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2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答专项练习题（附答案）
1．已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围．
2．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣8，完成下列各题：
（1）求抛物线与x轴的两个交点A、B（A在B的左侧）的坐标；
（2）若该抛物线顶点为C，求△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积等于15？若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+b﹣1（b为常数，且b≠0）．
（1）求证：抛物线与x轴必有交点；
（2）求：抛物线顶点所在的函数解析式；
（3）直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点，且与抛物线交于另一个点A，当时，求k的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．
5．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标．
6．已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）请写出关于该二次函数图象的相关信息：
抛物线解析式为 　 　；抛物线开口向 　 　（填“上”或“下”）；顶点坐标为 　 　；m的值为 　 　．
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
7．已知二次函数y＝x ﹣4x+3．
（1）直接写出抛物线与x轴交点坐标 　 　、　 　；与y轴交点坐标 　 　；顶点坐标为 　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　．
8．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．
（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；
（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
10．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，x的取值范围是 　 　；
（3）当﹣1＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
11．已知抛物线L：y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）把抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点P，使得S△ABP＝S△BCP？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x﹣h）2（a≠0）与x轴的交点为（1，0），与y轴交点为（0，﹣2）．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）若将该抛物线平移后经过原点，直接写出平移后的抛物线对应的函数关系式（至少写出2个对应的函数关系式）．
13．已知二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣2）（a＜0）．
（1）若此函数与y轴交点坐标为（0，﹣3a），求m的值；
（2）若此函数与x轴只有1个交点，且经过点（2，﹣1），求二次函数的表达式；
（3）函数图象上有一点P（x0，y0），当0＜x0≤4时，始终有2≤y0≤4，求a的值．
14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标．
15．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
17．如图，抛物线y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l过点Q（﹣2，0），与抛物线y1交于点P．
（1）直接写出线段AB的长，并用含a的式子将抛物线y1的对称轴表示出来；
（2）将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，向右平移n﹣1（n为正整数）个单位得到抛物线yn，抛物线y2与直线l交于点Q．
①直线l与所有抛物线的交点个数为 　 　个，所有抛物线的顶点所在直线是 　 　；
②抛物线yn与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，过点D作CD的垂线交抛物线于M，N，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作x轴的垂线交MN于点F，以CD和DF为边作矩形CDFG，当点G恰好在抛物线上时，求点E的坐标．
19．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，n），B（2，n）两点．
（1）求b的值；
（2）当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．
20．如图，已知对称轴为直x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．
（1）①求点C的坐标及抛物线的表达式；
②请你根据图象分析回答，一元二次方程ax2+bx+3＝c有一正根和一负根时，c的取值范围是 　 　．
（2）当m≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出m的取值范围．
参考答案
1．解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴二次函数图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）或（3，0）；
（2）二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，
与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（3，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3），图象如下：
由图象可知：当y＞0时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或x＞3．
2．解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
即：（x+2）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣2或4，
∴点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（4，0）；
（2）令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴AB＝6，OC＝8，
∴S△ABC＝AB OC＝×6×8＝24，
∴△ABC的面积为24；
（3）假设存在点P使得△ABP的面积等于15，
∵AB＝6，∴点C纵坐标为5或﹣5，
①点P纵坐标为5，x2﹣2x﹣8＝5，
解得：x＝1+或1﹣，
∴存在点P坐标为（1+，5）、（1﹣，5）；
②点P纵坐标为﹣5，x2﹣2x﹣8＝﹣5，
解得：x＝3或﹣1，
∴存在点P坐标为（3，﹣5）、（﹣1，﹣5）；
综上，存在点P使得△ABP的面积等于15，点P坐标为（3，﹣5）、（﹣1，﹣5）、（1+，5）、（1﹣，5）．
3．（1）证明：∵Δ＝b2﹣4（b﹣1）
＝b2﹣4b+4
＝（b﹣2）2≥0，
∴抛物线与x轴必有交点；
（2）解：∵y＝x2+bx+b﹣1＝（x+b）2﹣b2+b﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣b，﹣b2+b﹣1），
设x＝﹣b，y＝﹣b2+b﹣1，
∵b＝﹣2x，
∴y＝﹣ （﹣2x）2﹣2x﹣1，
即y＝﹣x2﹣2x﹣1，
∴抛物线顶点所在的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1；
（3）∵直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点，
∴﹣b2+b﹣1＝﹣bk﹣1，
∴b＝2k+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k﹣1），
抛物线解析式为y＝x2+（2k+4）x+2k+3，
解方程kx﹣1＝x2+（2k+4）x+2k+3得x1＝﹣2，x2＝﹣k﹣2，
∴A点坐标为（﹣2，﹣2k﹣1），
∵OA＝，
∴22+（﹣2k﹣1）2＝5，
解得k1＝0（舍去），k2＝﹣1，
即k的值为﹣1．
4．解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，
∴B（4，0），
设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1）＝x2﹣x﹣2；
（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．
设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．
∴S△BCD＝OB DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．
5．解：如图，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK （t+3）+PK （0﹣t）＝PK＝（﹣t2﹣3t），
S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t2﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，四边形PBAC的面积最大，
此时点P的坐标为（﹣，）．
6．解：（1）由表格可知，x＝1和x＝3时的函数值相同，都是0，
∴对称轴为直线x＝＝2，
∴当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，顶点为（2，﹣1），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得，3＝4a﹣1，则a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，
即该二次函数图象的开口方向向上，
故答案为：y＝x2﹣4x+3，上，（2，﹣1），3；
（2）由题意可得，
点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，
当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，
则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），
故△ABC的面积是：（2.5﹣1）×3+（2.5﹣1）×1＝3．
7．解：（1）令y＝0，则x ﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∵y＝x ﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；
（2）在给出的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象如下：
（3）由图象可知：当0＜x＜3时，抛物线上最高点为（0，3），最低点为（2，﹣1），
∴此时函数y的最大值为3，最小值为﹣1，
∴y的取值范围是：﹣1≤y≤3，
故答案为：﹣1≤y≤3．
8．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，
∴，
解得：．
∴b＝2，c＝m2+2m+2；
（2）∵y＝x2+2x+m2+2m+2＝（x+1）2+（m+1）2，
∴抛物线y＝x2+bx+c的顶点为（﹣1，（m+1）2），
∵（m+1）2≥0，1＞0，
∴抛物线y＝x2+bx+c在x轴上火x轴的上方，
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴有公共点，
∴（m+1）2＝0，
∴m＝﹣1．
（3）∵y＝x2+2x+m2+2m+2＝（x+1）2+（m+1）2，
∴抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1．
∴当a＜﹣2时，点（a，y1）在点（a+2，y2）的上方，
此时，y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0；
当a＝﹣2时，点（a，y1）与点（a+2，y2）关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
此时，y1＝y2，
∴y1﹣y2＝0；
当a＞﹣2时，点（a，y1）在点（a+2，y2）的下方，
此时y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0．
综上，当a＜﹣2时，y1﹣y2＞0，当a＝﹣2时，y1﹣y2＝0，当a＞﹣2时，y1﹣y2＜0．
9．解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ..．
描点、连线，
（3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
10．解：（1）由图象可知：该抛物线经过点（﹣1，0），（2，0），
故设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），
把（0，2）代入，得a（0+1）（0﹣2）＝2
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣2）或y＝﹣x2+x+2；
（2）由图象可知：抛物线位于x轴下方的有两部分，对应的y＜0，此时x＜﹣1或x＞2，
故答案为：x＜﹣1或x＞2；
（3）由y＝﹣x2+x+2知，y＝﹣（x﹣）2+．
故该抛物线的顶点坐标是（，）．
所以当﹣1＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤．
11．解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
令x＝0，得y＝3，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）；
（2）答：存在；
∵抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，
∴抛物线L'解析式：y＝﹣x2+2x+3，
∵S△ABP＝S△BCP，
∴BP∥AC，
设直线AC的解析式：y＝kx+b，
把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，
得b＝3，﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线AC的解析式：y＝x+3，
∵BP∥AC，
∴设直线BP的解析式：y＝x+c，
把B（1，0）代入y＝x+c，
得1+c＝0，
解得c＝﹣1，
∴直线BP的解析式：y＝x﹣1，
把y＝x﹣1代入y＝﹣x2+2x+3，
得x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝，
∴在抛物线L'上存在点P，使得S△ABP＝S△BCP；点P的横坐标为或．
12．解：（1）∵物线y＝a（x﹣h）2（a≠0）与x轴的交点为（1，0），
∴h＝1，
∴该抛物线对应的函数关系式：y＝a（x﹣1）2，
再把（0，﹣2）代入y＝a（x﹣1）2，
得a＝﹣2，
∴该抛物线对应的函数关系式：y＝﹣2（x﹣1）2；
（2）①顶点在原点，该抛物线对应的函数关系式：y＝﹣2x2，
②把函数图像向上平移2个单位，y＝﹣2（x﹣1）2+2；
∴该抛物线平移后经过原点对应的函数关系式：y＝﹣2x2，y＝﹣2（x﹣1）2+2．
13．解：（1）把（0，﹣3a）代入y＝a（x﹣m）（x+m﹣2）得﹣3a＝﹣am（m﹣2），
整理得m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3．
∴m的值为﹣1或3．
（2）若抛物线与x轴只有1个交点，则（x﹣m）＝（x+m﹣2），
即m＝2﹣m，
解得m＝1，
∴y＝a（x﹣1）2，
把（2，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2得﹣1＝a，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2．
（3）∵y＝a（x﹣m）（x+m﹣2）（a＜0）．
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝1，
∴x＝1时，函数取最大值，x＞1时y随x增大而增大，
∴抛物线经过点（1，4），（4，2），
∴，
整理得 ，
∴﹣a﹣4＝8a﹣2，
解得a＝﹣．
14．解：（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
则顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点R，
则△ADE与△ACD面积相等，
直线AD过点D，则其表达式为：y＝mx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3m+3，解得：m＝1，
则直线AD的表达式为：y＝x+3，
CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1，
设直线CE的表达式为：y＝x+n，
将点C的坐标代入上式得：4＝﹣1+n，解得：n＝5，
则直线CE的表达式为：y＝x+5…②，
则点R的坐标为（0，5），
联立①②并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝1为点C的横坐标），
即点E的坐标为（﹣2，3）；
在y轴取一点H′，使DR＝DH′＝2，
过点H′作直线E′E″∥AD，
则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，
同理可得直线E′E″的表达式为：y＝x+1…③，
联立①③并解得：x＝，
则点E″、E′的坐标分别为（ ，），（），
点E的坐标为：（﹣2，3）或（ ，）或（ ，）；
15．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，5），（1，8），（﹣1，0），
∴c＝5，
把（1，8），（﹣1，0）分别代入二次函数，得
，
解得a＝﹣1，b＝4，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示：
∵y＝﹣x2+4x+5
＝﹣（x﹣2）2+9；
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC：y＝kx+b，
把B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得
，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+5，
∵ME⊥x轴，
∴MD∥y轴，
∴把x＝2代入y＝﹣x+5，
得y＝3，
∴D（2，3），
∴MD＝6，
∴△MCB的面积＝
＝×5
＝15．
16．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），
∵OA+OB＝5，
∴|k|+|k+1|＝5，
①当k＜﹣1时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k﹣（k+1）＝5，
解得：k＝﹣3；
②当﹣1≤k＜0时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k+k+1＝5，
此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|＝5变为k+k+1＝5，
解得：k＝2．
综上所述，k的值为﹣3或k＝2．
17．解：（1）令y1＝0，则（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝0，
解得：x＝a或x＝a+4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（a，0），B（a+4，0）．
∴AB＝（a+4）﹣a＝4；
抛物线y1的对称轴为直线；
（2）①∵y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝（x﹣a﹣2）2﹣4，
∴抛物线y1的顶点为（a+2，﹣4），
∵将抛物线y1向右平移所得的抛物线的顶点的纵坐标不变且相互平行，
∴直线l与所有抛物线都有一个交点，所有的抛物线的顶点的纵坐标均为﹣4，
∴直线l与所有抛物线的交点个数为n个，所有抛物线的顶点所在直线是y＝﹣4，
故答案为：n，y＝﹣4；
②由抛物线y2与l交于点Q（﹣2，0），
得a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3
∴，
∴，
∴点P（﹣2，﹣3），点R（﹣2，n2﹣4）．
∴RP＝（n2﹣4）+3＝n2﹣1，
∵四边形PARB的面积＝AB PR＝70，
即：，
解得：n1＝6，n2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴n的值为6．
18．（1）解：将点A（﹣1，0），B（4，0）代入函数解析式得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵对称轴为x＝﹣＝，
∴D（，0），OD＝，
∵x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
过点G作HG⊥y轴于H，则∠CHG＝∠COD＝90°，
∴∠GCH+∠OCD＝90°，∠OCD+∠ODC＝90°，
∴∠GCH＝∠ODC，
∴△HGC∽△COD，
∴＝，
∴＝＝＝，
设点G（x，﹣x2+x+2），则GH＝x，
∴CH＝GH＝x，
∴x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0（舍）或x＝，
∴点G（，），GH＝，HC＝，
∵四边形CDEF是矩形，
∴CG＝DF，
∴点F的横坐标为+＝3，
∴点E的横坐标为3，
∴点E的坐标为（3，2）．
19．解：（1）∵A（﹣3，n），B（2，n）关于对称轴对称，
∴﹣＝，
解得b＝1．
（2）∵b＝1，
∴y＝x2+x+c＝（x+）2+c﹣，
∴抛物线顶点为（﹣，c﹣），开口向上，
当c﹣＝0时，c＝，
将x＝﹣1代入y＝x2+x+c得y＝c，
将x＝1代入y＝x2+x+c得y＝2+c，
∴，
解得﹣2＜c≤0．
综上所述，c＝或﹣2＜c≤0．
20．解：（1）①∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于C点，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A点，A点的坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
②当一元二次方程ax2+bx+3＝c有一正根和一负根时，
即为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与直线y＝c的交点在y轴两侧，
如图所示：
由图象可知，c的取值范围是c＜3，
故答案为：c＜3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∵B点的坐标为（﹣3，0），
当x＝1时，y＝0，
∵当m≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，即4﹣0＝4，
∴m的取值范围﹣3≤m≤﹣1．

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