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2023年中考数学高频考点突破--垂径定理
一、综合题
1．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
2．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C.
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD.
（2）⊙D的半径为　 　（结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是　 　；
3．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC＝120°，点D为BC上一动点（不与B、C重合），E是AD延长线上的一点，且∠BCE=∠BAD.
（1）求∠AEC的度数；
（2）试说明：在点D运动的过程中，∠AEB的度数是一个定值；
（3）若AD=a，DE=b，求ab的最大值.
4．1300年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥是圆弧形，它的跨度AB为37m，高为7m．
（1）用尺规作图找出弧AB所在的圆心；
（2）求桥拱所在的圆的半径（精确到0.1m）
5．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，点D是 上的一点，且 ，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E.
（1）求证：CF=CE；
（2）若AD=8，AC=5，求⊙O的半径.
6．如图，AB为⊙O的直径，C，E为O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D．
（1）求证：DC是⊙O切线；
（2）若AO=6，DC= ，求DE的长；
（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD﹣OA=1.5，AC= ，求图中阴影部分面积．
7．本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120米，A到BC的距离为4米，如图所示．
（1）请你帮他们求出该湖的半径；
（2）如果在圆周上再另取一点P，建造一座连接B，C，P三点的三角形艺术桥，且△BCP为直角三角形，问：这样的P点可以有几处？如何找到？
8．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 ▲ ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为　 　，∠ADC的度数为　 　.
9．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径。
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。
10．一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：
（1）桥拱半径
（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？
11．如图所示，一圆弧过方格的格点A，B，C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(－2，4).
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；
（2）判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．
12．如图，已知点C在⊙O上，AC= AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1） 如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2） 如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长：
13．好山好水好嘉兴，石拱桥在嘉兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
14．如图，公路MN和村路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，
（1）学校是否会受到噪声影响？请说明理由；
（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h时，那么学校受影响的时间为多少秒？
15．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
16．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）解：过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝ ＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，若要证明DE是 ⊙O的切线只需证明OD⊥DE。根据AD平分∠BAC，OD=OA推出OD//AE即可判断OD⊥DE。
（2）过点O作OF⊥AC于点F，结合（1）的结论，由于四边形OFED内三个角均为直角，则四边形OFED为矩形，那么DE=OF，根据垂径定理、勾股定理即可计算出OF的长。
2．【答案】（1）解：如图，
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；圆锥的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）⊙D的半径AD
故答案为：；
（3）根据图上信息，可知道
的长度l= =
扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度.
圆锥的底面圆半径
故答案为：.
【分析】（1）作出弦AB、弦BC的垂直平分线，其交点即为圆心D的位置；
（2）直接根据勾股定理求解就可得到⊙D的半径；
（3）易得△AOD≌△DFC，得到∠ADC=90°，然后求出的长度，接下来结合圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，求解就可得到底面圆的半径.
3．【答案】（1）解：∵AB=AC=2，∠BAC＝120°，
∴∠ABC=∠ACB= ，
∵∠BCE=∠BAD，
∴∠AEC= =30°
（2）解：作△ABC的外接圆，延长AD交圆于E，连结CE，则点E满足条件：∠BCE=∠BAD
∵在点D运动时， 弧不变，
∴∠ACB=∠AEB=30°
∠AEB的度数不变化，∠AEB=30°
（3）解：过A作AF⊥BC，交⊙O于G，连结EG，BG，
∵AB=AC，
∴ ，
∴AG为⊙O的直径，
∵AB=2，∠ABF=30°，
∴AF= ，
∵ ，
∴∠BGA=∠ABF=30°，
∴AG=2AB=4，
∵AG为⊙O的直径，
∴∠AEG=90°=∠AFD，
又∠DAF=∠GAE，
∴△ADF∽△AGE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当 最小时，AD=AF= =1，
∴ ，
∴当a=1时，ab的最大值为3
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由 AB=AC，∠BAC＝120°，可得∠ABC=∠ACB =30°，由 ∠BCE=∠BAD 可得 ∠AEC= ；（2） 作△ABC的外接圆，延长AD交圆于E，连结CE，由在点D运动时， 弧不变，可得∠AEB=∠ACB是一个定值；（3）过A作AF⊥BC，交⊙O于G，连结EG，BG，由弧、弦、圆周角的关系可得AF、AG的长度，由直径所对的角是直角可证△ADF∽△AGE，可得 ， 当 最小时， a有最大值.
4．【答案】（1）解：连接BC，作线段BD的垂直平分线交CD的延长线于点O，则O点即为圆心
（2）解：连接OB，
∵CD⊥AB，AB=37m，CD=7m，
∴BD= AB= m，
设OB=r，则OD=r﹣7，
∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣7）2+（ ）2=r2，解得r= m
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）连接BC，作线段BD的垂直平分线交CD的延长线于点O，则O点即为圆心；（2）连接OB，根据垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OB的值即可．
5．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，AC⊥EF，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠CAE=∠B，
∵ ，
∴∠DAC=∠B，
∴∠CAE=∠CAF，
在△CAE和△CAF中
∴△CAE≌△CAF（SAS），
∴CF=CE；
（2）解：连接OC，交AD于H，
∵ ，
∴OC⊥AD，AH=DH，
∵AD=8，AC=5，
∴AH=4，
在Rt△ACH中，CH= =3，
设⊙O的半径为r，
∴OH=r﹣3，
在Rt△AOH中，OA2=AH2+OH2，
∴r2=42+（r﹣3）2，
解得r=
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理的应用；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质和圆周角定理得到∠CAE=∠B，∠DAC=∠B，即可得到∠CAE=∠CAF，然后通过证得△CAE≌△CAF即可证得结论；（2）连接OC，则根据垂径定理得到OC⊥AD，AH=DH，根据勾股定理求得CH=3，设⊙O的半径为r，在Rt△AOH中，OA2=AH2+OH2，得到r2=42+（r﹣3）2，解得即可.
6．【答案】（1）解：连接OC，如图1，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O切线
（2）解：连接BE交OC于H，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵OC∥AD，
∴∠OHB=90°，
∴EH=BH，四边形CDEH为矩形，
∴CD=EH=3 ，CH=ED，
∴BH=3 ，
在Rt△OBH中，OH= =3，
∴CH=6-3=3，
∴DE=3
（3）解：连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，
∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CD=CF，
∴AD=AF=AO+OF，
∵AD-OA=1.5，
∴AO+OF-OA=1.5，即OF=1.5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAF=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得r=- （舍去）或r=3，
在Rt△OCF中，cos∠COF= ，
∴∠COF=60°，
∴CF= OF= ，
∴图中阴影部分面积=S扇形BOC-S△OCB= - ×3× = π- ．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理的应用；切线的判定与性质；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【分析】（1） 连接OC，由AC平分∠EAB，可得∠1=∠2，由等边对等角及等量代换可得∠1=∠3，由内错角相等两直线平行可得OC∥AD，由AD⊥CD，可得OC⊥CD，进而得出结论。（2） 连接BE交OC于H，如图1，由直径所对的圆周角是直角 可得∠AEB=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形CDEH为矩形，由矩形的性质及垂径定理可得BH=3 ，利用勾股定理求出OH=3，进而得出DE=CH=6-3=3。（3） 连接OC，如图2，设⊙O的半径为r， 由角平分线的性质可得CD=CF,进而可得AD=AF=AO+OF,得出OF=1.5，由两角对应相等两三角形相似可得△ACF∽△ABC， 利用相似比求出r=3，在三角形COF中利用余弦值求出∠COB=60°，然后根据扇形的面积公式，等边三角形的面积公式和图中阴影部分面积=S扇形BOC- S△OCB进行计算即可。
7．【答案】（1）解：设圆心为点O，连接OB，OA，OA交线段BC于点D，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴OA⊥BC，
∴BD=DC= BC=60
∵DA=4米，
在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2，
设OB=x米，
则x2=（x﹣4）2+602，
解得x=452．
∴人工湖的半径为452米
（2）解：这样的P点可以有2处，过点B或点C作BC的垂线交圆于一点，此点即为P点．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）设圆心为点O，连接OB，OA，AB=AC，得出 = ，再根据等弦对等弧，得出点A是弧BC的中点．结合垂径定理的推论，知OA垂直平分弦，设圆的半径，结合垂径定理和勾股定理列出关于半径的方程，即可求得圆的半径；（2）根据垂直的定义即可得到结论．
8．【答案】（1）解：如图，点D为所作，
；
（2，1）
（2）；90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：（2）AD＝＝，CD＝＝，AC＝＝，
∵DA2+DC2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，
即⊙D的半径为，∠ADC的度数为90°.
故答案为：，90°.
【分析】（1）利用方格纸的特点分别作出线段AB、BC的垂直平分线，根据垂径定理，该圆弧所在圆的圆心一定在两线段的垂直平分线上，故线段的垂直平分线的交点就是该圆弧所在圆的圆心，根据其所在位置直接读出其坐标即可；
（2）利用方格纸的特点结合勾股定理算出AD、CD、AC的长，进而根据勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，据此即可得出答案.
9．【答案】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）连接OA，题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，利用垂径定理求出AD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
（2）如图可求出FG的长，再利用勾股定理求出OG的长，然后根据DG=OG-OD求出DG的长与3比较大小，即可作出判断。
10．【答案】（1）解：∵拱桥的跨度AB=16m，拱高CD=4m，
∴AD=8m，
利用勾股定理可得：
AO2﹣（OC﹣CD）2=8×8，
解得OA=10（m）
（2）解：设河水上涨到EF位置（如上图所示），
这时EF=12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），
∴EM= EF=6m，
连接OE，
则有OE=10m，
OM= =8（m）
OD=OC﹣CD=10﹣4=6（m），
OM﹣OD=8﹣6=2（m）．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．（2）已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题．
11．【答案】（1）解：建立的平面直角坐标系和圆心M的位置如下图所示，
由图可得：圆心M的坐标为(－1，1) ；
（2）解：如下图，连接MA，
∵A的坐标为（-2，4），点M的坐标为（-1，1），
∴⊙M的半径MB= ，
∵点D的坐标为：(2，1)，
∴MD=3，
∵3＜ ，
∴点D在⊙M内.
【知识点】垂径定理的应用；点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用垂径定理，分别作出AB和AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心M，再写出点M的坐标。
（2）利用勾股定理求出圆的半径，再求出MD的长，利用点与圆的位置关系，就可判定出点D与⊙M的位置关系。
12．【答案】（1）解： ∵ AB是直径， ∴∠ACB =90°
∵ AC=AB
∴∠ =30°
∴∠ =90°-∠ =60°
∴∠ =∠ =60°
（2）解：∵∠ =60°∴∠ =∠ =60°∵ ⊥ ， 是直径∴∴∠ =∠ =30°∴∠ =60°∴△ 是等边三角形∴∵ =2，
∴ ∴C△BCP=BP+BC+CP=3BC=6.
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得∠ACB=90°，由直角三角形性质得∠ABC=30°，根据三角形内角和定理得∠A=60°，由圆周角定理即可求得∠CPD度数.
（2）根据圆周角定理得∠BPC=∠A=60°，由垂径定理及角的计算得∠CBP=60°，根据等边三角形判定得△CBP是等边三角形，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC长，再由三角形周长公式即可求得答案.
13．【答案】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴ ,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2 ，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）连接OA，利用垂径定理求出AD的长，设OA=r，则OD=r-4，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
（2）利用垂径定理求出FG的长，利用勾股定理求出OG的长，从而可得到OD的长，然后求出DG的长，再与3比较大小，可作出判断。
14．【答案】（1）解：学校是会受到噪声影响.
过点A作AB⊥PN于点B，
∴ABP=90°，
在Rt△PAB中，∠QPN=30°，
∴
∵80＜100
∴ 学校是会受到噪声影响.
（2）解：如图，以点A为圆心，100cm为半径画圆，交PN于点C，D，连接AC，AD，
∴CD=2BC，
在Rt△ABC中，AC=100cm，AB=80cm，
∴
∴CD=2×60=120cm，
∵拖拉机的速度为18km/h=5cm/s，
∴学校受影响的时间为120÷5=24s.
答：学校受影响的时间为24秒.
【知识点】垂线段最短；垂径定理的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用垂线段最短，过点A作AB⊥PN于点B，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半就可求出AB的长。然后将AB的长与100cm比较大小，即可作出判断。
（2）以点A为圆心，100cm为半径画圆，交PN于点C，D，连接AC，AD，利用垂径定理可证得CD=2BC，再利用勾股定理求出BC的长，就可得到CD的长，然后利用时间=路程÷速度，列式计算可求解。
15．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．
∵OE⊥AB
∴BD= AB= ×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD= AB= ×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
16．【答案】（1）解：连结OA，
由题意得：AD= AB=30，OD=（r-18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r-18）2，
解得，r=34
（2）解：连结OA′，
∵OE=OP-PE=30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302，
解得：A′E=16．
∴A′B′=32．
∵A′B′=32＞30，
∴不需要采取紧急措施
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1） 连结OA， 根据垂径定理得出 AD= AB=30，根据线段的和差得出OD=（r-18） ， 在Rt△ADO中，由勾股定理 建立方程，求解即可求出r的值；
（2） 连结OA′， 根据线段的和差,由OE=OP-PE得出OE的长， 在Rt△A′EO中，由勾股定理建立方程，求解得出A'E的长，进而得出A'B'的长，将A'B'的长与30比大小即可得出结论。

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