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5.1　任意角与弧度制
5.1.1　角的概念的推广
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(重点)2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(重点、难点) 通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养.
如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时：
(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
知识点1　任意角
(1)角的旋转定义
自然语言 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
符号语言 O为顶点，射线OA为始边，OB为终边，α＝∠AOB
图形语言
(2)角的推广与分类——正角、负角和零角
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 射线OA没有作任何旋转，终边OB与OA重合
1．终边和始边重合的角一定是零角吗？
[提示]　不一定，还有可能是±360°，±720°，…
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大于90°的角都是钝角． (　　)
(2)零角的终边与始边重合． (　　)
(3)从13：00到13：10，分针转过的角度为60°. (　　)
(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
图(1)　　　　　　图(2)
[答案]　390°　－150°　60°
知识点2　象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
2.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
[提示]　锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－30°是第四象限角． (　　)
(2)第二象限角是钝角． (　　)
(3)225°是第三象限角． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
知识点3　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
3.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
[提示]　终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
4.与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)(　　)
A．k·360°＋230°　 B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
B　[∵610°＝360°＋250°，故选B．]
类型1　任意角的概念
【例1】　(1)下列结论：
①始边相同而终边不同的角一定不相等；
②小于90°的角是第一象限角；
③钝角比第三象限角小；
④角α与－α的终边关于x轴对称．
其中正确的结论为________(填序号)．
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________.
(1)①④　(2)－40°　[(1)①正确；②错误；如α＝－30°是第四象限角；③错误；④正确．
(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°.]
理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
1．(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　)
A．150° B．－150°　　　
C．390°　　　 D．－390°
(2)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
(1)B　(2)B　[(1)各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B．
(2)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角为负角，即为－×360°＝－120°.]
类型2　终边相同的角的表示及应用
【例2】　(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来；
(2)写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？
[解]　(1)与α＝－1 910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
(2)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°.
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
由于－360°<β<360°，
即－360°<135°＋n·180°<360°，n∈Z.
解得－所以集合S中适合不等式－360°<β<360°的元素为：
135°－2×180°＝－225°；135°－1×180°＝－45°；
135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°.
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
2．终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
2．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
[解]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
类型3　象限角及区域角的表示
【例3】　(1)若α是第一象限角，则－是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
(2)如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
以终边相同的角为切入点，思考如何表示某个区域内的角？
(1)D　[因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以－k·180°－45°<－<－k·180°，k∈Z，
所以－是第二、四象限角．]
(2)[解]　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？
[解]　在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
1．表示区间角的3个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．nα或所在象限的判断方法
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
3.(1)若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　)
A．③⑦ B．④⑧
C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．
(1)A　[(1)∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α∴k·180°＋90°<当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<∴角的终边所在的区域为③⑦.]
(2)[解]　在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　)
A．45° B．90°
C．180° D．270°
B　[根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．]
2．下列各个角中与角2 021°终边相同的角的度数是(　　)
A．－149° B．679°
C．321° D．221°
D　[因为2 021°＝360°×5＋221°，所以与2 021°终边相同的角是221°.]
3．角－870°的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C．]
4．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
－670°　[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]
5．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
[答案]　{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．任意角的分类有哪几种？
[提示]　按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角．
2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？
[提示]　所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
3．如何由α所在象限，确定(n∈N＋)所在的象限？
[提示]　(1)不等式法．
①由角α的范围(用k表示)，表示角的范围；
②通过对k进行分类讨论，判断角所在象限．
(2)几何法．作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上“一、二、三、四”．α的终边在第几象限，则标号为几的区域就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．5.1.2　弧度制
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养.
如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
知识点1　角度制与弧度制
(1)度量角的两种制度
角度制 定义 用“度”作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 以“弧度”为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角
(2)弧度数的计算
比值与所取的圆的半径大小是否有关？
[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角是周角的. (　　)
(2)1弧度的角大于1度的角． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
2.(1) rad化为角度是________；
(2)105°的弧度数是________．
(1)252°　(2)　[(1) rad＝°＝252°；
(2)105°＝105× rad＝ rad.]
知识点2　扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αr.
(2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2.
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R|α|＝1×30＝30(cm)． (　　)
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍． (　　)
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
4.半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
　[由已知得S扇＝××22＝.]
类型1　角度与弧度的互化与应用
【例1】　(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①rad　②－75°　[(1)①因为1°＝rad，
所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.
②因为1 rad＝，
所以－rad＝－＝－75°.]
(2)[解]　法一(化为弧度)：
α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝ rad＝×＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝×＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－ rad化为度是________．
(1)－π rad　(2)－396°　[(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad.
(2)－ rad＝－×＝－396°.]
2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝π rad，
所以在[0,4π]中与72°角终边相同的角有π，π.]
类型2　用弧度数表示角
【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
(1)D　[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是.]
(2)[解]　因为30°＝ rad,210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
C　[A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C．]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解]　30°＝ rad,150°＝ rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.
类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用
【例3】　已知扇形的周长为8 cm.
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量r或l的关系式，并思考最值的求解方法.
[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，
解得r＝2，l＝4，S＝lr＝4(cm2)．
(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，
则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2
＝－(r－2)2＋4，
当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝＝2.
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
5．求半径为1 cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解]　因为r＝1，α＝120×＝，
所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.
1．与1°角终边相同的角的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[角度制与弧度制不能混用，故选C．]
2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)
A． rad　　 B． rad
C． rad D． rad
B　[由弧度数公式|α|＝，得|α|＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.]
3．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是 rad
B．－π rad化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π rad
D． rad化成度是15°
ABD　[对于A,60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°.故选ABD．]
4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.
　[－570°＝－＝－4π＋.]
5．在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________．
π　[150°＝，∴弧长l＝×＝π.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．角度制与弧度制怎样转化？
[提示]　1°＝ rad,1 rad＝.
2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
[提示]　
角度制 弧度制
弧长 l＝ l＝αr
面积 S＝ S＝lr＝αr25.2　任意角的三角函数
5.2.1　任意角三角函数的定义
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点) 1．通过三角函数的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升数学运算素养.
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
知识点1　任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，在角α的终边上任取不同于原点O的一点P，点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么
名称 定义 定义域
正弦 sin α＝ R
余弦 cos α＝ R
正切 tan α＝
y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别称为角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
1．对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
[提示]　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
[提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
1．若角α的终边经过点P，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.
－　　－1　[由题意可知
|OP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－0))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－0)))＝1，
∴sin α＝＝－；cos α＝＝；tan α＝＝－1．]
知识点2　三角函数在各象限的符号
2.(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)
(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”)
(1)＞　(2)＜　[(1)∵α在第三象限，
∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0.
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，
∴3是第二象限角，4是第三象限角．
∴cos 3＜0，tan 4＞0.
∴cos 3tan 4＜0.]
知识点3　三角函数线
(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；
有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB．
(2)三角函数线
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α一定时，单位圆的正弦线一定． (　　)
(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×
类型1　三角函数的定义及应用
【例1】　(1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
(2)当α＝－时，求sin α，cos α，tan α的值．
[解]　(1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1,2)，则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2.
当α的终边在第四象限时，
在α终边上取一点P′(1，－2)，
则r＝＝，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
(2)当α＝－时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x＞0，y＜0)
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝，由勾股定理得＋y2＝1，y＜0，解得y＝－，
所以P.
因此sin α ＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－.
1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“x＋y＝0”，其他条件不变，结果又如何？
[解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，)，则r＝2，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－)，则r＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.
[解]　因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
2．已知特殊角α，求三角函数值的方法
(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．
(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值(此时P到原点的距离r＝1)
3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠3)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
[解]　由题意知r＝，由三角函数定义得cos θ＝＝.
又∵cos θ＝x，
∴＝x.
∵x≠0，
∴x＝±1．
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
2．当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值．
[解]　当α＝时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)，(x＜0，y＜0)
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝－，由勾股定理得
＋y2＝1，y＜0，
解得y＝－，所以P.
因此sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
类型2　三角函数值的符号
【例2】　(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号．
①sin 2 019°cos 2 020°tan 2 021°；
②tan 191°－cos 191°；
③sin 2 cos 3 tan 4.
(1)D　[由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．]
(2)[解]　①∵2 019°＝1 800°＋219°＝5×360°＋219°，
2 020°＝5×360°＋220°，2 021°＝5×360°＋221°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 019°<0，cos 2 020°<0，tan 2 021°>0，
∴sin 2 019°cos 2 020°tan 2 021°>0.
②∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°＜0，∴tan 191°－cos 191°>0.
③∵＜2<π，＜3<π，π<4＜，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4＜0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限．
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．
3．判断下列式子的符号：
(1)tan 108°·cos 305°；
(2)；
(3)tan 120°·sin 269°.
[解]　(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.
从而tan 108°·cos 305°<0.
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，∴cos ＜0，tan ＜0，sin＞0.
从而＞0.
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.
从而tan 120°·sin 269°＞0.
类型3　应用三角函数线解三角不等式
【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
1 在单位圆中，满足sin α＝的正弦线有几条？试在图中明确.
2 在单位圆中，满足cos α＝的余弦线有几条？在图中明确.
[解]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
①　　　　　　　　②　
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
(2)正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
4．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
[解]　由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴函数f(x)的定义域为
.
1．若sin α<0，tan α>0，则α终边所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　[由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上．
由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．
故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．]
2．(多选题)下列三角函数值判断错误的是(　　)
A．sin 165°>0 B．cos 280°<0
C．tan 170°>0 D．tan 310°>0
BCD　[∵90°<165°<180°，
∴sin 165°>0.
又270°<280°<360°，
∴cos 280°>0.又270°<310°<360°，
∴tan 310°<0,90°<170°<180°.∴tan 170°<0.]
3．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值等于________．
－1　[由三角函数定义知tan α＝＝－1．]
4．已知角α终边过P，则cos α等于________．
　[由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝.]
5．已知sin θ·tan θ＜0，那么θ是第________象限角．
二或三　[因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0，若sin θ＞0，tan θ<0，则θ在第二象限．若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？
[提示]　三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关．
2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？
[提示]　确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．
3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？
[提示]　确定出角的终边与单位圆的交点坐标．5.2.2　同角三角函数的基本关系
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.
结合三角函数的定义，分析同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？
知识点　同角三角函数的基本关系
(1)平方关系
①公式：sin2α＋cos2α＝1．
②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1．
(2)商数关系
①公式：＝tan α.
②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
[提示]　成立．平方关系中强调的同一个角是任意的，与角的表达形式无关．
同角三角函数的基本关系解读
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
B　[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．]
2.已知cos α＝－，且α为第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________.
－　　[∵cos α＝－，α为第三象限角，
∴sin α＝－＝－＝－.
tan α＝＝＝.]
类型1　直接应用同角三角函数关系求值
【例1】　(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
(1)－　[由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
又α∈，
所以cos α＜0，
所以cos α＝－.]
(2)[解]　∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17))))＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
[解]　∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，
可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.
类型2　应用同角三角函数关系式化简证明
【例2】　(1)化简＝________.
(2)求证：＝.
(1)1　[原式＝＝＝1．]
(2)[证明]　法一(切化弦)：
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二(由右至左)：
因为右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，
所以原等式成立．
1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1．
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
2．(1)化简tan α，其中α是第二象限角；
(2)求证：＝.
(1)[解]　因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α＝tan α＝tan α＝＝·＝－1．
(2)[证明]　左边＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
类型3　灵活应用同角三角函数关系式求值
【例3】　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sin αcos α＋1．
1 sin α±cos α，sin αcos α之间存在怎样的内在联系？
2 你能从“tan α＝”中体会到怎样的变换技巧？
(1)－　[法一(构建方程组)：
因为sin α＋cos α＝， ①
所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
因为α∈(0，π)，所以α∈，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝＝＝. ②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
法二(弦化切)：
同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，
解得tan α＝－或tan α＝－.
由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，
故tan α＝－.]
(2)[解]　由＝2，化简，
得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？
[解]　由例(1)求出2sin αcos α＝－，
因为α∈(－π，0)，所以α∈，
所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＝－
＝－＝－.
与sin α＋cos α＝联立解得
sin α＝－，cos α＝，
所以tan α＝＝－.
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解．
3．若sin αcos α＝－，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝________.
－　[因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，
cos α－sin α＝－
＝－＝－.]
1．已知sin α＝，tan α＝，则cos α＝(　　)
A．　 B．　　　　
C．　　　　 D．
B　[因为tan α＝，
所以cos α＝＝＝.]
2．已知tan α＝－，则的值是(　　)
A． B．3　　　
C．－　　　 D．－3
A　[因为tan α＝－，
所以＝＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－1)＝.]
3．化简的结果是(　　)
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
C　[因为是第二象限角，
所以cos＜0，
所以＝＝＝－cos.]
4．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
－　[因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，
又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－.]
5．化简(1－cos α)的结果是________．
sin α　[(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．sin α、cos α、tan α间存在怎样的等量关系？
[提示]　sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，….
2．如何实现“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之间的互化？
[提示]　借助(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α实现三者之间的转化．
3．常用哪些方法证明三角恒等式？
[提示]　(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数．
事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝，则r>0，此时
(1)称为α的正割，记作sec α，即sec α＝；
(2)称为α的余割，记作csc α，即csc α＝；
(3)称为α的余切，记作cot α，即cot α＝.
由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义．
同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨．
正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝.
另外，由于
tan2α＋1＝＋1
＝
＝＝sec2α，
因此
tan2α＋1＝sec2α.
类似地，还能得到
cot2α＋1＝csc2α.
习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即
cos αsec α＝1，
sin αcsc α＝1，
tan αcot α＝1．
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2 α＋cos2α＝1等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！5.2.3　诱导公式
第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)
学 习 任 务 核 心 素 养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值、证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养．2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角2kπ＋α(k∈Z)的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(3)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(4)在(3)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
知识点1　公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α；
cos(α＋2kπ)＝cos α；
tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
1．sin(－315°)的值是________．
　[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.]
知识点2　公式二～四
终边关系 图示 公式
公式二 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α
公式三 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α
公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α
公式一至公式四可以概括为如下法则：
kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的同名函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号．
诱导公式中角α只能是锐角吗？
[提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
2.填空：
(1)若sin(π＋α)＝，则sin α＝________；
(2)若cos(π－α)＝，则cos α＝________；
(3)已知tan α＝6，则tan(－α)＝________；
(4)sin 585°＝________.
[答案]　(1)－　(2)－　(3)－6　(4)－
类型1　给角求值问题
【例1】　(对接教材P167例题)利用公式求下列三角函数值：
(1)cos 225°；(2)sin；
(3)sin；(4)tan(－2 040°)．
[解]　(1)cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝.
(3)sin＝－sin
＝－sin
＝－＝.
(4)tan(－2 040°)＝－tan 2 040°
＝－tan(6×360°－120°)
＝tan 120°＝tan(180°－60°)
＝－tan 60°＝－.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或二来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
[解]　(1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
类型2　给值(式)求值问题
【例2】　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
角“α－75°”与角“105°＋α”之间存在怎样的数量关系？如何借助这一关系求值？
(1)A　[sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.]
(2)[解]　∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
[解]　cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]
＝－cos(α－75°)＝.
解决条件求值问题的技巧
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
2．(1)若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)＝(　　)
A．－ B．－　　　
C．－　　　 D．
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
(1)D　[(1)∵sin(π＋α)＝－sin α＝，
∴sin α＝－，
又α∈，∴cos α＝＝＝.
∴tan α＝＝－.
∴tan(π－α)＝－tan α＝，故选D．]
(2)[解]　因为cos
＝cos＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
类型3　利用诱导公式化简
【例3】　(对接教材P168例题)化简：
(1)；
(2).
[解]　(1)原式＝
＝
＝－tan α.
(2)原式＝
＝
＝＝－1．
三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
提醒：注意分类讨论思想的应用．
3．tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A．　 B．　　　
C．－1　　　 D．1
A　[∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
∴＝
＝＝＝.故选A．]
1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
C　[由题意可知cos θ＝－，cos(π－θ)＝－cos θ＝－＝.故选C．]
2．tan等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
C　[tan＝tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.]
3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)
A． B．－
C．± D．
B　[因为sin(π＋α)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.
又α是第四象限角，所以cos α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]
4.的值等于________．
－2　[原式＝
＝
＝＝＝－2.]
5．化简：(1)＝________；
(2)＝________.
(1)－cos2α　(2)－cos α　[(1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝
＝－cos α.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能概括一下公式一～四的特征吗？
[提示]　诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数名不变，符合看象限”．
2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
[提示]　利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：第2课时　诱导公式五和公式六
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解公式五和公式六的推导方法．2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点) 1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养．2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？
知识点1　诱导公式五
终边关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 角＋α与角α的终边垂直
图形
公式 sin＝cos α，cos＝sin α sin＝cos α，cos＝－sin α
诱导公式五反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五中的角α只能是锐角． (　　)
(2)sin(90°＋α)＝－cos α. (　　)
(3)cos＝－sin α. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2.(1)已知sin α＝，则cos＝________；
(2)若α∈，sin＝，则cos α＝________.
(1)　(2)　[(1)∵sin α＝，∴cos＝sin α＝.
(2)∵α∈，sin＝cos α＝，
∴cos α＝.]
知识点2　诱导公式六
tan＝＝＝；
tan＝＝＝－.
关于角α与2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式．
3.tan 120°＝________.
－　[tan 120°＝tan(90°＋30°)＝－＝－.]
类型1　利用诱导公式化简求值
【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(3)已知cos＝，且α∈，则tan＝________.
从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？
(1)B　(2)A　(3)2　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°.
又cos(60°＋α)＝>0，
所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，
所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，
所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))))＝－.
(3)∵cos＝，
∴sin α＝－，
又α∈，
∴cos α＝－，
∴tan α＝，
∴tan＝＝2.]
利用互余(互补)关系求值的步骤
(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等．
(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．
1．(1)已知sin＝，则cos的值为________；
(2)已知sin＝，则cos的值为________；
(3)已知sin(π＋α)＝－，则tan＝________.
(1)　(2)－　(3)或－　[(1)cos＝cos
＝sin＝.
(2)cos＝cos
＝－sin＝－.
(3)∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝.
∴α为第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α>0，
∴cos α＝＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝
∴tan α＝，
∴tan＝－＝－，
当α为第二象限角时，cos α<0，
∴cos α＝－＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝－.
∴tan α＝－，
∴tan＝－＝.
综上可知，当α为第一象限角时，tan＝－，
当α为第三象限角时，tan＝.]
类型2　利用诱导公式证明恒等式
【例2】　(1)求证：
＝.
(2)求证：＝－tan θ.
[证明]　(1)右边＝
＝＝
＝＝
＝＝左边，所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法．
2．求证：＝－1．
[证明]　因为
＝
＝＝＝－1
＝右边，所以原等式成立．
类型3　诱导公式的综合应用
【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，
所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
3．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值．
[解]　sin＝－cos α，
cos＝cos
＝－sin α，
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，
∴sin α＞cos α＞0，即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝.
1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)
A．第一象限角　　 　　B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
B　[由于sin＝cos θ<0，
cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B．]
2．(多选题)下列与sin θ的值相等的是(　　)
A．sin(π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
CD　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；
cos＝sin θ；cos＝sin θ.]
3．已知tan θ＝2，则等于(　　)
A．2 B．－2　　　
C．0　　　 D．
B　[∵tan θ＝2，
∴
＝＝
＝＝＝－2.]
4．计算：sin211°＋sin279°＝________.
1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1．]
5．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么tan＝________.
　[∵cos α＝，且α为第四象限角，
∴sin α＝－＝－
∴tan α＝＝－2
∴tan＝－＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．公式一～四和公式五的函数名称有什么不同？
[提示]　公式一～四中函数名称不变，公式五中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
[提示]　“奇变偶不变、符号看象限”．5.3　三角函数的图象与性质
5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 1．通过作正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养．2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养.
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”．你能描述一下该类曲线的特征吗？
知识点　正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
正(余)弦曲线 正(余)弦函数的图象叫作正(余)弦曲线
余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？能否通过平移余弦曲线得到正弦曲线？
[提示]　余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．由sin x＝cos＝cos可知，由y＝cos x的图象向右平移个单位可得y＝sin x的图象．并且平移的方法不唯一，如也可向左平移个单位，得到y＝sin x的图象．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同． (　　)
(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称． (　　)
(3)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2.函数y＝cos x，x∈R图象的一条对称轴是(　　)
A．x轴 B．y轴
C．直线x＝ D．直线x＝
B　[易知y＝cos x的图象关于y轴对称．故选B．]
3.函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝1的交点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A　[结合y＝sin x，x∈[0，π]的图象可知，直线y＝1与其有且只有一个交点．故选A．]
类型1　正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】　(1)下列叙述中正确的个数是(　　)
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个
(2)函数y＝sin|x|的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
(1)D　(2)B　[(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)y＝sin|x|＝
结合选项可知B正确．]
1．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
2．正、余弦曲线的对称性
对称中心 对称轴
y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1．
1．下列函数图象相同的是(　　)
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sin与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
D　[对于选项A，g(x)＝sin(π＋x)＝－sin x，故两函数图象不同；
对于B，f(x)＝－cos x，g(x)＝cos x，故两函数图象不同；
对于C，g(x)＝sin(－x)＝－sin x，故两函数图象不同；D中f(x)＝sin(2π＋x)＝sin x＝g(x)，符合题意，故选D．]
类型2　用“五点法”作三角函数的图象
【例2】　(对接教材P174例题)用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)．
y＝sin x及y＝cos x的图象分别由哪五个关键点决定？能否借助这五个关键点作出相应函数的图象？
[解]　(1)①取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
②描点连线，如图所示．
(2)①取值列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1＋cos x 0 －1 －2 －1 0
②描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x (或cos x) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1(或0) 0(或1)
y b(或A＋b) A＋b(或b) b (或－A＋b) －A＋b (或b) b (或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
[解]　取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
类型3　正弦(余弦)函数图象的应用
【例3】　利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin x≥；(2)cos x≤.
[解]　(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.
利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的3个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
3．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是______．
　[在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0,2π)与y＝cos ，∈(0,2π)的图象如图所示，
由图象可观察出当x∈时，sin x>cos x．]
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　)
B　[y＝sin(－x)＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称．]
2．(多选题)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是(　　)
A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
[答案]　BCD
3．满足sin x＝0在区间[－2π，2π]上的x的值有(　　)
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
B　[如图，在[－2π，2π]上使sin x＝0的x值共有5个，故选B．
]
4．要得到y＝cos x，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cos x，x∈[0,2π]的图象向________平移________个单位长度．
左　2π　[向左平移2π个单位长度即可．]
5．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集为________．
　[由图可知，当x∈时，不等式sin x<－成立．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．画正(余)弦曲线的五个关键点分别是什么？
[提示]　正弦曲线：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦曲线：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦曲线与余弦曲线的形状相同吗？如何由正弦曲线平移得到余弦曲线？
[提示]　相同，把正弦曲线向左平移个单位即可得出余弦曲线．第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 1．通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.
明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．我们知道，时间具有周而复始的规律．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？
知识点1　函数的周期性
(1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
周期函数的周期是唯一的吗？
[提示]　不是．如f(x)的最小正周期为T，则nT(n∈N＋)都是f(x)的周期．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期． (　　)
(2)所有的周期函数都有最小正周期． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2.对 x∈R，函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)的最小正周期为________．
[答案]　1
知识点2　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
3.函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为(　　)
A．奇函数　　　 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
A　[f(x)＝sin 2x的定义域为R，f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]
类型1　三角函数的周期问题及简单应用
【例1】　求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sin x|.
你能借助定义或图象探求三角函数的周期吗？函数y＝Asin ωx＋φ 的周期有无规律可循？
[解]　(1)法一：(定义法)y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
求三角函数周期的方法
(1)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(2)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin；(2)y＝.
[解]　(1)∵sin
＝sin＝sin.
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋，函数y＝sin，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sin，x∈R的周期是.
(2)∵函数y＝cos的最小正周期为π，而函数y＝的图象是将函数y＝cos的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝.
类型2　三角函数奇偶性的判断
【例2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
[解]　(1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得cos x＝，
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
2．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是(　　)
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是奇函数
C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
BD　[当φ＝π时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sin x，是奇函数．
当φ＝时，f(x)＝sin＝cos x，是偶函数．
所以A、C错误，B正确．
无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确．]
类型3　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|　　 B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)
A．－ B．
C．－　　　 D．
(1)D　(2)D　[(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
[解]　f＝f＝f
＝－f＝－sin＝－.
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
3．(1)奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时f(x)＝cos x，则f的值为________．
(2)函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝________.
(1)－　(2)3　[(1)由f＝f(x)可知T＝，
∴f＝f＝f.
又f(x)为奇函数，且当x∈时f(x)＝cos x，
∴f＝－f＝－cos＝－.
(2)∵f(x)为周期是3的偶函数，
∴f(2 020)＝f(3×673＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3.]
1．函数y＝sin的最小正周期为(　　)
A．π B．2π　　　
C．4π　　　 D．
C　[T＝＝4π.]
2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
A　[f(x)＝sin(－x)＝－sin x，
∴f(－x)＝sin x.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．]
3．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
D　[观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．]
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝________.
0　[因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.]
5．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.
－3　[由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．学习周期函数需要注意哪些问题？
[提示]　(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
(3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．
2．你能写出计算f(x)＝Asin(ωx＋φ)与g(x)＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
[提示]　正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的最小正周期T＝2π.
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝.
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示]　因为sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，
所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．第3课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
学 习 任 务 核 心 素 养
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点) 1．通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养．2．结合函数图象，培养直观想象素养.
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径．
(1)函数y＝sin x与y＝cos x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？y＝sin x，y＝cos x在什么位置取得最大(小)值？
知识点　正弦函数、余弦函数的图象和性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在，k∈Z上单调递增，在，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
1．函数y＝sin x的单调递增区间唯一吗？
[提示]　不唯一．
2.函数y＝sin x取得最大值时对应的x的值唯一吗？
[提示]　不唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在R上都是单调函数. (　　)
(2)存在x∈R满足cos x＝1.2. (　　)
(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2.(多选题)在下列区间中，函数y＝sin x是单调递增的是(　　)
A．[0，π]　　　 B．
C． D．
[答案]　CD
3.函数y＝－2cos x的最大值为________，此时x＝________.
2　π＋2kπ，k∈Z　[当x＝π＋2kπ，k∈Z时y＝－2cos x取得最大值2.]
类型1　求正弦函数、余弦函数的单调区间
【例1】　求函数y＝2sin的单调区间．
[解]　令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增时，
函数y＝2sin也单调递增．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
1．求函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调区间．
[解]　由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为k∈Z.
又∵x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为.
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为.
2．求函数y＝sin的单调递增区间．
[解]　y＝sin＝－sin，令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________．
(2)已知函数y＝cos，则它的单调递减区间为________．
(1)，　(2)(k∈Z)　[(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，所以函数y＝sin，
x∈的单调递减区间为，.
(2)y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数y＝cos的单调递减区间是(k∈Z)．]
类型2　利用三角函数的单调性比较大小
【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin 196°与cos 156°；
(3)cos与cos.
[解]　(1)∵－＜－＜－＜，
∴sin＞sin.
(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°.
(3)cos＝cosπ
＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是单调递减的，
∴cosπ＜cos，
即cos＜cos.
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)
A．sin α＜sin β　　 B．cos α＜sin β
C．cos α＜cos β D．cos α ＞cos β
(2)比较下列各组数的大小：
①cos，cos；②cos 1，sin 1．
(1)B　[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈，－β∈，
所以cos α＜cos＝sin β.]
(2)[解]　①cos＝cos，cos＝cos，因为0＜＜＜π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos＞cos，即cos＞cos.
②因为cos 1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin x在上单调递增，所以sin＜sin 1，
即cos 1＜sin 1．
类型3　正弦函数、余弦函数的最值问题
【例3】　(1)求函数y＝2cos，x∈的值域；
(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
1 常借助三角函数的哪些性质求形如y＝asin x，x∈[m，n]的最值？
2 对于形如y＝asin2x＋bsin x＋c的函数如何探求其最值？
[解]　(1)∵－∴0<2x＋<，
∴－∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1,2)．
(2)y＝cos2x＋4sin x
＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1
＝－(sin x－2)2＋5.
所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
所以ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是.
三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
3．求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值．
[解]　y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋.
因为－≤x≤，－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数　　　 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
C　[因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增．]
2．函数f(x)＝2sin x在区间上的最大值为(　　)
A．0 B．－
C． D．2
D　[∵x∈，∴0≤sin x≤1，
∴f(x)＝2sin x∈[0,2]．故选D．]
3．(多选题)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．直线x＝－
C．直线x＝ D．直线x＝π
BC　[y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故选BC．]
4．sin________sin(填“＞”或“＜”)．
＞　[sin＝sin＝sin，
因为0＜＜＜，y＝sin x在上是单调递增函数，所以sin＜sin，即sin＞sin.]
5．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间为________．
(k∈Z)　[求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间？
[提示]　把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．如何利用函数单调性比较sin α与sin β的大小关系？
[提示]　比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？
[提示]　单调性法或配方法或换元法等．5.3.2　正切函数的图象与性质
学 习 任 务 核 心 素 养
1．能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)3．掌握正切函数的定义域．(易错点) 1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.
学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．
类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质．
(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？
(2)正切函数的图象是连续的吗？
知识点　正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 ，k∈Z
单调性 在每一个区间，k∈Z上都单调递增
正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗？
[提示]　不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的．但在整个定义域上不是单调递增的．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (　　)
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z. (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2.函数y＝tan 2x的定义域为________，周期为________．
　　[由2x≠＋kπ可知x≠＋，k∈Z，T＝.]
类型1　正切函数的奇偶性与周期性
【例1】　(1)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)
A． B．　　　
C．π　　　 D．2π
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
(1)A　(2)A　[(1)T＝＝，故选A．
(2)由题意可知，自变量x的取值范围为.
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故选A．]
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
1．(1)函数f(x)＝(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.
(1)A　(2)±2　[(1)由题意可知，
∴x≠＋kπ，且x≠π＋2kπ，k∈Z.
又f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故选A．
(2)由＝可知ω＝±2.]
类型2　正切函数的单调性
【例2】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
1 当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？
2 求y＝Atan ωx＋φ Aω≠0 的单调区间时应注意哪些问题？
(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　[y＝tan x在区间上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，
又＜2＜3＜4＜π＋1＜，
所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1．]
(2)[解]　y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋＜x＜＋，k∈Z，
所以y＝3tan的单调递减区间为，k∈Z.
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
2．(1)求函数y＝tan的单调递增区间．
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．
①tan 220°与tan 200°；②tan π与tan.
[解]　(1)由kπ－kπ－所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z.
(2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，
因为y＝tan x在上单调递增，
所以tan 220°>tan 200°.
②tan π＝tan(π＋)＝tan ，
tan＝tan＝tan ，
因为－<<<，
y＝tan x在上单调递增，
所以tan 即tan π>tan.
类型3　正切函数图象与性质的综合应用
【例3】　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
[解]　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的定义域是.
因为ω＝，
所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.
解形如tan x＞a的不等式的步骤
3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
[解]　由y＝|tan x|得
y＝
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
1．函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
D　[f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.]
2．若tan x≥1，则(　　)
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)
B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)
D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)
D　[因为tan x≥1＝tan.
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.]
3．比较大小：tan ________tan .
<　[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
所以tan 4．函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．
(－，1)　[y＝tan(π－x)＝－tan x，
在上为减函数，
所以值域为(－，1)．]
5．已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．
，k∈Z　[由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？
[提示]　
性质 正切函数 正弦函数、余弦函数
定义域 R
值域 R [－1,1]
最值 无 最大值为1
最小值为－1
单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性 T＝π T＝2π
对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个5.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解匀速圆周运动的数学模型．(重点)2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点)3．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点) 1．通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养．2．借助函数图象的变换，培养数学抽象素养.
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
(1)　　　　　　　　　　(2)
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
知识点1　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
[提示]　∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ω，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移个单位．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin. (　　)
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x. (　　)
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2.把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A．y＝sin x－　　 B．y＝sin x＋
C．y＝sin D．y＝sin
D　[根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．]
如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动．从某一时刻开始，如果记t s后小球的位移为x cm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式，其中A，ω，φ都是常数．
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Imsin(ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．
显然，上述x与i都是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
3.函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
B　[y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]
4.函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．
　x－　－　[频率为＝，
相位为x－，初相为－.]
类型1　平移变换
【例1】　(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin＋2 B．y＝sin－2
C．y＝sin－2 D．y＝sin＋2
(2)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
(1)D　(2)B　[(1)向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2，故选D．
(2)由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B．]
在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：
1 平移之前应先将函数解析式化为同名的函数.
2 弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚.
3 左右平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是 .
1．为了得到y＝sin的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．
　[y＝sin＝cos＝cos＝cos，
只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin.]
类型2　振幅变换与伸缩变换
【例2】　已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)
先由y＝sin x平移得到y＝sin，再伸缩得到y＝sin与先伸缩得到y＝sin 2x，再平移得到y＝sin，两次平移的量是否相同？
[解]　法一(先平移后伸缩)：
①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
②把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
法二(先伸缩后平移)：
①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；
②把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
三角函数图象伸缩变换的方法
法一：y＝A1sin ω1xy＝A2sin ω1xy＝A2sin ω2x.
法二：y＝A1sin ω1xy＝A1sin ω2xy＝A2sin ω2x.
2．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x
A　[y＝2siny＝3sin
＝3sin＝3cos x．]
类型3　简谐振动模型
【例3】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解]　列表如下：
t －
2t＋ 0 π 2π
sin 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin ωx＋φ 表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.
3．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
1．要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象(　　)
A．向左平移个单位　 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
[答案]　D
2．若函数 y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
A　[依题意得f(x)＝sin ＝sin＝cos 2x.故选A．]
3．(多选题)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
AD　[由图可知T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0.故选AD．]
4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
　[函数y＝cos xy＝cosx.所以ω＝.]
5．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
　　[y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin，
y＝3sin xy＝3sin
y＝3sin＝3sin.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的变换途径吗？
[提示]　(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
2．上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？
[提示]　若先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；若先周期变换后相位变换，平移个单位．第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质的应用
学 习 任 务 核 心 素 养
1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(重点)2．能够根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式．(易错点)3．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，能够利用性质解决相关问题．(重点) 1．通过“五点法”作函数的图象，培养直观想象的素养．2．借助函数图象求解析式，培养直观想象及数学运算的素养.
类型1　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】　已知函数y＝sin，x∈R.
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
[解]　(1)列表：
2x＋ 0 π 2π
x －
y＝sin 0 0 － 0
描点、连线，如图所示．
(2)函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象．
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
ωx＋φ 0 π 2π
x － － － － －
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
1．已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
[解]　f(x)＝cos，列表如下．
2x－ － 0 π π π
x 0 π π π π
f(x) 1 0 －1 0
图象如图．
类型2　求三角函数的解析式
【例2】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
借助函数图象你能发现哪些信息？参数A、ω、φ的求解分别与哪些信息相关？
[解]　法一(逐一定参法)：
由图象知A＝3, T＝－＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin.
法二(五点对应法)：
由图象知A＝3.
∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
法三(图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
给出y＝Asin ωx＋φ 的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
1 逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0” 要注意正确判断哪一点是“第一零点” 求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
2 五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
3 图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
2．(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．y＝2cos＋4
B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2
D．y＝4cos＋2
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．
(1)A　　[由函数f(x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上．
所以6＝2cos＋4，
所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2)[解]　由最低点M，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，
即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，
∴φ＝.故f(x)＝2sin.
类型3　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解]　∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z.
又0≤φ<π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，
可知sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，
∴0<ω≤2，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
综上，φ＝，ω＝或2.
将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
[解]　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.
因为f(x)＝sin ωx在上是增函数．
所以 ，
于是，解得0＜ω≤，
所以ω的最大值为.
研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略
(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)熟记正弦函数y＝sin x的图象与基本性质．
(3)充分利用整体代换思想解决问题．
(4)熟记有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．
3．(多选题)已知函数f(x)＝sin，以下命题中为真命题的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f(x)在上是增函数
ABD　[令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f(x)在上是增函数，选项D正确．故选ABD．]
1．已知函数f(x)＝Asin(A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
B　[函数f(x)＝Asin(A>0)的周期T＝＝＝6.
∵函数f(x)＝Asin(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，
∴eq \r(A2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,4))))＝，
∴A＝2，故选B．]
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)
A．A＝4 B．ω＝1
C．φ＝ D．B＝4
C　[由图象可知，A＝2，B＝2，T＝－＝，T＝π，ω＝2.因为2×＋φ＝，所以φ＝，故选C．]
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
C　[由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A．由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．]
4．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的简图时，列表如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
则根据表格可得出A＝__________，ω＝__________，φ＝__________.
2　3　－　[由表格得A＝2，T＝π－＝，
∴ω＝3，∴ωx＋φ＝3x＋φ.
∵当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，
且|φ|<，∴φ＝－.]
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为__________．
－π　[由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
[提示]　(1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求．
(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求，具体如下：利用“第一点”时，令ωx＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝；利用“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．
2．在研究函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？
[提示]　采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝Asin z的性质求解．5.5　三角函数模型的简单应用
学 习 任 务 核 心 素 养
1．了解三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1．通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题求解，提升数学运算素养.
类型1　匀速圆周运动的数学模型
【例1】　如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．
[解]　由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝＋ωt，
根据三角函数的定义，得P点纵坐标
y＝|OP|sin∠POx＝20sin，
即所求y关于时间t的函数关系为y＝20sin，
∵函数的周期T为＝π，
∴由T＝，可得ω＝2，
∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)．
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系.
1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)
A．y＝sin　　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
C　[∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cos φ＝，sin φ＝.解得φ＝.故选C．]
类型2　三角函数模型的实际应用
【例2】　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
如何借助表格中的数据探寻与参数A，ω，b的相关量？解三角不等式的关键是什么？
[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解]　(1)由题意知
解得
易知＝14－2，
所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，
得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6
＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
类型3　数据拟合模型的应用
【例3】　下表所示的是某地2001～2020年的月平均气温(华氏度)．
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；④＝sin .
[解]　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，∴T＝12.
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(4)∵x＝月份－1，
∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝>1≠cos ，
∴①不适合．
代入②，得＝<0≠cos ，
∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合．
处理数据拟合和预测问题的步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图．
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
y＝－4cos t　[设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.]
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
D　[由题意可知，周期T＝＝，∴ω＝3.
∴y＝sin，故选D．]
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　 B．6　　　　
C．8　　　　 D．10
C　[由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8.故选C．]
3．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋1，则(　　)
A．ω＝，A＝4 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝4
A　[由题意可得T＝＝，可得ω＝，由图象可知y的最大值为5，sin(ωx＋φ)＝1时取得最大值，∴5＝A＋1，解得A＝4.]
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为____________．
y＝－6sinx，x∈[0,24]　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.
当x＝9时，ymax＝6.
故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx，x∈[0,24]．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
[提示]　在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
[提示]　→→类型1　任意角的三角函数概念
任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障，在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及与三角函数有关的证明问题．
【例1】　(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝＋的定义域是________．
(1)或－　(2)
[(1)r＝|OP|＝＝5|m|.
当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝.
当m<0时，sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－.
故2sin α＋cos α的值是或－.
(2)由得
如图，结合三角函数线知：
解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为.]
1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值；
(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
[解]　(1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝，
∴sin α＝＝＝y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝，
∴y＝±.
∴点P在第二或第三象限．
当点P在第二象限时，y＝，
cos α＝＝－，tan α＝－.
当点P在第三象限时，y＝－，cos α＝＝－，tan α＝.
(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则r＝＝＝|k|.
当k>0时，r＝k.
∴sin α＝＝－，＝＝.
∴10sin α＋＝－3＋3＝0.
当k<0时，r＝－k.
∴sin α＝＝，＝＝－.
∴10sin α＋＝3－3＝0.
综上，10sin α＋＝0.
类型2　同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系和诱导公式主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．
常用方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．
【例2】　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解]　由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋＝＋＝－＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝代入得1＋2×＝1＋，∴m＝.
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，得两根为和.
∴或
∵θ∈(0,2π)，
∴θ＝或.
2．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解]　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，
∴cos α即cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos ·sin ＝×＝.
类型3　三角函数的图象与性质
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．主要考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理素养．考查难度以中低档为主．具体要求：
(1)用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.
(2)对于y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
【例3】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3.
(1)写出f(x)的表达式；
(2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)∵T＝π，
∴ω＝＝2.
∵f(x)的最大值为3，
∴A＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1．
∵f＝＋1，
∴2sin＋1＝＋1，
∴cos φ＝.
∵0<φ<，
∴φ＝.
∴f(x)＝2sin＋1．
(2)∵f(x)＝2sin＋1，
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)，
∴对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)当0≤x≤时，≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)在上的最大值为3，最小值为0.
3．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．
[解]　(1)f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得g1(x)＝sin＝sin＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象．作函数g(x)＝cos x在区间上的图象，作直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.
类型4　数形结合思想
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中. 以中低档题目为主考查．
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法．
【例4】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lg x根的个数．
[解]　显然A＝2.
由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝，
∵|φ|<，则φ＝.
又是图象上的点，则f＝0，
即sin＝0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．
∴ω＋＝2π，∴ω＝2，
因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin.
在同一坐标系中作函数y＝2sin和函数y＝lg x的示意图如图所示：
∵f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令π＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π>100，
∴在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有2×31＝62个交点，另外在上还有1个交点，
∴方程f(x)－lg x＝0共有实根63个，
∴函数g(x)＝f(x)－lg x共有63个实根．
4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是(　　)
A． B．∪
C． D．
A　[∵sin x>|cos x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π)．
在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，如图．
观察图象易得使sin x>|cos x|成立的x∈，故选A．]
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
[解]　(1)由图象知A＝1，f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，
又|φ|<，∴φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)变换过程如下：
y＝sin x图象上的y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象．
1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)
A． B．
C． D．
A　[法一(常规求法)：令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．
法二(判断单调性法)：当0＜x＜时，－＜x－＜，所以f(x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－＜，所以f(x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－＜，所以f(x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－＜，所以f(x)在上不单调，故D不正确．故选A．]
2．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
B　[依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．]
3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.
－　[法一(五点作图法)：由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
即f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－.
法二(代点法)：由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点在函数f(x)的图象上，所以2cos＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos，所以f＝2cos＝－2cos＝－.]
4．(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
D　[由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D．]

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