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27.2.1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
人教版九年级下册
1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进
行相关计算. (重点、难点)
学习目标
1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？
2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
复习引入
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使
∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的
长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∴
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
练一练
∴
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
解：∵ AE=1.5，AC=2，
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上
的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
∵
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
当堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似
( )
×
√
√
×
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是( )
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
3. 如图 △AEB 和 △FEC______
(填 “相似” 或 “不相似”) .
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5,CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且
AB · AD = AE·AC，求证:△ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用
谢谢
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2022—2023学年度下学期九年级数学教学案 第2 周 第4节
课题 27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
教学目标 知识与技能：会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算。过程与方法：探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理。情感态度与价值观：
重点 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算
难点 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
复习引入1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.归纳：由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .思考：对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 练一练1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.当堂练习1. 判断(1) 两个等边三角形相似 ( )(2) 两个直角三角形相似 ( )(3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC 3. 如图 △AEB 和 △FEC______ (填 “相似” 或 “不相似”) . 4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5,CD= ，求 AD 的长．6. 如图，∠DAB =∠CAE，且AB · AD = AE·AC，求证:△ABC ∽△AED.
课后小结
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