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4.1.3　幂函数
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝xeq \s\up12()的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 1．结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.
经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：
价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
知识点1　幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数．
如何判断一个函数是幂函数？
[提示]　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为非零实数．
1．(多选题)下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　　 B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
ABD　[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD．]
2.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝_____．
　[由f(2)＝可知2α＝，即α＝－1，
∴f(4)＝4－1＝.]
知识点2　幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up12()，y＝x－1的图象如图所示：
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． (　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
4.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
B　[因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]
知识点3　幂函数的性质
(1)一般地，对于实数次幂函数y＝xα(α≠0)：
①当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；
②当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)．函数图象过点(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近．
(2)常见幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数
常见的幂函数的图象与性质
(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x和y＝x－1的图象都通过点(1，1)；
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数；
(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x单调递增，函数y＝x－1单调递减；
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
5.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数． (　　)
(2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×
类型1　幂函数的概念
【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解]　由题意得
解得
所以m＝－3，n＝.
,
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1．
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
B　[∵y＝＝x－2，
∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．]
类型2　幂函数的图象及应用
【例2】　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1．分别作出
它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝xeq \s\up12()或y＝x3)来判断．
2．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(2)函数y＝xeq \s\up12()－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
(1)B　(2)B　[(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B．
(2)y＝xeq \s\up12()的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq \s\up12()－1的图象可看作由y＝xeq \s\up12()的图象向下平移1个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq \s\up12()－1的图象关于x轴对称后即为选项B．]
类型3　幂函数性质的综合应用
【例3】　比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213，0.233；(2)1.2，0.9eq \s\up12(－)，.
由所给幂的特征，思考如何构造幂函数，幂函数的单调性如何？
[解]　(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
(2)0.9eq \s\up12(－)＝，＝1.1.
∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>>1.1，即1.2>0.9eq \s\up12(－)>.
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
3．比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与.
[解]　(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，
所以>.
1．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝xeq \s\up12()
C．y＝x2 D．y＝x3
B　[设f(x)＝xα，则2α＝，
∴α＝，∴f(x)＝xeq \s\up12().故选B．]
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　)
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
C　[因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1．又a－2≠0，所以a＝－1．]
3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
－　[因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，y最小值＝(－2)－3＝＝－.]
4．0.23－2.3与0.24－2.3的大小关系是________．
0.23－2.3>0.24－2.3　[令y＝x－2.3，由于y＝x－2.3在(0，＋∞)上单调递减且0.23<0.24，故0.23－2.3>0.24－2.3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？
[提示]　关键是判断其是否符合y＝xα(α为非零实数)的形式．
2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1，1)吗？
[提示]　当α<0时幂函数在原点处无意义，图象都过点(1，1)．
3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？
[提示]　观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞) y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1) y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0) y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．4.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
4.1.2　无理数指数幂
第1课时　根式
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 1．通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养．2．借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了．
若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫作3的什么？如何表示？
知识点1　根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根．
(2)a的n次方根的表示
当n为奇数时，数a的n次方根记作．
当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作.当a>0时，如xn＝a，则x＝±．
(3)根式
式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数．
1．根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
[提示]　当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±.
1．(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2 021，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
(1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞)　[(1)27的立方根是3.
(2)因为x6＝2 021，所以x＝±.
(3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
知识点2　根式的性质(n>1，且n∈N＋)
(1)n为奇数时，＝a．
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0．
(4)负数没有偶次方根．
2.()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
[提示]　不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个． (　　)
(2)当n∈N＋时，()n＝－2. (　　)
(3)＝π－4. (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
3.(1)＝________；(2)＝________．
(1)－8　(2)π－3　[(1)＝－8；(2)＝|3－π|＝π－3.]
类型1　由根式的意义求取值范围
【例1】　写出使下列各式成立的实数x的取值范围．
(1)＝；
(2)＝(5－x).
[解]　(1)∵x－3≠0，∴x≠3.
即实数x的取值范围为{x|x≠3}．
(2)由题意可知∴－5≤x≤5，
∴实数x的取值范围为{x|－5≤x≤5}．
对于，当n为偶数时应注意的两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，则必有≥0.
1．若＝，则实数a的取值范围是________．
　[因为＝＝＝，
∴1－3a≥0，
∴a≤.]
类型2　利用根式的性质化简求值
【例2】　(对接教材P94例题)化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3).
[解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
2．化简下列各式：
(1)(a≤1)；
(2)＋.
[解]　(1)∵a≤1，∴3a－3≤0，
∴＝|3a－3|＝3－3a.
(2)＋＝a＋|1－a|＝
类型3　有限制条件的根式的化简
【例3】　(1)若x<0，则x＋|x|＋＝________．
(2)若－3(1)－1　[∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1．]
(2)[解]　－
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1综上，原式＝
(变条件)将本例(2)的条件“－3[解]　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
3．已知－1[解]　∵－10，
∴－＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x.
1．(多选题)已知a∈R，n∈N＋，给出下列4个式子，其中有意义的是(　　)
A．　　　 B．
C． D．
BCD　[结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD．]
2．已知m10＝2，则m等于(　　)
A． B．－
C． D．±
D　[∵m10＝2，
∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.]
3．()4运算的结果是(　　)
A．2 B．－2　　　
C．±2　　　 D．不确定
[答案]　A
4．若x3＝－5，则x＝________．
－　[若x3＝－5，则x＝＝－.]
5.＋＝________．
1　[＋＝4－π＋π－3＝1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？
[提示]　当n为奇数时，若xn＝a，则x＝.
当n为偶数时，若xn＝a，则x＝±(其中a≥0)．
2.与()n相同吗？
[提示]　与()n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.第2课时　指数幂及其运算
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%.你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2020年及以后各年的经费支出吗？
知识点1　分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝aeq \s\up12()(a>0，m，n∈N且n≥2)
负分数指数幂 规定：＝aeq \s\up12(－)(a>0，m，n∈N且n≥2)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
在分数指数幂与根式的互化公式aeq \s\up12()＝中，为什么必须规定a>0
[提示]　①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即＝aeq \s\up12()＝0，无研究价值．
②若a<0，aeq \s\up12()＝不一定成立，如(－2)eq \s\up12()＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0. (　　)
(2)5eq \s\up12()＝. (　　)
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝aeq \s\up12(). (　　)
(4)aeq \s\up12()可以理解为个a相乘． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.将下列根式化为分数指数幂：
①＝________；
②＝________；
③＝________(m≥0)．
[答案]　①16eq \s\up12()　②xeq \s\up12()　③meq \s\up12(－)
知识点2　有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3.下列运算结果中，正确的是(　　)
A．a2a3＝a5　 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
A　[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A．]
知识点3　有理数指数幂的基本不等式
(1)有理数指数幂的基本不等式：对任意的正有理数r和正数a，若a>1则ar>1；若a<1则ar<1．
(2)推论：对任意的负有理数r和正数a，若a>1则ar<1；若a<1则ar>1．
(3)性质：对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即ar>as.
对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即ar4.比较大小：(1)____1；(2)____1；(3)eq \s\up12(－)____1；(4)eq \s\up12(－)____1．(填“>”或“<1”)
[答案]　(1)>　(2)<　(3)<　(4)>
知识点4　无理数指数幂
(1)概念：一般地，无理数指数幂au(a>0，u是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数．
(2)幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a，若a>1则au>1；若a<1则au<1．
对任意的负数u和正数a，若a>1则au<1；若a<1则au>1．
5.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)5eq \s\up12()是一个确定的实数． (　　)
(2)指数幂au的指数u只能取无理数． (　　)
(3)(2eq \s\up12())eq \s\up12()＝8. (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
类型1　根式与分数指数幂的互化
【例1】　将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,beq \s\up12(－)))) eq \s\up12(－)(b>0)．
[解]　(1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝xeq \s\up12(－).
(3)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(beq \s\up12(－)))\s\up12(\f(1,4))))eq \s\up12(－)＝beq \s\up12(－××)＝b.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
[解]　(1)a3·＝a3·aeq \s\up12()＝aeq \s\up12(3＋)＝aeq \s\up12().
(2)＝eq \r(a－4b2·(ab2)eq \s\up12())
＝eq \r(a－4b2aeq \s\up12()beq \s\up12())＝eq \r(aeq \s\up12(－)beq \s\up12())
＝aeq \s\up12(－)beq \s\up12().
类型2　利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】　计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)(2aeq \s\up12()b)(－6ab)÷(－3ab)；
(2)(mneq \s\up12(－))8；
(3)(－)÷.
[解]　(1)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)
＝[2×(－6)÷(－3)]aeq \s\up12(＋－)beq \s\up12(＋－)
＝4ab0＝4a.
(2)(mneq \s\up12(－))8＝(m)8(neq \s\up12(－))8
＝m2n－3＝.
(3)(－)÷＝(a－a)÷a
＝a÷a－a÷a
＝aeq \s\up12(－)－aeq \s\up12(－)
＝a－a
＝－a.
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
2．化简求值：
(1)0.027eq \s\up12()－eq \s\up12()＋256eq \s\up12()＋(2)eq \s\up12()－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4×3.
[解]　(1)原式＝(0.33)eq \s\up12()－eq \s\up12()＋(44)eq \s\up12()＋(2eq \s\up12())eq \s\up12()－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
(3)原式＝2aeq \s\up12()÷(4aeq \s\up12()beq \s\up12())·(3beq \s\up12())
＝aeq \s\up12(－)beq \s\up12(－)·3beq \s\up12()＝aeq \s\up12()beq \s\up12().
类型3　条件求值问题
【例3】　已知a＋aeq \s\up12(－)＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
代数式“a＋aeq \s\up12(－)”与“a＋a－1、a2＋a－2”间存在怎样的关系，可以借助哪些公式实现他们间的转化与化归？
[解]　(1)将a＋aeq \s\up12(－)＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解]　令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解]　由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
3．已知a－aeq \s\up12(－)＝m，求a＋a－1及a2＋a－2的值．
[解]　∵a－aeq \s\up12(－)＝m，
∴(a－aeq \s\up12(－))2＝a＋a－1－2＝m2，
即a＋a－1＝m2＋2.
∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2.
1．(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)
A．(－1)和(－1)　 B．3和eq \f(1,3eq \s\up12(－))
C．2和4 D．4eq \s\up12(－)和
BC　[A不符合题意，(－1)和(－1)均符合分数指数幂的定义，但(－1)＝＝－1，(－1)＝＝1；
B符合题意，eq \f(1,3eq \s\up12(－))＝3；
C符合题意，4＝＝2；
D不符合题意，4eq \s\up12(－)和均符合分数指数幂的定义，但4eq \s\up12(－)＝＝，＝23＝8.]
2．把根式a化成分数指数幂是(　　)
A．(－a)eq \s\up12()　　　　　　 B．－(－a)eq \s\up12()
C．－aeq \s\up12() D．aeq \s\up12()
D　[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D．]
3．已知xeq \s\up12()＋xeq \s\up12(－)＝5，则的值为(　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
B　[∵xeq \s\up12()＋xeq \s\up12(－)＝5，
∴x＋x－1＝23，即＝23.]
4．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________．
　[∵10x＝3，
∴102x＝9，
又10y＝4，
∴102x－y＝＝.]
5．计算：＋2－2×－(0.01)0.5＝________．
　[原式＝1＋×－＝1＋－＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．用分数指数幂如何表示？
[提示]　＝a.
2．分数指数幂有哪些性质？
[提示]　(1)as·ar＝as＋r(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
[提示]　设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.4.2　指数函数
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
4.2.2　指数函数的图象与性质
第1课时　指数函数的概念、图象与性质
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点) 1．通过指数函数图象的绘制，培养直观想象素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数　对应层数　对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝
x＝3 y＝8＝23 S＝＝
……　　　……　　　……
知识点1　指数函数的概念
如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)，叫作指数函数，其中a>0，且a≠1．
1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1．
[提示]　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数． (　　)
(2)函数y＝2－x不是指数函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
知识点2　指数爆炸和指数衰减
(1)指数爆炸：当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸．
(2)指数增长：在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长．
(3)指数衰减：如果底数02.某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%.则x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式为________．
y＝100(1＋1.2%)x　[1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，
……
故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.]
分别求出指数函数y＝2x在自变量取－2，－1，－，0，，1,2时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测指数函数y＝2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x －2 －1 － 0 1 2
y＝2x
知识点3　指数函数的图象与性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 (－∞，＋∞)
值域 (0，＋∞)
过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
[提示]　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有03.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数y＝mx(m>0且m≠1)是R上的增函数． (　　)
(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数．
(　　)
(3)所有的指数函数图象过定点(0,1)． (　　)
(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
4.函数y＝3－x的图象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
B　[∵y＝3－x＝，∴B选项正确．]
类型1　指数函数的概念
【例1】　(1)下列函数中，指数函数的个数是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝2；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
(1)D　(2)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得aeq \s\up12(－)＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1．
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
∪(1，＋∞)　[由题意可知
解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
类型2　指数函数的实际应用
【例2】　(对接教材P109例题)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
[解]　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为x∈N＋.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图所示．
x 0 1 2 3 …
y 200 210 220.5 231.5 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
2．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A．y＝(0.957 6)eq \s\up12() B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ D．y＝1－(0.042 4)eq \s\up12()
A　[由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6)eq \s\up12().]
类型3　指数函数的图象的应用
【例3】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D　(2)(3,4)　[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以00，所以b<0，故选D．
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
3．已知f(x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解]　(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．
1．下列函数一定是指数函数的是(　　)
A．y＝2x＋1　　　 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
D　[结合指函数的定义可知D正确，故选D．]
2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3　　 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝ D．f(x)＝xeq \s\up12()
B　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，
∴a＝2，
∴f(x)＝2x，故选B．]
3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
B　[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
4．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为________．
eq \s\up12()　[设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为eq \s\up12()，即年衰变量为eq \s\up12().]
5．若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
　[由题意可知故a<且a≠1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)＝ax是指数函数吗？
[提示]　不一定，当a>0且a≠1时，f(x)＝ax是指数函数．
2．指数型函数的形式是什么样的？
[提示]　形如y＝kax(a>0且a≠1)．
3．指数函数的图象主要由谁决定？
[提示]　指数函数的底数决定图象的变化趋势．第2课时　指数函数的性质的应用
学 习 任 务 核 心 素 养
1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
类型1　利用指数函数的单调性比较大小
【例1】　(对接教材P108例题)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解]　(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1．
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，要按底数a>1和01．比较下列各值的大小：eq \s\up12()，2eq \s\up12()，，eq \s\up12().
[解]　先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：；(2)大于1的数：eq \s\up12()，2eq \s\up12()；(3)大于0且小于1的数：eq \s\up12().
(2)中，eq \s\up12()<2eq \s\up12()<2eq \s\up12() (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
故有类型2　利用指数函数的单调性解不等式
【例2】　(1)解不等式≤2；
(2)已知a0，a≠1)，求x的取值范围．
[解]　(1)∵2＝，∴原不等式可以转化为≤．
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，
∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，
根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
2．求解下列不等式：
(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解]　(1)因为＝30.5，所以由3x≥可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0ax＋7可得－5x－.
②当a>1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x>ax＋7可得－5x>x＋7，解得x<－.
综上，当0－；当a>1时，x<－.
类型3　指数型函数的单调性及应用
【例3】　判断f(x)＝的单调性．
如果令u＝x2－2x，试分别写出y＝及u＝x2－2x的单调区间，并思考y＝的单调性同y＝及u＝x2－2x单调性存在怎样的关系.
[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
1．把本例的函数改为“f(x)＝2”，求其单调区间．
[解]　函数y＝2的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
2．本例函数不变，求f(x)的值域．
[解]　法一：∵f(x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，
∴f(x)max＝f(1)＝＝3.
又f(x)>0，
∴f(x)的值域为(0,3]．
法二：∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
[解]　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，
∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．
故函数y＝a (a＞1)增区间为，减区间为.
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x－1在[1，＋∞)上为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21－x为减函数．
故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1)　　　　　 B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1．]
2．下列判断正确的是(　　)
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
D　[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
3．函数y＝(x≥8)的值域是(　　)
A．R B．
C． D．
B　[因为y＝在[8，＋∞)上单调递减，所以0<≤＝.]
4．函数y＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
A　[由已知得，y＝f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，则y＝.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，
所以选A．]
5．函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))的定义域是________．
[0，＋∞)　[由1－≥0得≤1＝，
∴x≥0，∴函数y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))的定义域为[0，＋∞)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何比较两个指数式值的大小？
[提示]　(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．函数y＝af(x)的单调性同y＝f(x)的单调性存在怎样的对应关系？
[提示]　当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同；
当0即“同增异减”．
3．如何求函数y＝af(x)的值域？
[提示]　函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．4.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(重点)2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(难点) 1．通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象素养．2．通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算素养.
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….
依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
知识点1　对数的概念
一般地，如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底(正)数N的对数，记作b＝logaN.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
对数运算是指数运算的逆运算
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积． (　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3. (　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数． (　　)
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a　　　 B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B．]
知识点2　对数的基本性质
(1)对数的基本恒等式：
a＝N(N>0，a>0且a≠1)，b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
(2)负数和零没有对数．
(3)loga 1＝0(a>0且a≠1)．
(4)logaa＝1(a>0且a≠1)．
为什么零和负数没有对数？
[提示]　由对数的定义：ab＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式b＝logaN时，不存在N≤0的情况．
3.填空：(1)log22＝________；(2)log51＝___________；
(3)3＝________；(4)logeq \s\do8()2＝________.
[答案]　(1)1　(2)0　(3)4　(4)2
类型1　指数式与对数式的互化
【例1】　将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；(2)logeq \s\do8()32＝－5；
(3)log5125＝3；(4)logeq \s\do8()x＝2.
[解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7.
(2)由logeq \s\do8() 32＝－5，可得＝32.
(3)由log5125＝3，可得53＝125.
(4)由logeq \s\do8()x＝2，可得＝x.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　　　(2)＝16；
(3)logeq \s\do8()27＝－3; (4)logeq \s\do8()64＝－6.
[解]　(1)log3＝－2；
(2)logeq \s\do8()16＝－2；
(3)＝27；
(4)()－6＝64.
类型2　利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx 8＝6；
(3)log4 64＝x; (4)－log28＝x.
[解]　(1)x＝64eq \s\up12(－)＝(43)eq \s\up12(－)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq \s\up12()＝8eq \s\up12()＝(23)eq \s\up12()＝2eq \s\up12()＝.
(3)4x＝64＝43，于是x＝3.
(4)由－log28＝x，得－x＝log28，
∴2－x＝8＝23，
所以－x＝3，即x＝－3.
求对数式logaN(a>0且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m.
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
2．计算：(1)log9 27；(2)logeq \s\do8()81；(3)logeq \s\do8()625.
[解]　(1)设x＝log9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝logeq \s\do8()81，则()x＝81,3eq \s\up12()＝34，∴x＝16.
(3)令x＝logeq \s\do8()625，∴()x＝625,5eq \s\up12()＝54，∴x＝3.
类型3　应用对数的基本性质求值
【例3】　(1)设5＝25，则x的值等于(　　)
A．10 B．13　　　
C．100　　　 D．±100
(2)若log3(log5x)＝0，则x的值等于________．
等式a＝N a>0且a≠1，N>0 成立吗？
(1)B　(2)5　[(1)法一：由5＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B．
法二：由5＝52得log5(2x－1)＝2，即2x－1＝52＝25，∴x＝13，故选B．
(2)由log3(log5x)＝0得log5x＝1，∴x＝5.]
若本例(2)的条件改为“log2(log3x)＝1”，则x的值为________．
9　[由log2(log3x)＝1得log3x＝2，∴x＝32＝9.]
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质a＝N与logaab＝b的作用
(1)a＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
3．求下列各式中x的值：
(1)log3(logeq \s\do8()x)＝1；(2)x＝7.
[解]　(1)∵log3(logeq \s\do8()x)＝1，
∴logeq \s\do8()x＝3，
∴x＝＝.
(2)x＝7＝eq \f(7,7)＝.
1．(多选题)下列说法正确的有(　　)
A．只有正数有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以5为底25的对数等于2
D．3＝a(a>0)成立
ACD　[ACD均正确．(－2)3＝－8不能化成对数式．]
2．2－3＝化为对数式为(　　)
A．logeq \s\do8()2＝－3　　 B．logeq \s\do8()(－3)＝2
C．log2＝－3 D．log2(－3)＝
[答案]　C
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<0 B．0C．0B　[由对数的定义可知
解得04．计算：2＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.
0　[原式＝3＋0－3＋0＝0.]
5．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．指数式与对数式存在怎样的关系？
[提示]　(1)若ab＝N logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)．
(2)在关系式ab＝N中，已知a和b求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求b的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
[提示]　若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
3．下列等式成立吗？
(1)logaab＝b；(2)a＝N，(其中a>0且a≠1，N>0)．
[提示]　均成立．4.3.2　对数的运算法则
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解对数的运算法则．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算法则进行一些简单的化简与证明．(易混点) 1．借助对数的运算法则化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.
(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
知识点1　对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN.
当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
[提示]　不一定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x. (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2.计算log84＋log82等于(　　)
A．log86 B．8
C．6 D．1
D　[log84＋log82＝log88＝1．]
3.计算log510－log52等于(　　)
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
C　[log510－log52＝log55＝1．]
知识点2　常用对数与自然对数
4.(1)lg 100＝________，(2)ln ＝________.
(1)2　(2)－1　[(1)lg 100＝lg 102＝2；
(2)ln ＝ln e－1＝－1．]
知识点3　对数的换底公式
若b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0，则有logbN＝.
几个常用推论：
(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
5.(多选题)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
[答案]　ABC
类型1　对数的运算法则的应用
【例1】　计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝
＝.
1．利用对数运算法则求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1．
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
类型2　对数的换底公式
【例2】　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解]　(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝＝＝＝.
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)．
[解]　∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，
∴log915＝＝＝＝.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝·
＝.
类型3　对数的运算法则的综合应用
【例3】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知3x＝4y＝6z，求证：＋＝.
以指数式与对数式间的内在联系为切入点，思考如何求解相应问题.
[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436.
∴＝＝＝2log363＝log369，＝＝＝log364.∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1．
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m.
所以＝＝logm3，＝＝logm4，＝＝logm6.
故＋＝logm3＋logm4＝logm3＋logm4eq \s\up12()＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝.
条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便 利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．
3．已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
[解]　∵3a＝5b＝c，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
1.2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．4
C　[∵2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.∴选C．]
2．计算log92·log43＝(　　)
A．4 B．2
C． D．
D　[log92·log43＝·＝·＝.]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A． B．
C．ab D．a＋b
B　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝＝＝.]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N＋，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有________．(填序号)
(3)(5)　[根据对数的运算法则logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]
5．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.
1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＝log102＝lg 2，＝lg 5，
∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对数的运算法则有哪些？
[提示]　(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM.
其中(a>0且a≠1，M>0，N>0)
2．你能用对数的换底公式证明logNnMm＝logNM吗？
[提示]　能．logNnMm＝＝＝logNM.
3．常见的换底公式变形有哪些？
[提示]　(1)logab＝＝＝(其中a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1)．
(2)logab·logba＝1(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1)．4.3.3　对数函数的图象与性质
第1课时　对数函数的概念
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(重点)2．会求简单的对数型函数的定义域．(重点) 1．通过具体实例形成对数函数的概念，提升数学抽象的核心素养．2．通过实例体会对数函数的应用，提升应用意识和数学运算的核心素养.
我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足y＝eq \s\up12()，也就是说，y是x的函数．
在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？
知识点　对数函数的概念
函数y＝logax(x>0，a>0且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量．
函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0. (　　)
(2)y＝log2x2是对数函数． (　　)
(3)若函数y＝logax为对数函数，则a>0且a≠1． (　　)
(4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
类型1　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：
①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；
③y＝logeq \s\do8((－1)) x；④y＝log3x；
⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq \s\do12()x.
其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　　　　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ＝_______________.
(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以解得a＝4.
(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f ＝log2＝－1．]
判断一个函数是对数函数的方法
1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.]
类型2　对数函数的定义域
【例2】　(对接教材P119例题)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(2)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解]　(1)函数式若有意义，需满足即解得－1(2)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)；
(3)y＝；
(4)y＝log7.
[解]　(1)∵x2>0，即x≠0.
∴函数y＝log3x2的定义域为{x|x≠0}．
(2)∵4－x>0，即x<4.
∴函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．
(3)∵x＞0，且lg x≠0.
∴x＞0且x≠1．
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
(4)∵>0，∴1－3x>0，即x<.
∴函数y＝log7的定义域为.
类型3　对数函数模型的应用
【例3】　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．求y与x的关系式．
结合题设信息思考如何从增长率角度分析变量x与y间存在的关系？
[解]　由题意可知
(1－20%)y＝x,0即y＝log0.8x，0y与x的关系式为y＝log0.8x，0利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax.
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
3．人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：
C(t)＝C0e－rt，
其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量．
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5 730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．
1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min)．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．
[解]　因为14C的半衰期大约是5 730年，所以由衰减规律，得＝e－5 730r.
解得r＝.因此14C的衰减规律服从指数型函数
C(t)＝C0eeq \s\up12(－·t)＝C0·2eq \s\up12(－).
设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年．因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以＝，
于是2eq \s\up12(－)＝.
两边取以2为底的对数，得－＝log2.
解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055.
所以该木炭已衰减了约4 055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年．
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x　　　 B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
[答案]　A
2．如果函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,2)，那么a的值为(　　)
A． B．
C．2 D．4
C　[由f(4)＝loga4＝2得a2＝4，
∴a＝±2，
又a>0且a≠1，
∴a＝2，故选C．]
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞)
D．[4,10)∪(10，＋∞)
D　[由得
∴x≥4且x≠10，故选D．]
4．若函数f(x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
2　[∵f(x)是对数函数，
∴a－1＝1，
∴a＝2，
经检验a＋1＝3>0，且a＋1≠1，故a＝2.]
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
128　[由题意得5＝2log4x－2，
即7＝log2x，得x＝128.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是否是对数函数？
[提示]　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1．
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？
[提示]　除了要特别注意真数和底外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．第2课时　对数函数的图象与性质
学 习 任 务 核 心 素 养
1．会用描点法画出对数函数的简图．2．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题．(重点) 1．通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养．2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，，，1,2,4,8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x 1 2 4 8
y＝log2x
知识点1　反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
1．(1)函数y＝log2x的反函数是________；
(2)函数y＝的反函数是________．
[答案]　(1)y＝2x　(2)y＝logeq \s\do8()x
知识点2　对数函数的图象与性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 (－∞，＋∞)
性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当02.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　　 B．
C． D．
A　[由题图可知，a>1，故选A．]
3.函数f(x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．
(0,0)　[由x＋1＝1得x＝0，∴f(x)的图象必过定点(0,0)．]
类型1　对数函数的图象问题
【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.
(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1)B　(2)－2　2　[(1)结合图象可知0x＝a，y＝b，结合图知b(2)由于函数图象恒过定点(3,2)，故
∴∴]
(3)[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
把本例(3)改为f(x)＝＋2，试作出其图象．
[解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1)　　　　　　　　(2)　
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3)　　　　　　　　　(4)　　
函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．]
类型2　比较对数值的大小
【例2】　比较下列各组中两个数的大小：
(1)log5与log5；
(2)logeq \s\do8()2与logeq \s\do8()2；
(3)log23与log54.
[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，
所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于logeq \s\do8()2＝，logeq \s\do8()2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，
所以logeq \s\do8()2法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logeq \s\do8()x及y＝logeq \s\do8()x的图象，由图易知：logeq \s\do8()2(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
2．比较下列各组中两个数的大小：
(1)logeq \s\do8()0.5，logeq \s\do8()0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
[解]　(1)因为函数y＝logeq \s\do8()x是减函数，且0.5<0.6，
所以logeq \s\do8()0.5>logeq \s\do8()0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，
所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8所以log3π>log20.8.
类型3　解对数不等式
【例3】　已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？
[解]　(1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
常见的对数不等式的3种类型
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
3．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)[解]　(1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)解得x>1．
即x的取值范围是(1，＋∞)．
1．函数y＝loga(x－1)(0A　　　　B　　　　　C　　　　D
A　[函数y＝loga(x－1)(02．函数y＝eq \r(logeq \s\do8() 2x－3 )的定义域是(　　)
A．　　　 B．[2，＋∞)
C． D．
D　[依题意0<2x－3≤1，解得3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
D　[a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log524．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
　[由题意可知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f()＝得loga＝，
∴a＝.]
5．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
(2,7]　[由题意可得lg(2x－4)≤lg 10，∴0<2x－4≤10，
即2回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示]　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
[提示]　两函数的图象关于直线y＝x对称．
3．如何解对数不等式logaf(x)>logag(x)(a>0且a≠1)
[提示]　分01两类分别求解．
当0logag(x) 0当a>1时，logaf(x)>logag(x) f(x)>g(x)>0.
4．比较对数值大小的常用方法有哪些？
[提示]　(1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．微专题4　与对数函数有关的复合函数
与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
类型1　对数型复合函数的单调性
【例1】　讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为.
①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数；
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
②当0＜a＜1时，若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
【例2】　已知函数y＝logeq \s\do10()(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝logeq \s\do10()g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝logeq \s\do10() (x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2＋2]．
类型2　对数型复合函数的值域
【例3】　求函数f(x)＝logeq \s\do8()(1＋2x－x2)的值域．
[解]　令u＝1＋2x－x2，可得0＜u≤2，
因为y＝logeq \s\do8()u在(0,2]上是递减的，
所以logeq \s\do8()u∈[－1，＋∞)．
故f(x)＝logeq \s\do8() (1＋2x－x2)的值域为[－1，＋∞)．
【例4】　求函数f(x)＝log2(4x)·logeq \s\do8()，x∈的值域．
[解]　f(x)＝log2(4x)·logeq \s\do8()
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且y最大值＝.
当t＝2时，有最小值，且y最小值＝－2.
∴f(x)的值域为.
类型3　对数型复合函数的奇偶性、单调性
【例5】　已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解]　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴ln(1－x)＋ln(a＋x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)，
∴ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln(a－x)－ln(a＋x)，
∴ln＝ln，∴＝，
整理得2x(a－1)＝0，
∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1．
(2)由(1)知f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
要使函数f(x)有意义，应满足，
∴－1设任意x1，x2∈(－1,1)，且x1∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1)＝ln(1－x)－ln(1－x)
当－1x，1－x<1－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1,0)上是增函数，
当0≤x11－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)在[0,1)上是减函数．
综上可知，函数f(x)在(－1,0)上是增函数，在[0,1)上是减函数．4.4　函数与方程
4.4.1　方程的根与函数的零点
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点) 1．借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象素养.
请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？
知识点　函数零点存在定理
一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，则方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根．
(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可．
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
[提示]　不能．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点． (　　)
(2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． (　　)
(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
类型1　求函数的零点
【例1】　(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1．
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
类型2　零点个数的判断
【例2】　(对接教材P126例题)判断下列函数零点的个数：
(1)f(x)＝(x2－4)log2x；
(2)f(x)＝x2－；
(3)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2.
[解]　(1)令f(x)＝0，得(x2－4)log2x＝0，因此x2－4＝0或log2x＝0，
解得x＝±2或x＝1．
又因为函数定义域为(0，＋∞)，所以x＝－2不是函数的零点，故函数有2和1两个零点．
(2)法一：令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
法二：令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2(x≠0)，h(x)＝，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示．
由图象可知，两个函数图象只有一个交点，
故函数只有一个零点．
(3)法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0，
∴f(x)＝0在(0,2)上必定存在实根．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg(x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个公共点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的常用方法
(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．
(2)图象法：直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数．
(3)f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．
2．已知0A．1　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
B　[函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(0类型3　判断函数零点所在的区间
【例3】　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(3,4) B．(2，e)
C．(1,2) D．(0,1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x＋3 2 3 4 5 6
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
结合零点存在性定理思考怎样判定函数在区间 a，b 内存在零点？
(1)C　(2)C　[(1)因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C．
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，
f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，
f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C．]
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
3．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．3
A　[f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，故选A．]
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1　　　 B．，1
C．，－1 D．－，1
B　[方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1．]
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D　[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
2　[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]
5．若函数f(x)＝＋a的零点是1，则实数a＝________.
－　[由f(1)＝＋a＝0得a＝－.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数的零点、相应方程的根及图象之间存在怎样的内在联系？
[提示]　函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？
[提示]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
3．探求函数零点个数的方式有哪些？
[提示]　直接解方程法；图象交点个数法；定理法．4.4.2　计算函数零点的二分法
学 习 任 务 核 心 素 养
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点) 借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.
中央电视台节目《购物街》猜商品价格，主持人要求选手在规定时间内猜某一物品的价格，误差不超过10元．规则如下：选手每次猜出价格后主持人根据实际的价格判断是“高了”还是“低了”，然后选手根据主持人的判断重新猜价格，直到猜中或是时间到就结束游戏．那么 “高了”“底了”在猜测过程中起了什么作用？条件“误差不超过10元”怎样理解？如何快速猜出商品价格？
知识点1　二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
[提示]　二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
x3　[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
知识点2　二分法求函数零点近似值的步骤
设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线．求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a，b] D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0；
(2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)；
(3)如果|m－a|<ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止；
(4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止；
(5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2)．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
3.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0,0.5)　f(0.25)　[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]
类型1　二分法概念的理解
【例1】　(1)(多选题)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　　　　B　　　　　　C　　　D
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　)
A．9　 B．8　　　　
C．7　　　　 D．6
(1)ACD　(2)A　[(1)二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
(2)由题意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9.故选A．]
运用二分法求函数的零点应具备的2个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
1．(多选题)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，其中正确的是(　　)
A．二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
AC　[结合二方法的原理可知AC正确．]
类型2　用二分法求方程的近似解
【例2】　用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(误差不超过0.2)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
结合二分法的原理思考求解该问题的步骤以及如何应用精确度求得方程的近似解？
[解]　令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1,2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0
(1,1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0
(1.375,1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解可取为1.375.
利用二分法求方程近似解的过程图示
2．用二分法求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(误差不超过0.1)．
[解]　令f(x)＝x2－2x－1，易知f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴f(x)在区间(2,3)上有且只有一个零点，记为x0.
取2和3的中点2.5，
∵f(2.5)＝2.52－2×2.5－1＝0.25>0，
∴x0∈(2,2.5)，取2和2.5的中点2.25，
∵f(2.25)＝2.252－2×2.25－1＝－0.437 5<0，
∴x1∈(2.25,2.5)，
如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，
则x0∈(2.375,2.437 5)，
∴|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1，
∴原方程的近似解可取为2.375.
1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4　 B．3,4　　 　
C．5,4　　　　 D．4,3
D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D．]
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2，－1]　　　　 B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
A　[∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，误差不超过0.001，则结束计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0.1　　　 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
B　[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于0.001时，便可结束计算．]
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈_______(填区间)．
(2,3)　[因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f(x)的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(误差不超过0.01)可取________．(答案不唯一)
1.56　[f(1.562 5)＝0.03>0，f(1.556 2)<0，
且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，
∴区间(1.556 2,1.562 5)内的任意实数均是函数f(x)的零点，不妨取1.56.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是什么？
[提示]　在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
2．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
[提示]　当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
二分法在搜索中的应用
日常生活中，我们经常要利用计算机、网络来搜索信息．你知道吗？二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色．
下图中的15个数是按从小到大排列的．
2 5 8 11 12 16 23 27 29 35 51 53 69 75 77
如果随机给出一个不大于100的自然数x，要让计算机查找x是否在上面这列数中，设计怎样的查找方法，才能保证不管给出的是什么数，都能在指定的步骤内查到结果呢？
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较，那么在有些情况下，只要比较1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情况下，却要比较15次才能完成任务(例如x＝80)．
如果我们用二分法的思想来查找，情况就不一样了：每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较，通过这种方式缩小其可能的位置范围．例如，x＝13时的查找过程可用下图表示．
由此不难看出，不管给出的是什么数，最多4次就能完成任务．
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的，而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用，感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧！4.5　函数模型及其应用
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(重点、难点) 1．从几类特殊函数中分析出一般性函数的增长特点，可以提高逻辑推理素养．2．通过比较几种不同类型的函数模型的增长进行决策，建立函数模型，从而提升数学建模素养.
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能赞够钱买这套房子？
A．5年　B．7年　C．8年　D．9年　E.永远买不起,房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？
知识点　三种函数模型的增长差异
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度
增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢
增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax[提示]　不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些． (　　)
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(3)函数y＝logeq \s\do8()x衰减的速度越来越慢． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
类型1　几类函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 021x　　　 B．y＝2 021
C．y＝log2 021x D．y＝2 021x
(2)下面对函数f(x)＝logeq \s\do8()x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A．
(2)观察函数f(x)＝logeq \s\do8()x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
A　[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]
类型2　函数增长速度的比较
【例2】　(1)(多选题)如图，能使得不等式log2xA．x>2
B．x>4
C．0D．2(2)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．
②借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
(1)BC　[结合图象可知，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，有log2x(2)[解]　①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f(x)＝ln x.
②当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
2．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f与g，f(2 021)与g(2 021)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴f＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 021)＞g(2 021)．
类型3　函数增长速度的应用
【例3】　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
分别画出y＝0.2x，y＝log5x及y＝1.02x的图象，观察并思考哪个模型符合题设条件.
[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
3．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应____________________________；
C对应________；D对应________．
A　　　　B　　　　C　　　　D
(1)　　　　(2)　　　(3)　　　(4)
(4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝log3x
C　[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]
2．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
D　[ABC均错误，只有D正确．]
3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
其中关于x呈指数增长的变量是________．
y2　[由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．]
4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③　[结合图象可知②③正确，故填②③.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：,如何描述三种函数模型的增长差异？
[提示]　直线上升、指数爆炸、对数增长,对于直线y＝kx＋b k＞0 、指数函数y＝ax a>1 、对数函数y＝logbx b>1 ，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变.
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？4.5.2　形形色色的函数模型
学 习 任 务 核 心 素 养
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点) 　通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养.
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长．
知识点　常见函数模型
(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． (　　)
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．
(　　)
(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　)
A．y＝2x－1　　　　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
D　[逐一检验可知D选项符合．故选D．]
类型1　利用已知函数模型解决实际问题
【例1】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \s\up12()，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解]　先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×eq \s\up12()，即＝eq \s\up12()，
解得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×eq \s\up12()，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×eq \s\up12()，
即eq \s\up12()＝＝＝，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
1．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
[解]　(1)由题知10－12≤I≤1，
∴1≤≤1012，
∴0≤lg≤12，∴0≤L≤120，
故人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，
则10lg－10lg＝20，
∴lg＝lg 100，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
类型2　自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解]　(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，
得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　 (1)依题意，一年后这种鸟类的个数为，
1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，
两年后这种鸟类的个数为
1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得：1.08x≥3两边取常用对数得：
lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x≥，
故x≥＝，
因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥≈≈14.3.约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
类型3　拟合数据构建函数模型解决实际问题
【例3】　某企业常年生产一种出口产品，自2016年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2016年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2016～2019年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2020年(即x＝5)因受新型冠状病毒的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量为多少？
借助散点图，联想常见函数模型的变化趋势，思考选用哪种函数模型解题？
[解]　(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2020年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2020年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
3．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝pxeq \s\up12()＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　(1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝pxeq \s\up12()＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
∴函数模型y＝kax(k>0，a>1)更合适，
则有解得
∴y＝8×(x∈N)．
(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．
当x＝0时，y＝8，则有8×＝8×1 000，
∴x＝logeq \s\do8()1 000＝＝≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1 000倍．
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
[答案]　B
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.95eq \s\up12()·m B．y＝(1－0.05eq \s\up12())·m
C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
A　[设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95eq \s\up12()，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95eq \s\up12()·m.]
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A．600元　　　　 B．50%
C．－1 D．＋1
C　[设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝－1．]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
4　[设至少要洗x次，则≤，
所以x≥≈3.322，
所以至少需4次．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示]　利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：类型1　指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【例1】　计算：(1)2log32－log3＋log38－5；
(2)1.5eq \s\up12(－)×＋80.25×＋(×)6－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq \s\up12()).
[解]　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1．
(2)原式＝eq \s\up12()＋2eq \s\up12()×2eq \s\up12()＋22×33－eq \s\up12()＝21＋4×27＝110.
1．设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)
A．6　 B．3　　　　
C．2　　　　 D．1
D　[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1．]
类型2　指数函数、对数函数的图象及应用
函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0,1)点，后者恒过(1,0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻拆、平移等变换得出的函数图象．
【例2】　(1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
(1)C　(2)C　[(1)由题意可知f(x)＝ax与g(x)＝loga的单调性相同，故排除选项D，又g(－1)＝loga1＝0，∴排除选项AB，故选C．
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．]
2．(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列图象对应的函数正确的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B　[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B．]
(2)[解]　①先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
类型3　指数函数、对数函数的性质及应用
以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
【例3】　(1)若0A．3y<3x B．logx3C．log4x(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1．
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)C　[因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误．]
(2)[解]　①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1．
所以y＝＋∈，
所以所求函数的值域为.
3．(1)设a＝log2π，b＝logeq \s\do8()π，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
(2)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(1)C　(2)A　[(1)∵a＝log2π>log22＝1，b＝logeq \s\do8()πc>b，故选C．
(2)由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]
类型4　函数的零点与方程的根
函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性．
【例4】　已知定义在R上的函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，f(a)≠f(b)，其中a[证明]　∵f(x)在(a，b)上不间断，
∴F(x)＝f(x)－在(a，b)上连续．
又∵f(a)≠f(b)，∴f(a)－f(b)≠0.
F(a)＝f(a)－＝，
F(b)＝f(b)－＝，
∴F(a)F(b)＝·
＝－<0，即F(a)F(b)<0.
∴函数F(x)在区间(a，b)上有零点．
4．(1)方程＝的根x0所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(2)设[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程2x－2[x]－1＝0的根有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
(1)B　(2)B　[(1)令f(x)＝－，易知f(x)在R上单调递增，f(1)＝－<0，f(2)＝2－＝>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有零点，故选B．
(2)方程2x－2[x]－1＝0根的个数等价于y＝2x－1与y＝2[x]的图象交点个数，
在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示：
由图象可知，两个函数共有3个不同的交点，
∴方程2x－2[x]－1＝0有3个根．]
类型5　函数的实际应用
本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
【例5】　2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料质量为(－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
[解]　(1)由题意得4＝k{ln[m＋(－1)m]－ln(m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，
则m＝479.8－x，又y＝8，
则8＝8ln ，解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.
5．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了.
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
[解]　(1)根据题意，得p0＝p0e－k，
∴e－k＝，∴p(t)＝p0.
(2)由p(t)＝p0≤p0，
得≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30.
因此，至少还需过滤30个小时．
1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A． B．
C． D．
B　[法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．
法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．
法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4eq \s\up12()＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．]
2．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
A　[ ∵23＜32，∴2＜3eq \s\up12()，
∴log32＜log33eq \s\up12()＝，∴a＜c.
∵33＞52，∴3＞5eq \s\up12()，
∴log53＞log55eq \s\up12()＝，
∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A．]
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
B　[∵R0＝1＋rT，
∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(I t1 ＝e，,I t2 ＝e，,I t2 ＝2I t1 ，))则e＝2,0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B．]
4．(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．bD　[a＝30.7，b＝＝30.8，则b>a>1，log0.70.85．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．aB　[令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log22b，所以f(a)

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