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小升初专项-立体图形（专项突破）-小学数学六年级下册苏教版
一、选择题
1．如图，甲、乙两个完全相同的长方体玻璃缸，缸中水的体积相等，现将两个石子分别放入两个玻璃缸中，甲缸中的水面上升10厘米，乙缸中的水面上升7厘米。甲、乙两个玻璃缸中石子的体积比是（ ）。
A．7∶10 B．10∶7 C．1∶1 D．17∶10
2．下面是长方体的四个面，另外两个面的面积和是（ ）平方厘米。
A．28 B．20 C．35 D．70
3．明明用1立方厘米的小正方体摆成一个长方体，从正面、左面和上面看到的分别是如下图所示的图形。这个长方体的体积是（ ）。
A．52立方厘米 B．24立方厘米 C．18立方厘米 D．36立方厘米
4．用3个表面积都是24平方厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．72 B．64 C．56 D．48
5．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积是12立方分米，圆柱的体积是（ ）立方分米。
A．12 B．36 C．4 D．8
6．一个圆锥的底面周长是18.84cm，高10cm，沿直径把它切成相等的两半，表面积增加了（ ）cm2。
A．150.72 B．60 C．48 D．120
7．如图，两个三角形绕同一条轴旋转一周，阴影三角形与空白三角形所形成的立体图形的体积比是（ ）。
A． B． C． D．
8．如果正方体、圆柱、圆锥的底面积相等，高也相等。下面说法正确的是（ ）。
A．圆柱的体积比正方体的体积小 B．圆柱和正方体的表面积相同
C．圆柱的体积是圆锥的 D．圆锥的体积是正方体的
二、填空题
9．下图中大球的体积是( )立方厘米。
10．下图是用1立方分米的正方体钢块焊接而成的机械配件，如果要用图中所示的长方体硬纸箱来装此配件，这个硬纸箱的体积最少是( )立方分米，要用硬纸板( )平方分米。（包装箱的接头处用纸及纸的厚度忽略不计）
11．一个棱长10分米的正方体木块，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
12．下图是一个未做完的长方体框架。
(1)做一个完整的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米。
(2)如果在完整的长方体框架外面糊上一层纸板，至少需要( )平方厘米的纸板。
13．一个正方体盒子，从里面量棱长8cm，刚好放进去4个完全一样的圆柱形铁棒（如图），每个圆柱形铁棒的体积是( )，4个圆柱形铁棒的体积之和占盒子容积的( )%。
14．一个装满水的矿泉水瓶，内直径6cm。凡凡喝了一些。把瓶盖拧紧后倒置放平、无水部分高10cm，凡凡喝了( )mL的水。
15．将4个相同的小圆柱拼成一个高是4分米的大圆柱，这时表面积减少了120平方厘米，原来每个小圆柱的体积是( )立方厘米。
16．在学习圆柱的体积计算公式时，我们把一个圆柱体切拼成一个近似的长方体，这个过程中变的是形状，不变的是体积。假设：圆柱的底面半径是5cm，高是10cm，观察图形，它的体积还可以从另外一个角度观察，分三步推导计算：
第一步：3.14×5＝15.7（cm），表示图中长方体的( )是15.7cm。
第二步：15.7×10＝157（cm2），表示图中长方体的( )是157cm2。
第三步计算出圆柱的体积，算式和结果是：( )。
有了这样等积变形的学习，如果把底面积是4cm2，高是6cm的圆柱形的橡皮泥捏成一个长方体，那么可能是长( )cm、宽( )cm、高( )cm的长方体。
三、图形计算
17．计算零件的体积。（单位：分米）
四、解答题
18．一个圆柱形容器，从里面量得底面直径是10厘米，此时水面高12厘米，将一底面直径比圆柱底面直径少的圆锥形钢材放入，待完全浸没在水中后，水面上升到13厘米（水没有溢出），圆锥形钢材的高是多少厘米？
19．如图所示，火柴盒是由外盒和内盒组成的，从外面量火柴盒的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、1.5厘米。
（1）一个火柴盒所占空间有多大？
（2）做一个火柴盒外盒，所需要的硬纸板是多少平方厘米？（接头处忽略不计）
20．李大伯家决定挖一个底面周长是31.4米，深4米的圆柱形蓄水池。
（1）这个水池的占地面积是多少平方米？
（2）要挖这个水池，共需挖土多少立方米？
（3）在池内的侧面和底部抹一层水泥，抹水泥部分的面积有多少平方米？
21．一款洗衣机的外包装箱是无底长方体，长6分米，宽5.5分米，高8分米。这款洗衣机的包装箱的体积是多少立方分米？制作这个包装箱至少要硬纸板多少平方分米？
22．有一个长方体金鱼缸（无盖），长0.8米，宽和高都是0.4米，制作这个鱼缸至少用玻璃多少平方米？缸中水深0.35米，鱼缸中水有多少升？
23．用一根长192厘米的铁丝围建一个长万体框架（如图），长方体的长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的高是多少厘米？
24．在一个从里面量长40厘米，宽25厘米且足够高的长方体水缸中，放入一块棱长10厘米的正方体铁块（完全浸没），水深15厘米。将铁块取出后，水深多少厘米？
参考答案：
1．B
【分析】根据“甲缸中的水上升10厘米，乙缸中的水上升7厘米”可知，甲水缸中石头的体积相当于水缸中高度为10厘米的水的体积，乙水缸中石头的体积相当于水缸中高度为7厘米的水的体积；据此解答。
【详解】由于甲、乙两个玻璃缸的形状、大小完全相同，所以两个水缸的底面积相等，由此得出：甲缸中10厘米水的体积∶乙缸中7厘米水的体积＝10∶7；即甲、乙两个玻璃缸中的石头体积比是10∶7。
故答案为：B
【点睛】解答本题的关键是理解“甲缸中的水上升10厘米，乙缸中的水上升7厘米”的含义。
2．D
【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。如果把长7厘米、宽2厘米的两个面作为前、后面，长5厘米和宽2厘米的两个面作为左、右面，那么它应该还有2个面，为长7厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，代入数据求解即可。
【详解】由分析可得：
另2个面面积和：
7×5×2
＝35×2
＝70（平方厘米）
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了长方体的特征，以及展开图的形状，根据长方形的面积公式求解即可。
3．B
【分析】这个立体图形从正面看，有8个小正方体，结合从左面和上面看到的图形，要摆成一个长方体，这个立体图形的摆法如下：，如图共有24个小正方体组合而成，一个小正方体的体积是1立方厘米，乘24即可求出这个长方体的体积。
【详解】根据分析得，这个长方体是由24个小正方体组合而成。
1×24＝24（立方厘米）
即这个长方体的体积是24立方厘米。
故答案为：B
【点睛】利用从不同的方向观察得到的图形，根据三视图确定几何体的摆法，从而求出长方体的体积。
4．C
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此用24除以6可求出正方体一个面的面积，把3个小正方体拼成一个长方体，此时的表面积比原来减少4个正方形的面积，据此计算即可。
【详解】3×24－24÷6×4
＝72－16
＝56（平方厘米）
则这个长方体的表面积是56平方厘米。
故答案为：C
【点睛】本题考查正方体和长方体的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
5．B
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积×3，即可求出圆柱的体积。
【详解】12×3＝36（立方分米）
故答案为：B
【点睛】解答本题的关键明确等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。
6．B
【分析】由圆锥的底面周长＝πd可求出d＝6（cm）。沿直径把它切成相等的两半，表面积增加的部分是2个高为10cm，底为6厘米的三角形。根据三角形面积＝底×高÷2，求得答案。
【详解】18.84÷3.14＝6（cm）
10×6÷2
＝60÷2
＝30（cm2）
30×2＝60（cm2）
故答案为：B
【点睛】通过底面周长求出直径是解题关键。注意表面积增加的部分是2个三角形。
7．B
【分析】根据题意可知，阴影部分旋转得到的图形是圆锥体，阴影部分和空白三角形所形成的立体图形是一个圆柱体；圆锥的底面半径等于圆柱的底面半径，圆锥的高等于圆柱的高，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，设圆柱的体积为1，则阴影三角形的体积为1×，据此求出空白部分的体积，进而求出阴影三角形与空白三角形所形成的的立体图形的体积比，据此解答。
【详解】设圆柱的体积为1，则阴影三角形形成的圆锥的体积＝1×
空白三角形形成的体积＝1－1×
＝1－
＝
∶
＝（×3）∶（×3）
＝1∶2
故答案为：B
【点睛】利用等底等高的圆柱体积与圆锥的体积之间的关系进行解答。
8．D
【分析】根据正方体的体积公式：体积＝底面积×高；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，当正方体、圆柱、圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥的体积是正方体体积的，由此即可判断。
【详解】A．圆柱的体积和正方体的体积一样大；不符合题意；
B．圆柱和正方体的体积相同，表面积不一定相同，不符合题意；
C．圆柱的体积是圆锥的3倍，不符合题意；
D．圆锥的体积是正方体的，符合题意。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查正方体、圆柱、圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。
9．10
【分析】把毫升化成立方厘米，15毫升＝15立方厘米；30毫升＝30立方厘米；大杯的水是满的，当放入1个大球和1个小球时，排出的水的体积是15立方厘米，相当于1个大球和1个小球的体积；当再放入3个小球时，排出的水的体积是（30－15）立方厘米，所以用排出的水的体积除以小数球量，即可求出小球的体积，根据大球和小球体积之间的关系，求出大球的体积。
【详解】15毫升＝15立方厘米；30毫升＝30立方厘米。
（30－15）÷3
＝15÷3
＝5（立方厘米）
15－5＝10（立方厘米）
下图中大球的体积是10立方厘米。
【点睛】本题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用排水法，从而解决问题。
10． 100 130
【分析】根据题可知，小正方体的体积是1立方分米，则棱长也是1分米，由于这个长方体硬纸箱的长相当于5个小正方体的棱长，宽相当于5个小正方体的棱长，高相当于4个小正方体的棱长，则长是5分米，宽是5分米，高是4分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高；长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。
【详解】由分析可知：
长方体的长是5分米，宽是5分米，高是4分米。
5×5×4
＝25×4
＝100（立方分米）
（5×5＋5×4＋5×4）×2
＝（25＋20＋20）×2
＝65×2
＝130（平方分米）
这个硬纸箱的体积最少是100立方分米，要用硬纸板130平方分米
【点睛】本题主要考查长方体的表面积和体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
11． 600 1000
【分析】根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。
【详解】10×10×6
＝100×6
＝600（平方分米）
10×10×10
＝100×10
＝1000（立方分米）
一个棱长10分米的正方体木块，它的表面积是600平方分米，体积是1000立方分米。
【点睛】熟练掌握正方体表面积公式和体积公式是解答本题的关键。
12．(1)52
(2)108
【分析】（1）求做这个长方体的框架共需要铁丝多少厘米，即求这个长方体的棱长之和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答即可；
（2）求表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，由此解答即可。
【详解】（1）（6＋3＋4）×4
＝13×4
＝52（厘米）
至少需要铁丝52厘米。
（2）（6×3＋6×4＋3×4）×2
＝（18＋24＋12）×2
＝54×2
＝108（平方厘米）
至少需要108平方厘米的纸板。
【点睛】明确长方体的棱长总和与长、宽、高的关系及表面积计算公式，是解答此题的关键。
13． 100.48 78.5
【分析】观察图形可知，两个圆柱的底面直径的和相当于正方体的棱长，则一个圆的底面直径是8÷2＝4cm，圆柱的高相当于正方体的棱长；根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，据此代入数值计算即可求出铁棒的体积；根据正方体的容积公式：V＝a3，据此求出正方体的容积，然后用4个圆柱形铁棒的体积之和除以正方体的容积即可。
【详解】8÷2＝4（cm）
3.14×（4÷2）2×8
＝3.14×4×8
＝12.56×8
＝100.48（cm3）
100.48×4÷（8×8×8）
＝401.92÷512
＝0.785
＝78.5%
则每个圆柱形铁棒的体积是100.48，4个圆柱形铁棒的体积之和占盒子容积的78.5%。
【点睛】本题考查圆柱的体积和正方体的容积，熟记公式是解题的关键。
14．282.6
【分析】因为原来瓶是装满水的，所以喝的水量就是倒置后无水部分的体积，根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，代入数值进行计算即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（cm3）
＝282.6（mL）
则凡凡喝了282.6mL的水。
【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。
15．200
【分析】把4个小圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少6个小圆柱的底面积，根据减少部分的面积求出小圆柱的底面积，再利用“圆柱的体积＝底面积×高”求出小圆柱的体积，据此解答。
【详解】减少小圆柱底面的数量：（4－1）×2
＝3×2
＝6（个）
小圆柱的底面积：120÷6＝20（平方厘米）
4分米＝40厘米
小圆柱的体积：20×（40÷4）
＝20×10
＝200（立方厘米）
所以，原来每个小圆柱的体积是200立方厘米。
【点睛】根据减少部分的面积求出小圆柱的底面积并掌握圆柱的体积计算公式是解答题目的关键。
16． 长 前面的面积 157×5＝785（cm3） 3 2 4
【分析】由图可知，可以把长方体的前面看作长方体的底面，长方体的长相当于圆柱底面周长的一半，圆柱的底面半径是5cm，则“3.14×5”表示长方体的长，长方体的宽相当于圆柱的高，则“15.7×10”表示长方体前面的面积，此时长方体的高相当于圆柱的底面半径，最后根据“长方体的体积＝底面积×高”求出圆柱的体积，同理，也可以把橡皮泥捏成的长方体，看作底面积是6cm2，高是4cm，那么长方体的长可能是3cm，宽可能是2cm，高是4cm，体积是3×2×4＝24cm3，据此解答。
【详解】第一步：3.14×5＝15.7（cm），表示图中长方体的长是15.7cm。
第二步：15.7×10＝157（cm2），表示图中长方体的前面的面积是157cm2。
第三步计算出圆柱的体积，算式和结果是：157×5＝785（cm3）。
分析可知，如果把底面积是4cm2，高是6cm的圆柱形的橡皮泥捏成一个长方体，那么可能是长3cm、宽2cm、高4cm的长方体。（答案不唯一）
【点睛】掌握圆柱体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
17．15.14立方分米
【分析】组合体的体积＝长方体的体积＋圆锥的体积。长方体体积＝长×宽×高，圆锥的体积＝底面积×高×，据此代入数据，即可解答。
【详解】2×2×3＋3.14×（2÷2）2×3×
＝12＋3.14×1×3×
＝12＋3.14
＝15.14（立方分米）
18．厘米
【分析】由于圆锥的底面直径比圆柱底面直径少，则圆锥的底面直径相当于圆柱的：1－，单位“1”已知，用乘法，即10×（1－）＝6（厘米）。由于物体完全浸没在水中，水面上升到13厘米，根据公式：容器的底面积×水面变化的高度＝物体的体积，即用圆柱的底面积×（13－12），求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入公式即可求出圆锥形钢材的高。
【详解】10×（1－）
＝10×
＝6（厘米）
6÷2＝3（厘米）
10÷2＝5（厘米）
3.14×5×5×（13－12）
＝78.5×1
＝78.5（立方厘米）
78.5×3÷（3.14×3×3）
＝78.5×3÷3.14÷3÷3
＝78.5÷3.14÷3
＝25÷3
＝（厘米）
答：圆锥形钢材的高是厘米。
【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。
19．（1）30立方厘米
（2）55平方厘米
【分析】（1）求一个火柴盒所占空间，就是求这个长方体火柴盒的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答；
（2）求做这个火柴盒外盒，就是去掉左右两侧的面的面积，即求这个长方体四个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽×2＋长×高×2，代入数据，即可解答。
【详解】（1）5×4×1.5
＝20×1.5
＝30（立方厘米）
答：一个火柴盒所占空间有30立方厘米。
（2）5×4×2＋5×1.5×2
＝20×2＋7.5×2
＝40＋15
＝55（平方厘米）
答：所需的硬纸板是55平方厘米。
【点睛】利用长方体体积公式以及表面积公式进行解答，注意求表面积需要哪些面的面积。
20．（1）78.5平方米
（2）314立方米
（3）204.1平方米
【分析】（1）求这个水池的占地面积，就是求地面周长是31.4米的圆的面积；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝圆的周长÷2÷π；代入数据，求出底面的半径；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出这个水池的占地面积；
（2）求共需要挖土多少立方米，就是求这个圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可求出需要挖土多少立方米；
（3）求水池内的侧面和底部抹一层水泥的面积，就是求这个圆柱水池的去掉一个底面的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。
【详解】（1）31.4÷2÷3.14
＝15.7÷3.14
＝5（米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方米）
答：这个水池的占地面积是78.5平方米。
（2）3.14×52×4
＝3.14×25×4
＝78.5×4
＝314（立方米）
答：共需挖土314立方米。
（3）3.14×52＋3.14×5×2×4
＝3.14×25＋15.7×2×4
＝78.5＋31.4×4
＝78.5＋125.6
＝204.1（平方米）
答：抹水泥部分的面积有204.1平方米。
【点睛】利用圆的周长公式，面积公式，圆柱的表面积公式，圆柱的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。
21．体积是264立方分米；表面积是217平方分米
【分析】长方体的体积＝长×宽×高，据此算出洗衣机包装箱的体积；根据洗衣机外包装箱是无底的，可知求制作这个包装箱至少要硬纸板多少平方分米，就是求除了下面的面之外的其他5个面的面积之和，据此根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2解答即可。
【详解】6×5.5×8
＝33×8
＝264（立方分米）
6×5.5＋（6×8＋5.5×8）×2
＝33＋（48＋44）×2
＝33＋92×2
＝33＋184
＝217（平方分米）
答：这款洗衣机的包装箱的体积是264立方分米，制作这个包装箱至少要硬纸板217平方分米。
【点睛】掌握长方体的体积和表面积公式是解答本题的关键。
22．1.28平方米；112升
【分析】因为鱼缸无盖，用长方体表面积公式：S＝2ab＋2ah＋2bh减去一个上底面积，代入数据求解即可；
用长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求解，最后注意由体积单位转换成容积单位。
【详解】由分析可得；
长方体表面积为：
2×0.8×0.4＋2×0.8×0.4＋2×0.4×0.4
＝1.6×0.4＋1.6×0.4＋0.8×0.4
＝0.64＋0.64＋0.32
＝1.28＋0.32
＝1.6（平方米）
上底面积为：0.8×0.4＝0.32（平方米）
做这个鱼缸至少需要的玻璃面积：1.6－0.32＝1.28（平方米）
鱼缸装水的体积：
0.8×0.4×0.35
＝0.32×0.35
＝0.112（立方米）
0.112立方米＝112升
答：制作这个鱼缸至少用玻璃1.28平方米，鱼缸中水有112升。
【点睛】本题主要考查了长方体的表面积、体积公式的熟练掌握和灵活运用，注意无盖鱼缸就是去掉一个上底面，同时注意单位的换算。
23．8厘米
【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，先用棱长总和÷4，求出一组长宽高的和，一组长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数×高对应的份数＝高，据此列式解答。
【详解】192÷4÷（3＋2＋1）×1
＝48÷6×1
＝8（厘米）
答：这个长方体的高是8厘米。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。
24．14厘米
【分析】根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”，求出铁块的体积，用铁块的体积除以长方体鱼缸的底面积就是水面下降的高度，然后用原来的水深减去水面下降的高度即可。
【详解】15－10×10×10÷（40×25）
＝15－10×10×10÷1000
＝15－1000÷1000
＝15－1
＝14（厘米）
答：水深14厘米。
【点睛】此题主要考查了正方体、长方体体积计算公式的灵活运用，关键是熟记公式。
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