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第一讲：弦长问题
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，弦长公式的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解长度；
拓展目标：能够熟练应用基本不等式等方法，求解圆锥曲线弦长等最值.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算
和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1. 弦长公式
设M (x1，y1)，N (x2，y 22)根据两点距离公式 |MN | = (x1 x2) + (y1 y 22) ．
(1)若M、N在直线 y= kx+m上，代入化简，得 |MN | = 1+ k2 x 2 21- x2 = (1+ k ) [(x1+ x2) - 4x1x2];
(2)若M、N所在直线方程为 x= ty+m，代入化简，得 |MN | = 1+ t2 y1- y2
(3)抛物线的弦长公式：
若直线 l : y= kx+m不过焦点，与双曲线 y2= 2px(p> 0)相交于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点，弦长 |AB| =
1+ k2 x1- x2 = (1+ k2) [(x + x )21 2 - 4x1x2]，若直线 l : y= kx+m过焦点，与双曲线 y2= 2px(p> 0)
2p
相交于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点，则弦长 |AB| = x1+ x2+ p= .sin2θ
2. 基本不等式
(1)a+ b≥ 2 ab(a> 0,b> 0)，当且仅当 a= b时，等号成立；
(2)ab≤ a+ b
2 a2+ b2
2 ≤ 2 ，当且仅当 a= b时，等号成立.
【考点剖析】
考点一：求弦长
2 y2
例1. x椭圆C： 2 + 2 = 1 a> b> 0 F F
3
左右焦点为 1， 2，离心率为 2 ，点M 1,
3
2 在椭圆C上．a b
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) π经过点A 2,3 ，倾斜角为 4 直线 l与椭圆交于B,C两点，求 BC ．
2 y2
例2.设F1 F2分别为双曲线C : x2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的左右焦点，且F2也为抛物线 y
2= 8x的的焦点，若
a b
点P 0,2b ，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线 l：y= 12 x- 1与双曲线C相交于A,B两点，求 AB .
例3.已知抛物线C : y2= 2px p> 0 的焦点为F，第四象限的一点P(2,m)在C上，且 PF = 4.
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直线 l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为 1,1 ，求直线 l的方程及线段AB的长.
变式训练1. 3已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 2 且过点P - 3,
1
2 ，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为 45°的直线 l过椭圆的右焦点F交椭圆于A B两点，求 AB
2 2
变式训练2. x已知双曲线C : 2 -
y
2 = 1 a> 0,b> 0 的渐近线方程为 3x± 2y= 0，且过点 2 2, 3 ．a b
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为 1的直线 l交双曲线于A,B两点，求弦长 AB ．
变式训练3.已知抛物线C : y2= 2px(p> 0)的准线方程为 x=-2，点F是抛物线C的焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)斜率为 2的直线过点F，且与C交于A，B两点，求线段AB的长.
考点二：已知弦长求直线
2 y2
例1. x已知椭圆 2 + 2 = 1 a> b> 0 过椭圆右焦点F2，且垂直于 x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P，已a b
3
知椭圆的左焦点为F1 - 3,0 ，△PF1F2的面积是 2 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线 l : y= kx+ 1 8 2与椭圆交与M、N两点，当 MN = 5 时，求直线 l的方程．
y2
例2.已知双曲线Γ : x2-
b2
= 1 b> 0 ，直线 l与Γ交于P、Q两点．
(1)若点 3,0 是双曲线Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
(2)若点P 8 2的坐标为 -1,0 ，直线 l的斜率等于 1，且 PQ = 3 ，求双曲线Γ的离心率．
例3.已知抛物线C：y2= 2px p> 0 上一点P 1,m 到焦点F的距离为 2．
(1)求实数 p的值；
(2)若直线 l过C的焦点，与抛物线交于A,B两点，且 AB = 8，求直线 l的方程．
x2 y2 6
变式训练1.椭圆C的方程为 2 + 2 = 1(a> b> 0)，右焦点为F( 2,0)，离心率为 ．a b 3
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 l与圆 x2+ y2= b2(x> 0)相切，与椭圆交于M ,N两点，且 |MN | = 3，求直线 l的方程．
2 y2
变式训练2. x已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的离心率为 3，实轴长为 2.a b
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线 y= x+m被双曲线C截得的弦长为 4 2，求m的值.
变式训练3.已知抛物线C : y2= 2px p> 0 ，其通径为 4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点F作直线 l，使得直线 l与抛物线交于P,Q两点，且满足弦长 PQ = 8，求直线 l斜率．
考点三：弦长最值
2 2
例1.已知椭圆C : x2 +
y
2 = 1
6
a> b> 0 的焦距为 2 2，离心率为
a b 3
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为 l的直线 l与椭圆C交于不同的两点A，B，求 AB 的最大值.
例2.已知双曲线C经过点P 3, 2 ，它的两条渐近线分别为 x+ 3y= 0和 x- 3y= 0.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左 右焦点分别为 F1 F2，过左焦点 F1作直线 l交双曲线的左支于A,B两点，求ΔABF2
周长的取值范围.
例3.已知动圆M过定点N 4,0 ，且截 y轴所得弦长为 8，设圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若A,B为曲线C上的两个动点，且线段AB的中点P到 y轴距离 d= 4，求 AB 的最大值，并求此时直
线AB方程．
变式训练1.在直角坐标系 xOy中，已知点F1 - 3,0 ，F2 3,0 ，M是平面内一动点，且 MF1 + MF2 = 4，记
M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)设直线 l与圆 x2+ y2= r2 1< r< 2 相切于点A，与C相切于点B，求 AB 的取值范围．
y2
变式训练2.直线 y= kx+m(k,m∈R)与双曲线 x2- 3 = 1相交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
(1)求 k与m满足的关系；
(2)求证：点O到直线AB的距离是定值，并求 AB 的最小值．
变式训练3.已知动圆C过定点F 0,1 ，且与直线 l1 : y=-1相切，圆心C的轨迹为E．
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线 l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为 2，则 PQ 的最大值为多少？
考点四：双弦长、交线段长
2 y2
例1. x已知椭圆：E : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为 2 3．a b
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(-2,1)作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点B,C，直线AB,AC分别与 x轴交于点M
,N，当 |MN | = 2时，求 k的值．
x2 y2
例2.如图，已知抛物线 y2= 4x的焦点为椭圆C： 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦点F，点P为抛物线与椭圆Ca b
5
在第一象限的交点，且 |PF| = 3 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线 l交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点 (A，B，C，D依
10
次排序 )，且 |AB|-|CD| = 3 ，求直线 l的方程.

例3.已知圆O : x2+ y2= 4 3，点M是圆O上任意一点，M在 x轴上的射影为N，点P满足NP= 2 NM，记点
P的轨迹为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知 F 1,0 ，过 F的直线m与曲线 E交于A,B两点，过 F且与m垂直的直线 n与圆O交于C,D两
点，求 AB + CD 的取值范围．
变式训练1.在平面直角坐标系 xOy中，点D，E的坐标分别为 - 3,0 ， 3,0 ，P是动点，且直线DP与EP
1
的斜率之积等于- 3 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设F是曲线C的左焦点，过点F的直线 l与曲线C相交于A，B两点，过A，B分别作直线 l的垂线与 x
轴相交于M，N两点 .若 MN = 6，求此时直线 l的斜率.
2 y2
变式训练2. x已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)，左焦点为F1 -2,0 ，点 2, 2 在椭圆上．a b
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线 l : y= k x+ 2 k≠ 0 和椭圆交于A,B两点，设点T为线段AB的中点，O为坐标原点，求线段
OT长度的取值范围．
变式训练3.在平面直角坐标系 xOy中，动点P x,y ，满足 x+ 3 2+ y2 + x- 3 2+ y2 = 4，记点P的
轨迹为E．
(1)请说明E是什么曲线，并写出它的方程；
(2)设不过原点O 1且斜率为 2 的直线 l与E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为T，直线OT与E交
于两点C，D，请判断 TA TB 与 TC TD 的关系，并证明你的结论．
考点五：弦长比值 (定值 )
x2 y2
例1.如图 ,椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左焦点为 F，过点 F的直线交椭圆于A,B两点，|AF |的最大值为a b
M ,|BF| m :Mm= 3的最小值是 ，满足 4 a
2.
(1)求该椭圆的离心率；
( |AB|2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与 x轴交于D点，求 | | 的值.FD
x2 2
例2.已知椭圆E : 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)
1
的一个顶点为 0, 3 ，离心率为 2 .a b
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线 l1交椭圆于A B两点，过原点的直线 l2交椭圆于C D两点 .若 l1∥ l2，求证：
|CD|2
为定值.
AB
2 y2
例3.已知椭圆C x： 2 + 2 = 1 a> b> 0
1 3
的离心率为 2 ，且经过点 1,a b 2 .
(1)求C的方程；
DE( ) 2 设C的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求 的
AB
取值范围.
2 y2
变式训练1.已知椭圆C x： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的长轴长为 4，过C的一个焦点且与 x轴垂直的直线被C截a b
得的线段长为 3．
(1)求C的方程；
AB
( 2)若直线 l：x+ y=m与C交于A，B两点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，且 = 713，求m PQ
的值．
变式训练2.已知抛物线 y2=-4x的焦点为F，过点F且斜率为 1的直线 l与抛物线交于A，B两点.
(1)证明以AB为直径的圆与直线 x= 1相切；
(2) 1 1求 | | +AF | 的值.BF|
变式训练3.已知抛物线C : y2= 2px p> 0 的焦点为F，过点F且垂直于 x轴的直线交C于M，N两点，O为

坐标原点，OM ON =-12.
(1)求C的方程；
(2)过点 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与C交于A，B两点，直线 l2与C交于D，E两点，求证：
1 + 1 为定值.
AB DE
【当堂小结】
1. 知识清单：
(1)椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；
(2)弦长最值的基本不等式求解；
(3)交点坐标的求解和非弦长的计算；
2. 易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；
3. 考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4. 核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
2 2
1. 已知椭圆E : x + y2 2 = 1 a> b> 0
2
的离心率为 2 ，上顶点为A 0,1 ．a b
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P 8 2 0, 3 且斜率为 k的直线与椭圆E交于不同的两点M，N，且 MN = 7 ，求 k的值．
2. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，点A 1,2 在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点F的直线 l交抛物线于P，Q两点，若 PQ = 8求直线 l的方程．
x2: + y
2
3. 已知椭圆 E 2 2 = 1(a> b> 0) ,O(0,0) ,A(a,0) ,B(0,b)，点M在线段AB上，且BM = 2MA，直线a b
OM 1的斜率为 4．
(1)求椭圆E的离心率；

(2)若直线 l与椭圆E交于C，D两点，弦CD的中点为 (-2,1)，且 CD = 10，求椭圆E的方程．
2 2
4. 已知椭圆C : x2 +
y
2 = 1 a> b> 0
1
的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为-
a b 4
．
(1)求椭圆C的离心率；
(2) 1 35若直线 y= 2 x+ 1 与椭圆C相交于A，B两点， AB = 2 ，求椭圆C的标准方程．
5. 已知双曲线两个焦点分别是F1 - 2,0 ,F2 2,0 ，点P 2,1 在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为 60°的直线与双曲线交于A,B两点，求ΔF1AB的周长.
6. 过圆O：x2+ y2= 4上的点M 3,1 作圆O的切线 l，若直线 l过抛物线E：x2= 2py p> 0 的焦点F．
(1)求直线 l与抛物线E的方程；
(2)是否存在直线 y= kx+ 2与抛物线 E交于A、B与圆O交于C、D，使 AB = 4 3 CD ，若存在，请求
出实数 k的值；若不存在，说明理由．
2 y2
7. x 2已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的离心率为 2 ，且过点P(-2,1)．a b
(1)求C的方程；
(2)若A,B是C上两点，直线AB与圆 x2+ y2= 2相切，求 AB 的取值范围．
2 y2
8. 在直角坐标系 xOy中，椭圆C : x2 + 2 = 1(a> b> 0)的上顶点为B，右焦点为F，原点O到直线BF的a b
1
距离为 2 |OF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设直线 l与圆 x2+ y2= b2相切，且与C交于M，N两点，若 |MN |的最大值为 2，求椭圆C的方程.
x2 y29. 已知椭圆E : 2 + 2 = 1 a> b> 0 ，F
6
1，F2分别为左右焦点，点Pa b 1
0, 2 ，P2 -2, 3 在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点 F1且不垂直于坐标轴的直线 l交椭圆 E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线
=-
AB
OM交直线 x 3于点N，求 取最大值时直线 l的方程.
NF1 第一讲：弦长问题
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，弦长公式的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解长度；
拓展目标：能够熟练应用基本不等式等方法，求解圆锥曲线弦长等最值.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算
和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1. 弦长公式
设M (x1，y1)，N (x2，y2)根据两点距离公式 |MN | = (x1 x2)2+ (y1 y )22 ．
(1)若M、N在直线 y= kx+m上，代入化简，得 |MN | = 1+ k2 x1- x2 = (1+ k2) [(x 21+ x2) - 4x1x2];
(2)若M、N所在直线方程为 x= ty+m，代入化简，得 |MN | = 1+ t2 y1- y2
(3)抛物线的弦长公式：
若直线 l : y= kx+m不过焦点，与双曲线 y2= 2px(p> 0)相交于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点，弦长 |AB| =
1+ k2 x1- x2 = (1+ k2) [(x1+ x2)2- 4x1x2]，若直线 l : y= kx+m过焦点，与双曲线 y2= 2px(p> 0)
相交于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点，则弦长 |AB| = x1+ x2+ p=
2p
2 .sin θ
2. 基本不等式
(1)a+ b≥ 2 ab(a> 0,b> 0)，当且仅当 a= b时，等号成立；
2 2 2
(2)ab≤ a+ b ≤ a + b2 2 ，当且仅当 a= b时，等号成立.
【考点剖析】
考点一：求弦长
2 y2
1. x 3 3例 椭圆C： 2 + 2 = 1 a> b> 0 左右焦点为F1，F2，离心率为 2 ，点M 1,a b 2 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) π经过点A 2,3 ，倾斜角为 4 直线 l与椭圆交于B,C两点，求 BC ．
2
【答案】(1) x + y24 = 1；(2) BC =
8 2
5
解析：(1)由题意得 e= c = 3 a 2 ，解得 a2= 4b2，a2= b2+ c2
又因为点M 1, 32 在椭圆C上，
x2 y2带入 + = 1得 b2= 1，
4b2 b2
2
所以椭圆的标准方程为 x4 + y
2= 1.
(2)易得直线 l的解析式为 y= x+ 1，
设B x1,y1 ，C x2,y2 联立椭圆的方程
x
2+ 4y2= 4
2 y= 得 5x + 8x= 0x+ 1
x1+ x 82= 5，x1x2= 0
BC = 1+ k2 x1- x2 = 2 8 2 x + x 21 2 - 4x1x2= 5
所以 BC = 8 25 ．
x2 y2
例2.设F1 F2分别为双曲线C : 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的左右焦点，且F2也为抛物线 y
2= 8x的的焦点，若
a b
点P 0,2b ，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2) l y= 1若直线 ： 2 x- 1与双曲线C相交于A,B两点，求 AB .
2
【答案】(1) x 23 - y = 1；(2)10 3
解析：(1)抛物线 y2= 8x的焦点为F 2,0 ，所以 c= 2，即F1 -2,0 ，F2 2,0 ，又点P 0,2b ，F1，F2是等腰
2
直角三角形的三个顶点，所以 2b= 2，即 b= 1，又 c2= a2+ b2，所以 a2= 3，所以双曲线方程为 x3 - y
2= 1.
1
y= x- 1
(2)依题意设A x1,y1 ，B x2,y2 ，由
2 消去 y整理得 1 x2 x2 4 + 3x- 6= 0，由Δ= 3
2- 4× 1
- y2= 1 4
×
3
2
-6 = 15> 0，所以 x + x =-12，x x =-24，所以 AB = 1+ k21 2 1 2 x1+ x 2 12 - 4x1 x2 = 1+ 2
-12 2- 4× -24 = 10 3.
例3.已知抛物线C : y2= 2px p> 0 的焦点为F，第四象限的一点P(2,m)在C上，且 PF = 4.
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直线 l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为 1,1 ，求直线 l的方程及线段AB的长.
【答案】(1)y2= 8x，m=-4；(2)4x- y- 3= 0， 1192
p
解析：(1)抛物线C : y2= 2px p> 0 的准线方程为 x=- 2，
p
由抛物线定义得， PF = 2- - 2 = 4，
解得 p= 4，所以抛物线C的方程为 y2= 8x.
将P 2,m 代入C的方程得，m2= 8× 2，解得m=±4，
因为点P在第四象限，所以m=-4.
(2)由题意易知直线 l的斜率显然存在，设直线 l的斜率为 k，A x1,y1 ，B x2,y2 ，
y2 1= 8x1,则有 两式作差得 y2 2= , 1- y
2
2= 8 x1-
y - y
x2 ，则 k= 1 2 = 8 ，y2 8x2 x1- x2 y1+ y2
因为线段AB中点的坐标为 1,1 ，所以 y1+ y2= 2，所以 k= 4，
所以直线 l的方程为 y- 1= 4 x- 1 ，即 4x- y- 3= 0，
4x- y- 3= 0,联立 2 2= 得 16x - 32x+ 9= 0，y 8x
则 x1+ x2= 2，x x = 91 2 16，
所以 AB = 1+ k2 x1+ x2 2- 4x1x2= 17 × 4- 4× 9 = 11916 2 .
变式训练1. 3 1已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 2 且过点P - 3, 2 ，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为 45°的直线 l过椭圆的右焦点F交椭圆于A B两点，求 AB
2
【答案】(1) x + y2= 1；(2) 84 5 .
解析：(1)因为椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，
所以设椭圆的标准方程为：x
2 y2
2 + 2 = 1(a> b> 0)，a b
因为椭圆的离心率为 32 且过点P - 3,
1
2 ，
3 1
2 + = 1
a 4b
2 a2= 4 2
所以 c = 3 b2= 1，所以椭圆的标准方程为：
x
4 + y
2= 1；
a 2
c
2= 3
a2= b2+ c2
(2)由 (1)可知：F( 3,0)，
所以直线 l的方程为：y- 0= tan45°(x- 3) y= x- 3，代入椭圆方程中，得
x2+ 4(x- 3)2- 4= 0 5x2- 8 3x+ 8= 0，设A(x1,y1) ,B(x2,y2)，
所以 x + x = 8 31 2 5 ,x1x
8
2= 5，
2
因此 AB = 1+ 12 (x1+ x )22 - 4x1x2= 2 8 35 - 4× 8 85 = 5 .
2 y2
变式训练2. x已知双曲线C : 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 的渐近线方程为 3x± 2y= 0，且过点 2 2, 3 ．a b
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为 1的直线 l交双曲线于A,B两点，求弦长 AB ．
2 y2
【答案】(1) x4 - 3 = 1；(2) AB = 24.
解析：(1)由双曲线方程知：渐近线斜率 k=± ba，又渐近线方程为 3x± 2y= 0，∴
b
a =
3
2 ；∵双曲线过
b = 38 3 a 2 a= 2 2
2
点 2 2, 3 ，∴ 2 -
y
2 = 1；由 8 3 得： = ，∴双曲线C的方程为：
x
4 -a b - = 1 b 3 3
= 1；
a2 b2
(2)由 (1)得：双曲线的焦点坐标为 ± 7,0 ；若直线AB过双曲线的左焦点 - 7,0 ，则AB : y= x+ 7，
y= x+ 7由 x2 y2 得：x 2+ 8 7x + 40 = 0；设 A x1, ，
x + x =-8 7
y1 B x ,y 1 2- = 2 2
，则
1 = ，∴ AB = 2 x1x2 404 3
x + x 21 2 - 4x1x2 = 2 × 288 = 24；由双曲线对称性可知：当AB过双曲线右焦点时， AB = 24；综上
所述： AB = 24.
变式训练3.已知抛物线C : y2= 2px(p> 0)的准线方程为 x=-2，点F是抛物线C的焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)斜率为 2的直线过点F，且与C交于A，B两点，求线段AB的长.
【答案】(1)y2= 8x; (2)10
解析：(1) p由准线方程可得- 2 =-2，即 p= 4，所以抛物线的方程为 y
2= 8x
(2)由题得：直线AB的方程为 y= 2x- 4，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线 与抛物线的方程： y= 2x- 4AB 2= ，整理可得：x
2- 6x+ 4= 0，
y 8x
所以 x1+ x2= 6，
由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长 |AB| = x1+ x2+ p= 6+ 4=
10
考点二：已知弦长求直线
2 y2
例1. x已知椭圆 2 + 2 = 1 a> b> 0 过椭圆右焦点F2，且垂直于 x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P，已a b
3
知椭圆的左焦点为F1 - 3,0 ，△PF1F2的面积是 2 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线 l : y= kx+ 1 8 2与椭圆交与M、N两点，当 MN = 5 时，求直线 l的方程．
【答案】(1) x
2
4 + y
2= 1；(2)y= x+ 1或 y=-x+ 1或 y= 147 x+ 1或 y=-
14
7 x+ 1.
解析：(1)根据题意，椭圆的左焦点为F1 - 3,0 ，
x= c x2 y2 x= c联立 + 2a2 b2 = 1
，解得 y=±
b ，
aa2= b2+ c2
2
则过椭圆右焦点F2且垂直于 x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P，可得P 3, ba ，
因为△PF F 的面积是 3，即 1
2 2
1 2 2 2 × 2 3 ×
b 3 b 1
a = 2 ，解得 a = 2，
b
2
= 1 a 2
所以， c= 3 ，所以
a= 2 2
b= 1 ，因此，椭圆的标准方程为
x + y24 = 1. a2= b2+ c2 c= 3
(2)设M x1,y1 、N x2,y2 ，
y= kx+ 1由 x2 2+ 2= 得 4k + 1 x2+ 8kx= 0，解得 x
8k
1=- 2 ，xy 1 4k + 1 2
= 0，
4
所以， MN = 1+ k2 x - x = 1+ k2
8 k
1 2 2 =
8 2
5 ，整理可得 7k
4- 9k2+ 2= 0，
4k + 1
解得 k=±1或 k=± 147 .
因此，直线 l的方程为 y= x+ 1或 y=-x+ 1或 y= 147 x+ 1或 y=-
14
7 x+ 1.
2
例2.已知双曲线Γ : 2- yx 2 = 1 b> 0 ，直线 l与Γ交于P、Q两点．b
(1)若点 3,0 是双曲线Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
(2) 8 2若点P的坐标为 -1,0 ，直线 l的斜率等于 1，且 PQ = 3 ，求双曲线Γ的离心率．
【答案】(1)y=±2 2x；(2)e= 5或 e= 777
解析：(1) ∵点 (3,0)是双曲线Γ的一个焦点，∴ c= 3，
2
又∵ c2= a2+ b2且 a2= 1，解得 b2= y8，∴双曲线Γ方程为 x2- 8 = 1，
∴Γ的渐近线方程为：y=±2 2x；
(2)设直线 l的方程为 y= x+ 1，且Q(x1，y1)，
y= x+ 1联立 2 2 2 22 y ，可得 (b - 1)x - 2x- 1- b = 0，x - 2 = 1b
则-1+ x = 2
2 2
1 2 ，∴ x1=
b + 1
2 ，即 y1= x1+ 1=
2b ，
b - 1 b - 1 b2- 1
2 2 2 2 2
∴ |PQ| = (-1- x 21) + (0- y1)2= (1+ x 21) + y2= 2b 2b b 8 21 b2- + 2- = 2 21 b 1 b2 = ，- 1 3
解得 b2= 4或 b2= 47，即由 c
2= a2+ b2可得 c2= 5或 c2= 117 ，
故双曲线Γ的离心率 e= 5或 e= 777 .
例3.已知抛物线C：y2= 2px p> 0 上一点P 1,m 到焦点F的距离为 2．
(1)求实数 p的值；
(2)若直线 l过C的焦点，与抛物线交于A,B两点，且 AB = 8，求直线 l的方程．
【答案】(1)2；(2)x- y- 1= 0或 x+ y- 1= 0．
解析：(1) p p抛物线焦点为F 2 ,0 ，准线方程为 x=- 2，
因为点P 1,
p
m 到焦点F距离为 2，所以 1+ 2 = 2，解得 p= 2．
(2)抛物线C的焦点坐标为 1,0 ，
当斜率不存在时，可得 AB = 4不满足题意，
当斜率存在时，设直线 l的方程为 y= k(x- 1)．
y= k联立方程 x- 1 2= ，得 k
2x2- 2k2+ 4 x+ k2= 0，
y 4x
2
显然Δ> 0，设A x1,y ，B 2k + 41 x2,y2 ，则 x1+ x2= ，k2
2
所以 AB = x + x + p= 2k + 4 1 2 2 + 2= 8，解得 k=±1k
所以直线 l的方程为 x- y- 1= 0或 x+ y- 1= 0
2 y2
1. C x + = 1(a> b> 0) F( 2,0) 6变式训练 椭圆 的方程为 2 2 ，右焦点为 ，离心率为 3 ．a b
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 l与圆 x2+ y2= b2(x> 0)相切，与椭圆交于M ,N两点，且 |MN | = 3，求直线 l的方程．
【答案】(1) x
2
3 + y
2= 1；(2)y= x- 2或 y=-x+ 2
2 y2
解析：(1)由椭圆C的方程为 x 6 c
a2
+ 2 = 1，右焦点为F( 2,0)，离心率为 3 ，可得半焦距 c= 2且 e=b a
= 6
2
3 ，解得 a= 3，又由 b
2= a2- c2= 1，所以椭圆方程为 x + y23 = 1.
(2)由 (1)得，圆的方程为 x2+ y2= 1(x> 0)，设M x1,y1 ，N x2,y2
当直线 l的斜率不存在时，l : x= 1，不合题意；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l : y= kx+ t，
2 2 t由直线 l与曲线 x + y = 1(x> 0)相切可得 = 1，所以 t2= k2+ 1，
k2+ 1
y= kx+ t联立方程组 x2 + 2= ，可得 1+ 3k2 x2+ 6ktx+ 3t2- 3= 0，3 y 1
2
所以 x + x =- 6kt1 2 2 ，x1x =
3t - 3 ，
1+ 3k 2 1+ 3k2
2 2
所以 MN = 1+ k2 x + x 2 2 6kt 3t - 31 2 - 4x1x2= 1+ k - + - 4 1 3k2 1+ 3k2
= 1+ k2 24k
2
= 3， 解得 k= 1 或
k=-1
2 =- = ，1+ 3k t 2 t 2
所以直线 l : y= x- 2或 y=-x+ 2.
x2 y2
变式训练2.已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的离心率为 3，实轴长为 2.a b
(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；
(2)若直线 y= x+m被双曲线C截得的弦长为 4 2，求m的值.
【答案】(1) 2；(2)m=±1
解析：(1) ∵双曲线离心率为 3，实轴长为 2，
∴ ca = 3，2a= 2，解得 a= 1，c= 3，
∴ b2= c2- a2= 2，
2
∴ y所求双曲线C的方程为 x2- 2 = 1；
∴双曲线C的焦点坐标为 ± 3,0 ，渐近线方程为 y=± 2x，即为 2x± y= 0，
2 × 3∴ 双曲线的焦点到渐近线的距离为 d= = 2.
2+ 1
(2)设A x1,y1 ,B x2,y2 ,
y= x+m联立 y2 ，x2- 2mx-m2- 2= 0，△=m2+ 1> 0，x2- 2 = 1
∴ x1+ x2= 2m，x1x 22=-m - 2．
∴ AB = 2 x1+ x 22 - 4x1x2 = 2 4m2+ 4 m2+ 2 = 4 2，
∴m2= 1，
解得m=±1．
变式训练3.已知抛物线C : y2= 2px p> 0 ，其通径为 4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点F作直线 l，使得直线 l与抛物线交于P,Q两点，且满足弦长 PQ = 8，求直线 l斜率．
解析：(1)由题意知：抛物线通径为 2p= 4，即 p= 2，
所以，抛物线的标准方程为 y2= 4x．
(2)由 (1)知：抛物线焦点F 1,0 ，
①当 α= π2 时，显然不满足 PQ = 8，
y2= 4x
②当 α≠ π2 时，设直线 l方程为 y= k x- 1 ，联立 y= ，k x- 1
得 k2- 2k2+ 4 x+ k2= 0，
Δ= 4 2k2+ 4 2- 4k4> 0，则 x1+ x2= 2+ ，x x = 1．k2 1 2
所以 PQ = x1+ x2+ p= 4+ 4 22 = 8，k = 1，即 k=±1，k
考点三：弦长最值
2 y2
例1.已知椭圆C : x + 6
a2 b2
= 1 a> b> 0 的焦距为 2 2，离心率为 3 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为 l的直线 l与椭圆C交于不同的两点A，B，求 AB 的最大值.
2
【答案】(1) x3 + y
2= 1；(2) 6.
解析：(1)由题设，2c= 2 2且 c = 6a 3 ，故 c= 2，a= 3，则 b
2= a2- c2= 1，
2
所以椭圆C的方程为C : x3 + y
2= 1.
(2)设直线 l为 y= x+m，联立椭圆C并整理得：4x2+ 6mx+ 3m2- 3= 0，
所以 Δ = 36m2- 16 × (3m2- 3) = 48 - 12m2> 0，可得 -2 < m < 2，且 x + x = - 3mA B 2 ，xAxB=
3(m2- 1)
4 ，
2 2
所以 AB = 1+ k2 |xA- xB| = 2 × 9m4 - 3(m
2- 1) = 6 1- m4 且m∈ (-2,2)，
故当m= 0时， AB max= 6.
例2.已知双曲线C经过点P 3, 2 ，它的两条渐近线分别为 x+ 3y= 0和 x- 3y= 0.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左 右焦点分别为 F1 F2，过左焦点 F1作直线 l交双曲线的左支于A,B两点，求ΔABF2
周长的取值范围.
x2【答案】(1) - y2= 1；(2) 16 33 3 ,+∞
解析：(1)设双曲线C的方程为 x2- 3y2= λ，
代入点P 3, 2 ，得 λ= 32- 3 2 2= 3，
2
所以双曲线C的标准方程为 x 23 - y = 1.
(2)双曲线C的左焦点为F1 -2,0 ，
设A x1,y1 B x2,y2 ，
①若直线 l的斜率不存在，则 l : x=-2，得A B的坐标分别为 -2, 33 和 -2,-
3
3 ，
此时△ABC的周长为 16 33 .
②若直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 y= k x+ 2 ，
由 y= k x+ 2 2 得 1- 3k2 x2- 12k2x- 12k2x 2 - 3= 0，3 - y = 1
因为直线 l交双曲线的左支于A B两点，
2 1- 3k ≠ 0
Δ= -12k2 2- 4 1- 3k2 -12k2- 3 > 0

所以 x + x = 12k
2
1 2 < 0 ，
1- 3k
2

x x = -12k
2- 3
1 2 - 2 > 01 3k
得 k2> 13
设△ABF2的周长为 z，
z= AF2 + BF2 + AB = 2 3+ AF1 + 2 3+ BF1 + AB = 4 3+ 2 AB
= 4 3+ 2 x1- x2 2+ y1- y2 2= 4 3+ 2 x1- x 22 + kx - kx 21 2
2 2 2
= 4 3+ 2 1+ k2 x 2 2 12k -12k - 31+ x2 - 4x1x2= 4 3+ 2 1+ k - 41- 3k2 1- 3k2
12 k2+ 1 2= 4 3+ 2 1+ k2 - 2 2 = 4 3+ 4 3
k + 1 ，
1 3k 1- 3k2
设 t= 3k2- 1，由 k2> 13，得 t> 0，
t+ 1 + 1
z= 4 3+ 4 3 × 3 = 16 3 + 16 3t 3t 3 ，t> 0，
所以 z∈ 16 33 ,+∞ ，
综上，由①②可得△ABF 的周长的取值范围 16 32 3 ,+∞ .
例3.已知动圆M过定点N 4,0 ，且截 y轴所得弦长为 8，设圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若A,B为曲线C上的两个动点，且线段AB的中点P到 y轴距离 d= 4，求 AB 的最大值，并求此时直
线AB方程．
【答案】(1)y2= 8x；(2)12，2x± 2y- 4= 0
解析：(1)设动圆圆心M x,y ，则 x- 4 2+ y2= x2+ 42，
化简整理；得 y2= 8x，故曲线C的轨迹方程为 y2= 8x；
(2)设直线AB方程为 x=my+n，A x1,y1 ,B x2,y2
由 x=my+n 2= 消去 x得 y
2- 8my- 8n= 0，
y 8x
所以Δ= 64m2+ 32n> 0,2m2+n> 0，
y1+ y2= 8m，y1y2=-8n
x
x = 1+ x2 = y1+ ym 2P 2 2 +n= 4m
2+n= 4,n= 4- 4m2，
Δ= 2m2+n= 4- 2m2> 0，m2< 2．
AB = 1+m2 y1- y2 = 1+m2 (y1+ y )22 - 4y1y2= 1+m2 64m2+ 32n
= 1+m2 128- 64m2 = 8 1+m2 2-m2 ≤ 12，
当且仅当 1+m2= 2-m2，即m2= 12 (满足m
2< 2)时，|AB|取得最大值 12，
此时m=± 22 ，n= 2，直线AB方程为：2x± 2y- 4= 0.
变式训练1.在直角坐标系 xOy中，已知点F1 - 3,0 ，F2 3,0 ，M是平面内一动点，且 MF1 + MF2 = 4，记
M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)设直线 l与圆 x2+ y2= r2 1< r< 2 相切于点A，与C相切于点B，求 AB 的取值范围．
2
【答案】(1) x4 + y
2= 1；(2) 0,1
解析：(1)因为 MF1 + MF2 = 4> F1F2 = 2 3，
所以点M的轨迹为焦点为F1，F2，长轴长为 4的椭圆．
2
故曲线C的方程为 x4 + y
2= 1．
(2)因为 1< r< 2，所以直线 l的斜率一定存在，可设 l的方程为 y= kx+m．
|m|
因为 l与圆相切，所以圆心到 l的距离 d= = r，即m2= r2 1+ k2 ．
1+ k2
联立方程组 y= kx+m 2 2+ 2- = ，整理得 1+ 4k x
2+ 8kmx+ 4m2- 4= 0．
x 4y 4 0
因为 l与C相切于点B，所以 8km 2- 4 1+ 4k2 4m2- 4 = 0，整理得m2= 1+ 4k2，
则B的坐标为 - 4km 2 , m1+ 4k 1+ 4k2 ．
2 2 2 2 2
由题可知OA⊥AB，所以 |AB|2= |OB|2- |OA|2= 16k m +m - r2= 16k + 1 - 1+ 4k2 2 2 2 =
-3 +
1+ 4k 1+ 4k 1+ k 1+ 4k2
3
1+ k2
= 9k
2 9
4k4
= ．
+ 5k2+ 1 4k2+ 5+ 1
k2
因为 4k2+ 1 2 12 ≥ 4，当且仅当 k = 2 时，等号成立，k
所以 0< 9 1 ≤ 1，故 |AB|的取值范围为 0,1 ．4k2+ 5+
k2
y2
变式训练2.直线 y= kx+m(k,m∈R)与双曲线 x2- 3 = 1相交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．
(1)求 k与m满足的关系；
(2)求证：点O到直线AB的距离是定值，并求 AB 的最小值．
【答案】(1)2m2- 3k2= 3(k≠± 3)；(2)证明见解析， AB min= 6
y= kx+m解析：(1)设点A x1,y1 ,B x2,y2 ,联立 y2 消 y得 3- k2 x2- 2kmx-m2- 3= 0,x2- 3 = 1
2 3- k ≠ 0
2km
∴ x1+ x2= 3- k2 ,
-m2- 3
x1x2= 3- k2

由OA⊥OB得OA·OB= x1x2+ y1y2= 1+ k2 x1x2+ km x1+ x2 +m2= 0
代入化简可得 k和m满足的关系为 : 2m2- 3k2= 3(k≠± 3);
0- 0+m m 2(2)由点到直线的距离公式可得 : d= = ,由 (1)得 k2= 2m - 3
k2+ 1 k2+ 1 3
代入可解得 d= 62 为定值;
由直线与双曲线交点弦弦长公式可得 :
1+ k2 54+ 6k
2
AB = 1+ k2 x1+ x2 2- 4x x = ,令 3- k21 2 2- 2 = t(t≤ 3) k 3
化简可得 AB = 288 - 96 + 6= 288 1 - 1
2
2 t t 6 - 2,t
由 t≤ 3可得当 1t =
1
3 ,t= 3时 AB min= 6.
变式训练3.已知动圆C过定点F 0,1 ，且与直线 l1 : y=-1相切，圆心C的轨迹为E．
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线 l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为 2，则 PQ 的最大值为多少？
【答案】(1)x2= 4y；(2)6
解析：(1)由题设点C到点F的距离等于它到 l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为 x2= 4y；
(2)由题意易知直线 l2的斜率存在，
设PQ中点为 t,2 ，直线 l2的方程为 y- 2= k x- t ，
x2= 4y
联 立 直 线 与 抛 物 线 2 - = - ，得 x - 4 kx + 4 kt - 8 = 0，Δ = -4k
2 - 4 4kt- 8y 2 k x t =
16 k2- kt+ 2 > 0，
且 x1+ x2= 4k，x1x2= 4kt- 8，
又PQ中点为 t,2 ，即 x t1+ x2= 4k= 2t，k= 2，
故Δ= 4 t2- 2t+ 8 > 0恒成立，
x1+ x2= 2t，x x = 2t21 2 - 8，
2
所以 PQ = 1+ k2 x1+ x2 2- 4x x t 2 2 2 21 2= 1+ 4 4t - 8t + 32 = - t - 2 + 36，
当 t2= 2时， PQ 取最大值为 6.
考点四：双弦长、交线段长
x2: + y
2
例1.已知椭圆：E 2 2 = 1(a> b> 0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为 2 3．a b
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(-2,1)作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点B,C，直线AB,AC分别与 x轴交于点M
,N，当 |MN | = 2时，求 k的值．
2
【答案】(1) x4 + y
2= 1；(2)k=-4
解析：(1)依题意可得 b= 1，2c= 2 3，又 c2= a2- b2，
2
所以 a= 2，所以椭圆方程为 x4 + y
2= 1；
(2)依题意过点P -2,1 的直线为 y- 1= k x+ 2 ，设B x1,y1 、C x2,y2 ，不妨令-2≤ x1< x2≤ 2，
y- 1= k x+ 2 由 x2 2 2 22 ，消去 y整理得 1+ 4k x + 16k + 8k x+ 16k2+ 16k= 0，4 + y = 1
所以Δ= 16k2+ 8k 2- 4 1+ 4k2 16k2+ 16k > 0，解得 k< 0，
2 2
所以 x + x =- 16k + 8k，x x = 16k + 16k1 2 1+ 4k2 1 2
，
1+ 4k2
y - 1
直线AB的方程为 y- 1= 1x x，令
x
y= 0，解得 x = 1M
1 1- y
，
1
y - 1
直线AC的方程为 xy- 1= 2x x，令 y= 0，解得 xN=
2
1- y ，2 2
所以 x x MN = x - x = 2 1N M 1- y -2 1- y1
= x2 - x11- k x2+ 2 + 1 1- k x1+ 2 + 1
= x2 + x1-k x2+ 2 k x1+ 2
x2+ 2 x1- x= 2 x1+ 2 k x2+ 2 x1+ 2
2 x
= 1
- x2 = 2，
k x2+ 2 x1+ 2
所以 x1- x2 = k x2+ 2 x1+ 2 ，
即 x 21+ x2 - 4x1x2= k x2x1+ 2 x2+ x1 + 4
2
即 - 16k + 8k
2
- 4× 16k
2+ 16k 2 2
+ 2 + 2 = k


16k + 16k
2 + 2 - 16k + 8k + 4 1 4k 1 4k 1+ 4k 1+ 4k2
k
即 8 2k2+ k 2- 1+ 4k2 k2+ k = 16k2+ 16k- 2 16k2+ 8k + 4 1+ 4k2+ 1 4k2 1+ 4k2
整理得 8 -k= 4 k ，解得 k=-4
x2 y2
例2.如图，已知抛物线 y2= 4x的焦点为椭圆C： 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦点F，点P为抛物线与椭圆Ca b
5
在第一象限的交点，且 |PF| = 3 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线 l交抛物线于A，C两点，交椭圆于B，D两点 (A，B，C，D依
次排序 )，且 |AB|-|CD| = 103 ，求直线 l的方程.
【答案】(1) x
2
+ y
2
4 3 = 1；(2)y=
6
2 (x- 1)
解析：(1)由抛物线 y2= 4x可知：F(1,0)，
故由 |PF| = 53 得：|PF| = xP+ 1=
5
3 ,x =
2
P 3 ,故 y
2
P = 83 ，则P
2，2 63 3 ，
2
x2 y2 a - b
2= 1 2
则对于 + = 1有： 4 24 ，解得
a = 4
a2 b2 2
，
9a2
+ = 1
9b2 b = 3
x2 + y
2
故椭圆方程为：4 3 = 1；
(2)过点F的直线 l 的斜率不存在时，则有 |AB| = |CD|不符合题意，
故设直线 l 的斜率为 k，则直线方程为 y= k(x- 1) ，
联立抛物线方程： y= k(x- 1) 2= ，整理得：k
2x2- (2k2+ 4)x+ k2= 0 ，
y 4x
设A(x1,y1) ,C(x2,y2) ，则 x1+ x2= 2+ 4 ，k2
故 |AC| = x1+ x2+ 2= 4+ 4k2
，
y= k(x- 1)联立 2 y2 ，整理得：(3+ 4k2x )x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0 ，4 + 3 = 1
2 2
设B(x3,y3) ,D(x4,y4) ,则 x3+ x 8k4= ,x x = 4k - 12，3+ 4k2 3 4 3+ 4k2
则 |BD| = 1+ k2 (x + x )23 4 - 4x3x4
2 2
= + 2 8k - 4(4k
2- 12) = 12(1+ k
2)
1 k 3+ 4k2 ，3+ 4k2 3+ 4k2
又 |AB|-|CD| = |AC|-|BD|,故 |AC|-|BD| = 103 ，
+ 4 - 12(1+ k
2)
即 4 = 10，整理得 14k42 - 9k
2- 18= 0 ，
k 3+ 4k2 3
解得 k2= 32 ，
由题中所给图可知，k> 0 ，故 k= 62 ，
故直线 l的方程为 y= 62 (x- 1).

例3.已知圆O : x2+ y2= 4，点M 3是圆O上任意一点，M在 x轴上的射影为N，点P满足NP= 2 NM，记点
P的轨迹为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)已知 F 1,0 ，过 F的直线m与曲线 E交于A,B两点，过 F且与m垂直的直线 n与圆O交于C,D两
点，求 AB + CD 的取值范围．
2 2
【答案】(1) x4 +
y
3 = 1；(2) 7,4+ 2 3

解析：( 2y1)设点P 3 x,y ，由NP= 2 NM，得M x, ，3
2 2 2 2 2
由点M在圆O : x2+ y2= 2y y y4上，所以 x2+ = 4，整理得 x + x3 4 3 = 1，所以曲线 E的方程是 4 + 3
= 1
(2)当直线m的斜率为 0时， AB = 4， CD = 2 3， AB + CD = 4+ 2 3，
当直线m的斜率不存在时， AB = 3， CD = 4， AB + CD = 7，
当直线m的斜率存在且不为 0时，设m：y= k x- 1 ，则n：y=- 1 x- 1k
2
点O到直线n的距离 d= 1 ，所以 CD = 2 4- d2= 2 4k + 32+ ，k2+ 1 k 1
2 y2
将 y= k x x- 1 代入曲线E的方程 4 + 3 = 1，整理得
4k2+ 3 x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0，设A x1,y1 ，B x2,y2
2
则 x + x = 8k ，x x = 4k
2- 12 12 k2+ 1
1 2 2 1 2 2 ，则 AB = k
2+ 1 x - x = ，
4k + 3 4k + 3 1 2 4k2+ 3
12 k2+ 1 2所以 AB + CD = + 2 4k + 3，
4k2+ 3 k2+ 1
2
令 t= 4k + 3 12+ = 4- 2+ ∈ 3,2 ，则 AB + CD =
12
2 + 2t，t∈ 3,2 k 1 k 1 t
令 f t 12 24 = 2 + 2t，t∈ 3,2 ，则 f
t = 2- 3 < 0，所以 f t 在 3,2 上单调递减，t t
所以 f t ∈ 7,4+ 2 3 ，即 AB + CD ∈ 7,4+ 2 3 ．
综上所述， AB + CD 的取值范围是 7,4+ 2 3 ．
变式训练1.在平面直角坐标系 xOy中，点D，E的坐标分别为 - 3,0 ， 3,0 ，P是动点，且直线DP与EP
1
的斜率之积等于- 3 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设F是曲线C的左焦点，过点F的直线 l与曲线C相交于A，B两点，过A，B分别作直线 l的垂线与 x
轴相交于M，N两点 .若 MN = 6，求此时直线 l的斜率.
【答案】(1) x
2
+ y23 = 1 x≠± 3 ；(2)k=±1.
解析：(1)设P x, =
y yy ，则 kEPkDP =- 1 x≠± 3 ，x- 3 x+ 3 3
2
所以可得动点P的轨迹C的方程为 x3 + y
2= 1 x≠± 3
(2)可得F - 2,0 ，设直线 l的方程为 y= k x+ 2 ，A x1,y1 ,B x2,y2
y= k x+ 2
联立 x2 2 可得 3k2+ 1 x2+ 6 2k2x+ 6k2- 3= 03 + y = 1
2 2
所以 x + x = -6 2k1 2 2 ,x1x =
6k - 3
3k + 1 2 3k2+ 1
因为过A，B分别作直线 l的垂线与 x轴相交于M，N两点
所以 kAM= kBN=- 1k
所以直线AM的方程为 y- y 11=- x- x1 ，令 y= 0可得 xM= x1+ ky1，同理可得 xN= xk 2+ ky2
所以 MN = x + ky - x - ky = k21 1 2 2 + 1 x1- x2 = 6
-6 2k2 2 6k22 - 3 2所以
k2+ 1
k + 1 - 4 23k2+ 1 3k2+ = 3k + 3= 61 3k2+ 1
解得 k2= 1，所以 k=±1
x2 y2
变式训练2.已知椭圆C : +
a2 b2
= 1(a> b> 0)，左焦点为F1 -2,0 ，点 2, 2 在椭圆上．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线 l : y= k x+ 2 k≠ 0 和椭圆交于A,B两点，设点T为线段AB的中点，O为坐标原点，求线段
OT长度的取值范围．
2 y2
【答案】(1) x8 + 4 = 1；(2) 0,2
解析：(1) ∵左焦点为F1 -2,0 ，∴ c= 2 ①又点 2, 2 在椭圆上，∴ 4 2 2 2 2a2
+ 2 = 1 ②椭圆中 a = b + c ③b
2 y2
由①②③可得：a2= 8,b2= 4 故椭圆的标准方程为：x8 + 4 = 1
2 2 2 2
(2)设A,B, y yT的坐标分别为 x x x + xA x1,y ,B x ,y ,T x,y ，则有 1 + 1 = 1①， 2 + 21 2 2 8 4 8 4 = 1②，
1 2
2 = x
2 2 2 2 x + x x - x y + y y - y
, y1+ y2 = x - x y - y 2 y，由①-②可得：
1 2 + 1 2 = 0，即 1 2 1 2 + 1 2 1 28 4 8 4 = 0，将条件
x1+ x2 = , y1+ y2 = y1- y2 = y2 x 2 y及 x - x x+ 2，带入上式可得点 T的轨迹方程为 x
2+ 2x + 2y2= 0，所以
1 2
|OT |2= x2+ y2= x2- 12 x
2+ 2x = 1 22 x - x,x∈ -2,0 ，所以 0< OT
2< 4 所以线段 OT 长度的取值
范围为 0,2
变式训练3.在平面直角坐标系 xOy中，动点P x,y ，满足 x+ 3 2+ y2 + x- 3 2+ y2 = 4，记点P的
轨迹为E．
(1)请说明E是什么曲线，并写出它的方程；
(2) 1设不过原点O且斜率为 2 的直线 l与E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为T，直线OT与E交
于两点C，D，请判断 TA TB 与 TC TD 的关系，并证明你的结论．
2
【答案】(1)椭圆，x + y24 = 1；(2) TA TB = TC TD
解析：(1)设F1 - 3,0 ，F2 3,0 ，则因为 x+ 3 2+ y2 + x- 3 2+ y2 = 4，满足 PF1 + PF2 = 4
2
> F1F2 ，即动点P表示以点F1，F2为左、右焦点，长轴长为 4，焦距为 2 3的椭圆，其轨迹的方程为 x4 + y
2
= 1；
(2)可以判断出 TA TB = TC TD ，
下面进行证明：
设直线 l的方程为 y= 12 x+m m≠ 0 ，A x1,y1 ，B x2,y2 ，
2 x4 + y
2= 1
由方程组 1 ，得 x
2+ 2mx+ 2m2- 2= 0①，
y= 2 x+m
方程①的判别式为Δ= 4 2-m2 ，由Δ> 0，即 2-m2> 0，解得- 2由①得 x1+ x2=-2m，x1x 22= 2m - 2，
所以T点坐标为 -m,m 12 ，直线OT方程为 y=- 2 x，
x
2
+ y24 = 1由方程组 ，得C - 2, 2 ，D 2,- 2 ，
y=-
1 x 2 22
所以 5 5 5 TC TD = 2 -m+ 2
2
2 2+m = 4 2-m ．
又 TA TB = 1 4 AB
2= 1 54 x1- x2
2+ y - y 2 21 2 = 16 x1+ x2 - 4x1x2
= 516 4m
2- 4 2m2- 2 = 5 2-m24 ．
所以 TA TB = TC TD .
考点五：弦长比值 (定值 )
2 y2
例1. x如图 ,椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左焦点为 F，过点 F的直线交椭圆于A,B两点，|AF |的最大值为a b
M ,|BF| 3的最小值是m，满足 :Mm= 24 a .
(1)求该椭圆的离心率；
(2) |AB|设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与 x轴交于D点，求 |FD| 的
值.
【答案】(1) 12；(2)4
解析：(1) 设F(-c,0) (c> 0)，则根据椭圆性质得
M= a+ c，m= a- c而Mm= 3 24 a ，
所以有 a2- c2= 3 a24 ，即 a
2= 4c2，即 a= 2c，
所以离心率 e= ca =
1
2
2 2
(2)由 (1)可得 a= 2c，又 c2= a2- 2 yb ，所以令 c= c，则 a= 2c，b= 3c，所以椭圆方程为 x 2 + 2 = 1，4c 3c
根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为 y= k(x+ c)，
并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y= k(x+ c)则由直线与椭圆方程 x2 y2 ，消去 y并整理得，(4k2+ 3)x2+ 8ck2x+ 4k2c2- 12c2= 04c2 + 3c2 = 1
从而有 x + x =- 8ck
2 2 2 2
1 2 2 ，x1x =
4k c - 12c ，
4k + 3 2 4k2+ 3
所以 AB = 1+ k2 x1- x2 = 1+ k2 x1+ x 22 - 4x1x2
2 2 2 2 2
= 1+ k2 - 8ck - 4 4k c - 12c4k2+ 3 4k2+ 3
12c 1+ k2=
4k2+ 3
y1+ y2= k(x1+ x2+ 2c) = 6ck ， 4k2+ 3
2
所以G - 4ck 3ck2 ， 2 ．4k + 3 4k + 3
3ck
2
因为 DG⊥ AB，所以 4k + 3
2
k = -1，所以 x = - ck ．所以 DF = - ck
2
2 D 2 2 + c =
- 4ck 4k + 3 4k + 3

4k2+ - x3 D
3ck2+ 3c
4k2+ 3
12c 1+ k2
|AB| 2
所以 = 4k + 3| = 4FD| 3ck2+ 3c
4k2+ 3
2 y2
例2. x已知椭圆E : 2 + 2 = 1(a> b> 0)
1
的一个顶点为 0, 3 ，离心率为 .
a b 2
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线 l1交椭圆于A B两点，过原点的直线 l2交椭圆于C D两点 .若 l1∥ l2，求证：
|CD|2
为定值.
AB
2 2
【答案】(1) x4 +
y
3 = 1；(2)证明见解析
2 2
解析：( y1)因为椭圆E : x2 + 2 = 1(a> b> 0)的一个顶点为 0, 3 ，离心率为
1
a b 2
2
可得 b= 3，且 e= c = 1+ b = 1a 2 2，解得 a
2= 43 b
2= 4，
a
x2 + y
2
所以椭圆E的方程为 4 3 = 1.
CD 2(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，可得 AB = 3, CD = 2 3，则 = 4；
AB
当直线AB的斜率存在时，依题意知 k≠ 0，
则直线AB的方程为 y= k(x- 1)，直线CD的方程为 y= kx，
设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4)，
y= k x- 1
联立方程组 x2 y2 ，整理得 (3+ 4k2)x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0，4 + 3 = 1
2
则 x + x = 8k ,x x = 4k
2- 12
1 2 2 1 2 ，3+ 4k 3+ 4k2
2 2 2
所 以 AB = 1+ k2 x1- x2 = 1+ k2 (x + x )21 2 - 4x x = 1+ k2 8k - 4× 4k - 121 2 3+ 4k2 3+ 4k2 =
12(1+ k2)
3+ 4k2
y= kx
又由 x2 y2 ，可得 x2=
12
2 ，则 x3- x =
4 3
，
4 + 3 = 1 3+ 4k
4
3+ 4k2
2
所以 CD = 1+ k2 x3- x4 = 4
3(1+ k )
3+ 4k2 ，
CD 2 2 2
所以 = 48(1+ k ) 3+ 4k = 4，
AB 3+ 4k2 12(1+ k2)
CD 2
综上可得： = 4.
AB
2 y2
例3. x已知椭圆C： 2 + 2 = 1 a> b> 0
1 3
的离心率为 2 ，且经过点 1,a b 2 .
(1)求C的方程；
DE
(2) 设C的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求 的
AB
取值范围.
2 y2
【答案】(1) x + = 1；(2) 3 , 4 4 3 4 3
2
解析：(1)由题意知C的离心率为 a - b
2
= 1a 2，整理得 a
2= 4 23 b ，
2
3
又因为C经过点 1, 3 ，所以 3 22 2 + 2 = 1，解得 b= 3，4b b
所以 a= 2，
2 2
因此，C的方程为 x4 +
y
3 = 1.
(2)由已知可得F 1,0 ，
当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得 AB = 4， DE = 3或 AB = 3， DE = 4，
DE
此时有 = 3 或 44 3 . AB
当AB和DE的斜率都存在时且不为 0时，设直线AB：y= k x- 1 ，直线DE：y=- 1 x- 1 ，k
A x1,y1 ，B x2,y2 ，D x3,y3 ，E x4,y4
x2 2
由 4 + y3 = 1, 得 3+ 4k2 x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0，y= k x- 1 ,
所以 x + x = 8k
2 2
1 2 2 ，x
4k - 12
3+ 4k 1
x2= 2 ，3+ 4k
2 2 2 12 1+ k
2
所以 AB = 1+ k x1- x2 = 1+ k x1+ x2 - 4x1x2= ，3+ 4k2
1 12 1+ k2用- 替换 k可得 DE = .k 4+ 3k2
DE
所以 = 3+ 4k
2
= 4 - 7 ∈ 3 , 4 ，
AB 4+ 3k2 3 3 4+ 3k2 4 3
DE
综上所述， 的取值范围为 3 , 4
AB 4 3
.
x2 y2
变式训练1.已知椭圆C： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的长轴长为 4，过C的一个焦点且与 x轴垂直的直线被C截a b
得的线段长为 3．
(1)求C的方程；
AB( 2) 7若直线 l：x+ y=m与C交于A，B两点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，且 = ，求m
PQ 13
的值．
2 2
【答案】(1) x + y4 3 = 1；(2)m=± 5.
2
解析：(1)由题意知，2a= 4，则 a= 2，令 x= c= a2- b2，可得 y=± ba ，
由题设有 2b
2
a = 3，则 b
2= 3，
x2 + y
2
所以C的方程为 4 3 = 1．
(2)联立方程 x+ y=m 得：7x2 2+ 2- = - 8mx+ 4m
2- 12= 0，
3x 4y 12 0
由Δ= 8m 2- 28 4m2- 12 > 0，得m2< 7．
设A x ,y ，B x ,y ，则 x + x = 8m，x x = 4m
2- 12
1 1 2 2 1 2 7 1 2 7 ，
所以 4 6 AB = 2 x2- x1 = 2 x 2 21+ x2 - 4x1x2= 7 7-m ，
另一方面 x1+ x2 = 4m y1+ y， 2
- x + x
2 7 2 =
1 2 3m 4m 3m
2 +m= 7 ，即线段AB的中点为 7 , 7 ，
所以线段AB的中垂线方程为 y= x- m7 ．
令n= m7 ，联立方程
y= x-n
2+ 2- = 得：7x
2- 8nx+ 4n2- 12= 0．
3x 4y 12 0
同理 AB 求法，可得： 4 6 PQ = 7-n2，即 PQ = 4 6 7- m
2
7 7 49 ．
AB 2
因此 = 7-m = 7 2
PQ m2 13
，解得m = 5< 7，故m=± 5．
7- 49
变式训练2.已知抛物线 y2=-4x的焦点为F，过点F且斜率为 1的直线 l与抛物线交于A，B两点.
(1)证明以AB为直径的圆与直线 x= 1相切；
(2) 1 + 1求 |AF| |BF| 的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)1.
解析：(1)抛物线 y2=-4x的焦点F(-1,0)，准线方程：x= 1，则直线 l的方程为：y= x+ 1，
由 y= x+ 1 2=- 消去 y并整理得：x
2+ 6x+ 1= 0，设A(x1,y1) ,B(x2,y2)，则有 xy 4x 1+ x2=-6，x1x2= 1，
弦AB中点M (-3,-2)，|AB| = |AF|+|BF| = (1- x1) + (1- x2) = 8，
以AB为直径的圆的圆心为点M，半径为 4，而点M到直线 x= 1的距离为 4，
所以以AB为直径的圆与直线 x= 1相切.
( ) ( 2- (x + x )2 由 1)知，x1+ x2=-6，x1x2= 1， 1| | +
1 = 1 1 1 2
AF |BF| 1- x + 1- x = - ( = 1，1 2 1 x1+ x2) + x1x2
所以 1| | +
1
AF |BF| 的值是 1.
变式训练3.已知抛物线C : y2= 2px p> 0 的焦点为F，过点F且垂直于 x轴的直线交C于M，N两点，O为

坐标原点，OM ON =-12.
(1)求C的方程；
(2)过点 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与C交于A，B两点，直线 l2与C交于D，E两点，求证：
1 + 1 为定值.
AB DE
【答案】(1)y2= 8x；(2)证明见解析
p p
解析：(1)抛物线C的焦点坐标为F 2 ,0 ，将 x= 2 代入 y2= 2px，得 y=±p，
p p
所以点M和点N的坐标为 2 ,p ， 2 ,-p .
2
所以OM ON = p4 - p
2=- 3 p24 =-12，
所以 p2= 16，所以 p= 4(p=-4舍去 ).
所以C的方程为 y2= 8x.
(2)证明：由 (1)知，F 2,0 ，由于直线 l1，l2均与C交于两点，
所以直线 l1，l2斜率存在且不为 0.
设直线 l1的方程为 y= k x- 2 ，A x1,y1 ，B x2,y2 ，
y
2= 8x,
联立 得 k2x2- 4k2 = - , + 8 x+ 4k
2= 0，
y k x 2
Δ= 4k2+ 8 2- 16k4= 64k2+ 64> 0恒成立.
2
所以 x1+ x 4k + 82= ，k2
p p 2
所以 AB = AF + BF = x1+ 2 + x2+ 2 = x1+ x + p=
8k + 8
2 2 .k
8 - 1
2
+ 8
因为 l 1 k 21⊥ l2，所以将 k换成- ，得 DE = 2 = 8+ 8k ，k - 1k
所以 1 + 1 = k
2
+ 1 = k
2+ 1 = 1 ，
AB DE 8k2+ 8 8+ 8k2 8 k2+ 1 8
所以 1 + 1 为定值 1 .
AB DE 8
【当堂小结】
1. 知识清单：
(1)椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；
(2)弦长最值的基本不等式求解；
(3)交点坐标的求解和非弦长的计算；
2. 易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；
3. 考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；
4. 核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
x2: + y
2
1. 已知椭圆E 2 2 = 1 a> b> 0
2
的离心率为 2 ，上顶点为A 0,1 ．a b
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P 0, 3 且斜率为 k的直线与椭圆E 8 2交于不同的两点M，N，且 MN = 7 ，求 k的值．
2
【答案】(1) x + y22 = 1；(2)k=± 3
解析：(1)由离心率 e= ca =
2
2 ，则 a= 2c，
又上顶点A 0,1 ，知 b= 1，又 b2= a2- c2= 1，可知 c= 1，a= 2，
x2∴椭圆E的方程为 2 + y
2= 1；
(2)设直线 l：y= kx+ 3，设M x1,y1 ，N x2,y2 ，
y= kx+ 3则 2 2x2 + 2= ，整理得： 1+ 2k x + 4 3kx+ 4= 0，2 y 1
Δ= 4 3k 2- 4× 4× 1+ 2k2 > 0，即 k2> 1，
∴ x + x = -4 3k 41 2 ，x x = ，1+ 2k2 1 2 1+ 2k2
2 2 2 4 1+ k
2
∴ = + - = + + - =
k2- 1
MN 1 k x1 x2 1 k x
8 2
1 x2 4x1x2 = ，1+ 2k2 7
即 17k4- 32k2- 57= 0，解得：k2= 3或- 1917 (舍去 )
∴ k=± 3
2. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，点A 1,2 在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点F的直线 l交抛物线于P，Q两点，若 PQ = 8求直线 l的方程．
【答案】(1)y2= 4x；(2)y= x- 1或 y=-x+ 1
解析：(1)因为抛物线C的顶点在原点，焦点在 x轴上，所以设抛物线方程为 y2= 2px p> 0
又因为点A 1,2 在抛物线C上，所以 4= 2p，解得 p= 2，
所以抛物线的方程为 y2= 4x；
(2)抛物线C的焦点为F 1,0 ，
当直线 l的斜率不存在时， PQ = 4≠ 8，不符合题意；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y= k x- 1 ，
设直线 l交抛物线的两点坐标为P x1,y1 ，Q x2,y2 ，
y2 = 4x, 2由 得 k2x2 = - , - 2k
2+ 4 x+ k2= 0，Δ= 16 k2+ 1 > 0，x1+ x = 2k + 42 2 ，x1x2= 1，y k x 1 k
p p
由抛物线得定义可知 PQ = PF + QF = x1+ 2 + x2+ 2 = x1+ x2+ p= x1+ x2+ 2= 8，
2
所以 x + x = 2k + 41 2 2 = 6，解得 k
2= 1，即 k=±1，
k
所以直线 l的方程为 y= x- 1或 y=-x+ 1．
2 2
3. 已知椭圆 E : x + y2 2 = 1(a> b> 0) ,O(0,0) ,A(a,0) ,B(0,b)，点M在线段AB上，且BM = 2MA，直线a b
OM 1的斜率为 4．
(1)求椭圆E的离心率；

(2)若直线 l与椭圆E交于C，D两点，弦CD的中点为 (-2,1)，且 CD = 10，求椭圆E的方程．
【答案】(1) 3 x
2 y2
2 ；(2) 12 + 3 = 1

解析：(1)设M x,y ，因为A(a,0) ,B(0,b)，且BM = 2MA ，
2a
x= 2 a- x所以
x=
- = - ，解得 3y b 2 y ，y= b3
因为直线OM的斜率为 14，
所以 kOM=
y = b 1x 2a = 4，即 a= 2b，
2
所以椭圆E的离心率是 e= c ba = 1- a =
3
2 ；
(2)由 (1)知：椭圆方程为 x
2 y2
2 + 2 = 1，易知直线 l的斜率存在，4b b
设直线 l的方程为 y= k x+ 2 + 1，
y= k x+ 2 + 1与椭圆方程联立 x2 y2 ，消去 y得 1+ 4k2 x2+ 8k+ = 1+ 2k x+ 4 1+ 2k 2- 4b2= 0，2 2 14b b
设C x1,y1 ,D x2,y2 ，
8k 1+ 2k 4 1+ 2k则 + =- ,
2- 4b2
x1 x2 2 x x1+ 4k 1 2
= ，
1+ 4k2
因为弦CD的中点为 (-2,1)，
8k 1+ 2k所以 + =- ，即- x1 x2 4 =-4，解得 k= 1 ，1+ 4k2 2
则 x1 x 22= 8- 2b ，
所以 CD = 1+ k2 x1+ x2 2- 4x 21 x2= 10 b - 2 = 10，
解得 b2= 3,a2= 12，
2 2
所以椭圆E的方程为 x12 +
y
3 = 1.
2 y2
4. 已知椭圆C : x2 + 2 = 1 a> b> 0
1
的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为-
a b 4
．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线 y= 12 x+ 1
35
与椭圆C相交于A，B两点， AB = 2 ，求椭圆C的标准方程．
2
【答案】(1) 32 ；(2)
x
4 + y
2= 1
解析：(1)由题意可知，椭圆上顶点的坐标为 0,b ，左右顶点的坐标分别为 -a,0 、 a,0 ，
∴ ba -
b
a =-
1
4，即 a
2= 4b2，则 a= 2b．
又 a2= b2+ c2，∴ c= 3b，所以椭圆的离心率 e= ca =
3
2 ；
x
2
+ y
2
= 1
(2)设A x ,y ，B x ,y ，由 4b
2 b2 得：2x21 1 2 2 + 2x+ 1- 4b2= 0，1
y= 2 x+ 1
2
∴Δ= 32- 8b2> 0，x1+ x2=-1，x x = 1- 4b1 2 2 ，
2
∴ AB = 1+ 1 5 52 x
2 2
1- x2 = 2 x1+ x2 - 4x1x2= 2 8b - 1=
35
2 ，
解得 8b2- 1= 7，∴ b2= 1，满足Δ> 0，
2
∴ a2= 4，∴椭圆C的方程为 x + y24 = 1．
5. 已知双曲线两个焦点分别是F1 - 2,0 ,F2 2,0 ，点P 2,1 在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为 60°的直线与双曲线交于A,B两点，求ΔF1AB的周长.
【答案】(1)x2- y2= 1；(2)12
2
解析：(1) ∵F2 2,0 ，P b 2,1 ∴PF2⊥ x轴 ∴ PF2 = a = 1且 c= 2
又 c2= a2+ b2，即 a2+ a- 2= 0，解得：a= 1 ∴ b2= 1
∴双曲线的标准方程为：x2- y2= 1
(2)由 (1)知，双曲线渐近线为 y= x，倾斜角为 45
∵直线AB过F2且倾斜角为 60 ∴A,B均在双曲线的右支上
∴ BF1 - BF2 = 2， AF1 - AF2 = 2 ∴ AF1 + BF1 = 4+ AF2 + BF2 = 4+ AB
设直线AB方程为：y= 3 x- 2
代入双曲线方程得：2x2- 6 2x+ 7= 0 ∴ AB = 1+ 3 3 2 2- 4× 72 = 4
∴ΔF1AB的周长为： AF1 + BF1 + AB = 4+ 2 AB = 12
6. 过圆O：x2+ y2= 4上的点M 3,1 作圆O的切线 l，若直线 l过抛物线E：x2= 2py p> 0 的焦点F．
(1)求直线 l与抛物线E的方程；
(2)是否存在直线 y= kx+ 2与抛物线 E交于A、B与圆O交于C、D，使 AB = 4 3 CD ，若存在，请求
出实数 k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) 3x+ y= 4；x2= 16y；(2)存在；k=±1或 k=± 57- 72 ．
解析：(1)圆心为 0,0 ，所以 kl=- 11- 0 =- 3所以 l：y- 1=- 3 x- 3 ，即 3x+ y= 4,与 y轴
3- 0
, , p , p的交点为 0 4 抛物线的交点为 2 0 ， 22 = 4 p= 8∴抛物线E：x = 16y．
(2)显然直线的斜率存在，所以设 y= kx+ 2，则圆心 2 0,0 到直线 y= kx+ 2的距离 d= ． ∴
1+ k2
2
CD = 2 4- 4+ 2 = 4
k
1 k 1+ k2 ．
y= kx+ 2 2- - = ，由韦达定理得 xA+ xx 16kx 32 0 B= 16k 2= =- ，Δ=x 16y x x 32 -16k
2+ 4× 32> 0，
A B
AB = 1+ k2 × xA- xB = 1+ k2 8 4k2+ 2．
k2由题意 1+ k2 8 4k2+ 2= 4 6 4 + 2 ，解得 k=±1或 k=±
57- 7
2 ．1 k
2 y2
7. x 2已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的离心率为 2 ，且过点P(-2,1)．a b
(1)求C的方程；
(2)若A,B是C上两点，直线AB与圆 x2+ y2= 2相切，求 AB 的取值范围．
x2 y2【答案】(1) 6 + 3 = 1；(2) [2 2,3]
解析：(1)由题意得，
c = 2
a 2
4 + 1 = 1，解得 a= 6,b= c= 3，
a2 b2
a2= b2+ c2
2 y2
所以C的方程为 x6 + 3 = 1.
(2)圆 x2+ y2= 2的圆心为 (0,0)，半径圆 r= 2.
①当直线AB的斜率不存在时，方程为 x= 2或 x=- 2，
x= 2 x=- 2于是有 x2 2 或 2 26 + y3 = 1 x y6 + 3 = 1
解得 y=± 2，
所以 AB = 2 2.
②当直线AB的斜率为 0时，方程为 y= 2或 y=- 2，
y= 2 y=- 2
于是有 x2 y2 或 2 26 + 3 = 1 x6 + y3 = 1
解得 x=± 2，
所以 AB = 2 2.
③当直线AB的斜率不为 0时，设斜率为 k，方程为 y= kx+ t，kx- y+ t= 0
t
因为直线AB与圆 x2+ y2= 2 相切，所以 = 2，得 t2= 2(k2+ 1)
k2+ 1
y= kx+ t
建立方程组 x2 y2 ，消 y并化简得 (2k2+ 1)x2+ 4ktx+ 2t2- 6= 0，6 + 3 = 1
Δ= 16k2t2- 4(2k2+ 1) (2t2- 6) = 48k2- 8t2+ 24= 32k2+ 8> 0.
2
设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+ x2=- 4kt ,x x = 2t - 62 1 2 2 ， 2k + 1 2k + 1
2 2
所以 AB = 1+ k2 (x1+ x 22) - 4x1x2= 1+ k2 - 4kt 2t - 62k2+ - 41 2k2+ 1
2
= 1+ k2 32k + 8(2k2+ 1)2
2
= 2 2 1+ k
4k4+ 4k2+ 1
= 2 2 1+ 1 > 2 2
4k2+ 1
k2
+ 4
而 4k2+ 1 + 4≥ 2 4+ 4= 8，当且仅当 4k2= 12 2 ，即 k
2= 2时，等号成立.
k k
所以 AB = 2 2 1+ 1
4k2+ 1
≤ 3，
k2
+ 4
所以 2 2< AB ≤ 3.
综上所述， AB 的取值范围是 [2 2,3].
2 y2
8. x在直角坐标系 xOy中，椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的上顶点为B，右焦点为F，原点O到直线BF的a b
1
距离为 2 |OF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设直线 l与圆 x2+ y2= b2相切，且与C交于M，N两点，若 |MN |的最大值为 2，求椭圆C的方程.
2
【答案】(1) 32 ； (2)
x
4 + y
2= 1
解析：(1)由条件可得B 0,b ，F c,0 ，设点O到直线BF的距离为 d
在△OBF中，有 BF = b2+ c2= a，则 d× bc BF = ON × OF ,即 d= a
所以 d= bca =
1
2 c，所以
b 1
a = 2
2 2
所以 e= c2 = 1-
b 1 3
a a2
= 1- 4 = 2
(2)由直线 l与圆 x2+ y2= b2相切，且与C交于M，N两点 ,所以直线 l的斜率不为 0.
n
设 l : x= my+n，所以 b= ，所以n2= b2 1+m2
1+m2
由 (1)可得 a2= 4b2，则椭圆方程化为：x2+ 4y2= 4b2
设 , x=my+nM x1 y1 ,N x2,y2 ，由 2+ 2= 2，得 m
2+ 4 y2+ 2mny+n2- 4b2= 0x 4y 4b
2 2
所以 y + y = -2mn ,y y = n - 4b1 2 m2+ 4 1 2 m2+ 4
2 2 2
所以 AB = 1+m2 y1+ y2 2- 4y y = 1+m2 -2mn1 2 2+ - 4×
n - 4b
m 4 m2+ 4
2 4 3 b= + × 1 m
m2+ 4
设 1+m2= t≥ 1，则m2= t2- 1
4 3
=
b
所以 AB 3 ≤ 2 b ，当且仅当 t= 3，即m=± 2时取得等号. t+ t
由 |MN |的最大值为 2，则 2 b = 2，所以 b= 1
2
所以当 |MN |的最大值为 2时，椭圆方程为：x4 + y
2= 1
2 y2
9. 已知椭圆E : x2 + 2 = 1 a> b> 0
6
，F1，F2分别为左右焦点，点P1 0, 2 ，P2 -2, 3 在椭圆E上.a b
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点 F1且不垂直于坐标轴的直线 l交椭圆 E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线
AB
OM交直线 x=- 3于点N，求 取最大值时直线 l的方程.
NF1
【答案】(1) 63 ；(2)y=± x+ 2
0 2
+ = 1
a2 b2
解析：(1)将P1 0, 2 ，P2 2, 63 代入椭圆方程， 6 2
2
2
+ 3

= 1a2 b2
2
解得 a= 6
2 y
= ，所以椭圆E的方程为
x
6 + 2 = 1，b 2
又 c= a2- b2= 2，所以 e= c = 2a =
6
6 3
(2)设直线 l方程为 y= k x+ 2 (k≠ 0)，A x1,y1 ，B x2,y2 ，
x2 2
联立 6 + y2 = 1 可得 3k2+ 1 x2+ 12k2x+ 12k2- 6= 0；y= k x+ 2
2 2
则Δ= 24 k2+ 1 > 0，且 x + x =- 12k 12k - 6 1 2 2 ，x x = ，3k + 1 1 2 3k2+ 1
2 2
设AB的中点 , ，则 = x1+ xM x y x 2 =- 6k ，y = k - 6k + 2 = 2k 0 0 0 2 3k2+ 1 0 2 ，3k + 1 3k2+ 1
2 2 2 6 k2+ 1
∴ 坐标为 - 6k , 2k ， = + 2 2 6 k + 1 = M 2 2 AB 1 k 2 2 ，3k + 1 3k + 1 3k + 1 3k + 1
因此直线OM的方程为 y=- 1 x，从而点N为 -3, 1 ，又F1 -2,0 ， NF 11 = 1+ 2 ，3k k k
AB 2 24k2 k2+ 1所以 2 =

2 2 ，令 t= 3k
2+ 1> 1，
NF1 3k + 1
t- 1 t+ 2 2
则 h t 16 1 1 1 16 1 1 9 = 8 2 =- 3 2 - 2t - 2 =- 3 t - 4 - 3t t 16 ，
因此当 t= 4，即 k=±1时，h t 最大值为 3.
AB
所以 的最大值为 3，此时，直线 l的方程为 y=± x+ 2 .
NF1

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