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(共27张PPT)
18.2.3正方形的性质
人教版八年级下册
学习目标
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
（难点）
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
情景引入
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
问题引入
正方形的性质
正方形
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,
四个角都是直角.
A
B
C
D
证一证
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考. 正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
归纳总结
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO
都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
典例精析
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，
求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，
如图，AB＝AE，
∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°
＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述：
∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
归纳
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
B
D
练一练
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，
求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为：4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　　）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
当堂练习
3．在正方形ABC中,∠ADB= ,
∠DAC= , ∠BOC= .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图
第4题图
45°
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，
∴BE＝( －1)cm．
6. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°,
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
M
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
谢谢
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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第5 周 第1节
课题 18.2.3 第1课时 正方形的性质
教学目标 知识与技能：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题。过程与方法：情感态度与价值观：
重点 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别
难点 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
正方形的性质问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？ 归纳总结正方形是有一组邻边相等的矩形，是有一个角是直角的菱形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质，当然也具有平行四边形的所有性质。那么一个平行四边形要满足几个条件才能成为正方形呢？猜想：证一证已知：四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.归纳总结性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：求证：证明：例2：如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证：∠EAD＝∠EDA＝15° .【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE， 求∠BEC的大小．【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC． 例3：如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.归纳：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.练一练1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2， 求正方形的周长与面积．当堂练习1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　　）A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm23．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， 且AE=AB，则∠EBC的度数是 .5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．6. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
课后小结
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