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26.2其他学科中的反比例函数
人教版九年级下册
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为：
阻力×阻力臂=动力×动力臂.
阻力
动力
阻力臂
动力臂
例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力
反比例函数在力学中的应用
一
典例精析
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
∴ F 关于l 的函数解析式为
当 l=1.5m 时，
对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，
此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力.
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少
提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小.
因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能
确定动力臂 l 至少应加长的量.
解：当F=400× =200 时，由200 = 得
3－1.5 =1.5 (m).
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越
小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则
动力臂至少要加长 1.5 m.
假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米，
当 F =500时，l =2.4×1029 米，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
练一练
变形得：
故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
例2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m2)的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa)也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么。(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？
解：由 得
p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数．
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当 S ＝0.2 m2 时，
故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p=6000 时，由 得
对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越
小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则
木板面积至少要 0.1 m2.
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
2000
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
5000
6000
S/m2
p/Pa
解：如图所示.
某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( )
A. 至少2m2
B. 至多2m2
C. 大于2m2
D. 小于2m2
练一练
20
40
60
O
60
20
40
S/m2
p/(N/m2)
A
反比例函数与电学的结合
二
例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
U
~
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
(2) 这个用电器功率的范围是多少
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率
越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440 W.
1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电
阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为( )
D
练一练
A.
B.
C.
D.
I
R
I
R
I
R
I
R
2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2安培．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设
∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培，
∴ U =10．
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
(2) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)．
当堂练习
1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流×电阻)，通过电路的电流 I (A) 与电路中的电阻 R (Ω) 之间的函数关系为 ( )
B. I=220R
D. R=220I
A.
C.
A
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( )
A. 不大于 B. 小于
C. 不小于 D. 大于
C
O
60
V/m3
p/kPa
1.6
3. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为 1.2米 的撬棍，用了 500 牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有 300 牛顿的力量，他该选择动力臂为 的撬棍才能撬动这块大石头呢.
2 米
4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ (单位：kg/m3) 是体积 V (单位：m3) 的反比例函数，它的图象如图所示，当 V =10m3 时，气体的密是 .
2
1
3
4
5
V/m3
ρ/(kg/m3)
5
O
6
3
2
4
1
1 kg/m3
5. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示．(1) 求这个反比例函数的表达式；
解：设 ，把 M (4，9) 代入得
k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的
表达式为 .
O
9
I(A)
4
R(Ω)
M (4，9)
(2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？
解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4，
∴电流不可能是4A．
6. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示：
(1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；
O
20
v(m/s)
3000
F(N)
解：
(3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什么范围内？
(2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少 km/h？
解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50，
∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m.
答案：F ≥ 2000 N.
课堂小结
物理学科中的反比例函数
知识小结
与其他知识的综合
思想方法小结
建模—反比例函数的数学思想方法
“杠杆原理”：
动力×动力臂=阻力×阻力臂
与力学的综合
与电学的综合
谢谢
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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第1 周 第5节
课题 26.2 第2课时 其他学科中的反比例函数
教学目标 知识与技能：能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力。过程与方法：体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。情感态度与价值观：
重点 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题
难点 进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为： 阻力×阻力臂=动力×动力臂.反比例函数在力学中的应用例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力 (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少 想一想：在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？练一练假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？例2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m2)的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa)也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么。(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．练一练某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( )A. 至少2m2 B. 至多2m2 C. 大于2m2 D. 小于2m2反比例函数与电学的结合 例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系 (2) 这个用电器功率的范围是多少 练一练1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为( ) 2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2安培． (1) 求 I 与 R 之间的函数关系式； (2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．当堂练习1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流×电阻)，通过电路的电流 I (A) 与电路中的电阻 R (Ω) 之间的函数关系为 ( )2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( ) A. 不大于 B. 小于 C. 不小于 D. 大于 3. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为 1.2米 的撬棍，用了 500 牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有 300 牛顿的力量，他该选择动力臂为 的撬棍才能撬动这块大石头呢. 4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ (单位：kg/m3) 是体积 V (单位：m3) 的反比例函数，它的图象如图所示，当 V =10m3 时，气体的密是 .5. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示．(1) 求这个反比例函数的表达式；(2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 6. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示：(1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；(2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少 km/h？ (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什么范围内？
课后小结
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