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2023年中考数学复习《轴对称最短路径问题》填空题专练
1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是 　 　．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝6，∠B＝60°，点P为线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，连接EF＝6，则AB的长为 　 　．
3．如图，等边三角形ABC，AB＝3，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，点P是线段DF上的一动点，连接BP，EP，则△BPE周长的最小值是 　 　．
4．如图，∠AOB＝18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α＝　 　．
5．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是　 　．
6．等腰三角形ABC顶角∠C＝120°，已知C（0，1），A（，0），B在x轴上．M（1，0）和点N关于y轴对称，P、Q分别为边AC、BC上的一个动点．四边形PQNM的周长最小为 　 　．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是 　 　．
8．如图，已知：AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝4，CD＝2，BC＝8，P是BC上的一个动点，PA+PD的最小值为 　 　．
9．如图，等边ABC和等边△A′B′C′的边长都是4，点B，C，B'在同一条直线上，点P在线段A′C上，则AP+BP的最小值为 　 　．
10．如图，P是∠AOB内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若∠AOB＝30°，OP＝6，则△PMN的周长的最小值为 　 　．
11．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AD边上，AE＝4，点P为矩形内一点且∠APE＝90°，点M为BC边上一点，连接PA，DM，则PM+DM的最小值为 　 　．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是OA、OD上的一动点，P是BC边上的一动点，则PE+PF的最小值是 　 　．
13．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的动点，且EF＝4，点M为EF的中点，点N为边AD的一动点，则MN+CN的最小值为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（2，0），点P是y轴上的一个动点，当△ABP的周长最小时，△ABP的面积为 　 　．
15．如图，四边形ABCD中，∠D＝120°，∠B＝30°，且AB⊥AC，AD+DC＝6，则四边形ABCD周长的最小值是 　 　．
16．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，6）和（4，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是 　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是 　 　．
18．在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，点N是线段BC的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为 　 　．
19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是 　 　．
20．在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，﹣2），点C和点D是直线y＝2上的两个动点（点C在点D的左边）且满足CD＝2，当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为 　 　．
参考答案
1．解：连接PC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
∴PA+BP＝AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝10．
故答案为：10．
2．解：作E关于AC的对称点E'，过E'作E'F⊥AB于F，交AC于P，如图：
∵E关于AC的对称点为E'，∠ACB＝90°，
∴E'在EC的延长线上，PE+PF＝PE'+PF，
由垂线段最短知E'F⊥AB时，PE+PF最小，
∵BE＝EF＝6，∠B＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠EFE'＝∠BFE'﹣∠BFE'＝30°，
∴∠EE'F＝∠BEF﹣∠EFE'＝30°＝∠EFE'，
∴EF＝EE'＝6，
∴CE＝EE'＝3，
∴BC＝BE+CE＝6+3＝9，
在R△ABC中，AB＝2BC＝18，
故答案为：18．
3．解：要使△PBE的周长最小，而BE＝1.5一定，只要使BP+PE最短即可，
连接AE交DF于H，
∵等边△ABC，D、F、E分别为AB、AC、BC的中点，
∴AE⊥BC，DF∥BC，
∴AE⊥DF，DH＝HF，
∴A、E关于EF对称，
即当P和D重合时，此时BP+PE最小，即△PBE的周长最小，
AP＝PE，BP＝BD，
最小值是：PB+PE+BE＝AD+BD+BE＝AB+BE＝3+1.5＝4.5．
故答案为：4.5．
4．解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝18°+（180°﹣β），
∴180°﹣α＝36°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝36°，
故答案为36°．
5．解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案为：30°．
6．解：∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120°，
∴AC＝BC，
∵A、B都在x轴上，
∴OC⊥AB，
∴点O即为AB的中点，
∵点A的坐标为（，0），
∴点B的坐标为（，0），
∵M（1，0）和点N关于y轴对称，
∴点N的坐标为（﹣1，0），
∴MN＝2，
过点N作N关于BC的对称点E，过点M作M关于AC的对称点F，连接PE，QF，
∴PE＝PN，QF＝QM，
∴四边形PQMN的周长＝MN+PN+PQ+QM＝2+PE+PQ+QF，
由两点之间线段最短可知，当E、F、P、Q四点共线时，PE+PQ+QF有最小值，
即此时四边形PQMN的周长有最小值，
即EF+2，
过点E作EG⊥x轴于G，设NE交BC于H，
∵BC＝AC，∠ACB＝120°，OC⊥AB，
∴∠OCB＝60°，
∴∠HBN＝30°，∠HNB＝60°，
∴，∠NEG＝30°，
∴，
∴，
∴，，
∴点E的坐标为（，），
同理求出F的坐标为（，），
∴，
∴四边形PQMN的周长的最小值为，
故答案为：．
7．解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC＝PF，
∵PB＝EF，
∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∴AC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝．
故答案为：．
8．解：作A关于BC的对称点E，连接DE，交BC于点P，则DE就是PA+PD的最小值，BE＝AB＝4，
过E作EF∥BC交DC的延长线于F，则四边形BEFC是矩形，
∴EF＝BC＝8，DF＝2+4＝6，
∴DE＝＝＝10，
∴PA+PD的最小值是10．
故答案为：10．
9．解：如图，连接PE，
∵△ABC和△A′B′C都是边长为3的等边三角形，
∴AC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB＝60°，
∴∠ACA'＝60°，
∴∠ACA'＝∠A'CB'，
∴△ACP≌△B'CP（SAS），
∴AP＝B'P，
∴AP+BP＝BP+B'P，
当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BB'的长，
所以AP+BP的最小值为：2×4＝8．
故答案为：8．
10．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝6．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝6．
故答案为：6．
11．解：如图2，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以AE为直径的⊙O上运动，
作点D关于BC的对称点G，连接OG，交BC于M，交⊙O于P，
则PM+DM最小，最小值为PG的长，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CG＝CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，
在Rt△ODG中，DG＝CD+CG＝6，OD＝AD﹣OA＝5﹣2＝3，
∴OG＝＝＝3，
∴PG＝OG﹣OP＝3﹣2，
∴PM+DM的最小值为：3﹣2．
故答案为：3﹣2．
12．解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则FE′就是PE+PF的最小值；
∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A、D的半径为1，
∴A′D′＝BC＝3，DD′＝2DC＝4，AE′＝1，DF＝1，
∴A′D＝5，
∴FE′＝5﹣1﹣1＝3，
∴PE+PF＝PE′+PF＝FE′＝3，
故答案为：3．
13．解：延长CD到CG，使GD＝CD，
CN+MN＝GN+MN，
当G，N，M三点共线时，NC+MN的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆弧上，
圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM＝GB﹣2，
∵BC＝CD＝6，
∴CG＝12，
∴GB＝＝＝6，
∴CN+MN的最小值是6﹣2，
故答案为：6﹣2．
14．解：如图，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P′，连接BP′，
根据轴对称确定最短路线问题交点即为△ABC的周长最小的点P的位置，
∵B（2，0），
∴B′（﹣2，0），
∵点A的坐标为（1，3），
设直线AB′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
所以，直线AB′的解析式为y＝x+2，
令x＝0，则y＝2，
所以，点P′的坐标为（0，2），
∴△ABP′的面积为×（1+2）×3﹣×2×2﹣1×1＝2．
故答案为：2．
15．解：过点A作CD垂线交CD延长线于E，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADE＝60°，
设ED＝a，
则AD＝2a，
∴AE＝＝a，
∵AD+CD＝6，
∴CD＝6﹣2a，
∴CE＝DE+CD＝6﹣a，
∴AC＝＝＝，
∴当a＝时，AC有最小值3，
∵∠B＝30°，AB⊥AC，
∴设AC＝x，
则BC＝2x，AB＝＝x，
∴AB+BC＝（2+）x＝（2+）AC，
∴AB+BC的最小值为6+9，
∴四边形ABCD周长的最小值为6+6+9＝15+6．
故答案为：15+6．
16．解：A关于y轴的对称点A'是（﹣2，6），
设A'B的解析式是y＝kx+b，
则，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
则C的坐标是（0，4）．
故答案是（0，4）．
17．解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AC＝8，AB＝6，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝AC＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故答案为：22．
18．解：如图所示，作N关于AB的对称点N'，则GN＝GN'，取DC中点F，连接DM，FM，GN'．
∵M在以DE为直径的圆上，
∴DM⊥EC，
∴△DMC为直角三角形，
∵F为Rt△DMC斜边的中点，
∴MF＝DC＝AB＝5，
此时当MF，MG，GN'三边共线时，有MF+MG+GN'长度的最小值等于FN'，
∵F，N分别是DC，CB的中点，
∴FC＝DC＝5，BN'＝BN＝BC＝4，
∴CN'＝BC+BN'＝12，
∴FN'＝＝＝13，
∴MF+MG+GN'长度的最小值为13，
∵MF＝5，GN＝GN′，
∴GM+GN的最小值为13﹣5＝8．
故答案为：8．
19．解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，
∴∠ADC＝180°﹣α，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣36）
＝36°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝36，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣72°
＝108°，
故答案为：108°．
20．解：如图所示，
∵A（8，0），B（0，﹣2）
∴AB的长是一个定值，
∵AB的长是定值，CD＝2，四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA，
∴当四边形ABCD的周长最小，则就是当BC+AD最小时，
作点B关于y＝2的对称点B'，则B'（0，4），过点C作CA′∥AD交x轴于点A′，
∵DC∥AA'，CA′∥AD，
∴四边形AA′CD是平行四边形，
∴AD＝CA′，AA′＝CD＝2，
∴点A′的坐标为（6，0），
当B，C，A′在同一直线上时，此时BC+A'C＝BC+AD最小，
设直线B′A′的解析式为y＝kx+b，
把点B′（0，6），A′（6，0）代入y＝kx+b，
∴，
解得：k＝﹣1，b＝6，
∴直线B′A′的解析式为y＝﹣x+6，
把y＝2代入y＝﹣x+6，
∴x＝4，
∴点C的坐标为（4，2），
∵CD＝2，
∴点D的坐标是（6，2），
故答案为：（6，2）．
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