 cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度B＝2 T，一个比荷为2×106 C/kg的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A点以v0＝8×104 m/s的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且∠AON＝120°。下列选项正确的是
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1 cm
B．带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上
C．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出
D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则该圆形磁场的最小面积为3π×10－4 m2
5.（14分）（2022河南南阳期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为-q的带电粒子从第三象限无初速度释放后，经电压为U的电场加速后从P（L， 0）点垂直x轴进入第二象限，然后从A（0，2L）点进入第一象限，又经磁场偏转后由x轴上的M点（图中未画出）垂直于x轴进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子重力。
（1）求第二象限内电场强度的大小；
（2）若第一象限各处均分布有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，求M点坐标；
（3）若第一象限内的匀强磁场分布在某矩形区域内，磁场方向垂直纸面向外，求此矩形区域的最小面积。
6.（2022山东高考模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(未画出)，第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为－q的带电粒子从第三象限无初速度释放后，经电压为U的电场加速后从P(，0)点垂直x轴进入第二象限，然后从A(0，2L)点进入第一象限，又经磁场偏转后垂直x轴进入第四象限。不计粒子重力。
(1)求第二象限内电场强度的大小；
(2)若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，求磁场的磁感应强度大小；
(3)若第一象限某矩形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外，磁感应强度大小取第(2)问计算结果，求矩形区域的最小面积。
7. (2022江苏名校质检)如图，在xOy坐标系中的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第二象限内存在方向垂直纸面向外磁感应强度的匀强磁场，磁场范围可调节（图中未画出）。一粒子源固定在x轴上M（L，0）点，沿y轴正方向释放出速度大小均为v0的电子，电子经电场后从y轴上的N点进入第二象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，ON的距离，不考虑电子的重力和电子间的相互作用，求：
（1）第一象限内所加电场的电场强度；
（2）若磁场充满第二象限，电子将从x轴上某点离开第二象限，求该点的坐标；
（3）若磁场是一个圆形有界磁场，要使电子经磁场偏转后通过x轴时，与y轴负方向的夹角为30°，求圆形磁场区域的最小面积。
8.　电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行。求：
(1)荧光屏上光斑的长度；
(2)所加磁场范围的最小面积。
9.如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d。现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0。现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向O1O2的速度v0＝射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。求：
(1)粒子射出电场时位置离O2点的距离范围及对应的速度；
(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？

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