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2023年中考数学高频考点突破--反比例函数的综合题
1．如图，已知双曲线y= 经过点B（3 ，1），点A是双曲线第三象限上的动点，过B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC．
（1）求k的值；
（2）若△ABC的面积为6 ，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
2．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为　 　，自变量x的取值范围为　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 　 　.
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　 　分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
3．如图，反比例函数 与一次函数 的图象在第二象限的交点为 ，在第四象限的交点为 ，直线 （ 为坐标原点）与函数 的图象交于另一点 ．过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，两直线相交于点 ， 的面积为6．
（1）求反比例函数 的表达式；
（2）求点 ， 的坐标和 的面积．
4．如图，A、B是双曲线 上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
5．小明根据学习函数的经验对y＝﹣1＋的图象的性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）函数y＝﹣1＋的自变量x取值范围为　 　；
（2）完成表格，并画出函数的图象（答题卡已给出平面直角坐标系）；
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … －2 －3 　 2 1 0 　 …
（3）根据图象写出函数y＝﹣1＋的两条性质．
6．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E是BC上一点（不包括B，C两端点），连结AE和DE，作DF⊥AE于点F.
（1）若AE＝AD，求证：△ADF≌△EAB；
（2）在（1）条件下，求△DEF的面积；
（3）设AE＝x，DF＝y，请求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围.
7．如图，A(3，m)是反比例函数y＝ 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，连接OB，交反比例函数y＝ 的图象于点P(2 ， ).
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）连接AP，求△OAP的面积.
8．已知反比例函数 为常数 的图象在第一、三象限.
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为 ， 求出函数解析式.
9．如图，一次函数y＝x＋1的图像交y轴于点A，与反比例函数 的图像交于点B(m，2).
（1）求反比例函数的表达式：
（2）求△AOB的面积.
10．如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，反比例函数的图象经过点C．
（1）求点C坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．
11．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 两点．
（1）试求 的值和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 的 的取值范围；
（3）求 的面积．
12．已知：如图，点A在反比例函数 的图像上，且点A的横坐标为2，作 垂直于x轴，垂足为点H， ．
（1）求 的长；
（2）求k的值；
（3）若 、 在该函数图象上，当 时，比较 与 的大小关系．
13．一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝ 的图象相交于A（﹣1，﹣3）和点B，且与x轴交于点C.
（1）求m及k的值.
（2）求点B、C坐标，并结合图形直接写出不等式0＜x+m＜ 的解集.
14．如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，-2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC；
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积
15．如图，一次函数 的图象与 轴交于 点，与 轴交于 点，与反比例函数 的图象交于点 和点 ．
（1）求 ， 的值以及点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 的范围．
16．如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为(1，3)，点B的纵坐标为1，点C的坐标为(2，0)．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）求直线BC的表达式．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把B（3 ，1）代入y= 中得，1= ，
∴k=3
（2）解：设△ABC中BC边上的高为h，
∵BC⊥y轴，B（3 ，1）
∴BC=3 ，
∵△ABC的面积为6 ，
∴ BC h=6 ，
∴h=4，
∴点A的纵坐标为1﹣4=﹣3，
把y=﹣3代入y= ，
∴x=﹣ ，
∴A（﹣ ，﹣3），设直线AB的解析式为：y=mx+n，
把A（﹣ ，﹣3）和B（3 ，1）代入y=mx+n，
解得：
∴直线AB的解析式为y= ﹣2
（3）解：由图象可得：x＜﹣ 或0＜x＜3
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将B的坐标代入双曲线的解析式即可求出k的值．（2）设△ABC中BC边上的高为h，由△ABC的面积为6 可求出h的值，从而可求出A的纵坐标为﹣3，然后即可求出点A的坐标，最后将A与B的坐标代入一次函数的解析式即可求出答案．（3）找出反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分即可求出x的范围．
2．【答案】（1）；0≤x≤8；（x＞8）
（2）30
（3）解：把y＝3代入yx，得：x＝4，
把y＝3代入y，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的.
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0），
将（8，6）代入为 6＝8k1，
∴k1
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0），
把（8，6）代入为6，
∴k2＝48，
∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）；
故答案为：yx，0≤x≤8，y（x＞8）；
（2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室，
故答案为：30；
【分析】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x，将（8，6）代入求出k1的值，据此可得对应的函数关系式；设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=，将（8，6）代入求出k2的值，据此可得对应的函数关系式；
（2）令药物燃烧后y关于x的函数关系式中的y≤1.6，求出x的范围，据此解答；
（3）把y＝3分别代入（1）关系式中求出x的值，然后作差即可.
3．【答案】（1）解：由题意得：
当
当
经检验：符合题意．
＜
为 与 的交点，
轴， 轴，
的面积为6．
反比例函数的解析式为：
（2）解：
直线 为 ，
记 与 轴的交点为 ，
令 则
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）联立 与 求解 的坐标，利用 得到 关于原点成中心对称，求解 的坐标，结合已知得到 的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案；（2）由（1）得到 的值，得到 的坐标， 的解析式，记 与 轴的交点为 求解 的坐标，利用 可得答案．
4．【答案】（1）解：将A（1，4）代入 得 k=4
（2）解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∴AD//BE，
∵A（1，4），
∴AD=4，OD=1．
又∵B为AC的中点，
∴E为AC的中点，
∴ ，CE=DE
∴B点的纵坐标为2，则有B点坐标为（2，2）．
∴DE=CE=2-1=1，即OC=3，
∴C（3，0）
∴△OAC的面积是 =6
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 将A（1，4）代入 中，即可求k；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，由点A坐标可得AD=4，OD=1，根据B为AC的中点，可得B（2，2），从而求出DE=CE=1，即OC=3，利用三角形的面积公式即可求解.
5．【答案】（1）x≠0
（2）解：把x=和x=分别代入y＝﹣1＋，可得y = - 4和y = ，完成表格如下，
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … －2 －3 -4 2 1 0 …
建立平面直角坐标系，描点作图如下：
（3）解：该函数图象不过原点；该函数既没有最大值，也没有最小值；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而减小．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【解答】(1)解：∵y＝﹣1＋的图象可以看成是由反比例函数y =向下平移一个单位得到的，
∴y＝﹣1＋的性质应该和y =的性质一样，
∴；
应填．
【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出自变量的范围；
（2） 把x=和x=分别代入y＝﹣1＋ 中求出y值，然后描点连接即可；
（3）从最值、增减性等方面解答即可（答案不唯一）.
6．【答案】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
；
（3）解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
则 ，
即
，
是 上一点（不包括 ， 两端点），
，
，
自变量 的取值范围： .
【知识点】列反比例函数关系式；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠B=90°，AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠DAF=∠AEB，利用AAS可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可求出DF的长，利用勾股定理求出AF的长，由此可求出EF的长；然后利用三角形的面积公式求出△DEF的面积.
（3）利用矩形的性质及三角形的面积公式可证得AE·DF=AD·CD，由此可得到y与x之间的函数解析式；再根据点E是BC上一点，不包括B，C两点，可求出x的取值范围.
7．【答案】（1）解：将P(2 ， )代入y═ ，得：k＝12，
则反比例函数解析式为y＝ ，
把A(3，m)代入y＝ 得m＝4，
如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝3、AC＝4，
∴OA＝ ＝5，
设OP的解析式为y=kx,则
∴
∵AB∥x轴，
∴可设B（x,4），
∴x=8
∴点B的坐标为(8，4)
（2）解：∵点B坐标为(8，4)，
点P坐标为(2 ， )，
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为(2 ，4)，
∴AE＝2 ﹣3、PE＝4﹣ 、PD＝ ，
则△OAP的面积＝ ×(4+ )×(2 ﹣3)＝5 .
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入解析式求解可得解析式，再把A点的坐标代入得到m的值，求OA的解析式，由AB∥x轴即可得点B的坐标；（2）根据点B坐标和点P的坐标，得到AE＝1、PE＝3 、PD＝ ，再利用割补法求解可得.
8．【答案】（1）解：据题意得 ，
解得 ；
（2）解： 四边形ABOD为平行四边形，
， ，而A点坐标为 ，
点坐标为 ，
，
反比例函数解析
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的性质得 ，然后解不等式得到m的取值范围；（2）①根据平行四边形的性质得 ， ，易得D点坐标为 ，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得 ，则反比例函数解析式为 .
9．【答案】（1）解： 当x=0， y=1， 则A点坐标为：(0，1)， ∵B点为一次函数图象和反比例函数图象的交点，有：2=m+1，得m=1， ， 则k=2m=2. 故反比例函数的表达式为：.
（2）解：
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据已知函数先求出已知点坐标，把B（m，2）代入一次函数求出m值，再把B点的坐标代入反比例函数求出k值。
（2）要求△ABC的面积，因OA长度可求，高为B到y轴的距离，代入三角形面积公式即可。
10．【答案】（1）解：过点C作 于点E，
四边形ABCD是等腰梯形，
， ，
，
在 和 中
，
≌ ，
，
，
，
，
设反比例函数的解析式 ，
根据题意得： ，
解得 ，
反比例函数的解析式 ；
答：点C坐标是 ，反比例函数的解析式是 ．
（2）解：将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形 ，
点 ，
点 恰好落在双曲线 上，
当 时， ，
即 ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点C作 于点E，根据HL证 ≌ ，求出 ，即可求出C的坐标，代入反比例函数的解析式求出k即可；（2）得出 的坐标是 ，代入反比例函数的解析式，即可求出答案．
11．【答案】（1）解：根据题意，把 代入反比例函数 得： ，
则反比例函数解析式为 ，将 代入上式得 ，即 ，
再将 、 分别代入 ，
得 ，
解得
∴一次函数的解析式为 ， ；
（2）解：因为一次函数与反比例函数的交点为 、 ，根据图象得：
的取值范围为： 或 ；
（3）解：令一次函数 与 轴、 轴的交点分别为 ，则 、
∴
答： 的面积为8．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式即可得出反比例函数解析式，得出点B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）由图象可知，当 x<-6或-2（3） ，代入数值计算即可。
12．【答案】（1）解：∵点A的横坐标为2，
∴OH=2
∵
∴ OH·AH=3
解得：AH=3
（2）解：∵OH=2，AH=3
∴点A的坐标为（2，3）
将点A的坐标代入 中，得
解得：k=6
（3）解：∵k=6＞0
∴反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小
∵ 、 在该函数图象上，且
∴ ＞ ．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据点A的横坐标为2，AH垂直于x轴，S△AOH=3，即可得到AH的长；
（2）根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可；
（3）在第一象限内，y随x的增大而减小，即可得到y1和y2的关系。
13．【答案】（1）解：将A（﹣1，﹣3）代入y1＝x+m得﹣1+m＝﹣3，
解得m＝﹣2，
∴一次函数y1＝x-2
将A（﹣1，﹣3）代入y2＝ ，
解得：k＝﹣1×（﹣3）＝3，
∴反比例函数解析式为y2＝ .
（2）解：当 时， 解得 ∴
解 得 或 ，
∴B（3，1），
观察函数图象发现：
在第一象限，当0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
但当 时，
∴不等式0＜x+m＜ 的解集是2＜x＜3.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法此题得解；（2）两解析式联立，解方程组求得B的坐标，然后根据图象即可找出不等式的解集.
14．【答案】（1）解：设双曲线的解析式为y＝ ，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6＝ ，
解得k＝6，
∴y＝ ，
∵B（m，﹣2）在双曲线y＝ 上，
∴﹣2＝ ，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得 ，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）解：作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如右图所示，
直线BO的解析式为y＝ax，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3a，
解得a＝ ，
∴直线BO的解析式为y＝ x，
，
解得 或 ，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6﹣ ﹣ ﹣
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入解析式，求出m的值，得出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可得出答案；
（2）作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，利用待定系数法得出直线OB的解析式，再联立方程组，求出方程组的解，得出点C的坐标，利用S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC，列式进行计算，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：将 分别代入 和
∴ ，
解得 ，
由题意，联立方程组得 ，
解得 或 ，
点坐标为 ；
（2）解： 直线 的图象与 轴交于 点，与 轴交于 点，
， ．
；
（3）解：反比例函数值大于一次函数值即 的解集，
∴反比例函数在一次函数图象的上方，
在交点E的左侧与y轴的右侧，或F点的右侧，
所以反比例函数值大于一次函数值时 的范围 或 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将E（1，5）分别代入y=-x+b和，解得b=6，k=5，联立方程组，解得 或 ，再结合图象可得点F的坐标；
（2）由直线y=-x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用割补法求即可；
（3）反比例函数值大于一次函数值即的解集，可知反比例函数在一次函数图象的上方，结合图形求解即可。
16．【答案】（1）解：设所求反比例函数的解析式为 （k≠0）．
∵点A（1，3）在此反比例函数的图象上，∴ ，解得k=3．
∴所求反比例函数的解析式为 ．
（2）解：设直线BC的解析式为y=k1x+b（k1≠0）．
∵点B的反比例函数 的图象上，点B的纵坐标为1，设B（m，1），
∴ ，解得m=3．∴点B的坐标为（3，1）．
由题意，得 ，解得： ．
∴直线BC的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上点的特点，将A点代入，即可求出k.
（2）由于点B也在反比例函数图象上，将纵坐标代入求出点B的坐标。设一次函数图象为 y=k1x+b （k1≠0） ，将BC两点代入，待定系数法，求解解析式。

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