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板块一 集合、逻辑与复数
大招一 集合技巧全攻略
通关三、集合运算的相关结论
交集
并集
补集
结论一、集合的互异性
对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例如集合,则有
例1设集合,则中元素的个数为（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案]
[解析] 因为集合,所以的值可能为.所以中元素只有:5，6，7故选.
变式已知集合各元素之和等于3,则实数（ ）
[答案] 2或
[解析] 根据集合中元素的互异性,当方程重根时,重根只能算一个元素..当时,,不合题意;当,即时,,符合题意;当,且时,,则,符合题意.综上,或.
结论二、集合相等
对于两个集合与,如果,且,那么集合与相等,记作.
例2设,集合,则（ ）.
A.1 B. C.2 D.
[答案] C
[解析] 由题意知,又,故,得,则集合,可得,则.故选.
变式 设,若,则（ ）
[解析]因为,所以,所以,所以.
结论三、集合子集个数
真子集有个,非空真子集有个.
例3：已知集合,则的子集个数为（ ）.
A.3 B.4 C.7 D.8
[答案] D
[解析] 因为集合,所以,,所以中含有3个元素,集合的子集个数有.故选.
变式 设集合,若至少有3个元索,则这样的一共有（ ）.
A.2个 B.4个 C.5个 D.7个
[答案] C
[解析] 因为集合至少有3个元素,所以满足条件的集合有:,所以这样的一共有5个.故选.
结论四、子集与交集
若,则;若,则.
例4：已知集合.若,则实数的值是（ ）.
A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2
[答案] C
[解析] 因为,所以,所以或故选.
变式 已知集合,若,则实数的取值范围是（ ）.
A. D.
[答案] C
[解析] 由,即,可得,故.由可得,故.故选.
结论五、子集与并集
若,则;若,则.
例5：已知集合，.若,则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 因为,所以,即,得,解得,所以的取值范围是.故选C.
变式 设全集,若,则下列正确的是( ).
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 由可得,所以.故选B.
结论六、子集与空集
题目中若有条件,则应分和两种情况进行讨论.
例6：若集合,,且,则实数
[答案] 0或或
[解析] 由可得或,因此
(1)若,得,此时,;
(2)若,得.若,满足或,解得或.
故所求实的值为0或或.
变式 已知,则的取值范围是___________
[答案]
[解析] 应分和两种情况讨论.
当 , 即 时, ,满足 , 即 ; 当 , 即 时, ,满足 , 即 ; 当 , 即 时,由 ,得 即 ;
综上, . 故 的取值范围是 .
结论七、交集与空集
由于,因此,中的可以为.
例7：已知集合,且,则实数的取值范围为（ ）.
[答案] D
[解析] 由, 得 , 得 , 所以4}.又,所以.
(1)当时,有 ,解得.
(2)当 时,有
综上, . 故选 .
变式 设 , 若 , 实数 组成的集合的子集有（ ）个.
[答案] 8
[解析] 集合化简得 ,由知,故()当时,即方程无解,此时符合已知条件.(当时, 即方程的解为3或5,代人得或综上,满足条件的组成的集合为,故其子集共有 个.
结论八、并集与空集
由于,因此,中的可以为.
例8 已知集合 ,则的取值是( ).
A. B. C. D.
[答案] D
[解析]，，
当 时,.若,则方程无实数解,此时;,则方程的实数解为,此时;若,则方程的实数解为3,此时;若,则方程的实数解为和3,此时不存在.综上,的取值是.故选 D.
变式 已知集合 ,若,实数 的取值范围为_______
[答案]
[解析] , 因为,所以.
(1)当时,即,解得
(2)当时,即
综上,实数的取值范围为.
结论九、反演律（德摩根定律)
(交的补等于补的并)
（并的补等于补的交）
例9 若为全集,下面三个命题中是真命题的有( )
(1)若,则.
(2)若,则.
(3)若,则.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
[答案] D
[解析] （1）
(2);
(3) 证明:因为,即,而,所以;同理, 所以=
综上，三个命题均为真命题.故选D.
变式 若全集,则集合等于（ ）.
[答案] D
[解析] 因为 ,所以.故选D.
结论十、容斥原理
用 表示集合中的元素个数(有资料中用或其他符号)，则通过维恩图可理解其具备的二维运算性质.
例10：高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下:参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三;参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人;两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为
[答案] 40人
[解析] 设，，
.设该班两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，
由图可知,,解得，
因为(人),所以该班总人数为40人.
变式 设是有限集,定义,
其中表示有限集中的元素个数,
命题(1):对任意有限集"是“"的充分必要条件;
命题对任意有限集.下列判断正确的是（ ）.
A.命题(1)和命题(2)都成立 B.命题(1)和命题(2)都不成立
C.命题(1)成立,命题(2)不成立 D.命题(1)不成立,命题(2)成立
[答案]
[解析] 实际表示的是只在中或只在中的元素个数.
对命题(1),当时,至少有1个元素只在中或只在 中, 所以
对命题,如图所示,记图中的各个区域 内的元素个数是且,
所以,
所以，,
所以命题也成立. 故选
大招二 简易逻辑
通关一、基本概念
要点诠释：刻意借助集合的‘交’“并”“补”运算来理解逻辑联结词“且”或“非”，对比如下：
命题形式 集合运算
..且
或
非
通关二、全称量词与存在两次
量词名称 常见两次 表示符号
全称量词 所有的、一切、任意一个、全部、每一个等
存在两次 存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些等
通关三、全称命题与特称命题
表述方法 全称命题 特称命题
对所有的成立 存在成立
对一切成立 至少有一个成立
对每一个成立 对有些成立
任选一个成立 对某个成立
通关四、常用词语与它的否定词
正面词语 等于 大于 小于 是 都是 都不是 至少有一个 至多有一个
否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有一个是 一个也没有 至少有两个
通关五、充分条件与必要条件的相关概念
要点诠释：充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性:若是的充分条件,则是的必要条件,即".
(2)传递性:若是的充分(必要)条件,是的充分(必要)条件,则是的充分(必
要)条件,即“且”“”且“且”“”
【结论大招】
结论一、命题的等价性
例1与命题“若,则"等价的命题是（ ）
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C
【解析】原命题与其逆否命题等价,C项是原命题的逆否命题,符合要求.放选C.
变式 命题“若 , 则 "的逆否命题是（ ）
A.若,则 B.若,则 C.若,则 D. 若,则
【答案】 C
【解析】 “若 , 则 ”的逆否命题是“若, 则”，故选C.
结论二、全称命题与特称命题的否定
命题 命题的否定
例 2 命题“ " 的否定是 .
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】 原命题是特称命题，“”的否定是“”，“”的否定是“”，因此该命题的否定是“”. 故选 .
变式 命题 "的否定是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为非 是 的否定, 所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可, , 故选 B.
结论三、复合命题的否定
例 3 在一次跳伞训练中, 甲、乙两位学员各跳一次,设命题 是“甲降落在指定范 围", 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即“甲或乙没有降落在指定范围内”.故选A.
变式 命题“且的否定形式是（).
A.且 B.或
C.且 D.或
【答案】D
【解析】全称命题的否定是特称命题,因此命题“且”的否定为“或”.故选D.
结论四、复合命题的真假判断
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
要点诠释:见真即真见假即假与非真假相反
例4已知命题:为真,则下列命题是真命题的是(.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为命题为真,所以命题为真,命题为真,则为假,也为假,则为假,为假,为假,为真.故选.
变式 已知命题:若,则;命题若,则,在命题;(2);(3);(4)中,真命题是（ ）.
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】C
【解析】根据不等式的性质可知,若,则成立,即为真命题;当时,满足,但不成立,即命题为假命题.则为假命题;为真命题;为真命题;为假命题.
综上,(2)(3)为真命题.故选C.
结论五、充要条件注意命题前后顺序
例5已知,下列四个条件中,使成立的必要而不充分的条件是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】“"能推出“,,故选项是“"的必要条件,但“"不能推出“",不是充分条件,满足题意;""不能推出“,故选项不是“"必要条件,不满足题意;
“"不能推出“”，故C选项不是“"的必要条件，不满足题意；“"能推出"且 能推出，故D选项是“"的充要条件,不满足题意.故选.
变式 若都是实数,试从①;②;③；④中选出适合下列条件者,用序号填空:
(1)“使都为0"的必要条件是___________
(2)“使都不为0”的充分条件是___________
(3)“使至少有一个为0"的充要条件是__________
【答案】（1）①②③ （2）④ （3）①
【解析】(1)或,即至少有一个为;(2)互为相反数,则可能均为0,也可能为一正一负;（3或(4),或即都不为.
结论六、集合关系解读充要条件
例6已知,则是的（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要
【答案】A
【解析】 由 , 可得 , 设集合 为 , 又因为 0, 可得 , 设集合 为 , 则 , 可得 是 的充分不必要条件. 故选 A.
变式 设 , 若 是 的必要不充分条件,则实数 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 对应集合 对应集合 , 所以.. 对应集合 或 ，对应集合 或 , 因为 是 的必要不充 分条件,所以 , 所以 且 , 即 . 故选 A.
大招三 复数的概念和性质
通关一、复数的定义
要点诠释：（1）因为实数可写成，所以实数一定是复数；
（2）复数构成的集合叫复数集，记为
通关二、虚数单位的周期性
通关三、复数核心运算
结论一、复数的分类
例1(2020浙江卷2)已知,若为虚数单位是实数,则（ ）
A.1 B. C.2 D.
【答案】C
【解析】因为是实数,所以,所以.故选C.
变式 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】因为“"得或,只有,且,复数为纯虚数,否则
不成立;复数为纯虚数,所以且,所以.因此,i是虚数单位,则"是“复数为纯虚数"的必要不充分条件.故选.
结论二、复数相等
例 2 若复数 , 则（ ）
【答案】 5
【解析】 因为复数 , 所以 ,解得 ,
故 .
变式 已知 是虚数单位,若( ,则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】
【解析】因为 , 所以 , 即 -4i, 所以 , 解得 . 故选 .
结论三、共轭复数
例 3 ( 2020 全国Ⅲ卷文 2)若 , 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 , 所以 . 故选 D.
变式 若复数, 其中为虚数单位,则共若复数 （ ）
A. B. C. D.
答案
【解析】 因为复数 , 所以 . 故选 .
结论四、复数的加法与减法及意义
例4设复数满足,则_______________
【答案】
【解析】复数满足,所以,故.
变式 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则（ ）
A. B. C. D.4
【答案】
【解析】对应的点的坐标为,因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,所以关于虚轴对称的点的坐标为,则对应的复数,则.故选.
结论五、复数的乘法
要点许释:.
例5 （ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】.故选.
变式 设,且为正实数,则（ ）
A. B.1 C.0 D.
【答案】
【解析】是正实数,故.
故选D.
结论六、复数的除法
例山东卷2（ ）
A. B. C. D.-
【答案】D
【解析】 . 故选 .
变式
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 . 故选 D.
结论七、复数的模
例 7 已知复数 , 则 （ ）
【答案】
【解析】 因为复数 , 所以 . 故答案为 .
变式 已知为虚数单位,复数 , 则
【答案】 1
【解析】 因为 为虚数单位,复数 , 则 . 故答案为 .
结论八、复数常见运算技巧
例8: 已知复数，则（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】 故选B.
变式 ：设，是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.
A. 若，则 B． 若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】 D
【解析】 对于A选项，若，则，所以为真命题;
对于B选项，若则和互为共轭复数，所以为真命题;；
对于C选项，设，若则，所以为真命题；
对于D选项，若则为真，而 所以为假命题.
故选D.
结论九、复数的几何意义
在复平面内，每一个复数都对应着一个点（有序实数对）.复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
例9:已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】由已知可得复数在复平面内对应的点的坐标为，所以,解得.故选A.
变式: 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】复数在复平面内对应的点在第二象限，所以,解得.则实数的取值范围是.故选B.板块二 函数
大招一 函数三要素
通关一、函数符号的理解
对应法则是函数概念的核心，的含义是：等于在法则下的对应值，而是对应得以实现的方法和途径，是联系与的纽带，因此是函数关系的本质特征，甚至用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，是无关紧要的.
的含义与又不同，前者表示自变量时所得的函数值，它是一个常量，后者是的函数，在通常情况下，是一个变量，是的一个特殊值.
通关二、函数的值域
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）利用常见函数的值域：一次函数的值域为；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为；指数函数的值域是；对数函数的值域是；正、余弦函数的值域是；正切函数的值域是； （3）单调性法：先利用函数的单调性，再由单调性求函数的值域； （4）分离常数法：即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （5）换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后通过求有理函数的值域，间接地求解原函数的值域； （6）不等式法;利用几个重要不等式及推论来求得最值，进而求得值域，如：，，当且仅当时等号成立； （7）判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用判别式求值域，形如或的函数适用，注意的取值范围； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域，因为常出现反解出的表达式的过程，也称为反解有界性法； （9）配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法； （10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法； （11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
【结论大招】
结论一、具体函数定义域的求解
例1：函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解得，即函数的定义域为，故选C.
变式 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使原函数有意义，则，即，解得，所以原函数的定义域为，故选B.
结论二、抽象函数定义域的求解
例2:设，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 由意义，则，解得.又有意义，则，解得，所以，故选B.
变式 已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】在函数中，定义域为，即，所以的定义域为，要求的定义域，则，所以的定义域为，故填.
结论三、同一个函数的判定方法
例3 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【解析】 对于A选项,而二者的对应法则不同；对于B选项,而二者的定义域不同;对于C选项，与的定义城不同；对于D选项,与完全相同.故选D.
变式 下列各对函数中 ,图像完全相同的是( ).
A． B．
C. D．
【答案】C
【解析】 对于 A选项,因为的定义域为,与的定义域为,两个函的对应法则不相同,所以不是同一个函数;对于B选项,因为的定义域为，的定义域为,所以两个函数不是同一个函数;对于C选项,因为的定义域为且，的定义域为且,对应法则相同,所以两个函数是同一个函数;对于D选项,因为的定义域是的定义域是,定义域不相同,所以不是同一个函数.故选C.
结论四、函数表达式
1.配凑法;是将右端的代数式配凑成关于的形式,进而求出的解析式; 2.换元法:主要解决已知复合函数的表达式求解函数的解析式的问题.令 ,解出,即用表示,然后代入中即可求得 ,从而求得 . 3.待定系数法:有些题目给出函數特征,求函数的解析式，可用待定系数法,比如函数是二次函数,可设为 ,其中 是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出 即可. 4. 函数方程法:主要解决已知函數的抽象关系式求解函数解析式的问题，将作为一个未知数来考虑,建立方程(组),消去另外的未知数便得到的表达式.
例4 已知二次函数,则=__________.
【答案】
【解析】
解法一(换元法) 令,则，所以所以
解法二(配凑法)因为,所以 .
解法三(待定系数法)因为是二次函数,所以设,则 ,因为所以解得,所 .
变式 已知满足,则=__________.
【答案】
【解析】 已知 ①,以代替①式中的,得 ②,
由①2-②得
故.
结论五、换元法求函数的值域
将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元素代替,将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值城, 1.在换元的过程中,因为最后是要用新元解决值城,所以一旦换元,后面紧跟新元的取值范围. 2.换元的作用有两个: ①通过换元可将函数解析式简化,例如当解析式中含有根式时,通过将根式视为一个整体,换元后即可“消灭”根式,达到简化解析式的目的. ②化归:可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理. 3.换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程,在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关,那么自然将这个表达式视为研究对象.
例5 函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域为,令所以,则 ,
所以 . 因为,所以的值域为
故选D.
变式：已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .因为的定义域为，且，所以，解得.令，则所以，所以，即的值域为.故选B.
大招二 函数的单调性
【知识通关】
通关一、函数单调性的定义及几何意义
项目 增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数在区间上 是增函数. 当时，都有，那么就说函数在区间上 是减函数.
图像描述 自左向右看，图像是上升的 自左向右看，图像是下降的
要点诠释
(1)函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致，一致则为增函数，不一致则为减函数.
(2)函数单调性“数”的表现是函数值的增大与减小，“形”的表现是函数图像的上升与下降
(3)“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，显然.
(4)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接.
(5)增(减)函数定义中的三个特征：
①任意性；
②有大小，即或；
③同属于一个单调区间.
通关二、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 (1)对于任意的，都有； (2)存在，使得. (1)对于任意的，都有； (2)存在，使得.
结论 为最大值 为最小值
结论一、定义法证明函数单调性
例1:已知函数对任意实数均有，且当时.试判断的单调性，并说明理由.
【解析】设且，则，故.所以.所以.故在上为增函数.
变式：已知给定函数对于任意正数都有，且，当 时.试判断在上的单调性，并说明理由.
【解析】对于有，又，所以.设，且，则，所以
. 故 在 上为减函数.
结论二、函数单调性的正向与逆向理解
1. 正向结论:若 在给定区间上是增函数,则当 时, ;
当 时, ;
2. 逆向结论:若 在给定区间上是增函数,则当 时, ;
当 时, .
例2： 已知 在区间 上是增函数, 且 ,则下列表达正 确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【 解析 】可转化为和，因为在区间上是增函数, 所以且,根据同向不等式相加性质得. 故选 B.
变式：已知是定义在上的增函数,若,则的取值范围是_________.
答案
【解析】由已知可得，故的取值范围是 .
结论三、单调性结论
设 那么
在上是增函数; 在 上是减函数.
例 3 ：定义在上的函数满足:对任意的, 有 , 则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 因为对任意的 ,有 , 所以函数 在 上是减函数, 因为 , 所以 . 故选 D.
变式：已知函数 ,若对任意 , 均满足 ,则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由 可知 在 上为增函数, 所以 在 上恒成立,而 , 所以 , 即 . 故 的取值范围是 .
结论四、单调性性质
若函数在区间上具有单词性,则在区间上具有以下性质:
1. 与为常数 具有相同的单调性.
2. 当非负时, 与 具有相同的单调性.
3. 与在 时具有相同的单调性,在时具有相反的单调性.
4. 当恒不为0时,函数与单调性相反.
例4：已知函数, 则（ ）.
A. 是偶函数,且在 上是增函数 B. 是奇函数,且在 上是增函数
C. 是偶函数,且在 上是减函数 D. 是奇函数,且在 上是减函数
【答案】
【解析】 , 所以 , 即函数 为奇函数,以函数 为增函数, 为减函数,故函数 为增函数. 故选 B.
变式：若函数 在 上为增函数,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】解法一 . 任取, 则
因为 , 所以, 以. 已知函数在 上单调递增, 故, 所以1, 解得.所以 的取值范围是.
解法二 , 因为在上单调递减, 在 上单调递增, 所以, 解得.所以的取值范围是 .
结论五、单调性求最值
1. 若函数在闭区间上是增函数,则在上的最小值为, 最大值为；
2. 若函数在闭区间上是减函数,则在上的最小值为,最大值为.
例 5: 函数 的值域为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】根据对数函数的定义可知, 恒成立,解得. 因此, 该函数的定义域为 , 原函数 是由对数函数 和组合成的复合函数. 由复合函数的单调性定义 同增异减) 知道,原函数在定义域上是单调递增的. 根 据指数函数的性质可知, , 所以,,所以 . 故选A.
変式：已知函数, 若 时,的最大值为3 ,则 时,的最小值是__________.
【答案】
【解析】因为在区间上均为单调递增函数, 又 0 , 所以在区间上为单调递增函数. 当时, 的最大值为; 当时,的最小值为 .
大招三 函数的奇偶性
通关一、函数奇偶性的定义和性质
函数图象的对称性 轴对称 中心对称
函数示意图
奇偶性 偶函数 奇函数
满足的关系式
本质 当取的自变量互为相反数时，函数值相等 当取的自变量互为相反数时，函数值也互为相反数
1. 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称;
2. 是偶函数的图像关于轴对称是奇函数的图像关于原点对称;
3. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
4. 为偶函数.
5. 若奇函数的定义域包含0 ,则.
通关二、函数奇偶性的运算
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
通关三、一些重要类型的奇偶函数
1. 函数为偶函数, 函数为奇函数.
2. 函数且为奇函数
3. 函数且为奇函数.
4. 函数且 )为奇函数.
结论一、定义域优先
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
例 1: 若函数是偶函数,定义域为, 则__________.
__________.
【答案】
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称, 所以, 解得. 又函数
为偶函数,结合偶函数图像的特点,易得.
变式：已知偶函数的定义域为 , 则
_________.
【答案】16
解析：因为为偶函数, 故其定义域关于原点对称, 所以
, 由函数为偶函数可得, 故.
结论二、函数的构造
任何一个定义域关于原点对称的函数, 总可以表示为一个奇函数和 一个偶函数的和, 其中.
例 2 :已知是奇函数,是偶函数,且, 则_________.
_________.
【答案】
【解析】因为是奇函数, 是偶函数, 所以, 则 , 即两式相减, 解得; 两式相加,解得 .
变式:已知是奇函数, 是偶函数,且, 则_________.
_________.
【答案】
【解析】因为是奇函数,是偶函数,所以,则即. 两式相减,解得;两式相加,解得.
结论三、奇函数特性
1. 是奇函数
2. 若 是奇函数,且 有意义,则 .
例 3：若函数 是奇函数,则的值为（ ）.
A.1 B. 0 C. D.
【答案】B
【解析】因为 是奇函数,且, 所以, 即, 所以. 故选B.
变式：若函数 为奇函数,则实数的值（ ）.
.等于 0 B. 等于 1 C. 等于2 D. 不存在
【答案】
【解析】解法一：若函数 为奇函数,则, 即
对任意实数恒成立,整理. 故选 B.
解法二：因为有意义, 所以. 故选 B.
结论四、偶函数特性
1. 是偶函数
2. 若是偶函数,则 .
3. 如果偶函数在轴左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量,，谁距离 轴近,谁的函数值小, 即若 , 则; 反之,若, 则 ;
4. 如果偶函数在轴左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量,，谁距离 轴近, 谁的函数值大, 即若,则; 反之,若 , 则 .
例 4：设为定义在上的偶函数, 且在上是增函数,若 ,则实数 的取值范围是（ ）
A. В. C. D.
【答案】C
【解析】因为为定义在上的偶函数,且 上是增函数,所以 在上是减函数, 由得, 等价为 , 则 , 得 得即实数取值范围是 . 故选 C.
变式:已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足 , 则的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】由于为偶函数, 所以
, 因为在区间 上单调递增, 所以, 即的最小值为. 故选C.
结论五、奇偶性与单调性关系
1. 如果奇函数 在区间 上是递增的,那么函数 在区间 上也是递增的;
2. 如果偶函数 在区间 上是递增的,那么函数 在区间
上是递减的.
例5：设奇函数在上为增函数,且, 则不等式
的解集为_________.
【答案】
【解析】因为函数是奇函数, 所以, 所以不等式 等价于, 即 或 根据条件可作出函数的大致图像,如图所示. 故不等式的解集为.
変式：已知奇函数的定义域为, 且在区间 上单调递减,则满足的实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】因为的定义域为, 所以有, 解得 (1).由, 得. 又由为奇函数,得
, 所以, 又 为奇函数,且在 上单调递减,所以在上单调递减. 所以. 即(2). 综合 可知,实数的取值范围为.
大招四 函数的对称性
对称轴 : 对称轴 :
对称轴 :每个点关于对称轴对称之后还在图像上. 偶函数中两自变量的中点是中间的 0 ,两函数值相等,有 . 因为轴 对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上,所以若 和 两点关于 轴对称, , 则两自变量满足 因为中点在对称轴上).
通关二、中心对称
对称中心:每个点绕着对称中心旋转 后还在图像上. 奇函数中两自变量的中点是中间的0, 两函数值中点是0 ,有 . 若将对称中心移到点, 可同理,从出发,向左向右距离相等,使其自变对称,则它们对应的函数值的中点应为, 所以 .当自变量关于对称时, 函数值关于对称.
通关三、常见对称性结论
序号 函数满足的条件 对称轴 （中心）
自对称 轴 对 称 （1） 满足 的函数的图象 ，偶函数
（2） 满足 的函数的图象 （或，或）
（3） 满足 的函数的图象 （或，或）
（4） 满足 的函数的图象
中 心 对 称 （5） 满足 的函数的图象 ，奇函数
（6） 满足 的函数的图象 （或，或）
（7） 满足 的函数的图象
（8） 满足 的函数的图象
互对称 轴 对 称 （9） 与 两个函数的图象 ，即轴
（10） 与两个函数的图象
（11） 与两个函数的图象
（12） 与两个函数的图象 ，即轴
（13） 与两个函数的图象
（14） 与两个函数的图象
中 心对称 （15） 与两个函数的图象
（16） 与两个函数的图象
（17） 与两个函数的图象
结论一、型
对函数成立的图像关于直线对称.
例1 如果函数对任意的实数,都有,那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 由知函数图像的对称轴为,且抛物线的开口向上,
则,根据到对称轴的距离远的函数值较大得,故选A.
变式 若函数满足,且在上单调递增,则实数的最小值等于_______.
【答案】 2
【解析】 由得函数关于对称,故,则,由复合函数单调性得在上递增,故,所以实数的最小值等于2.
结论二、型
对函数成立的图像关于直线对称.
例2 对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 由题意可得准偶函数的图像关于直线对称,即准偶函数的图像存在不是轴的对称轴.选项中函数的图像不存在对称轴,选项中函数的图像的对称轴为轴,只有选项中的函数满足题意.故选D.
变式 若函数对任意都有,则以下结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 若函数对任意都有,则的对称轴为且函数的开口方向向上,则函数在上为增函数.又,所以,即.故选A.
结论三、为偶函数型
为偶函数的图像关于对称.
例3函数在上单调递增,且函数是偶函数,则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 函数是偶函数,则其图像关于轴对称,所以函数的图像关于对称,则.又因为函数在上单调递增,则有,所以.故选C.
变式 已知定义域为的函数在上为减函数,且函数为偶函数,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是偶函数,所以,即关于直线对称,所以.又因为在为减函数,所以在上为增函数,所以,即.故选D.
结论四、型
对函数成立的图像关于点对称.
例4 若函数满足：,则的图像的对称中心为_______.
【答案】
【解析】 因为,所以的对称中心为.
变式已知函数当时,,且恒成立,则当时,____.
【答案】
【解析】 因为,所以的对称中心为,所以,,
当时,则,所以,所以.
结论五、型
对函数成立的图像关于点对称.
例5 定义域在上的函数满足,函数关于________对称.
【答案】
【解析】 因为,则由函数的对称性结论得关于点对称.
变式已知定义域为的函数满足,且函数在区间,上单调递增.如果,且,则的值（ ）
A．可正可负 B．恒大于0 C．可能为0 D．恒小于0
【答案】 D
【解析】 由可得关于中心对称,所以有.代入可得,从而.故选D.
结论六、型
对函数成立的图像关于点对称.
例6 已知满足,则以下四个选项一定正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】 D
【解析】 根据可得的对称中心为,把的图像向左并且向下平移1个单位之后即得奇函数的图像,所以是奇函数.故选D.
变式 已知函数满足,若函数与图像的交点为,则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】 B
【解析】 由,得关于对称,而也关于对称,所以对于每一组对称点,所以.故选B.
结论七、为奇函数型
为奇函数的图像关于点对称.
例7若函数是奇函数,那么函数的图像关于________对称.
【答案】
【解析】 因为是奇函数,所以关于对称,的图像向左平移1个单位即得的图像,所以的图像关于对称.
变式 已知函数是奇函数,当时,,则当时,________.
【答案】
【解析】 因为为奇函数,所以关于对称,即,所以.当时,则,所以,所以.
结论八、型
简单分式函数,由变量分离法得对称中心.
例8 函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 因为,所以函数的图像的对称中心的坐标为.故选D.
变式 函数的图像的对称中心是,则____.
【答案】 3
【解析】 因为,所以函数的图像的对称中心是,由已知得,故.
结论九、含绝对值的函数对称性
1.的图像关于直线对称，且函数的最小值为0;
2.的图像关于直线对称，且函数的最小值为;
3.的图像关于点对称，且函数的值域为,
例9 设函数的图像关于直线对称,则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】 A
【解析】 由题知的对称轴为,即,解得.故选A.
变式 设函数的图像关于点对称,且函数的最大值为2,则______.
【答案】 12或0
【解析】 因为的图像关于点对称,所以.当时,,解得;当时,,解得.所以或.
结论十、两个函数的对称性
若函数定义域为,则函数与两函数的图像关于直线对称(由可得).
例10 对任意的函数在同一直角坐标系中,函数与函数的图像恒（ ）
A．关于轴对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于轴对称
【答案】 C
【解析】 函数与的图像关于轴即对称,因为的图像是由函数的图像向左平移一个单位得到的;函数是由函数的图像向左平移一个单位得到的,所以两个函数的对称轴也向左平移了一个单位,故所求的对称轴是.故选C.
变式 函数的图像与函数的图像的关系为( )
A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称
【答案】 A
【解析】 由题意可判断两个函数的图像关于直线对称,可设函数图像上的任意点,该点关于直线的对称点为在的图像上,故,而,所以对任意恒成立,所以,即.故选A.
结论十一、对称轴斜率为1或－1
1.关于对称的点的坐标为.
2.关于对称的点的坐标为.
例11 已知函数是奇函数,当时,函数的图像与函数的图像关于对称,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 因为时,的图像与函数的图像关于对称;所以时;所以时,.又是奇函数,所以.故选C.
变式 设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】 C
【解析】 设是函数的图像上任意一点,它关于直线对称的点的坐标为,由题意知在函数的图像上,所以,解得,即,所以,解得.故选C.
结论十二、对称性与单调性结论
1.如果函数在对称轴左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量谁距离对称轴近,谁的函数值小,即若,则;反之,若,则;
2.如果函数在对称轴左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量谁距离对称轴近,谁的函数值大,即若,则;反之,若,则.
例12 已知函数的定义域为,且满足下列两个条件:①对任意的,当时,都有;②是偶函数.若,则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 由条件①可以判断出在上是增函数,由条件②可以判断出函数关于对称,所以自变量距离对称轴越近,所对应的函数值越小.所以.故选D.
变式 已知定义在上的函数满足,且在上单调递增,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 根据题意可得,的图像关于直线对称.所以在上单调递增,所以自变量距离对称轴越近,所对应的函数值越小.因为,所以,所以.由题意可得.故选A.
大招五 函数的周期性
通关一、周期概念理解
1.定义:设的定义城为,若对,存在一个非零常数,有,则称函数是一个周期函数,称为的一个周期.
2.若是一个周期函数,则,那么,即也是的一个周期,进而可得也是的一个周期.
3.最小正周期:若为的一个周期, 也是的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数就没有最小正周期.
通关二、常见周期性结论
函 数 周 期 性 的 一 些 结 论 序号 函数式满足关系() 周期
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 或
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
结论一、型
的周期为.也是函数的周期.
例1 定义在上的函数满足:,当时,;当时,,则（ ）
A．336 B．337 C．338 D．339
【答案】 C
【解析】 因为,当时,;当时,,
所以,
所以,因为,所以的周期为6,
所以.故选C.
变式 函数的定义域为,且,当时,;当时,,则（ ）
A．671 B．673 C．1343 D．1345
【答案】 D
【解析】 因为,所以,所以函数是周期为3的周期函数.
又当时,;当时,,
所以,
所以
.故选D.
结论二、型
的周期为.
例2 已知在上是奇函数,且满足,当时, ,则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】 A
【解析】 因为,所以的周期为10,
因此.故选A.
变式 设函数是定义在上的周期函数,且,若,,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】 因为,所以,即,
所以f(x)是周期为3的函数，所以f(2017)=f(1)=，又f(1)>-2，所以>-2,所以＜0,所以m(m+1)(m-3)<0,所以m<-1或0结论三、f(x+a)=f(x±b)型
f(x+a)=f(x-b) y=f(x)的周期为T=a+b.
f(x+a)=f(x+b) y=f(x)的周期为T=b-a.
例 3 已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)=x3-1,当-1≤x≤1时，f(-x)＝-f(x),当x>时，f(x-)=f(x+)，则f(6)=（ ）.
A. 2 B. 0 C. -1 D. -2
【答案】A
【解析】因为当x>时，f(x-)=f(x+) T=1，所以f(6)=f(1)=-f(-1)＝-(-1-1)=2.故选A.
变式： 已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，当x∈(0, 1)时，f(x)=-x2+x，则函数f(x)的最小值为（ ）
A . B. C. D.
【答案】B
【解析】由f(x 1)=f(x+1)可得f(x)是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由f(x) + f( x) = 0可得f(x)为奇函数，所以考虑区间( 1, 1)，在x∈(0, 1)时，f(x)= (x )2+，所以f(x)max=f()=，而由于f(x)为奇函数，所以在x∈( 1, 0)时，f(x)min=f( )= f()=-，所以f()=即为f(x)在(-1, 1)上的最小值，从而也是f(x)在R上的最小值.故选B.
结论四、 f(a+x) = f(x b)型
若函数y = f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)=-f(x b)，则y=f(x)是以T=2(a+b)为周期的周期函数。
例 4 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+1)=-f(x 1)，若f( 1)>1，f(5)=a2 2a 4，则实数a的取值范围是（ ）.
A.( -1 , 3) B.( -∞ ,-1)∪( 3 ，+∞)
C.( -3，1) D.( -∞ ,-3)∪( 1 ，+∞)
【答案】 A
【解析】由f( x+1 )= -f(x 1)可得f(x+2)= f( x )，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)=f(1)=a2-2a-4.又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，f( 1 ) > 1，所以 f(1)< -1 ，所以a2 2a-4 < 1 ，解得 1 < a < 3. 所以实数a的取值范围是(-1,3 )，故选A。
变式 已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意x都满足 f(x+2)=f(4 x)，且当x∈［0，3]时，f(x)=log2(x+1)，则f(2019)= ____________
【答案】 2
【解析】由 f(x)为奇函数且f(x+2)=f(4-x)，得f(6+x) = f(-x) = -f(x),所以f（12+x)= -f(6+x)= -[-f(x)]=f(x),则f（x)的周期T=12,所以f(2019)=f(12*168+3)=f(3).因为当x∈[0, 3]时，f（x)=log2(x+1),所以f(2019)=f(3)＝log24=2.
结论五、f(x)+f(x+a)=k型
f(x)+f(x+a)=k(k为常数） f(x)的周期为T=2a.
例 5 已知函数f（x)是R上的偶函数，且满足f（x+1)+f(x)=3.当x∈[-1, 0]时，f（x)=2+x,则f(-2007.5)的值为（ ）
A. 0.5 B.1.5 C.-1.5 D.1
【答案】B
【解析】 由f(x+1)+f(x) = 3可得f(x)+f(x-1)=3,两式相减可得f（x+1)=f(x-1),所以f（x)的周期T=2,再由f（x)是偶函数可得f(-2007.5)=f(0.5)=f(-0.5)=1.5.故选B.
变式 已知函数f（x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点（1, 0)对称且f（2)=4,则f(22)= ____________
【答案］-4
【解析】因为y=f(x-1)的图像关于点（1, 0)对称，所以y=f(x)的图像关于点（0, 0)对称，即函数f（x)为奇函数.由f(x＋6)+f(x)=2f(3)得f(x+12)+f(x+6)=2f(3),所以f（x+12)=f(x),T=12,因此f（22)=f(-2)=-f(2)=-4.
结论六、=型
f(x+α)= y=f(x)的周期为T=2a.
例6 函数f（x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f（1)=-5,则f(f（5))=（ ）
A.-5 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】由题意得f(x)=f(x+4),则f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)= =-故选D.
变式 已知函数y=f(x)满足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),且当x∈［, 1]时,f(x)=2x+2,则f(2018)=（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】函数y=f(x)满足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),可知函数是以4为周期的周期函数，且关于x=对称。又由当x∈[,1]时，f(x)=2x+2，所以f(2018)=f（504*4+2)=f(2)=f(1)=2*1+2=4,故选C.
结论七、 = 型
= y=f(x)的周期为T= 2a.
例7 设偶函数f（x)对任意x∈R都有f(x) = ,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x,则f(119.5)=（ ）.
A.10 B. -10 C. D.
【答案】C
【解析】因为函数f(x)对任意x∈R都有f(x) = ,所以f(x+3) = ，则f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期为6,所以f(119.5)=f(20*6-0.5)=f(-0.5)= = ，又因为偶函数f（x),当x∈[-3,-2]时，有f(x)=4x,所以f(119.5)====.故选C。
变式 设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x,则f(113.5)的值是 _______________
【答案】
【解析】 因为f(x+6)=f[(x+3)+3]=＝=f(x),所以f(x)的周期T=6，f(113.5)=f(18*6+5.5)=f(5.5)===.
结论八、 f(x)·f(x+a)=k型
f(x)·f(x+a)=k(k为常数） f(x)的周期为T=2a.
例 8 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(x)=2,则f(2015)＝（ ）
A. B. C. 13 D.
【答案】B
【解析】由函数的关系式可得f(x)f(x+2)=13，f(x+2)f(x+4)=13,所以f(2015)＝f(504*4-1)=f(-1).关系式f(x)f(x+2)=13中，令x=-1可得f(-1)f(1)＝2f(-1)=13,所以f（-1)=,所以f（2015)=.故选B.
变式 已知f(x)是定义在R上的函数，并满足f(x)f(x+2)=-2.当1A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 由f(x)f(x+2)=-2可知f(x)≠0,所以f(x)f(x+2)=f(x+2)f(x+4)=-2,所以f(x+4)=f(x),即函数的周期是4,因为f(5.5)=f(5.5-4)=f(1.5),且当1结论九、 f(x+a) = 型
f(x+a) = y=f(x)的周期为T=2a.
例9 定义在R上的函数f（x)对任意x∈R,都有f（x＋2)= ，f(2)=,则f(2016)等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由f(x+2)=及所求f(2016)可联想到周期性，所以考虑f(x+4)===f(x),所以f（x)是周期为4的周期函数，故f(2016)=f(4),而由已知可得f(4)＝=,所以f（2016)=,故选D.
变式 定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)=，当x∈(0，4)时，f(x)=x2-1,则f(2010)= ____________
【答案】3
【解析】 因为定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)=,所以f(x+4)===f(x)，故函数的周期是4,所以f(2010)=f(2).又x∈(0,4)时，f(x)=x2-1，所以f(2010)=f(2)=22-1=3.
结论十、f(x+a) = 型
f(x+a) = y=f(x)的周期为T=4a.
例 10 已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=,f(1)=,则f(2015)= ____________
【答案】
【解析】f(x+4)=== f(x+8)==f(x) T=8，f(2015)=f(251*8+7)=f(7)=f(-1) f(-1+2)= f(-1)= f(2015)=f(-1)=.
变式 已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f（x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，f(1)=2018,则f（2017)的值为 ____________
【答案】2018
【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现f（x）是周期函数，显然f（x)≠1,于是f（x+2)=， f(x+4)=== .所以f(x+8)==f(x) ,故f(x)是以8为周期的周期函数，从而f(2017)=f(8*252+1)=f(1)=2018.
结论十一、两线型
若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数。
推论：偶函数y=f(x)满足f（a+x)=f(a-x) y=f(x)的周期T=2a.
例11设函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=0及直线x=1对称，且x∈[0，1]时，f（x)=x2,则f()=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数y=f(x)关于直线x=0对称，所以f(x)=f(-x)。又函数f(x)关于直线x=1对称，所以f(1-x)=f(1+x).则f(x)=f(-x)=f(1-x-1)=f(1+x+1)=f(x+2),可知f（x)是周期为2的周期函数，所以f（)=f（)=.故选B.
变式 已知定义域为R的函数y=f(x)在［0, 7]上只有1和6两个零点，且y=f(x+2)与y=f(x+7)都是偶函数，则函数y=f(x)在［0, 2013]上的零点个数为（ ）
A.404 B.804 C.806 D.402
【答案】C
【解析】 因为f(x+2)，f(x+7)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)，f(x+7)=f(-x+7)，所以f(x)关于x=2,x=7轴对称，所以f(x)为周期函数，且T=2*（7-2）=10，所以将[0,2013]划分为[0,10]∪[10,20]∪…∪[2000,2010]∪[2010,2013].因为f(x)关于x=2，x=7轴对称，所以f(x)=f(4-x)，f(x)=f(14-x).因为f(1)=f(6)=0，f(8)=f(14-8)=f(6)=0，f(3)=f(4-3)=f(1)=0,所以在[0，10]中只含有四个零点，而[0,10]∪[10,20]∪…∪[2000,2010]共201组，所以N=201*4=804.在[2010，2013]中，含有零点f(2011)=f(1)=0，f(2013)=f(3)=0共两个。所以一共有806个零点。故选C。
结论十二、 一点一线型
若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称且关于(b,0)中心对称(a≠b),则y=f(x)是以T=4（b-a）为周期的周期函数。
推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x) y=f(x)的周期T=4a.
例12已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2-x)=f(x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=（ ）.
A.-3 B.0 C.3 D.2018
【答案】C
【解析】因为f(x)为（-∞，+∞）上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)且f(0)=0,又因为f(2-x)=f(x),所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),所以f(x)是周期为4的周期函数，又f(1)=3,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,所以f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-3,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=f(1)+f(2)=3.故选C。
变式 奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1,则f(8)+f(9)=
【答案】1
【解析】因为f(0)=0，f(-x)=-f(x),f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),T=8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
结论十三、 两点型
若函数y=f(x)的图像关于点（a,0）与点（b,0）(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2（b-a）为周期的周期函数。
推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x) y=f(x)的周期T=2a.
例13 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 B.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数
【答案】D
【解析】从已知条件入手可先看f(x)的性质，由f（x+1),f(x-1)为奇函数分别可得到f（x+1)=-f(-x+1)，f(x-1)=-f(-x-1),所以f（x)关于（1, 0),(-1, 0)中心对称，可求得周期T=2*[1-(-1)]=4,所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A,B选项。对于D选项，因为T=4,所以f（x-1)=f(x-1+4)=f(x+3).因为f（x-1)是奇函数，所以f(x＋3)为奇函数，故选D.
变式 已知函数f（x)是定义在R上的奇函数，且满足f（4-x)=-f(x),当x∈(0, 2)时,f（x)=2x2,则f（2015)=（ ）.
A.-2 B.2 C.-98 D.98
【答案】A
【解析】根据题意，函数f（x)满足f（4-x)=-f(x),则f（x)关于点（2, 0)对称，又因为f（x)是奇函数，则f(x)关于点（0,0)对称，所以函数f（x)是周期为4的周期函数，则f（2015)=f(-1+4*504)=f(-1),又因为函数为奇函数，则f(-1)=-f(1)＝-（2*12)=-2,故f（2015)= -2,故选A.
大招六 二次函数
［知识通关］
通关一、二次函数的解析式
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程
(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
通关二、二次函数的图像和性质
解析式 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图像
定义域 R
值域
对称轴
顶点坐标
奇偶性 当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
单调性 时是减函数； 时是增函数； 时是减函数；时是增函数；
最值 当时， 当时，
【评注】可以直接根据二次函数的性质比较两个函数值的大小。若二次函数的图像开口向上，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。
【结论大招】
结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系
关于a,b,c的代数式 作用 说明
a 决定开口方向与大小；决定单调性 a > 0 向口向上，a越小开口越大，为单调递减区间，为单调递增区间
a < 0 向口向下，|a|越小开口越大，为单调递增区间，为单调递减区间
b 决定奇偶性 b=0 偶函数
b≠0 非奇非偶函数
c 决定与y轴交点位置 c > 0 交点在x轴上方
c = 0 过原点
c < 0 交点在x轴下方
决定对称轴位置 ab > 0 在y轴左侧
b = 0 对称轴是y轴
ab < 0 在y轴右侧
决定与x轴的交点个数 > 0 两个交点
= 0 一个交点
< 0 无交点
决定顶点的位置 利用配方法把函数化为
决定与x轴的两交点间的距离 =
例1 设abc>0，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是（ ）
【答案】D
【解析】A选项，由图像开口向下知 a<0，由对称轴位置知<0，所以b<0。若abc>0，则c>0，而由题图知f(0)=c<0，所以A选项不符；B选项，由题意知a<0，>0，所以
.若,则,而由题图知,所以选项不符;选项,由题图知,,所以.若,则,而由题图知,所以选项不符;选项,由题图知,所以.若,则,而由题图知,所以选项正确.故选D.
变式:右图是二次函数图像的一部分,图像过点,对称轴为.给出下面四个结论:①;②＝－1;③;④.其中正确的是( ).
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
答案:B
解析:因为图像与轴交于两点,所以,即,①正确.对称轴为,即,②错误.结合图像,当时,,即③错误.由对称轴为知,.又函数图像开口向下,所以,所以,即,④正确.故选B.
结论二、二次函数的对称性
二次函数的图像是一条抛物线,对称轴方程为,顶点坐标是
①如果二次函数满足,那么函数的图像关于对称.
②二次函数使成立的充要条件是函数的图像关于直线为常数)对称.
例2.若的图像关于对称,则_______.
答案:2
解析:由题意可知,解得,所以,解得.
变式:已知二次函数,如果其中,则_____.
答案：
解析:因为,所以的图像关于对称,
.
结论三、二次函数的单调性
二次函数
(1)当时,如图所示,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;
(2)当时,如图所示,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,.
例3:已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围为_______.
答案:或
解析:函数的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是.因为已知函数在上是单调函数,所以区间应在直线的左侧或右侧,即有或,解得或.
变式:若函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则实数的取值范围是( ).
A. B. C.[1,3] D.
答案:C
解析:因为函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以对称轴应在的右侧,的左侧或与重合,所以.故选C.
结论四、给定区间上的值域
对二次函数,当时,在区间上的最大值为,最小值为,令:
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;
(4)若,则.
例4:如果函数定义在区间上,求的最小值.
答案：
解析:函数,其对称轴方程为,顶点坐标为,图像开口向上.如图所示,若顶点横坐标在区间左侧时,有,此时,当时,函数取得最小值.
如图所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即.当时,函数取得最小值.如图所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即.当时,函数取得最小值,综上,
变式:已知二次函数的最小值为1,且.
(1)求的解析式;
(2)若在区间[]上不单调,求的取值范围;
(3)若,试求的最小值.
解析:(1)因为是二次函数,且,所以图像的对称轴为.又的最小值为1,设,又,所以.所以.
(2)要使在区间上不单调,则,所以.
(3)由知,的对称轴为,若,则在上是增函数,;若,即,则在上是减函数,;若,即,则.综上,当时,;当时,;当时,.
结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系
设
①函数的图像与轴无交点方程无实根不等式的解集为不等式的解集为.
②函数的图像与轴相切方程有两个相等的实根不等式的解集为.
③函数的图像与轴有两个不同的交点方程有两个不等的实根:设不等式的解集为不等式的解集为.
例5:设二次函数,方程的两个根满足0
(1)当时,证明;
(2)函数的图像关于直线对称,证明:.
解析:证明由题意可知.因为,所以,所以当时,.又且,所以.综上可知,所给问题获证.
(2)由题意可知,它的对称轴方程为,由方程的两个根满足,可得得,所以,即,而,故.
变式:设关于的不等式和的解集分别是和.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得 如果存在,求出的值,如果不存在,请说明理由.
解析:(1)
①当或时,,由,得,解得.
所以或.
②当或时,显然成立.
③当时,,由,得,解得.所以.
综上,实数的取值范围是.
(2)假设存在实数,使得,则:
①当或时,,由,得,所以不存在.
②当或时,显然不成立.
③当时,,由,得.
综上,不存在实数使得成立.
结论六、一元二次方程根的分布
令
分布情况 ①两根都小于k ②两根都大于k ③一个根小于k，一个根大于k ④两根都在(m，n)内
图像(a＞0)
充要条件
分布情况 ⑤两根有且仅有一根在(m，n)内 ⑥两根都在 区间(m，n)外 ⑦x1∈(a，m)， x2∈(n，b)
图像(a＞0)
充要条件
注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若,则不用考虑、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分,还是.
例6.二次方程,有一个根比1大,另一个根比小,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
答案:C
解析:令,则由题意可知且,即,解得.故选.
变式:求实数的范围,使关于的方程.
(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.
(2)有两个实根,且满足.
(3)至少有一个正根.
答案:
解析:.
(1)依题意有,即,得.
(2)依题意有,解得.
(3)方程至少有一个正根,则有三种可能:
①有两个正根,此时可得,即,所以.
②有一个正根,一个负根,此时可得,得.
③有一个正根,另一根为0,此时可得,所以.
综上,.
大招七、指数运算及指数函数
通关一、根式的概念和性质
n次方根 概念 一般地，如果，那么x叫作a的n次方根，其中.
性质 ①当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.这时,的次方根用符号表示.
②当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作.
根式 概念 式子叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数.
性质 ①
②当n为奇数时,.
③当n为偶数时,.
通关二、指数函数,且的图像与性质
0＜a＜1 a＞1
图像
定义域 R
值域 (0，＋∞)
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝a－x与y＝ax的图像关于y轴对称
过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是减函数 在R上是增函数
函数值的变化情况 当时,当时, 当时当时,0底数对图像的影响 指数函数在同一坐标系中的图像的相对位置与底数大小关系如图所示,其中. ①在轴右侧,图像从上到下相应的底数由大变小; ②在轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小.
结论一、指数基本运算
当时,有:
①;②;③;
④;⑤;⑥.
例1:化简并求值.
(1);(2)
解析:(1);
(2).
变式:化简并求值.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值;
(3)设,求的值.
解析:(1)
时,原式.
先对所给条件等价变形:
,
.故.
(3)因为,所以,所以
.所以
.
结论二、指数比较大小
1.对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;
2.对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断;
3.对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.
例2.设,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析:对于函数,在其定义域上是减函数.因为,所以,即.在同一平面直角坐标系中画出函数和函数的图像,可知,即.从而.故选A.
变式:若,则( ).
A. B. C. D.
答案:D
解析:因为,所以由指数函数的单调性可得.因为的符号不确定,所以当时,可排除选项;当时,可排除选项;由指数函数的性质可判断正确.故选D.
结论三、指数函数过定点
指数函数的图像恒过点，且函数的图像经过第一、二象限.
例3：函数的图像必过定点__________.
【答案】
【解析】,令,则. 当 时，,所以必过点.
变式：已数函数 且 的图像恒过定点,则__________.
__________.
【答案】2,0
【解析】令,求得,图像经过定点,即.
结论四、底数对指数函数图像的影响
1．底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升降”：当时，指数函数的图像“上升” ；当时，指数函数的图像“下降”.
2. 底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是还是,在第一象限内，自上向下，图像对应的指数函数的底数逐渐变小.
3. 作直线所给指数函数图像相交,交点的纵坐标为该指数函数的底数, 由此可判断多个指数函数底数的大小关系.
4. 在第一象限的图像, 越大, 图像越靠近轴; 越小, 图像越靠近轴.
例4：右图是指数函数(1) , (3) , (4) 的图像,则与1的大小关系为（ ）.
A. B. C. D.
【解析】有图像可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1，过点 作直线 , 在第一象限内分别与各曲线相交, 由图像可知 , 从而可得与1的大小关系为 . 故选 B.
变式：已知函数 的图像不经过第一象限,则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 因为函数为减函数, 所以若函数的图像不经过第一象限,则满足 , 即.故选 .
结论五、指数数数单调
若在上是增函数;若 在上是増函数.
要点诠释：指数增减要看清,抓着底数不放松，反正底数大于零，不等于1已表明. 底数若是大于1 , 图像从下向上增；底数0 到1之间，图像从上往下减. 无论函数增和减，图像都过 点.
例5：函数 且 在上的最大值比最小值大 ，则的值是__________.
【答案】 或
【解析】当时，函数在上单调递减，故在上的最大值为，最小值为, 则 , 得.又，所以 .当时，函数在上单调递增, 故在上的最大值为, 最小值为, 那么, 得.又, 所以. 综上，的值是或.
变式：函数 在上的最大值与最小值的和为 3 , 则等于（ ）.
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】解法一 当时, 为单调递增函数, 在上的最值分别为, 所以, 解得.
当时, 为单调递减函数,在 上的最值分别为, 所以 , 解得, 这与矛盾.
综上, . 故选 .
解法二 因为是单调函数, 所以必在区间的端点处取得最大值和最小值,因此, 从而. 故选.
大招八 对数运算及对数函数
通关一、对数恒等式与对数的杜质
对数恒等式：.
对数 且 )具有下列性质：
（1）零和负数没有对数, 即;
（2）1的对数为零, 即;
（3）底的对数等于1 , 即.
通关二、常用对数与自然对数
对数 且 ,
(1) 当时, 叫作常用对数,记作 ;
(2) 当时, 叫作自然对数,记作为无理数, .
对数式与指数式的关系及相互转换
通关三、对数函数的图像和性质
函数的图像特征和性质.
结论一、对数基本运算
当时：(1)；(2)；（3）
例 1：求下列各式的值.
(1);
(2)
(3).
【答案】
【解析】 原式
.
(2) 原式 .
(3) 原式 .
变式 求下列各式的值.
(1).
(2)
(3)设, 求的值.
【答案】
【解析】
.
(2)
(3) 设 , 则, 所以
结论三、换底公式
1. 换底公式: .
2. 倒数关系: .
例2：已知 , 则__________.（结果用表示）
【答案】
【解析】因为 , 所以. 因为, 所以. 所以
.
变式 若, 则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】
【解析】因为 , 所以. 所以
. 故选.
结论三、对数比大小
1．若底数为同一个常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论.
2. 若底数不同, 真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.
例3：已知 , 则 的大小关系是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为 , 所以. 故选B.
变式 设正数 满足, 给出下列五个结论,其中不中能成立的结论的序号是
(1) ;（3）; (4).
【答案】（4）（5）
【解析】因为实数 满足 , 即在处的函数值和在处的函数值相等,当时，, 此时(3)成立.作出直线, 由图像知, 此时,
得, 由此知(1)成立, (4)不成立.作出直线,由图像知，此时,可得 , 由此知成立，不成立. 综上可知, 不可能成立的结论的序号是(4)(5).
结论四、对数函数过定点
对数函数且的图像恒过点 ,且函数图像经过第一、四象限.
例4：已知函数且的图像必经过点, 则点坐标是__________.
【答案】
【解析】令 得, 则. 故函数的图像必过定点 .
变式 已知, 且, 函数的图像恒过点, 若在幂函数的图像上, 则__________.
【答案】
【解析】因为，令，即时，，所以点的坐标是.由题意令，由于图像过点，所以，所以，.故答案为.
结论五、底数对对数函数图像的影响
1.底数与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”: 当时,对数函数的图像“上升”; 当时,对数函数的图像“下降".
2.底数的大小决定了图像相对位置的高低: 不论是还是,在第一象限内,自左向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大.
3.作直线与所给图像相交,交点的横坐标为该对数函数的底数, 由此可判断多个对数函数底数的大小关系.
4. 且在第一象限的图像, 越大,图像越靠近轴; 越小,
图像越靠近轴.
例5：如图所示, 曲线是底数分别为的对数函数的图像, 则的可能取值依次为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示,作直线交于点,其横坐标大小为 ,那么所对应的的底数的值可能依次为. 故选B.
变式 已知函数的图像如图所示,则满足的关系是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数图像可知, 在上单调递增,故. 函数图像与轴的交点坐标,由函数图像可知, 解得 . 综上,有. 故选A.
结论六、对数函数单调性
若在上是增函数;
若在上是減函数.
要点诠释：对数增减有思路, 函数图像看底数,底数只能大于0 ,等于1来也不行.底数若是大于1,图像从下往上增,底数0 到1之间，图像从上往下减.无论函数增和减,图像都过点.
例6：设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】因为对数函数的底数 , 所以函数在上单调递增, 故, ，即, 解得. 故选D.
变式 函数在上的最大值和是小值之和为，则的值为________.
答案
【解析】由题意知函数为单调函数, 所以 .
大招九 幂的运算及幂函数
通关一、五种常见幂函数的图像与性质
知识通关
通关二、幂函数的性质
1. 幕函数在上都有定义；
2. 幕函数的图像过定点；
3. 当时, 幕函数的图像都过点和 , 且在上单调递增；
4. 当时, 幕函数的图像都过点 , 且在上单调递减；
5. 幕函数在第四象限无图像.
结论一、幂函数的图像特征
1. 当时, 函数图像与坐标轴没有交点, 类似于的图像, 且在第一象限内,逆时针方向指数在增大;
2. 当时,函数图像倾向轴, 类似于的图像;
3. 当时, 函数图像倾向轴, 类似于的图像，而且逆时针方向指数在增大，再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图像及性质.
例 1 以下命题正确的是（ ）,
①幂函数的图像都经过；②幂函数的图像不可能出现在第四象限；
③当时，函数的图像是两条射线；
④若（）是奇函数，则在定义域内为减函数.
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③
【答案】C
【解析】①幂函数的图像不都经过 ,比如 ，因此错误；
② 因为当时, , 幂函数的图像不可能出现在第四象限，因此正确；
③当时,函数的图像是一条直线，但是去掉, 因此正确;
④若（）是奇函数,则在定义域内不具有单调性, 例如, 不正确. 综上,故选 C.
変式 如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图像,已知 , 相应曲线对应的值依次为 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】结合幂函数的单调性及图像,易知曲线对应的值依次为, . 故选 B.
结论二、幂函数比较大小
当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；
当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；
当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；
比较多个幂值的大小，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0，1,等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.
例2、已知且，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在上为单调递增函数，且，所以
又在R上为单调递减函数，且，所以
综上，.故选D.
变式：当，下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，又函数为减函数，在上为增函数，
所以故选D.
结论三、幂函数单调性
若在上是增函数；若在上是减函数.
例3、幂函数在上是减函数，则实数m的值为（ ）
A.2或1 B.1 C.2 D.2或1
【答案】B
【解析】由于幂函数在上是减函数，
故有，解得故选B.
变式：已知幂函数在上单调递增.
(1)求实数m的值；
(2)若，求实数k的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意得，解得或.因为在上
单调递增，所以，即，所以.
（2）由于在区间上都是减函数，分三种情况讨论：
①当，即时，原不等式成立；
②当且时，有，即，解集为空集；
③当，且，时，有，解得.
综上可知，的取值范围是
大招十 分段函数
通关一、分段函数的含义
所谓“分段函数”习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数.
对它应有以下两点基本认识：
（1）分段函数是一个函教，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
通关二、分段函数求值与不等式
1.根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式，若涉及复合函数值，从内到外逐步求值，注意相应自变量所在的区间；
2.已知函数值求自变量(或参数)的值，通过分类讨论化为若干个方程组求解，要充分利用分段函数在各段上的值域，减少运算量；
3.与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨化为不等式组求解；
4.已知分段函数的函数值求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的像，观察在相应区间上函数图像与相应直线交点的横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围.
结论一、分段函数求值
设分段函数 已知，求：
（1）判断的范围，即看，还是； （2）代入相应解析式求解.
例1、若函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数因为，所以
又因为，所以即.故选A.
变式：已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选B.
结论二、分段函数求根
设分段函数，已知，求：
（1）当时，由，求出；验证是否属于若是则留下，反之则舍去；
（2）当时，由，求出，验证是否属于，若是则留下，反之则舍去；
（3）取以上两种情况并集，写出结论.
例2、已知，且，则=（ ）
A. B. 2 C.3 D.
【答案】B
【解析】由题意得，解得；，解得
故，从而故选B.
变式：已知实数，函数，若，则的值为_________.
【答案】
【解析】①当，即，此时，由，得，计算（舍去）.
②当，即，此时，由，得，
计算得，符合题意.
综上，
结论三、解分段函数不等式
或.
例3、设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由或，
所以满足的的取值范围是.故选D.
变式：已知则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为当时，，所以.又当时，所以，即函数为偶函数.不等式转化为不等式可得或，解得或，所以不等式的解集为.故选C.
结论四、分段函数的单调性
1.分段函数
为单调递增函数
2.分段函数
为单调递减函数
例4、已知是R上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数在R上单调递减，故当时，单调递减，因此，得；当时，单调递减，故0综上，的取值范围是.故选C.
变式：已知函数，当时，，则的取值范围是（ ）
【答案】A
【解析】因为当时，，所以是R上的单调减函数.
因为，所以，所以故选A.
结论五、分段函数的奇偶性
1.判断函数的奇偶性可以利用特殊值，利用求参数的值，一般令a=1或a=2.
2.若分段图像均易作出，可以利用图像法.对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，在代入过程中要注意的范围.
例5、若函数为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数，所以，解得.
又因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
故选C.
变式：若函数为奇函数，则实数a的值为（ ）
A. 2 B. C.1 D.
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，当时，，
所以，又时，，所以故选B.
大招十一 复合函数
通关一、复合函数定义
设且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量x的函数，称为是x的复合函数，记为
通关二、复合函数的单调性(同增异减)
对于复合函数，为内层函数，为外层函数，则复合函数
的单调性符合下表：
外层函数单调性 内层函数单调性 函数单调性
增 增 增
减 减
减 增 减
减 增
结论一、复合函数的求值与求参
1.复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
2.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值.
例1、设函数，则________；若，则实数的值为————.
【答案】
【解析】因为函数，所以，所以.
由，可知：当时，，解得当时，，不成立.当时，，解得（舍去）.
综上可知，
变式：若函数，则函数的值域是————
【答案】
【解析】当时，，所以；当时，，所以所以函数的值域是
结论二、与指数函数有关的复合函数的单调性
1.若，函数的单调增（减）区间即函数的单调增（减）区间.
2. 若，函数的单调增（减）区间即函数的单调减（增）区间.
例2、函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则因为，所以为关于的减函数.
因为，所以，故所求函数的值域为.故选C.
变式：如果函数在区间上的最大值14，则的值为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 或3
【答案】D
【解析】令，则
当时，因为，所以，又函数在上单调递增，
所以，解得
当时，因为，所以
又函数在上单调递增，则，解得.
综上可知，或
故选D.
结论三、与对数函数有关的复合函数的单调性
1.若，函数的单调增（减）区间即函数的单调增（减）区间.
2. 若，函数的单调减（增）区间即函数的单调减（增）区间.
例3、设函数在区间上是减函数，则的最小值为（ ）
A.2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】可令，由在上递减，可得在上是增函数，且在上恒成立，可得且，解得，则的最小值为.故选D.
变式：函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得，解得或，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为.故选B.
结论四、复合函数的奇偶性（内偶则偶，内奇同外）
若 则
奇函数 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 偶函数
偶函数 偶函数 偶函数
例4、若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是（ ）
A.函数是奇函数 B. 函数是奇函数
C.函数是奇函数 D. 函数是奇函数
【答案】C
【解析】由题知函数满足，则有，，，，所以根据奇偶函数的判断可得只有C选项是正确的.故选C.
变式：已知为R上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则（ ）
A.函数为偶函数 B. 函数为奇函数
C. 函数为偶函数 D. 函数为奇函数
【答案】A
【解析】设，因为为偶函数所以，则，所以函数是偶函数.故选A.
结论五、复合函数的零点
关于的方程根的个数，令，
1.作出的图像；
2.解方程，求出对应的解；
3.结合的值和的图像，令，将所求的个数汇总后即为的根的个数.
例5、已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】由可得或.
当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值.绘制函数的图像，如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.故选B.
变式：函数的图像如图所示，则方程的实数根的个数为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案】C
【解析】令，则由有，由图像知有三个根，分别令，解出有9个符合方程，再令解出相应的根的个数为9个.故选C.
大招十二 抽象函数
通关一、抽象函数模型
抽象模型 原函数
通关二、抽象函数的单调性
抽象函数单调性的判断,关键是根据题目所给的性质和符号条件,构造相应的关于的函数值,从而比较出与的大小,同时还要注意,
等变形技巧.
通关三、抽象函数的奇偶性
抽象函数奇偶性的判断往往借助于赋值法和定义,对于已给恒等式中出现的两个或两个以上的变量,利用赋值的方法将其替换成都出现的形式,在恒等式中仅有这两种形式或是具体函数值的形式,而不会出现新的函数结构.
通关四、抽象函数的注意事项
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“".注意定义域优先原则,赋值法（常量赋值和变量赋值,换元法.
结论一、型
例1 已知函数对任意实数都有,且当时,.求在上的值域.
【解析】设且,则,由条件当时,,所以.又,所以为增函数.令,则.又令,得,所以,故为奇函数,则.所以在上的值域为.
变式函数对任意的实数有,且当时,有
.
(1)求证:在上为增函数；
(2)若,解不等式.
【解析】 证明 取且,则,故,所以
,即.所以函数在上为增函数.
(2)因为,所以,所以,由(1)知函数在上为增函数,故,所以,即或,所以原不等式的解集是或.
结论二、型
例2 已知函数的定义域是,当时,,且.
(1)求的值；
(2)证明:在定义域上是增函数.
【解析】 令,则,所以.
证明 设,则.因为,所以,所以,即,所以,所以在上是增函数.
变式 的定义域为,且对一切都有,当时,有.
求的值；
(2)判断的单调性并证明；
(3)若,解不等式.
【解析】 (1).
(2)设,则由,得,因为,所以.所以.即在上是增函数.
因为,所以,原不等式化为.因为在上是增函数,所以,解得,故原不等式的解集为.
结论三、型
例3 设函数定义在上,当时,,且对任意,有,当时,.
(1)证明：；
(2)证明：在上是增函数.
【解析】 （1证明令得,所以或.若,当时,有,这与当时,矛盾,所以.
(2)证明 设,则,由已知得,因为,若时,,而,所以
,所以在上是增函数.
变式 已知对一切,满足,且当时,.求证：时,在上为减函数.
【解析】 证明 (1因为对一切有,且,令,得.现设,则,而,所以,所以.(2)设且,则
.所以,即为减函数.
结头四、型
例4 给出四个等式：①；②；③；④,则不满足任一等式的函数是（ ）.
A. B. C. D.
【解析】 选项满足②选项满足④
选项满足③选项不满足任何一个等式.故选D.
变式 设函数定义在上,当时,,且对任意,有,当时,.
证明：；
证明：在上是增函数.
【解析】 （1）证明 令得,所以或.若,当时,有,这与当时,矛盾,所以.
(2)证明 令,则,由题知,所以,设,则,由已知得,由题知,所以,所以在上是增函数.
大招十三 零点的零点
通关一、零点的概念
对于函数,把使成立的实数叫作函数的零点.
要点许释：
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.
(2)函数的零点是函数的图像与轴交点的横坐标.
(3)求零点就是求方程的实数根.
通关二、零点存在定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内必有零,点,即,使得.
通关三、几个“不一定”与“一定"
假设在区间上连续：
1.若,则“一定"存在零点,但“不一定”只有一个零点.要分析的性质与图像,如果单调,则“一定”只有一个零点.
2.若,则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点.如果单调,那么“一定”没有零点.
3.如果在区间上存在零点,则的符号是“不确定”的,受函数性质与图像影响.如果单调,则一定小于0.
结论一、函数零点的存在性
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反,即,则在区间内,函数至少有一个零点,即相应的方程在区间内至少有一个实数解.
例1 函数的零点所在的一个区间是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】.
,所以.由零点存在性定理知,,使得.故选C.
变式 已知函数,在下列区间中,包含零点的区问是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为,所以,满足,所以在区间内必有零点.故选C.
结论二、零点确定函数符号
是一个在上曾调递增的连续函数,是的零点,且,则时,时,.
例2 已知是函数的一个零点.若,则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】因为是函数的一个零点,所以.因为是单调递增函数,且,所以.故选B.
变式 设函数,若实数分别是的零点,则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】因为,从而；因为,,从而,所以有.考虑,且发现为增函数,进而,即.故选.
结论三、数形结合定参数
函数的零点方程的根函数图像的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则.
例3 直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】,令可解得或,故在上单调递增,在上单调递减,函数的极大值为,极小值为,如图所示.而为一条水平线,通过图像可得,介于极大值与极小值之间,则有三个相异交点.综上可得：.故选.
变式 已知函数.若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得函数的图像和函数的图像有两个交点,如图所示,,数形结合可得.故选.
结论四、零点范围的判定
1.代换法：将相等的函数值设为,从而用可表示出,将关于的表达式转化为关于的一元表达式,进而可求出范围或最值.
2.利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称,则；同理,若关于中心对称,则也有.将对称的点归为一组,在求和时可与对称轴(或对称中心)找到联系.
例4 已知函数,若,且,则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】先作出的图像,如图所示,通过图像可知,如果,则,设,即),由范围可得:,从而,所以,而,所以.故选C.
变式 已知函数,如果方程有三个不相等的实数解,则的取值范围是（ ）.
【答案】
【解析】作出函数的图像,如图所示.不妨设,则,所以,令,因为函数在上为出函数,则.所以的取值范围是.故答案为.
大招十四 函数的图像变换
通关一、函数图像基本变换
四种基本变换形式 九种具体的变换方式 针对图像的具体操作 变换后对应的解析式
平移变换 水平平移 向右（左）平移个单位
垂直平移 向上（下）平移个单位
翻折变换 上下翻折 轴上方的图像不变，将轴下方的图像翻折到轴上方来
左右翻折 轴右边的图像不变，将轴右边的图像翻折到轴左边覆盖原来左边的图像
对称变换 按轴对称 将轴的图像作关于轴的对称
按轴对称 将轴的图像作关于轴的对称
按原点对称 将轴的图像作关于原点的对称
伸缩变换 横向伸缩 纵坐标不变，横坐标变为原来的（倍）
纵向伸缩 横坐标不变，纵坐标变为原来的（倍）
通关二、函数图像的应用
1.利用函数图像确定函数解析式
利用函数图像确定函数解析式时,要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系.
2.利用函数图像研究两函数图像交点的个数
利用函数图像研究两函数图像交点的个数时,常将两函数图像在同一坐标系内作出,利用数形结合求解参数的取值范围.
3.利用函数图像研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
4.利用函数图像研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时,可以通过函数图像来研究方程的根,方程的根就是函数的图像与轴交点的横坐标,方程的根就是函数与图像交点的横坐标.
结论一、函数图像的识别
1.从函数的定义域,判断图像左右的位置；
2.从函数的值域,判断图像的上下位置；
3.从函数的单调性,判断图像的变化趋势；
4.从函数的奇偶性,判断图像的对称性；
5.从函数的周期性,判断图像的循环往复.
例 已知函数,则的大致图像为（ ）.
【答案】
【解析】因为,所以函数为奇函数,排除B选项；求导,,所以函数单调递增,故排除选项；令,则,排除D选项.故选.
变式 函数的图像可能是（ ）.
【答案】
【解析】令,因为,所以为奇函数,排除选项；因为时,,所以排除选项.故选D.
结论二、函数平移变换
1.左右"；
2.上下"".
例2 函数与在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）.
A B C D
【答案】C
【解析】因函数的图像是由的图像向上平移1个单位得到，故B、C、D选项满足；又函数，其图像为的图像向右平移1个单位得到，故A、C选项满足，故选C
变式：函数的图像是（ ）
A B C D
【答案】B
【解析】该题考察对图像及对坐标平移公式的理解，将函数的图形变形到，即向右平移1个单位，在变形到，即将前面图形沿x轴翻转，在变形到，即向上平移1个单位，从而得到答案B，故选B
结论三、函数对称变换
——关于（0，0）对称；
——关于y=0（x轴）对称；
——关于x=0（y轴）对称；
——关于y=x对称.
例3：在同一坐标系中，函数与的图像之间的关系是（ ）
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
【解析】由图像知与关于y=x对称.故选D.
变式：在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线y=x对称.而函数的图像与的图像关于y轴对称，若，则m的值是______________
【答案】
【解析】因为函数的图像与的图像关于直线y=x对称，所以函数与互为反函数，则，又由的图像与的图像关于y轴对称，所以，又因为
，所以，.
结论四、函数翻折变换
——去左翻右（把在y轴右侧的图像对称到左边）；
——上翻下，上不动（在x轴下面无图像）
例4：若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（ ） A.（0，4) B.（0，+∞） C.（3，4） D.（3，+∞）
【答案】C
【解析】如图所示，若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则（3，4），故选C.
变式：已知关于x的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A.（，） B.（0，+∞） C.（，0） D.（0，+∞）
【答案】D
【解析】已知关于x的方程有两个不同的实数根，可得有两个实数根，也就是与有两个交点.在坐标系中画出两个函数的图像，如图所示，x＞0时，函数的最小值为，所以关于x的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（0，+∞）.故选D
结论五、函数伸缩变换
——纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
——横坐标不变，纵坐标长为原来的A倍.
例5：将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________
【答案】
【解析】.
变式：函数是奇函数，则函数的对称中心为（ ）
A.（0，0） B.（1，0） C.（－1，0） D.（，0）
【答案】B
【解析】因为是奇函数，所以关于（0，0）对称，把向右平移个单位得到，所以的对称中心为（，0），把的横坐标伸长为原来的2倍得到，所以的对称中心为（1，0） .故选B.
结论六、数形结合
常见基本函数
正比例函数：
反比例函数：
一次函数：
二次函数：
幂函数：
指函数：
对数函数：
例6：当（1，2）时，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】设，，在同一坐标系中作出它们的图像，如图所示，若（1，2）时，不等式恒成立，则，解得，即实数的取值范围是.
变式：已知实数、、，，，，则（ ）
A.＞＞ B.＞＞ C.＞＞ D.＞＞b
【答案】C
【解析】由题意知，实数、、，，，，所以是函数与的交点的横坐标，是函数与的交点的横坐标，是函数与的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中，作出函数，，，，的图像，结合图像，得＞＞.故选C板块三、导数
大招一 导数的定义和运算
通关一、导数的概念
设函数，当自变量从变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为.当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作
要点诠释：
导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在某一时刻的瞬间变化率.
对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义.如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度
增量可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0.的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数.
时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近.
函数在处的导数还可以用符号表示.
通关二、基本初等函数的导数
基本初等函数 导数 特别地
常数函数（为常数） ，
幂函数 （为有理数） ，
指数函数
对数函数
正弦函数
余弦函数
要点诠释：
常数函数的导数为0，即（为常数） ，其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于x轴.
有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即.
在数学中，“”表示以（=2.71828）为底数的对数；“”表示以10为底数的常用对数.
通关三、和、差、积、商的导数
导数的加法法则
导数的减法法则
导数的乘法法则
导数的除法法则
通关四、复合函数的导数
复合函数的概念
对于函数，令，则是中间变量的函数，是自变量的函数，则函数是自变量的复合函数.例如，函数是由和复合而成的.
复合函数的导数
设函数在点处可导，，函数在点处的对应点处也可导，，则复合函数在点处可导，并且，或写作
复合函数求导一般步骤
分层：将复合函数分出内层、外层.
各层求导：对内层，外层分别求导，得到，.
求积并回代：求出两导数的积，然后将用替换，即可得到的导数.
结论一、平均变化率和瞬时变化率
函数的增量:;
平均变化率：；
瞬时变化率：.
例1：函数在闭区间内的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.故选D.
变式：若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
【答案】D
【解析】，.故选D.
结论二、导数的定义
例2：设在处可导，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.故选D.
变式：已知函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.故选D.
结论三、复合函数求导
设函数在点处有导数，函数在点处对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或些写作.
①； ②；
③； ④；
⑤.
例3：已知，则=__________.
【答案】
【解析】解法一：设，，，则
.
解法二：==
变式：已知，则=_____________.
【答案】
【解析】，.
结论四、导数的运算
，
，
.
例4：已知，则=______________.
【答案】
【解析】
.
变式：已知，则=______________.
【答案】
【解析】
结论五、实际是一个数
代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且.
例5：已知函数，则的值为_______________.
【答案】1
【解析】,，解得.所以
变式：（2020全国Ⅲ卷文15）设函数，若，则=___________.
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得，则，据此可得，整理可得，解得=1.
结论六、多用乘法求导运算
连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导
公式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式 先化为和、差的形式，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
含待定系数 如含f'（a），a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导
例6：等比数列中，，函数，则（ ）
A. B.
【答案】C
【解析】令，则，且有意义，于是.故选.
变式：设函数是两两不等的常数)，则_________.
【答案】0
【解析】因为，所以，
同理：，所以原式
.
结论七、特殊函数的导函数
1..
2..
例7：设，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以
所以故选.
变式：设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】 设函数.当时，；又
，所以（当且仅当时），所以是上的增函数.故选.
大招二 导数的几何意义
知识通关
通关一、导数的几何意义
表示曲线在处的切线的斜率，即为切线的倾斜角.
已知点是曲线上一定点，点是曲线上的动点，我们知道平均变化率表示割线的斜率，如图所示.当点无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫作曲线在点处的切线.也就是当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率，即：
通关二、曲线在点P处的切线
点P在曲线上，在点Р处作曲线的切线（Р是切点），此时数量唯一，如图所示.
通关三、曲线经过点P处的切线
点P位置不确定（在曲线上或曲线外），过点Р作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点Р可），
数量不唯一.如图（a）和图（b）所示，无论点Р在曲线上还是曲线外，过点P都可以作两条直线l1，l2，与曲线相切.
结论一、求曲线y=f（x）在x=x0处切线的步骤
1.先求f'（x0），即曲线y=f（x）在P（x0，f（x0））处切线的斜率.
2.再求f（x0），因为切线过点（x0，f（x0））；
3.最后由点斜式写出直线方程:y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）.
特别地，如果y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定
义切线方程为:x=x0.
例1：(2020全国Ⅰ卷理6)函数f（x）=x4-2x3的图像在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）.
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1
【答案】B
【解析】因为，所以，所以.因
此，所求切线的方程为，即.故选.
变式：设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，则
等于（ ）
A. B. C. D.1
【答案】
【解析】对求导得，令得在点（1，1）处的切线的斜率1，在点（1，1）处的切线方程为，令，得，则
.故选B.
结论二、求曲线f（x）经过点P（xo，yo）切线方程的步骤
1.求导函数f'（x）；
2.验证点P是否在曲线上：计算f（x0），观察f（x0）=y0是否成立；
3.求切点，设切点坐标为（a，f（a）），则切线方程y-f（a）=f'（a）（x-a），代入点P（x0，y0）坐标，求出a的值（注意a≠x0），可得切线方程.
例2：过曲线的点的切线方程为__________________.
【答案】或
【解析】设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，所以切线方程为，即·.因为点在切线上，所以，即，所以，所以，所以，解得或，代入.故所求的切线方程为或.
变式：（2020全国卷文15）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________________.
【答案】.
【解析】设切线的切点坐标为
，所以切点坐标为（1，2），所求的切线方程为，即.
大招三 导数的应用
知识通关
通关一、导数的符号与丞数的单调性
一般地，设函数y =f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若f'（x）>0，则f（x）在这个区间上为增函数；
（2）若f'（x）<0，则f（x）在这个区间上为减函数；
（3）若恒有f'（x）=0，则f（x）在这一区间上为常函数.
反之，若f（x）在某区间上单调递增，则在该区间上有f'（x）≥0恒成立（但不恒等于0）；若f（x）在某区间上单调递减，则在该区间上有f'（x）≤0恒成立（但不恒等于0）.
要点诠释：
（1）因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减.
（2）若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似），即在某区间上，在这个区间上为增函数：在这个区间上为减函数，但反之不成立.
（3）在某区间上为增函数在该区间在某区间上为减函数在该区间.在区间内，（或是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件.
（4）只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
通关二、函数的极值
一般地，设函数在点及其附近有定义.
（1）若对附近的所有点，都有，则称函数在处取极大值，
记作y极大=，并把称为函数的一个极大值点.
（2）若对附近的所有点，都有，则称函数在处取极小值，记作y极小=，并把称为函数的一个极小值点.
要点诠释：
在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较.
函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
极大值与极小值之间无确定的大小关系.一个函数的极大值未必大于极小值，极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
通关三 函数的最值
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.
要点诠释:
函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；
函数的极值可以有多个，但最值只有一个.
结论大招
结论一、求函数单调区间的一般步骤和方法
第一步:确定函数的定义域；
第二步:求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步:把函数在间断点即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
第四步:确定在各个小区间的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间
的增减性.
要点诠释:
函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；
当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“”连接，可用“，”或“和”连接.
例：已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
【解析】（1）当时，，由于.所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）=.
当时，，所以，在区间上，；在区间上，
.故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由及知，在区间和上，；在区间上，，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，，故的单调递增区间是.
当时，由，得.所以，在区间和上，；在区间上，.
综上，的单调递增区间是和，单调递减区间是.
变式： 设函数 .
（1）求曲线 在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【解析】 （1），曲线在点处的
切线方程为.
（2）由得.
若，则当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
若，则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
（3）由（2）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增.
综上，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.
结论二、求函数极值的一般步骤和方法
第一步:确定函数定义域；
第二步:求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步:把函数在间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
第四步:检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.
要点诠释:
使无意义的点也要讨论.可先求出的根和使无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.
极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点.极大值是极大值点附近曲线由
上升到下降的过渡点的函数值；极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.
例2：已知函数，其中.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求 的值；
（2）当时，证明:存在极小值.
【解析】（1）的导函数为·
.依题意，有，解得.
（2）证明 由及知，与与同
号.令，则.所以对任意，
，有，故在上单调递增.因为，所以，故存在，使得与在区间
上的情况如下:
x
－ 0 +
极小值
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以存在极小值.
变式： 设函数，且方程的两个根分别为1，4.
（1）当 且曲线 过原点时，求 的解析式；
（2）若在内无极值点，求的取值范围.
【解析】由得.因为
的两个根分别为1，4，所以
（1）当时，由式得，解得.又因为曲线过原点，所以.故.
（2）由于，所以“在内无极值点”等价于“在内恒成立”.由式得.又.解得，即的取值范围是.
结论三、求函数在[a，b]上最值的一般步骤和方法
第一步:确定函数定义域；
第二步:求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步:判定函数在内的单调性；
第四步:将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
要点诠释:
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必是整个区间上所有函数值中的最小者.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值.
例3：已知函数.
（1）求函数的极值点.
（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.
【解析】（1）函数的定义域为，所以令0，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，极大值点不存在.
（2）由题意得 ， 所以 ， 令
得 .
当时，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为；
当，即时，在区间上单调递减，所以在上的最小值为.
综上，当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.
变式： 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）函数的导数为，可得曲线
在点处的切线斜率为，切点为，即为，曲线在点处的切线方程为.
（2）函数的导数为，令
，则的导数为，当
，可得，即有在上单调递，可得，
则在上单调递，即有函数在区间上的最大值为；最小值为.板块四 三角函数
大招一 角的定义与分类
【知识通关】
通关一、象限角与轴线角的表示
第一象限角的集合为；
第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；
第四象限角的集合为.
终边与x轴非负半轴重合的角的集合为
终边与x轴非正半轴重合的角的集合为
终边与x轴重合的角的集合为
终边与y轴非负半轴重合的角的集合为
终边与y轴非正半轴重合的角的集合为
终边与y轴重合的角的集合为
终边与坐标轴重合的角的集合为
通关二、弧度制
1．角的弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角．
规定:正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2.弧度制：把弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制，比值与所取的大小无关，仅与角的大小有关．
3．角度与弧度的换算：，．
4．常见特殊角的角度数与弧度数对照表：
角度数
弧度数
通关三、三角函数线
各象限内的三角函数线
当角的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线都变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，此时角的余弦值为0，正切值不存在.
结论一、求角所在象限
己知角的终边所在的象限，求或（）的终边所在的象限的方法是：将的范围用不等式（含有）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或（）所在的象限.
例1若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角.
[解析]因为α是第二象限角，所以()，则：
(1) ()，所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
(2)()，
当 ()时，n（n∈Z），此时是第一象限角；
当时，(n∈Z)，此时，是第二象限角；
当(n∈Z)，此时是第四象限角.
综上，可能是第一象限角 、第二象限角或第四象限角.
变式 若是第一象限角,求
(1) 是第几象限角
(2) 不在第几象限
[解析]是第一象限角，故满足的集合为，
(1)，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．故为第一象限角或第三象限角.
(2)，当时，为第一象限角；当时，为第二象限角；当时，为第三象限角．故不在第四象限.
结论二、终边相同的角
相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.所有与角终边相同的角,可构成一个集合.
例2(1)若角和的终边关于轴对称,则角和之间的关系为_________.
(2)若角与的终边关于轴对称,则角和之间的关系为_________.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)角的终边必在轴上，.
(2)角的终边必在轴上，.
变式 下列说法正确的是( ).
A.小于的角是锐角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限的角大于第一象限的角
D.若角与角的终边相同，则
【答案】
【解析】对于选项，负角不是锐角，比如“”的角，故错误;对于选项,钝角范围是“”，是第二象限角，故正确；对于C选项，第二象限角取“”第一象限角取“,故错误;对于选项,当角与角的终边相同,则,.故错误.综上,故选.
结论三、扇形的弧长与面积
扇形的弧长公式
,其中的单位是弧度,与的单位要统一.
角度制下的弧长公式为(其中为扇形圆心角的角度数).
扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为:(其中为扇形圆心角的角度数).
例3已知扇形周长为10cm, 面积为6 ,则扇形中心角对应的弧度数为_______.
【答案】3或
【解析】设扇形中心角对应的强瓜度数为 ()，弧长为l，半径为r，由题意得，所以或，所以或.
变式 已知扇形的周长为40cm,当扇形面积最大时，扇形中心角所对应的弧度数是________.
【答案】2
【解析】设扇形中心角对应的弧度数为,半径为,弧长为,面积为,.所以.当10cm时,扇形的面积最大,此时.
结论四、三角函数线
设角的顶点与原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作PM垂直于轴于.由三角函数的定义知,点的坐标为,即,其中,单位圆与轴的正半轴交于点,单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点,则.我们把有向线段OM,MP,AT分别叫作的余弦线、正弦线、正切线.
各象限内的三角函数线如下：
例 4 已知:,求证:.
【解析】证明构造单位圆,如图所示.设角与单位圆交于,则,如图所示,连结AP.扇形POA的面积=,的面积因为,即，所以.
变式已知为锐角,求证:
(1);
(2).
解析 证明 构造单位圆,如图所示.设角的终边与单位圆交于点,过作为垂足.
(1)因为,在中,,所以
.因为,
,而
,所以,即.故.
(2)因为,所以,所以
,所以,即.
大招二 同角三角函数关系
[知识 通关]
通关一、三角函数定义
设是一个任意角,是角终边上任意一点(与原点不重合),它与原点
的距离(如图所示).
(1)比值叫作的正弦,记作,即;
(2)比值叫作的余弦,记作,即;
(3)比值叫作的正切,记作,即.
要点诠释：
（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么.
(2)三角函数符号是一个整体,离开的,tan等是没有意义的,它们表示的是一个比值,而不是,与的积.
通关二、三角函数在各象限的符号
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时,有以下口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦。
通关三、特殊角的三角函数值
0
0 1 0
1 0 0
0 1 不存在 0 不存在
结论一、任意角的三角函数
在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么
(1)比值叫作的正弦,记作,即;
(2)比值叫作的余弦,记作,即;
(3)比值叫作的正切,记作,即.
例 1 已知角的终边上一点的坐标是,且,求和
的值.
【解析】，又即rx=3x．由于x≠0，所以r=3，所以，
即.
(1)当时,点的坐标是.
(2)当时,点的坐标是.
变式已知角的终边上的一点的坐标为,且,求
和值.
【解析】由三角函数的定义知.
当时,为第二象限角,;
当时,为第三象限角,.
结论二、三角函数值在各象限的符号
当角为第一象限角时,,反之也成立;
当角为第二象限角时,,反之也成立;
当角为第三象限角时,,反之也成立;
当角为第四象限角时,,反之也成立.
三角函数值在各象限内的符号口认:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
例 2 已知,则函数的值域为____________.
【答案】
【解析】由题知原函数定义域为当是第一像限角时,;当是第二象限角时,当是第三象限角时,当是第四象限角时,.所以函数的值域为.
变式 若,则的值.
A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不确定,与有关
【答案】D
【解析】 异号为第二像限或第四象限角.
(1)若是第二象限角,则,又由正余弦函数的定义知
1,故,将它看成一个弧度数,为第四象限角,从而;同理
,为第一象限角,故.所以,当是第二象限角时,.
(2)若是第四象限角,类似讨论得
综上,故选D.
结论三、已知一个三角函数值,求其余两个三角函数值
一画，画一个直角三角形；二用，用勾股定理求出各条边；三求，求出当角为锐角时的三角函数值；四定，利用α所在象限确定符号．(特例：如出现以5、13、17、25为分母的应考虑其特殊角的三角函数值).
例3 已知是第一象限角,,则等于.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为,所以,因为,所以.因为是第一象限角,所以.故选B.
变式 已知,且,则.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,且,所以,
所以.故选.
结论四、同角三角函数的基本关系
1. 平方关系:
2. 公式常见变形:
例 4 已知 是第三象限角,则 _________.
【答案】
【解析 】 原式
因为 是第三象限角, 所以 . 所以原式 .
变式 已知 是第四象限角,化简 为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析 】 原式
因为 是第四象限角,所以 所以原式 故选 .
结论五、已知值的求值问题(齐次式)
1. 利用商的关系 , 实现角 的弦切互化.
2. 没有分式的变成分式,利用分母为 1, 且 , 然后使分子、分母 的次数相同,如果次数不够,要补次, 主要利用 ,再令分子、分母同除以 , 得到 , 代入可求值.
例 5 已知 , 则 .
A. B. C. D.
【 答案】
【解析】原式，代入．故选D.
变式：若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】因为,所以. 故选A.
结论六、三角函数“三剑客”
对于，，这三个式子，若已知其中某一个式子
的值，可利用平方关系“”，灵活地运用方程思想, 求出另两个式子的
值，即；；
.
例6：已知，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】因为,所以,
所以. 故选A.
变式：已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）.因为，所以
.
（2）原式.
（3）原式
因为，，所以，
所以, 所以原式.
大招三 诱导公式
【知识通关】
通关一、各角与角终边的关系
角
图示
与角终边的关系 相同 关于原点对称 关于轴对称
角
图示
与角终边的关系 关于轴对称 关于直线对称 互相垂直
通关二、诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
要点诠释：
诱导公式可简记为：奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“”中的整数是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化.若是奇数,则正、余弦互变；若是偶数,则函数名称不变；“符号看象限”指的是在“”中,将看成锐角时“”的终边所在的象限.
通关三、诱导公式化简原则
1.“负化正”运用的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数；
2. “大化小”利用的诱导公式将大于的角的三角函数化为内的三角函数；
3.“小化锐”将大于的角的三角函数化为内的三角函数；
4.“锐求值”得到内的三角函数后,若是特殊角可直接求得.
通关四、常见角度关系转化
常见的互余关系有与,与,与等;
常见的互补关系有与,与等.
结论一、诱导公式一
，，，其中.
例1：__________.
【答案】.
【解析】原式.
变式：已知方程，，则__________.
【答案】.
【解析】因为，所以，且，
原式.
结论二、诱导公式二
，，.
例2：的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】. 故选C.
变式：化简.
【答案】.
【解析】
结论三、诱导公式三
，，，其中.
例3：，则__________.
【答案】.
【解析】，原式.
变式：化简
【答案】.
【解析】.
结论四、诱导公式四
，，，其中.
例4：已知，，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】.
【解析】因为，所以，即；又因为，所以，即.
故选B.
变式：在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称,若,则__________.
【答案】.
【解析】因为在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称,所以
，，所以.
结论五、诱导公式五
，，，.
例5：已知，则__________.
【答案】.
【解析】因为，且，所以
.
变式：若，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】由题意得.故选D.
结论六、诱导公式六
，，，.
例6：设是第三象限角，且，则__________.
【答案】.
【解析】，又，是第三象限角，
所以易得.
变式：已知，，则
【答案】.
【解析】因为，，所以.
结论七、常见的一些关于参数的结论
1. ；
2. ；
3. ；
4. .
例7：若，在①；②；③；
④中，与相等的是（ ）
A. ①和② B. ③和④ C. ①和④ D.②和③
【答案】B.
【解析】①；②;
③；④.
综上，③和④与相等.故选B.
变式：化简.
【解析】（1）若是偶数，即，
则左边；
（2）若是奇数，即，
则左边.
综上，原式.
大招四 两角和与差公式
【知识通关】
通关一、两角和与差的余弦公式
【证明】证法一 如图,在直角坐标系内作单位圆，并作出角与，使角的始边为，交 于点，终边交于点；角的始边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点.则，，，.由及两点间的距离公式，得.
展开并整理，得,所以. 于是.
证法二 如图，以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角，，
它们的终边分别与单位圆相交于点,则，，.
因此存在，使或成立.因为
. 所以.
于是.
通关二、两角和与差的正弦公式
【证明】
；
通关三、两角和与差的正切公式
【证明】，分子、分母同时除以 得，把公式中的换为，得.
结论一、两角和与差的余弦
变形
变形
例1：已知，，知的值为__________.
【答案】.
【解析】依题意有，所以，所以.
変式：若，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B.
【解析】得.所以.故选B.
结论二、两角和与差的正弦
变形
变形
例2：若，，则的值为（ ）
A. 5 B. 1 C. 6 D.
【答案】A.
【解析】由题意知，, 所以，
，所以，即.故选A.
変式：已知，，则__________.
【答案】
【解析】因为，两边平方可得①，，
两边平方可得②，由①+②得，
即，所以.所以.
结论三、两角和与差的正切
；变形：
；；
.
例3(2020全国III卷理9已知，则（ ）
A. B. C.1 D. 2
【答案】D.
[解析]因为,所以.令,则,整理得，解得，即，故选D.
变式 已知,则（ ）
A. B. C. D.
[答案]
[解析]因为,所以,所以,
故选.
结论四、正切定值
若,则.
例4 _____________.
[答案]
[解析] 因为,所以
.
变式的值是（ ）
A. B.4 C. D.
[答案]
[解析]因为,所以.同理可得
所以故选.
结论五、给值求角问题
对于给值求角问题，一般的做法是求出这个角的正弦、余弦或者正切的某个值，然后关紧断该角所在的范围，求出角。如果角度所在范围比较大，或者难以求出时，就需要考虑缩小角的范围再做。例
5已知均为锐角,且,则____________.
[答案]
[解析]解法一由已知得,,
又由于,所以,所以.所以.
所以.
解法二 由已知得,又,
所以.
变式 已知均为锐角,且,则__________.
[答案]
[解析]因为,所以,
所以,又因为,
,所以,所以,
所以.
结论六、常见角的变换
例6 (1)求的值;
(2)求的值:
(3)求的值.
[解析](1)原式
(2)原式
(3)原式
变式 已知,则_____________.
[解析] 解法一 .
解法二 .
大招五 倍角与半角公式
[知识通关]
通关一、二倍角公式
公式推导：把两角和与差公式中的代换为，则可得到二倍角公式。
再利用，可得：
.
通关二、半角公式
通关三、三倍角公式
通关四、三角函数化简的“三看”原则
1．一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3．三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。
结论一、二倍角正弦
变形1:
变形
例1设,则（ ）.
A. B. C. D.
[答案]
[解析]解法一 ，展开后得，所以,两边平方得,所以.故选A.
解法二故选
变式若,则（ ）.
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]解法一 因为，所以，两边平方得,所以.故选D.
解法二 .故选.
结论二、二倍角余弦
变形1:升幂公式:
变形2:降幂公式:
变形3:平方差公式:
例2(2020全国Ⅱ卷文13 )若，则__________.
[答案]
[解析].
变式 已知,则（ ）
A. B. C. D.
[答案]
[解析]由题意，利用诱导公式求得.故选D.
结论三、二倍角正切
例3已知.则（ ）.
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]由题意，则，
故.故选A.
变式 已知,则_____________.
[答案]
[解析],所以
结论四、万能公式
例4若,则等于（ ）.
A. B. C. D.
[答案]A
[解析] 已知，解得，
，将正切值代入得到，故选A.
变式 若，则（ ）
A. B. C. D.
[答案]C
[解析] 因为，，所以,所以.故选.
结论五、半角公式
1.半角的正弦、余弦、正切公式
，，
2.半角正切的变形公式
①
②
例5 若,且,则_____________.
[答案]
[解析] 由,得,
.
变式 已知是第四象限的角，且，则（ ）
A. B. C. D.
[答案]B
[解析] 因为，是第四象限的角，所以，，则
故选.
结论六、辅助角公式
当时,，，角的终边过点.
常见的几个公式：
；；.
例6 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
[答案]C
[解析] 函数,因为，所以.故选C.
变式 函数在区间上的最大值是（ ）
A. B. C. D.
[答案]C
[解析] .由知，所以，所以函数的最大值是.
大招六 三角函数性质
通关一、，，的图像与性质
性质 函数
定义域
图 像
值域
对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心：
周期性
单调性 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间：
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
通关二、与）的图像与性质
类别
综述 类比研究)的性质，只需将中的看成中的x，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正.
图像 解法一 (五点法) : 设 , 令 求出相应的值,计算得出五点的坐标,描点后得出图像. 解法二(图像变换法) :先作出的图像,再进行图像的平移、伸缩变换. 这是作函数简图常用的方法.
共性 振幅：A；②最小正周期：；③频率;④相位：；⑤初相：；⑥定义域：R；⑦值域：.
解析式 函数解析式中未知系数的确定： A由最值确定；②由周期确定；③初相由图像上的特殊点确定，代点（最高、低）法
性质 最值 当时，取最大值A; 当时，取最小值-A 当时，取最大值A; 当时，取最小值-A
对称轴 令得对称轴 令得对称轴
对称中心 令得对称中心 令得对称中心（
单调性 得增区间； 得减区间 得增区间； 得减区间
平移、伸缩 图像的平移与伸缩永远发生在x与y本身
结论一、求三角函数解析式
或称为振幅,称为相位,称为初相.
①的确定: 表示该三角函教的平衡位置,.
②的确定:最高点或最低点到平衡位置的距离为振幅,.
③的确定:先求周期,两个相邻最高点或最低点之间的距高为一个周期一个最高点与相邻的一个最低点之间的距离或两个相邻的零点之间的距离为半个周期,一个最高点(最低点)与相邻的零点之间的距离为, 然后利用.
④的确定:代入图像上一个点的坐标通常代入最高点或最低点, 不能代入零点(平衡点) ] 或通过平移.
例 1 已知函数的图像（部分）如图所示,则的解析式是 ( ).
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 由图像可知,最小正周期, 所以,
所以.又因为, 即, 即, 所以, 所以. 又因为, 所以, 所以 . 故选 C.
变式 已知函数的图像如图所示，
, 则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】解法一 由图像可知, 则,所以.因为 , 所以,而,由于点在递增的那段曲线上,所以,所以,所以 ,,解得.所以.故选 C.
解法二 由图像可知最小正周期为,于是,注意到与关于对称,则.故选 C.
结论二、三角函数单调性
1.
2.
3. 的单调性可根据和的单调性来研究,由得单调递增区间;
由得单调递减区间;
4. 的单调性可根据和的单调
性来研究, 由得单调递增区间; 由
得单调递减区间.
例2 设在区间上单调增加,则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】,函数在区间上单调增加,因为,
函数,所以的增区间满足:,解得,当时 的增区间为.因为函数在区间上单调单加,所以,解得. 所以的最大值为. 故选 D.
变式 函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为（ ).
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】 由函数的部分图像可得函数的周期为,所以.再根据函数的图像及五点法作图,可得,即 . 由,求得
故的单调递减区间为. 故选 .
结论三、三角函数奇偶性的结论
1. 若 为奇函数, 则 ;
2. 若 为偶函数, 则 ;
3. 若 为奇函数, 则 ;
4. 若 为偶函数, 则 ;
5. 若 为奇函数, 则 , 该函数不可能为偶函数.
例3 使函数 为偶函数的最小正数 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】 因为函数 为偶函数, 所以 , 所以使函数 为偶函数的最小正数 . 故选 B.
变式 若将函数 的图像向右平移 个单位, 所得图像关于 轴对 称,则 的最小正值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】 将函数 的图像向右平移 个单位, 所得图像对应的函数解析式为 , 关于 轴对称, 则 ,, 即 , 故 的最小正值为 . 故选 .
结论四、三角函数对称性结论
1. 函数 的对称轴为 , 对称中心为 ;
2. 函数 的对称轴为 , 对称中心为 ;
3. 函数 无对称轴, 对称中心为;
4. 函数 对称轴的求法:令,
得 ; 对称中心的求法: 令 , 得 , 即对称中心为;
5. 函数 对称轴的求法 : 令 , 得
; 对称中心的求法: 令 ,得 ,
即对称中心为.
例 4 已知函数的图像关于直线对称,则的最小值为（ ）.
A.2 B. C. D.
【答案】 B
【解析】 因为函数的图像关于直线对称, 所以,
, 当 时,解得 . 所以 的最小值为 . 故选 .
变式 函数的图像关于原点中心对称,则( ).
A. B. C. D.
【答案】
【解析】 因为函数图像关于原点中心对称,且, 所以函数图像过原点,即. 所以 , 即. 故选 .
结论五、三角函数周期性结论
1. 函数 的周期
分别为 : .
2. 函数的周期均为
3. 函数 的周期均
为 .
例 5 在函数①② ③④ 中, 最小正周期为 的所有函数为 ( ).
A. (1)(2)(3) B. (1)(3)(4) C. (2)(4) D. (1)(3)
【答案】
【解析】因为函数①, 所以它的最小正周期为; 函数② 的最小正周期为; 函数③的最小正周期为 ; 函数④的最小正周期为. 故选 A.
变式 函数 中 ( ).
A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数
【答案】 A
【解析】. 所以 最小正周期为. 所以函数为奇函数.故选 A.
大招七 三角函数图像变换及最值
通关一、三角函数图像变换
由函数 的图像变换为函数 的图像.
方法一 先相位变换,后周期变换,再振幅变换.
的图像 的图像 的图像 的图像.
方法二 先周期变换,后相位变换,再振幅变换.
的图像的图像 的图像 的图像
通关二、三角函数最值题型归类
1.,引入辅助角,化为求解.
2.,设,化为二次函数在闭区间,上的最值求解, 也可以是或型.
3.,设,则,故
,故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解.
4. 与 , 根据根函数的有界性, 既可用分析法求最值,
也可用不等式法求最值,更可用数形结合法求最值. 这里需要注意的是化为关于或 的函数求解时务必注意或的范围.
结论一、五点法作的图像
找五个关键点,分别为使取得最小值、最大值的点和曲线与轴的交点. 其步聚为:
1. 先确定周期 ,在一个周期内作出图像;
2. 令 , 令 分别取 , 求出对应的值,列表如下:
0
0 0 0
由此可得五个关键点；
描点画图，再利用函数的周期性把所得图像向左右分别延伸，得到 的图像.
例1 画出函数 的简图,并说明此函数图形怎样由的图像变化而来.
【解析】 由五点法列表:
0
0 3 0 -3 0
描点画图如下:
这种曲线也可由图像变换得到, 即
变式 如何由的图像得到的图像.
【解析】 解法一
解法二
(1)先将的图像向右平移个单位,得到的图像;
(2)再将上各点的横坐标扩大为原来的2倍( 纵坐标不变,得到的图像;
(3)再将图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍横坐标不变,即可得到的图像.
结论二、型函数的最值
可将中的看作,即令,则,这样
就转化为二次函数的最值问题.但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变,即要根据给定的的取值范围,求出的取值范围.
例 2 设, 则函数的值域为_________.
【答案】
【解析】 令,由于, 故. 因为当时,函数单调递减,所以当,即 时, ;当,即时, .
变式 函数 的值域为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为，当时，函数y取得最小值－5，当时，函数y取得最小值3.所以的值域是[－5，3].故选C.
结论三、型函数的最值
可利用降幂公式（，，）将
整理转化为，引入辅助角，化为，求最值.
例3：函数 的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
. 因为 ，所以，所以当，即时，.
变式 设，则函数的值域为___________.
【答案】 [－1，2]
【解析】，因为，所以，所以，所以函数在区间上的最小值为－1，最大值为2，即值域为[－1，2].
结论四、型函数的最值
对于，令，，因为
，所以，则函数就变为的形式，因此，此类函数的最值也可以通过换元转化为二次函数的最值问题.对于形如的函数也可以采用同样的方法.此类题目也应该注意换元前后变量的取值范围要保持相同.
例4： 函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】由已知得，令，则，，且，所以.故当时，.
变式 函数 的最大值为___________.
【答案】
【解析】，令，则，且，所以，当时，.
结论五、型函数的最值
此类题目的特点是分子或分母中含有或的一次式的形式，一般可将其化为的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值.
例5：函数的值域为___________.
【答案】[－1，1]
【解析】由得，所以 (其中为辅助角，所以.又，所以，，解得 .故，
变式 函数的值域为___________.
【答案】
【解析】由已知得 ，即 ，所以.因为，所以 ，即，解得 . 故 ，.
大招八 解三角形
通关一、正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即(R为三角形外接圆的半径).
通关二、正弦定理的推广及其变形
边化角公式
角化边公式
变式1
变式2
变式3
通关三、余弦定理
三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
,
,
.
通关四、余弦定理的推广及其变形
通关五、三角形面积
设的三边为,对应的三个角分别为,其面积为.
1. 为边上的高)；
2. ；
3. 为三角形的内切圆半径 ；
4. ；
5. 为三角形外接圆半径；
6. 为三角形外接圆半径)；
7. .
【结论大招】
结论一、三角形内角和
的内角和等于，即.利用诱导公式可得：
例1：在锐角中，已知 ，则的最大值为( ).
A．4 B．3 C．6 D．7
【答案】A
【解析】在锐角中，已知，则
，所以，由基本不等式可得
，可得 .当且仅当时,等号成立，因此， 的最大值为.故选 .
变式 在中，角所对应的边分别是，若，则三角形一定是( ).
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理, 得 , 因为 为 的内角，所以，，所以，即
，整理得 ，所以 ，即. 故 一定是等腰三角形. 故选 C.
结论二、射影定理
设的三边为,对应的三个角分别为,则
例2：设的内角所对的边分别为 , 若，则的形状为( ).
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】 解法一 由已知可得，所以 ，所以 ，所以 ，三角形为直角三角形. 故选 .
解法二 由射影定理 知，所以 ，所以 ， 三角形为直角三角形. 故选 B.
变式 已知的内角的对边分别为, 若 , 则 的外接圆面积为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 解析1 因为, 由射影定理知，又 ，所以，所以，所以的外接圆面积为. 故选 C.
结论三、正弦定理的应用
1. 已知两角与一边，由及，可求出角，再求.
2. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的对角, 由 ，求出，再由，求出.
例3：在中， ，则( ).
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得 , 所以 . 因为为三角形内角, 且 , 所以, 所以 . 故选 C.
变式 在中, 内角的对边分别是 , 若 , 则 是( ).
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】因为 ，由正弦定理得 ，代人得 ，进而可得 ，所以 ，则 是等边三角形. 故选 D.
结论四、余弦定理的应用
1. 已知两边与其夹角，由 ，求出，再由余弦定理，求出角.
2. 已知三边 ，由余弦定理可求出角.
例 4： 在中，若，则( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 , 所以 , 根据余弦定理得 , 又 , 所以 . 故选 .
变式 在 中，角的对边分别为 ，则角的值为( ).
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】因为 ， 所以 ，所以 或. 故选B.
结论五、边角不等关系等价条件
在 中，.
例 5： 在中，“”是“”的 ( ).
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】. 故选 .
变式 在中，“”是“”的 ( )条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】 ，因为 推不出 ，
推不出 ， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选 D.
结论六、三角形形状判定
若 ，则或 ，则.
例 6： 在中，若 ，则是 ( ).
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等形直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由已知条件得
，即 ，所
以或. 故选 .
变式 在中，若，则的形状是 ( ).
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．不能确定 D． 等腰三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理得 ，因为 ，化简可得 ，得
，所以或者.因，, 故或者 ，所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选 A.
结论七、三角形面积
.
例7：在中，的对边分别是，其面积 ，则的大小是( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 因为 中，，且 ， 所以 ，即 ， 则 . 故选 C.
解法二 因为 ，结合已知条件 ，得 ，则 .故选 C.
变式 在中，角的对边分别是，的面积为，且，则的面积的最大值为 ( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，结合已知条件得，所以
，即 . 又由基本不等式 ，即 ，得 . 所以 ，当且仅当时，的最大值为.故选 C.板块五 向量
大招一 向量的概念和性质
【知识通关】
通关一、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律: 结合律:
减法 求与的相反向量 的和的运算叫作与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的 积的运算 （1） （2）时，与方向相同；时，与方向相反；时，
通关二、几种特殊向量
特殊向量 定义 备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也 叫共线向量) 与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量
特殊向量 相反向量长 度相等且方向相反的两个向量 若为相反向量,则
结论一、三角形法则与平行四边形法则
1.向量的加法:
(1)三角形法则：，，的和（或和向量）
(2)平行四边形法则:
不共线，以为领边作平行四边形，则
(3)多边形法则:
已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量叫作这n个向量的和向量.
2.向量的减法:
如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量.
例1．已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，等价的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D．
【解答】解：是正六边形，①；②；③；④．以上四个表达式都是等价的．
变式 如图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解答】由图可知在中，即故选A.
结论二、单位向量
方向上的单位向量（长度为1，与方向相同）
例2 设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：向量是既有大小又有方向的量，模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；②若与平行，则；反向时，不正确；
③若与平行且，则．同向时正确，反向时不正确；
所以不正确命题的个数为3．
变式 已知点，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知点，，，，，，，
则与向量同方向的单位向量为，
结论三、共线向量（平行向量）
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
当时，共线同向；当时，共线反向.
例题3 给出下列命题：
①若，则；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若，则；
④的充要条件是；
⑤若，则；
其中正确的序号是_____________________
【答案】②③
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.因为，所以.又是不共线的四点，所以四边形是平行四边形，则因此.
③正确.因为，所以的长度相等且方向相同；又，所以的长度相等且方向相同，所以的长度相等且方向相同，故.
④不正确.当且方向相反时，即使，也不能得到，故且不是的充要条件，而是必要不充分条件.
⑤不正确.考虑这种特殊情况.综上，正确命题的序号是②③.
变式 平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【解答】 选项A中，共线不一定同向； 选项B中，是非零向量也可以共线；对于选项：当，时不成立，故选D.
结论四、共线求参
用两个不共线向量（如）表示向量，设，化成关于的方程，由于不共线，则，解方程组即可.
例4 设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．或2 B．或3 C．2或 D．1或
【答案】C
【解答】解：，，，
，；
，，三点共线；与共线；，化简得，即；或．
变式 设为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则________________
【答案】0
【解析】设，将代入②得且与不共线，因此，解得，所以.
结论五、平面向量基本定理
如果和是平面内两个不平行的向量，为该平面任一向量，则存在唯一的一对实数和使得.
评注：
定理中和是两个不共线的向量；
为平面内任一向量，且实数对是唯一的；
平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.
例5 在中，若点满足，则=（ ）
【答案】A
【解答】解：如图，因为，所以，又因为，所以，，
变式 在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则=（ ）
【答案】B
【解答】解法一：由题意可得，，再由可得．作平行交于点，，．
，.
解法二：由于，则，将m，n代入即可.故选B.
结论六、中线定理
若为边BC上的中线，则
例6 如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则=（ ）
【答案】B
【解答】解：在中，是边的中线，是边的中点，，，．
变式 如图，在中，，，分别为线段，，的中点，则=（ ）
B． C． D．
【答案】D
【解答】解：.
故选D.
结论七、向量共线模型
如图，在中，若点D是边BC上的点，且，
则向量(系数之和为1).
例7、如图，在中，点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，若，，则m+n的值为_________________
【答案】 2
【解析】 因为点0为BC边的中点，所以
因为，，所.
因为三点M，O，N在一条直线上，所以，即得m+n=2
变式 设、、分别是的三边、、上的点，且，，，则与（ ）
A.反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
【答案】 A
【解答】解：如图所示，中，，，，根据定比分点的向量式，得，，，以上三式相加，得，所以，与反向共线．
大招二 向量的数量积运算
通关一、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量和，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即，其中是与的夹角，.零向量与任一向量的数量积为0.
要点诠释：
设两个非零向量与的夹角为，则：
当时，，；
当为锐角时，，；
当为直角时，，；
当为钝角时，，；
当时，，.
通关二、数量积的性质和运算律
向量数量积的性质
设，为非零向量，则
设是单位向量，且与的夹角为，则；
；
当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
，当且仅当与共线，即时等号成立；
（为向量与的夹角）.
向量数量积的运算律
交换律：；
数乘结合律：；
分配律：.
结论一、数量积公式
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫作与的数量积，记作，即有.
例1 已知向量，满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B．
【解答】解：向量，满足，，则，
变式 若向量、满足，与的夹角为，则
A． B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：，与的夹角为，
结论二、数量积几何意义
设是与的夹角，则叫作向量在向量方向上的投影，；叫作向量在向量方向上的投影，.
例2 设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为______
【答案】
【解答】解：由题意可得，，，，，，则向量在方向上的投影为．
变式 已知点，，，，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，，则向量方向上的投影为：，故选A.
结论三、向量垂直
例3 （2020全国Ⅱ卷文5）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由已知得
A选项：因为，所以本选项不合题意；
B选项：因为，所以本选项不合题意；
C选项：因为，所以本选项不合题意；
D选项：因为，故选D.
结论四、向量求模运算
1.或；
2.
例4、已知是两个单位向量，且，则________________
【答案】 1
【解析】 由题意，向量是两个单位向量，且，则=，所以，
所以.
变式 若，，且，的夹角为，则____________________
【答案】
【解析】 由题意可得
所以，所以
结论五、向量的夹角
当，是非坐标形式时，与的夹角为，则
例5、（2020全国Ⅲ卷理6）已知向量，满足则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 因为，所以又，
因此故选D.
变式 已知，都是非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为_______________
【答案】 60°
【解析】 由题意得化简得又化简得，由①—②得代入①或②得：，即设，的夹角为，则因为，所以，即与的夹角为 60°
【答案】 A
【解析】 ，，则向量在方向上的投影为，故选A.
结论三、向量垂直
，且 .
例3 （2020全国Ⅱ卷文5）已知单位向量的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 由题干可得，.对于选项A，；选项B，
；选项C，；选项D，；故选 D.
变式 （2020全国Ⅱ卷理13）已知单位向量夹角为，与垂直，则__________.
【答案】
【解析】 由与垂直可得，即，故，故填.
结论四、向量求模运算
1. 或;
2. .
例4 已知是两个单位向量，且, 则__________.
【答案】 1
【解析】 由题意，向量是两个单位向量，且，则, 所以 , 所以 ，故填.
变式 若，且与的夹角为，则__________.
【答案】
【解析】 由题可得，所以，
所以 ，故填.
结论五、向量的夹角
与的夹角为，则.
例5 （2020全国Ⅲ卷理6）已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 因为 ，所以，
，因此，，故选D.
变式 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】 由题意得, 化简得①；化简得
②；由①②得，代入①或②得：，设的夹角为，
则，因为，所以，故填.
结论六、向量夹角的判定
当时，，则是锐角或（此时）.
当时，，则是钝角或（此时）.
例6 已知，若与的夹角是锐角，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】 由得，又与不共线，得.
综上，得，故填.
变式 设两个向量满足的夹角为，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 由得，从而，.
当与共线时，令，即，解得 .综上，得，故填.
结论七、与的几何意义
与分别是以构成平行死边形的两条对角线.
菱形的两条对角线相互垂直：；
矩形两条对角线相等：；
平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和：或
.（由此可推出三角形的中线长公式）
例7 设是两个非零向量,下列说法正确的有__________.
①若,则;
②若,则;
③若, 则存在实数,使得;
④若存在实数,使得,则;
⑤若,则;
⑥若,则.
【答案】 ③⑤⑥
【解析】 利用向量加法的三角形法则知,不共线时, 可构成三角形, ①②均错误;③正确;④错误, 因为当时,; 利用向量加法的平行四边形法则知可看成是起点相同的向量构成的平行四边形的两条对角线, 故这个平行四边形为矩形 ⑤⑥均正确.
变式 已知两个非零向量满足,则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】 利用向量加法的平行四边形法则知可看成是起点相同的向量构成的平行四边形的两条对角线, 故这个平行四边形为矩形故选 B.
大招三 向量的坐标运算
通关一、向量坐标化
已知平面上的两点坐标，可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则（可记为"终""起"），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求. 另外三个坐标知二可求一，所以已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标.
通关二、向量的坐标运算
设, 则有:
（1）加减运算: ;
（2）数乘运算: ;
（3）数量积运算: ;
（4）向量的模长: .
通关三、向量位置关系的判定
设, 则有:
平行: ;
垂直: ;
向量夹角余弦值: .
结论一、向量坐标的加减法运算
设, 则:
① ;
②;
③.
例1 设平面向量, 则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】 ,故选B.
变式 已知向量,若, 则的值为__________.
【答案】
【解析】 向量,若,可得,解得,所以.
结论二、向量平行的判定及应用
若,则. 当且仅当时,与等价.
例2 平面向量与平行的充分必要条件是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】平面向量与平行的充分必要条件是.故选.
变式 已知向量,且, 则__________.
【答案】
【解析】 ,且,可得,解得.
结论三、向量垂直的判定及应用
若,则.
例3 已知向量, 向量与垂直,则实数的值为__________.
【答案】
【解析】 因为向量与垂直,所以, 所以 , 解得.
变式3 （2020全国Ⅰ卷文14）设向量, 若, 则__________.
【答案】 5
【解析】 , 解得.
结论四、向量求模
若,模.
例4 已知向量, 则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】 因为. 所以, 所以. 故选.
变式 已知，则的最大值为__________.
【答案】 2
【解析】 . 所以 .
结论五、两向量夹角
向量夹角余弦值: .
例5 已知向量,则__________.
【答案】
【解析】 .
变式 已知向量,则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】 据题意得,因为 ,所以. 故选.
结论六、常见的可建系图形
具备对称性质的图形: 长方形,正方形,等边三角形, 圆形.
带有直角的图形：直角三角形，直角梯形.
3. 具备特殊角度的图形（等）.
例6 已知, 若点是△所在平面内一点, 且, 则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】 A
【解析】 根据题意, 以点为坐标原点, 以所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立平面直角坐标系,所以点, 所以
（当且仅当 , 即 时取等号）. 故选 .
变式 已知△是边长为2的等边三角形,为平面内一点, 则)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】建立如图所示的坐标系, 以的中点为坐标原点.则, 设, 则 ,, 则,所以当,最小值为,故选B.
大招四 三角形四心与向量
通关一、四心的概念
重心（中线的交点）：重心将中线长度分成2:1.
垂心（高线的交点）：高线与对应边垂直.
内心（角平分线交点（内切圆的圆心））：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；内心到三角形三边的距离相等.
外心（中垂线的交点（外接圆的圆心））：外心到三角形各顶点的距离相等.
通关二、三角形四“心”向量形式
设为△所在平轴上一点,角所对边长分别为,则：
为△的外心.
为△的重心.
为△的垂心.
为△的内心.
通关三、重心性质
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离的关系：.
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
.
重心向是表达: .
三角形的重心坐标公式:△三个顶点的坐标分别为，
则△的重心坐标是 .
结论一、重心
是△的重心.
证法1 设, 则
是△的重心.
证法2 如图所示,因为 ,所以, 所以三点共线,且分为. 所以是△的重心.
例1 已知是△所在平面上的一点,若, 则点是△的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】 C
【解析】 若, 则, 以为邻边作平行四边形, 设与交于点,则为的中点,有, 得, 即四点共线, 同理亦为△的中线, 所以是△的重心. 故选 C.
变式：已知和点满足.若存在实数使得成立，则（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】由知，点为的重心，设点为底边的中点，则，所以有，即.故选.
结论二、垂心
为的垂心.
证明:如图所示，是三角形的垂心，垂直于，垂直于是垂足.，同理为的垂心.
例2：已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【答案】D
【解析】由，得，即，可得，所以.同理可证.所以是的垂心.故选D.
变式：已知为所在平面内一点，满足|，则点是的（ ）.
A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
【答案】
【解析】由已知得|，所以.所以，所以，即，所以.同理.故选.
结论三、内心
为的内心.
证明:因为分别为方向上的单位向量，所以平分，所以，量，所以，化简得.所以.
例3：已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【答案】B
【解析】因为，则，得.因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分.又，共线，知平分.同理可证平分，平分，所以点是的内心.故选.
变式：已知是所在平面上的一点，若(其中是所在平面内任意一点)，则点是的（ ）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【答案】B
【解析】式已知得，所以，式上题结论知点是的内心.故选B.
结论四、外心
为的外心.
例4：已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【答案】A
【解析】因为，则到的三个顶点距离相等，所以点是外接圆的圆心，即点是的外心.故选.
变式：已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ）.
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【答案】A
【解析】由已知得.所以点是的外心.故选.
结论五、重心与面积
若平面内点是的重心，则有.
例2：已知点是内一点，，则:
(1)与的面积之比为__________.
(2)与的面积之比为__________.
【解析】(1)将延长至，使，将延长至，使，则，所以是的重心.所以，，所以.
(2)因为，所以，又，所以.
变式：已知点是内一点，，则__________.
【答案】4:3:2
【解析】令，所以为的重心，则.因为，所以.板块六 数列
大招一 数列的概念和性质
通关一、数列的概念
一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:，简记为，其中数列的第1项，也称首项;数列的第项，也叫数列的通项.
要点诠释:
(1)与的含义完全不同:表示一个数列，表示数列的第项；
(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；
(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.
通关二、数列的分类
分类的标准 名称 含义 例子
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第二项起，每一项大于它的前一项的数列
递减数列 从第二项起，每一项小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项的数列,有些项小于它的前一项的数列
按项的有界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正值
无界数列 不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它
通关三、数列的通项公式
如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个公式表示成，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
要点诠释:
(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.
(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:，通项公式可以是，也可以是.
(3)数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示.
通关四、数列的前项和
数列的前项和:指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即，.
结论一、数列通项公式
给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；
(2)若第项和第项正负交错，那么符号用或或来调控；
(3)熟悉一些常见数列的通项公式；
(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.
例1：根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1)；
(2)；
；
.
【答案】 (1) (2) (3) (4)
【解析】(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，它们的分母相差3，因而有.
(2)把分母统一为2，则有，因而有.
(3)把各项除以7，得到，再乘以9，得到，因而有.
(4)观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即，则有.变式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】 (1) (2) (3) (4)
【解析】(1)先将数列，第1项也化为分数，数列变为，此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为.
(2)将数列各项化为带分数，即，可以发线正整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为.两部分合成为.
(3)将数列各项化为带分数，即，可以发现整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为1，分母是，所以两部分合成为.
(4)先将数列各项取为正数，即为，再将第1项也化为分数注意第1项化为分子符合各项分子变化规律的分数)即为，可以观察出各项分子是3开始的奇数，通项公式可以写为，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，求出分母的通项公式是，合起来为，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公式为.
结论二、数列的周期性
对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列.若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期.
例2：设数列满足，记数列前项之积为，则的值为（ ）.
A. B C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，，，即数列是周期为3的周期数列，且，故.故选D.
变式：数列满足，若，则的值为（ ）.
A. B C. D.
【答案】B
【解析】因为数列满足，，所以，，，所以数列是周期为3的循环数列，所以.故选B.
结论三、已知求的一般步骤
任意数列的前项和.
要点诠释:
由前项和求数列通项时，要分三步进行：
(1)先利用求出；
(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便求出当时的表达式；
(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.
例3：已知数列的前项和为，则其通项公式__________.
【答案】
【解析】因为已知数列的前项和，所以当时，，当时，，经检验，时，不满足上述式子，故数列的通项公式
变式：已知数列的前项和，则其通项公式__________.
【答案】
【解析】当时，；当时，.当时，，所以
结论四、与混合在一起的处理方法
数列的前项和与通项的关系为，通过纽带:，根据题目已知条件，消掉或，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解.
要点诠释：
(1) 若消掉,应利.用已知递推式,把换成得到另一个式子,两式相减即可求得通项.
(2) 若消掉,只需把代入递推式得到，的关系,求出后再利用与的关系求通项.
例4 ：若数列的前项和为,则数列的通项公式__________.
【答案】 1
【解析】由已知条件得,当时,,故.当时,,,所以 ,即.所以是以1为首项,为公比的等比数列,所以.
变式：已知数列的前项和,若,则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,可得,两式相减可得:,即.数列是从第二项起的等比数列,公比为 4, 因为,.所以.所以 .故选B.
结论五、数列单调性的判断方法
①作差法:
数列是递增数列;
数列是递减数列;
数列是常数列.
②作商法:
当时,数列是递增数列;
数列是递减数列;
数列是常数列.
当 时,数列是递减数列;
数列是递增数列;
数列是常数列.
例 5：已知是递增数列,且对于任意的恒成立,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】解法一（定义法）因为是递增数列,所以对任意的,都有,即 ,整理得,即. 因为,所以,要使不等式恒成立,只需 .
解法二（函数法）设,其图像的对称轴为直线,要使数列为递增数列,只需使定义在正整数上的函数为增函数,故只需满足,即.
变式：已知数列的通项公式为,则数列 的最大项是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由,解得,又,所以.于是,当时,, 故, 因此最大项为.故选.
大招二 等差数列通项公式及性质
【知识通关】
通关一、等差数列的定义
1.文字语言形式
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这 个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母表示.
要点诠释：
(1)公差一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
(2)共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）.
2.符号语言形式
对于数列,若 为常数)或为常数 ,则此数列是等差数列,其中常数叫作等差数列的公差.
要点诠释：定义中要求“同一个常数”,必须与无关.
通关二、等差中项
如果成等差数列,那么叫作与的等差中项,即.
要点：诠释
(1)两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数的等差中项存在且唯一.
(2) 三个数成等差数列的充要条件是.
通关三、等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为:
推导过程：
(1) 归纳法 根据等差数列定义可得,所以,
,
,
.
当时,上式也成立.所以归纳得出等差数列的通项公式为:.
(2) 叠加法 根据等差数列定义,有:
,
,
,
.
把这个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得,所以.
(3) 迭代法 .
所以 .
要点诠释：
(1) 通项公式由首项 和公差 完全确定,一日一个等差数列的首项和公差确定, 该等差数列就唯一确定了.
(2) 通项公式中共涉及 四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个量.
通关四、等差数列中的函数关系
等差数列中,,令, 则 :
（是常数且为公差）.
(1) 当时,为常数函数,为常数列;它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
(2) 当 时, 是 的一次函数; 它的图像是在直线 上均
匀排列的一群孤立的点.
(1)当时,一次函数单调增, 为递增数列;
(2)当时,一次函数单调减, 为递减数列.
结论一、通项公式理解
由等差数列的通项公式 可知：
(1) 已知等差数列的首项和公差, 可以求得这个数列的任何一项;
(2) 已知 这四个量中的任意三个, 可以求得第四个量.
例 1 在等差数列 中,
(1)若 , 求 和 ;
(2) 若 , 求 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)等差数列的公差,首项.
(2) 由联立得,所以
变式:在等差数列中,首项,公差,若,则的值为（ ）.
A.37 B. 36 C. 20 D. 19
【答案】
【解析】因为为等差数列,首项,所以 ,又公差 , 所以 . 故选 A.
结论二、通项公式变形
等差数列满足:.
例2：已知等差数列前9项的和为,则 （ ）.
A.100 B. 99 C. 98 D. 97
【答案】
【解析】因为等差数列前9项的和为,所以.又因为 ,所以,所以.故选.
变式：是公差为的等差数列,如果,那么 等于（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由两式的性质可知,, 则 .故选.
结论三、公差的几何意义
公差等于等差数列中任意两项之差与序号之差之比 (即斜率),表示为:.
例3：在等差数列中,已知,求.
在等差数列中,已知,求.
【答案】
【解析】(1);(2) .
变式：已知等差数列中,,则____________.
【答案】或
【解析】因为,所以,即,代人已知,有,解得 或
当时,,所以;
当时,,所以.
结论四、下标和相等, 项之和相等
等差数列中,若 ,则;若,则有
例4：已知等差数列中,,则的值是（ ）.
A.15 B. 30 C. 31 D. 64
【答案】 A
【解析】因为,所以.故选A.
变式：已知等差数列的前项和为,若,则____________.
【答案】 7
【解析】因为, 所以, 而
.
结论五、等差数列线性组合仍为等差数列
若和均为等差数列,则（为常数)也是等差数列.
例 5：已知数列满足,则“数列为等差数列”是“数列 为等差数列”的（ ）.
充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】若数列是等差数列,设其公差为,则,所以数列是等差数列.若数列是等差数列,设其公差为,则,不能推出数列是等差数列.所以“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件.故选A.
变式：设数列都是等差数列,若,则____________.
【答案】35
【解析】因为数列都是等差数列,设数列的公差为,设数列的公差为 ,而,故. 所
以.故答案为 35 .
结论六、下标成等差, 项也成等差
若是等差数列,则 组成公差为的等差数列.
例 6：若为等差数列,,则___________.
【答案】24
【解析】 因为为等差数列,设其公差为,所以 成等差数列,公差为.因为 ,所以,故.
变式：已知等差数列中,,则___________.
【答案】
【解析】解法一 设数列首项为,公差为,则,解得,
所以.
解法二 因为 , 所以 , 解得 , 所以
解法三 因为为等差数列,所以,也成新的等差数列,由,知上述新数列首项为,公差为,所以.
结论七、对称项设法
1.当等差数列的项数为奇数时,可设中间一项为,再以公差为向两边分别设项: ;
2.当等差数列的项数为偶数时,可设中间两项分别为,再以公差为向两边分别设项: .
例7：设有四个数的数列前三个数构成一个等比数列,其和为,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数,若满足条件的数列个数大于1,则的取值范围为__________. 【答案】
【解析】因为后3个数成等差数列且和为15 ,故可依次设后3个数为且,又前3个数构成等比数列,则第一个数为,即,化简得,因为满足条件的数列的个数大于1,需要,所以.再由且,得,且.故答案为 .
变式：一等差数列由3个数组成,3个数之和为9,3个数的平方和为 35 ,求这个数列.
【答案】或
【解析】设这三个数分别为,则,解得,.所以所求数列为或.
结论八、等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明方法有以下四种：
1. 定义法:（常数) 或为等差数列.
2. 等差中项法: 为等差数列.
3. 通项公式法: （是常数,）为等差数列.
4. 前项和公式法:为常数为等差数列.
若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项,使得这三项不满足即可.
例8：已知数列满足.
求证:数列是等比数列;
求数列的通项公式;
若数列满足,求证:数列是等差数列.
【解析】(1) 证明因为,所以.又,
,得,所以.故是以2为首项,以 2 为
公比的等比数列.
(2) 由得, 故
, 其中.将 个等式左右分别相加得 . 故
时也成立, 所以 .
(3) 证明 由 可知 , 即 , 故有 . 设 为 的前 项之和,则 ①, ②, 由②-①得,即③, 所以 （,4）④, 由④③得 , 即 . 故数列 是等差数列.
变式：在数列 中, 且 .
(1) 设 , 求证:数列 是等比数列;
(2) 设 , 求证:数列 是等差数列.
【解析】证明 (1)①②, 由①-②得,所以 . 当 时,,则,所以 ,所以 ,令,所以 .又 ,故数列是首项为3,公比为2的等比数列.
因为数列 是等比数列,. 所以 , 则 , 所以 . 令 , 又 , 故 . 又, 因此数列 是首项为 , 公差为 的等差数列.
大招三 等差数列的前项和
通关一、等差数列的前项和公式
公式一
证明: (倒序相加法) ①,②, 由①+②得, 因为 , 所以 , 由此得
公式二:
证明: 将 代入 可得 .
要点诠释：
(1) 倒序相加是数列求和的重要方法之一.
(2) 上面两个公式均为等差数列的求和公式,共涉及 五个量, 已知其
通关二、前项和与函数关系
由, 令 ,则 ;
为常数).
当即时,是关于的一个一次函数;它的图像是 在直线上的一群孤立的点.
(2) 当即时,是关于的一个常数项为零的二次函数;它的图像是在抛物线上的一群孤立的点.
①当时,有最小值;
②当时,有最大值.
通关三、（为奇数）
公式：（为奇数）
证明：因为，当为奇数时，就是前项的中项，所以（为奇数）
要点诠释：
1.是这项的中项，其中必须为奇数，中项的下标为，所以（为奇数），为便于记忆，公式记为：（为奇数），中项可以临时推算出来
2.公式的下标推算方法：
（1）等差中项推算法：当为奇数时，向所为奇数向是首项和尾项的中项，所以下标是；
（2）定义推算法，当为奇数时，项数为奇数项，必须是数列中正中间的一项，他前后项数应该一样多，所以，先从总项中去掉中项这一项，还一项，还有项，其前面有一半数量的项，即中项前面有项，所以中项排在第项的位置，所以中项的下标为.
结论一、等差数列前项和公式及其变形
（与首末两项等距离两项之和）
例1.（2020全国II卷文14）记为等差数列的前项和，若，则________
【答案】25
【解析】因为是等差数列，且，设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式可得即
整理可得，解得，根据等差数列前项和公式可得，所以
变式：已知是公差为1的等差数列，为的前项和，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是公差为1得等差，，所以，解得，则，故选B
结论二、前项和构造等差数列
若是等差数列，则，所以也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的
例2.等差数列的前项和为，，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】解法一 由题意知
所以公差，故选C
解法二 等差数列，也为等差数列，即，代入得，故选C
变式 已知等差数列的前项和为，，则取得最大值时的值为（ ）
A. B. C. D.或
【答案】B
【解析】 解法一，由为等差数列得，由得，令得，所以取得最大值时的值为，故选B
解法二 由为等差数列得，由得，令得，所以取得最大值时的值为，故选B
结论三、相同项数的和构造等差数列
等差数列前项和为，则也成等差数列，且公差，注意是第一个项和，第二个项和，，即每项和为一段.
例3 一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和.
【解析】 解法一 设其首项为，公差为，则解得，故
解法二 易知数列成等差数列，设其公差为,则前3项得和为即所以
解法三 设则解得
所以
解法四 因为数列为等差数，所以也为等差数列，点在一条直线上，即：
三点共线，于是，将代入解之得
解法五 因为数列为等差数，所以也为等差数列，设，将代入，解得
解法六 因为又
所以
解法七 利用性质，可得
解法八 利用性质 当时，由于，可得
变式 设数列为等差数，它的前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设数列的前项的和为，则由等差数列的性质得也成等差数列，所以，又因为将代入得，故选D
结论四、等差数列前n项和与通项关系
若为等差数列，为前项和，则
例4 已知等差数列中，，则项数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为故选C
变式 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由等差数列前项和公式，解之得：故选C
结论五、前n项和比值与通项比值关系
已知两等差数列，的前项和分别为和，则
例5.已知两等差数列，的前项和分别为和，且，则_________
【解析】解法一 因为
解法二 由
解法三 令差数列前项和分别为
变式 等差数列，的前项和分别为和，若，则（ ）
【答案】
【解析】
结论六、等差数列奇数项与偶数项的性质
1.若项数为，则
2.若项数为，则
例6 在项数为的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为等差数列有项，所以利用性质可得，故选B.
变式 已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项和中，奇数项和偶数项和之比为，则中间项为
【答案】
【解析】因为等差数列的项数为奇数，所以利用性质可得，解的，所以中间项为，因为
结论七、等差数列前项和最大、最小值问题
1.当时，解不等式组可得取到最大值时的值；
当时，解不等式组可得取到最小值时的值；
2.找到数列中的正负（或负正）转化项，即令，求出，若为整数（即存在为零项），则答案为两个：；若不为整数（即不存在为零项），答案为一个，即取整（或高斯）函数
3.利用（二次函数）来求最值，但注意取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴是时，答案有两个，其余为一个.
例7.已知数列是等差数列，前项和分别为，满足，给出下列四个结论：
①；②；③；④最小，其中一定正确的结论是（ ）
A.①③ B.①③④ C.②③④ D.①②
【答案】A
【解析】 设等差数列的公差为，整理得
，即，①正确.,②不正确.
,③正确.可能大于，也可能小于，④不正确，其中正确得结论是①③ ，故选A
变式 是等差数列的前项和，，则时的最大值是（ ）
A.2017 B.2018 C.4033 D.4034
【答案】D
【解析】
，可知时的最大值是
故选D
结论八、数列的前n项和的求解
1.求数列的前项和的关键时分清哪些项为正的，哪些为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列及进行求和.
2.当的各项都为非负数时，的前项和就等于的前项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前项和要充分利用的前项和公式。这样能简化解题过程。
3.当求的前项和表达式需分情况讨论时，其结果应该用分段函数表示。
例8.已知等差数列的各项都为整数，且，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由各项都为整数得，因为，所以
，化简得，解得或（舍去）
所以，所以，故选B
变式 已知数列的前项和为
（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明;
（2）设，求数列的前项和
【解析】（1）由，可得，两式相减可得而由，可得，于是由
可知，数列为等差数列.
（2）记数列的前项和为，当时，；当时，
，故数列的前项和为
大招四 等比数列通项公式及性质
通关一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，即
要点诠释：
由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此不可能是，
（2）“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个.
（3）隐含条件，任一项且
（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，不为的常数，数列是公比为的等比数列.
（5）证明一个数列为等比数列，其依据是利用这种形式来判定就便于操作了。
通关二、等比中项
如果三个数成等比数列，那么称数为的等比中项，其中。
要点诠释：
（1）只有当与与同号即时，才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项，当与异号或有一个为零，即时，与与没有等比中项。
（2）任意两个实数，与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一
但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项是等比中项不唯一
（3）当时，成等比数列推不出成等比数列
通关三、等比数列的通项公式
首项为公比为的等比数列的通项公式为：
推导过程：
（1）归纳法
根据等比数列的定义：，可得，所以
当时，上式也成立，所以归纳得出：
叠乘法
根据等比数列的定义可得：,把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得，即，又也符合上式，所以
迭代法
，所以
要点诠释：
（1）通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列得首项和公比确定，改等比数列就唯一确定了.
（2）通项公式中共涉及四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.
通关四、等比数列中的函数关系
等比数列中，，若设，则.
（1）当时，，等比数列是非零常数列，它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图像是分布在曲线，且上的一些孤立的点.
结论一、通项公式及其变形
等比数列通项（变形公式），即可以用数列中的任意一项来表示
例1 等比数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 把代入得，得或（舍去），
.故选B
变式 已知是等比数列，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设公比为，因为 ，所以，所以
，故选C
结论二、公比的表示
等比数列中，注意的奇偶性，如为偶数，则公比为两个.
例2.在等比数列中，，则公比的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可得，所以，故选A
变式 等比数列中，，则公比的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设公比为两式相除，得，则，所以，故选C
结论三、下标和相等，项之积相等
等比数列中，若，则.特别地，若，则.
要点诠释：左面几项对应右面几项，即左、右项数必须相等，如.
例3对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A.成等比数列 B.成等比数列
C.成等比数列 D.成等比数列
【答案】D
【解析】A选项中,，故A选项说法错误；B选项中，故B选项说法错误；C选项中，故C选项说法错误；D选项中，故D选项说法正确.故选D.
变式已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）.
A.10 B.20 C.100 D.200
【答案】C
【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，从而，即所求表达式的值为100.故选C.
结论四、等差数列与等比数列相互转化
若为等差数列为等比数列；
若为正项等比数列为等差数列.
例4等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】5
【解析】.又等比数列中，，即.故.
变式在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）.
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】由等比数列性质可得，，所以.故选B.
结论五、等比数列的构造
是等比数列，则，成等比数列；
，是等比数列，则，，成等比数列；
是等比数列，则每隔相同的项抽项，抽出的项亦成等比数列，即，仍是等比数列，公比为.
例5等比数列中，，，则等于（ ）.
B. C. D.
【答案】A
【解析】因为数列是等比数列，所以，，，，仍然为等比数列.所以此数列的公比为.是此数列的第10项，所以.故选A.
变式（2020全国I卷文10）设是等比数列，且，，则（ ）.
A.12 B.24 C.30 D.32
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，
.故选D.
结论六、对称项设法
当等比数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公比为向两边分别设项：；
当等比数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，，再以公比为向两边分别设项：.
例6已知等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是（ ）
B.
D.
【答案】D
【解析】因为，前三项可设为：.当时，；当时，.故选D.
变式已知-9，，，-1四个实数成等差数列，-9，，，-1五个实数成等比数列，则的值等于（ ）.
-8 B.8 C. D.
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的共比为，则有，解得，，所以.故选A.
结论七、等比数列的单调性
当，或，时，是递增数列；
当，或，时，是递减数列；
当时，是摆动数列；
当时，是常数列；
例7设是等比数列，则“”是数列递增数列的（ ）.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，由得；当时，由得，所以是递增数列.故选C.
变式已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）.
B.
C.若，则 D.若，则
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，当且仅当，同为正时，成立，故A选项不正确；，所以，故B选项正确；若，则，所以，所以或，故C选项不正确；若，则，所以，其正负由得符号确定，故D选项不正确.综上，故选B.
结论八、等比数列的判定与证明方法
定义法：（为常数且）数列是等比数列.
等比中项法：数列是等比数列.
通项公式法：数列是等比数列.
前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列.
注意：
若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
例8设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④其中一定为等比数列的是（ ）.
①③ B.②④ C.②③ D.①②
【答案】D
【解析】设，则有①，所以数列是等比数列；②，所以数列是等比数列；③不是一个常数，所以数列不是等比数列；④不是一个常数，所以数列不是等比数.综上数列①②为等比数列.故选D.
变式已知数列的前项和.
求数列的通项公式；
证明：对任意的，都存在，使得，，成等比数列.
【解析】（1）因为，所以当时，.当时，.因此当时，也成立.所以数列的通项公式为.
（2）对任意的，假设都存在，使得，，成等比数列，则，所以，化为，因为，所以，因此对任意的，假设都存在，使得，，成等比数列.
大招五 等比数列的前n项和
等比数列的前项和公式
推导过程：
利用等比数列性质
由等比数列定义，有.根据等比性质，有，所以当时，或.
错位相减法
等比数列的前项和.①当时，，；②当时，由得，，所以，所以或，即.
要点诠释：
错位相减法是一种非常常见和重要的舒蕾求和方法，适用于一个等差舒蕾和等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.
在求等比数列前项和时，要注意区分和.
当时，等比数列的两个求和公式涉及，，，，五个量，已知其中任意三个变量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
结论一、等比数列前项和（当时）变形公式
（系数互为相反数）；
（一次线性关系）.
例1已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）.
A.4 B.2 C.-2 D.-4
【答案】C
【解析】解法一根据题意，当时，；当时，.因为数列是等比数列，则，故，解得.故选C.
解法二由得结合等比数列前项结构特征（系数互为相反数），得，解得.故选C.
变式设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）.
B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一，，代入选项验证.故选D.
解法二根据等比数列前项和结构特征，，.故选D.
结论二、项数相同的和构造等比数列
等比数列的前项和为，则也成等比数列，且公比.
评注：（1）第一个项和，第二个项和，……，即每项和为一段.
当且为偶数时，不是等比数列.
例2已知等比数列的前项和为，若，，则 .
【答案】140
【解析】解法一由，，易得公比，根据等比数列的性质，可得，即，解得，又，所以，.
解法二根据等比数列前项和的性质，可得，即，解得，所以.
解法三根据等比数列前项和的性质，可知成等比数列，则，即，解得.
变式设等比数列前项和为，若，，则（ ）.
A.31 B.32 C.63 D.64
【答案】C
【解析】，，，所以成等比数列，即成等比数列可得，解得.故选C.
结论三、等比数列前项和关系特征
等比数列前项和为，则.
例3设等比数列前项和为，则.，则公比 .
【答案】
【解析】根据等比数列求和公式得，代入得，所以，化简整理得解得.
变式等比数列前项和为，已知成等比数列，则等比数列的公比为 .
【答案】
【解析】设等比数列公比为，易知.由题意可得，所以 ①；又根据等比数列分段求和公式得 ②；由4②-①得.又，所以，解得.
结论四、等比数列奇数项和与偶数项和性质
在等比数列中，当项数为偶数2时，；当项数为奇数时，或，.
例4一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，求此数列的公比和项数.
【解析】由题意知，.因为，所以.
变式等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项的值为（ ）.
【答案】C
【解析】设等比数列共有项，则，则，，代入，解得.故选C.
结论五、等比数列前项积的运算技巧
设等比数列前项积，则，……，成等比数列.
当为奇数时，；当为偶数时，.
例5已知等比数列满足，且，则当时，（ ）.
B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知可得，原式.故选C.
变式设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项积，且，，则下列结论错误的是（ ）.
B. C. D.与均为的最大值
【答案】C
【解析】设等比数列，是其前项积，所以，由，，，所以，所以B选项正确；因为所以，所以，所以A正确；，可知，又，所以单调递减，在或时取最小值，所以在或时取最大值，所以D选项正确.故选C.
大招六 数列通项公式题型全归纳
通关一、“叠加法”求通项
在求等差数列通项公式时，由这个式子叠加得，当时也成立.由此可得形如的递推式均可采用“叠加法”求得.上式中“”通常是可以化简的，即数列“可求和”.
通关二、“叠乘法”求通项
在求等比数列通项公式时，由这个式子叠乘得，当时也成立.由此可得形如的递推式均可采用“叠乘法”求得.上式中“”通常是可以化简的，即数列“可求积”.
题型一：可以转化为.从而数列为等比数列，故可由等比数列通项公式求解.
题型二：，两边同除以“”可以转化为.
当时，数列为等差数列，故可由等差数列通项公式求解.
当时，数列符合题型一，故可由题型一中的方法求解.
通关三、“倒数法”求通项
形如，两边同除以转化为
①当时，“倒数数列”为等差数列，由等差数列通项公式求解.
当时，“倒数数列”符合方法二中的题型一，故可转化为等比数列求解.
(2)形如，取倒数得.
当时，“倒数数列”为等差数列，由等差数列通项公式求解.
当时，“倒数数列”符合方法二中得题型一，故可转化为等比数列求解.
通关四、“待定系数法”求通项
，令，则，整理得.令，则.此时，，即数列为等比数列，故可由等比数列通项公式求解，从而也可求解.
【结论大招】
结论一、
把原递推公式转化为，再利用叠加法(逐差相加法)求解.
例1：已知数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】已知，所以.
……
累加后，得
.故.
变式：数列满足：，且，求.
【答案】
【解析】，，…，，叠加可得，所以.
结论二、
把原递推公式转化为，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.
例2：数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】因为在数列中，，所以，所以，，，…，，所以.
变式：已知数列满足，且，则_____；_____.
【答案】
【解析】由得，又，所以.由得，所以，，，…，，所以.
结论三、（其中均为常数，）
先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
例3：已知数列满足，且，则_____.
【答案】
【解析】已知，且，构造，即.因为，所以.由得，令，，，是以为首项，以为公比的等比数列，所以.又因为，所以.
变式：已知数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】解法一：设，解得，即原式化为.设，则数列为等比数列，且，所以.
解法二：因为 ， ，由-得：.设，则数列为等比数列，所以，所以，所以.
解法三：，，，…，
，所以.
结论四、（其中均为常数，）
1.一般地，要先将递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再用待定系数法解决；
2.也可以将原递推公式两边同除以，得，引入辅助数列（其中），得，再利用叠加法（逐差相加法）求解.
例4：已知数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】解法一：将两边分别乘以，得.令，则，根据待定系数法，得.所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以，即.于是.
解法二：将两边分别乘以，得.令，则，所以，，…，.将以上各式叠加，得
.又，所以，即.故.
变式：已知数列满足，，则_____.
【答案】
【解析】由题意知，两边同乘以得，即数列为等差数列，所以.所以，当时也成立.所以.
结论五、（）
这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令，然后与已知递推公式比较，解出，从而得到是公比为的等比数列.
例5：设数列满足，，则_____.
【答案】
【解析】设递推公式可以转化为，化简后与原递推式比较，得，解得.令（*），则，又，故，代入（*）得.
变式：已知数列满足，，则_____.
【答案】
【解析】由题意知.令，则，整理得.令，则.此时，，即数列为等比数列，所以.所以，时也成立.所以.
结论六、（）
这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为型，再利用待定系数法求解.
例6：已知数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】将两边取对数，得.令，则.由此得，记，则.所以数列是首项，公比为的等比数列.所以.所以，即，所以.
变式：已知在数列中，，且，则数列的通项_____.
【答案】
【解析】由题意知，因为，所以将两边取以为底的对数，得，故是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.
结论七、（且）
这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理.
若，则有，此时为等差数列.
若，则有，此时可转化为结论三来处理.
例7：在数列中，已知，，则_____.
【答案】
【解析】将等式两边取倒数得到，，是公差为的等差数列，.根据等差数列的通项公式的求法得到，故.
变式：已知数列满足，，则_____.
【答案】
【解析】因为，所以，即，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故.
结论八、
将原递推公式改写成，两式相减即得，然后将分奇数、偶数分类讨论即可.
例8：已知数列中，，.则_____.
【答案】
【解析】因为，所以，故，即数列的奇数项与偶数项都是公差为的等差数列.当为偶数时，，故；当为奇数时，因为，（为偶数），故.综上，.
变式：在数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以，即数列的奇数项与偶数项都是公差为的等差数列.当为偶数时，，所以.当为奇数时，因为，所以（是偶数），所以.综上，.
结论九、
将原递推公式改写成，两式作商可得，然后将分奇数、偶数分类讨论即可.
例9：已知数列中，，，则_____.
【答案】
【解析】因为，所以，故，即数列的奇数项与偶数项都是公比为的等比数列.当为偶数时，，故，即；当为奇数时，是偶数，故，代入得.综上，.
变式：已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）.
【答案】
【解析】数列满足，.当时，，两式作商可得，所以数列的奇数项成等比，偶数项成等比，对于选项来说，，错误；对于选项来说，
，正确；对于选项来说，数列是等比数列，错误；对于选项来说，数列不是等比数列，错误.故选.
大招七 数列求和
知识通关
1.公式法：直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等公式求解.
2.倒序相加（乘）法：如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和（积）等于首末两项之和（积），可采用把正着写和倒着写的两个式子相加（乘），就得到一个常数列的和（积），进而求出数列前项和（积）.
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子两边同乘以公比，得，两式错位相减整理即可求出.
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项和变成首尾的若干少数项之和.
5.分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解.
【结论大招】
结论一、公式法
常见数列的前项和
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）等差数列前项和：；
（8）等比数列前项和：.
例1：已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）由题设知公差，由，成等比数列得，解得，（舍去），故的通项.
（2）由（1）知，由等比数列前项和公式得.
变式：已知等差数列和等比数列满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）求和：.
【解析】（1）设等差数列的公差为.因为，所以，解得.所以.
（2）设等比数列得公比为.因为，所以，解得.所以.从而.
结论二、分组求和
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，数列的通项较复杂时，把原数列的每一项拆成两项（或多项）的和或差，从而将原数列分解成两个（或多个）数列的和或差，而这两个（或多个）数列或者是等差数列、等比数列，或者是已知其和，求出这两个（或多个）数列的和，再相加或相减，得到原数列和的方法便是分组求和法.
例2：已知等差数列满足，.
（1）若成等比数列，求的值；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）已知，.由得.所以即..所以.又因为成等比数列，.
（2）由（1）知，.记，，则.
变式：已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若数列满足，，且是等差数列，求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为（），由，得，解得，，所以数列的通项公式为：.
（2）由已知可得，根据题意可知是首项为，公差为的等差数列，所以，则，所以数列的前项和
.
结论三、倒序相加
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可把正着写与倒着写的两个和式相加，得到一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法.特征：
例3 已知是上的奇函数，，,则数列的通项公式为（ ）
B． C． D．
【答案】
【解析】：已知是上的奇函数，所以，代入得
，所以函数关于点对称令，则，得到.因为
，，倒序相加可得
，即.故选.
变式：设函数.
（1）证明:对一切，是常数；
（2）记，求，并求出数列的前项和.
【解析】
（1）证明 因为，所以.
（2），
，所以，即.所以.
结论四、裂项求和
裂项求和的常见拆项公式：
；
；
；
；
；
若为等差数列，公差为，则.
例4 在数列中，，.
求证：数列是等差数列；
求数列的前项和.
【解析】
（1）证明 的两边同时除以，得，所以数列是首项为，公差为2的等差数列.
（2）由（1）得，所以，故，所以.
变式：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，.
求数列，的通项公式；
若，求数列的前项和.
【解析】
（1）时，；当时，符合上式，所以.因为为等比数列，所以，所以，设的公比为，则，，而，所以即，解得或.因为单调递增,所以,所以.
（2），所以
.
结论五、错位相减
形如，其中为等比数列，公差为，是等比数列，公比为.
第一步：写出；
第二步：写出；
第三步：写出.
注意:错位相减即由第一步的第二项减第二步的第一项,后面依次类推,然后要注意项数问题，最后一定要化简.
例5 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列；数列的前项和为，且满足．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
【解析】
（1）因为数列是等差数列，所以，又，解得，所以．又①，（）②，由①②得，所以（），所以为等比数列，又，解得，所以．
（2）由（1）知，则，
，两式相减得 ，所以．
变式 已知数列的前项和．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
【解析】
（1）已知数列的前项和，当时，；当时，．经检验，满足上式，所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，所以
，两式相减得：
，所以．
结论六、数列最值
恒成立；能成立．
例6 设数列的前项和，，．
求证：是等差数列；
设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值．
【解析】
（1）证明：由题意，（）①，故有（，）②，由①②得，，即（，），所以（，）．令，带入①式可得，所以，故有（），故数列是以为首项，以为公比的等比数列，故．所以，即有．故是等差数列，首项为，公差为．
（2）由（1）可知，所以，故．由可知，．依题意，，解得，则最大正整数的值为．
（3）由意义对任意的都成立，故需要求的最小值，而，故数列的前项和是关于的单调递增函数，故的最小值为，所以，解得，则最大正整数的值为．
变式 已知函数，数列满足，，．
求数列的通项公式；
令，求；
令（），，，若对一切成立，求最小正整数．
【解析】
（1）因为，所以是以为公差的等差数列．因为，所以．
（2）
．
（3）由题意知，当时，
．所以对一切成立，即
．因为递增且，所以，即．所以最小正整数．
结论七、数列缩放
常见的缩放方法：
；
；
；
；
；
.
例7 已知数列 满足
求数列 的通项公式；
若, 且数列的前项和为 ，试比较和的大小并证明.
【解析】
（1）由题意可知数列是以2为公差，3为首项的等差数列，所以.
（2）由 可知 ，则
变式 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列.
（1）证明：；
求数列 的通项公式；
证明：对一切正实数，有
【解析】
证明 当时，因为所以
当时，，因为所以，所以当时，是公差的等差数列.因为构成等比数列，所以解得，有（1）可知，所以.因为，所以是首项为，公差的等差数列.所以数列 的通项公式为.
证明板块七 不等式
大招一 不等式的性质与解法
通关一、文字语言与数学符号之间的转换
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 ＞ 至多 ≤
小于 ＜ 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
通关二、不等式的基本性质
性质 别名 内容 注意
性质1 对称性 a＞bb＜a;a＜bb＞a 可逆
性质2 传递性 a＞b,b＞ca＞c;a＜b,b＜ca＜c 同向
性质3 可加性 a＞ba＋c＞b＋c 可逆
性质4 可乘性 a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bc c的符号
性质3推论1 称项法则 a＋b＞ca＞c－b 可逆
性质3推论2 同向可加性 a＞b,c＞da＋c＞b＋d 同向
性质4推论1 同向同正可乘性 a＞b＞0,c＞b＞0ac＞bd 同向，同正
性质4推论2 可乘方性 同正
性质4推论3 可开方性 同正
性质4推论4 倒数法则 同号
结论一、不等式的性质
1.加法法则(同向不等式可加性):a＞ba＋c＞b＋c(c∈R).
2.乘法法则:若a＞b,则
3.除法法则:若a＞b且c≠0,则
例1：若实数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,因为a＞b，a－b＞0，，所以.故选D.
变式：当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是( ).
A.ab＞ac B.a|c|＞b|c| C.|ab|＜|bc| D.(a－b)|c－b|＞0
【答案】D
【解析】A选项,必须满足a＞0,故不恒成立;B选项,|c|＝0时,结论不成立;C选项,b＝0时,结论显然不成立;D选项,因为a＞b＞c,所以a－b＞0,又因为|c－b|＞0,所以D选项正确.故选D.
结论二、比较大小
1.作差法:
任意两个代数式a，b可以作差a－b后比较a－b与0的关系,进一步比较a与b的大小.
①a－b＞0 a＞b;
②a－b＜0 a＜b;
③a－b＝0 a＝b.
2.作商法:
任意两个值为正的代数式a，b可以作商a÷b后比较与1的关系,进一步比较a与b的大小.
①;②;③.
若代数式a，b都为负数,也可以用作商法.
3.中间量法:
若两个代数式a，b不容易直接判断大小,可引入第三个量c分别与a，b作比较,若满足a＞c且c＞b,则a＞b.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法,其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.
例2：若a＞b＞0,则下列不等式中一定成立的是( ).
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】因为a＞b＞0，所以，所以，A选项错误；因为－＝当a＞b＞0，且ab＜1时，,此时，B选项错误；因为a＞b＞0，所＝＝，C选项错误;因为a＞b＞0，所以－＝＝＜0，，D选项正确.故选D.
变式：设实数a,b满足0＜a＜b,且a＋b＝1,则下列四数中最大的是( ).
A. B. C.2ab D.a
【答案】B
【解析】由已知有b＞＞a＞0,且＞2ab,排除C、D选项.作差比较A、B选项.
由＝＝又ab＜,即ab＜,所以1－4ab＞0,所以＞故选B.
结论三、一元二次不等式
的图象
一元二次方程的根 有两个相异的实根 有两个相等的实根 没有实数根
的解集 R
的解集
例3：不等式的解集为______________.
【答案】
【解析】不等式化为，解得.所以不等式
的解集为.
变式：不等式的解集为( ).
A. B.或 C.或 D.
【答案】
【解析】因为,所以,即,解得或,所以不等式的解集为或.故选B.
结论四、分式不等式
1.一般地,解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组,即
（1）;
（2）;
（3)
(4)
2.穿根法步骤
(1)将f(x)最高次项系数化为正数;
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积,然后求出f(x)＝0
的解,并在数轴上标出;
(3)自数轴正方向起,用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴,奇穿偶不穿;
(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等号写出解集.
例4：不等式的解集为( ).
A.{x|x＜－2或x＞3} B.{x|x＜–2或1＜x＜3}
C.{x|－2＜x＜1或x＞3} D.{x|－2＜x＜1或1＜x＜3|
【答案】C
【解析】
.利用数轴穿根法解得－2＜x＜1或x＞3.故选C.
变式：不等式的解集是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,于是且x≠1.故选D.
结论五、绝对值不等式
1.|f(x)|＜a(a＞0) －a＜f(x)＜a;
2.|f(x)|＞a(a＞0) f(x)＜－a或f(x)＞a;
3.|f(x)|＜g(x) －g(x)＜f(x)＜g(x);
4.|f(x)|＞g(x) f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x).
例5：若不等式|x－a|＜1的解集为{x|1＜x＜3},则实数α的值为_______.
【答案】2
【解析】因为|x－a|＜1,所以－1＜x－a＜1,所以a－1＜x＜a＋1,所以不等式|x–a|＜1的解集为{x|a－1＜x＜a＋1}.因为不等式|x－a|＜1的解集为{x|1＜x＜3},所以a－1＝1且a＋1＝3,解得a＝2.
变式：若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为____________.
【答案】(5,7)
【解析】|3x－b|＜4,于是0解得5＜b＜7.故b的取值范围为(5,7).
大招二 含参不等式解法
1.若函数f(x)在区间D上存在最小值和最大值,则
不等式f(x)＞a在区间D上恒成立 ＞a;
不等式f(x)≥a在区间D上恒成立 ≥a;
不等式f(x)＜b在区间D上恒成立 ＜b;
不等式f(x)≤b在区间D上恒成立 ≤b.
2.若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m,n),则
不等式f(x)＞a(或f(x)≥a)在区间D上恒成立 m≥a;
不等式f(x)＜b(或f(x)≤b)在区间D上恒成立 n≤b.
3.若函数f(x)在区间D上存在最小值和最大值,则
不等式a＜f(x)在区间D上有解 a＜﹔
不等式a≤f(x)在区间D上有解 a≤
不等式a＞f(x)在区间D上有解 a＞﹔
不等式a≥f(x)在区间D上有解 a≥
4.若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m,n),则
不等式a＜f(x)(或a≤f(x))在区间D上有解 a＜n;
不等式b＞f(x)(或b≥f(x))在区间D上有解 b＞m.
结论一、利用二次函数的性质
对形如f(x)＞0或f(x)＜0在其定义域上的不等式恒成立问题,若f(x)满足二次函数的一般结构,那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与x轴的高低比较.一般来讲,对(或)在x∈R上恒成立问题,可以利用二次项系数及判别式进行讨论;对(或)在x∈D(D≠R)上恒成立问题,常用分离参数法.
例1：若不等式的解集是R,则m的取值范围是__________
【答案】[1,9)
【解析】要想应用上面的结论,就得保证是二次的,这样才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m－1是否是0.
(1)当m－1＝0时,原不等式化为2＞0恒成立,满足题意;
(2)当m－1≠0时,只需 所以m∈[1,9).
变式：已知,若x∈[–2,2],f(x)≥2恒成立，则a的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】本题可以考虑f(x－2＝g(x)的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,即Δ≤0 或 或，,即在[－2,2]上成立
(1),所以
(2)或所以
综上,
结论二、分离变量
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.这类题型的基本解题思路如下:
(1)将参数与变量分离,即化为g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立的形式;
(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;
(3)解不等式g(a)≥(或g(a)≤),得a的取值范围.
例2：当x∈[1,2]时,不等式恒成立,则m的取值范围是_________.
【答案】(–∞,－5)
【解析】当x∈[1,2]时,由得.令则易知f(x)在[1,2]上是增函数,所以当x∈[1,2]时,＝f(1)＝－5,则m＜–5,即m∈(–∞,－5).
变式：已知x∈(–∞,1]时,不等式恒成立,则a的取值范围是___________
【答案】
【解析】令,因为x∈(–∞,1],所以t∈(0,2],所以原不等式可化为:.要使上式在t∈(0,2]上恒成立,只须求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可.因为又因为,所以所以,所以,
结论三、变换主元
在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a，m，k等的范围是已知的，而问题要求的反而是变量x的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。
例3：若|a|≤2,不等式恒成立,则x的取值范围是__________.
【答案】x＜–1或x＞3
【解析】原不等式转化为在|a|≤2时恒成立,设,则f(a)在|a|≤2上恒大于0,故有即
解得，所以x＜－1或x＞3.
变式：若不等式对于a∈(－∞,3] 恒成立,则x的取值范围是_______________.
【答案】(－∞,0)∪(1,＋∞)
【解析】注意到对于α∈(－∞,3]恒成立是关于a的一次不等式.
不妨设,则f(a)在a∈(–∞,3]上单调递减,则问题等价于f(3)＞0,所以 或,则x的取值范围是x∈(－∞,0)∪(1,＋∞).
结论四、恒成立问题
1.对任意的x∈D,都有f(x)＞m,则＞m;
2.对任意的x∈D,都有f(x)＜m,则＜m.
例4：若对任意x＞0,都有,则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】原题等价于
则 为减函数, 于是 . 故 .
变式 已知函数 , 若对任意 ,都有 , 则实数的取值范围是____________________
【答案】
【解析】 对任意的 ,都有 ,转化为 恒成立,题意等价于 , 令 , 且 在 上为减函数,所以
. 故 .
结论五、能成立问题
1. 若存在 ,使得 , 则;
2. 若存在 ,使得 , 则.
例5 存在实数 ,使得不等式 有解,则的取值范围为________________
【答案】
【解析】变量分离得 , 只需当 时, . 因为 , 所以 , 即 .
变式 已知函数 ,若定义域不为空集,则 的取值范围为________________
【答案】
【解析】 的定义域非空,相当于存在实数 , 使 成立, 的最大值大于 0 成立, , 解得 或 , 即
.
结论六、恰成立问题
1. 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ;
2. 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .
例 6 不等式 的解集为 , 则 ________________
【答案】 6
【解析】 由题意知 的两根分别为 , 根据韦达定理可得 . 所以 .
变式 已知函数 ,若 的解集为 ,则 ________________
【答案】 -5
【解析】 因为 的解集为 , 所以 的解集为 , 所以等价于方程 的两个根为 2 和 3 ,由韦达定理可得 .
结论七、“任意 = 存在”型
对任意的,存在,使得,则的值域是值域的子集, 即 .
例 7 函数 , 对于任意的 , 均存在 ,使得 成立,则 的取值范围是________________
【答案】
【解析】 设 在区间 上的值域为 在区间 上的值域为 ,本题转 化成两函数的值域之间的关系, 即需满足 , 即 . 所以 且 , 解得 . 故 .
变式 已知 , 对任意的 , 存在 ,使得 , 则 的取值范围是________________
【答案】
【解析】 由 可得 的值域为 ,3], 的值域是 , 又对任意的 ,存在 ,使得 , 则 的值域包含 的值域, 即 ,则 ,解得 . 故 .
结论八、“存在 = 存在”型
若存在 ,存在 ,使得 , 则 的值域与 的值域有非空交集, 即 .
例 8 已知函数 ,若有 ,则的取值范围为________________
【答案】
【解析】因为 的值域为 , 又有 , 即 , 即 , 解得 , 即 .
变式 已知函数存在 , 使得 成立,则的取值范围为_____________
【答案】
【解析】 存在 ,使得 成立,则 的值域 相交非空, 的值域为 的值域为 , 则 或 ,解得 .
大招三 基本不等式
通关一、均值不等式的使用条件
1. 一正: 函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用均值不等式,在同负时可以先进行转化,再运用均值不等式; 实际过程中,两项全是负的其实也可以用均值,提出一个负号即可. 所以说“一正”这个条件可以扩展为“同号”。
2. 二定: 函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值;特殊情况下, 至少要求各项的和、积、平方和是一个可化简的定式。
3. 三相等:只有具备了不等式中等号成立的条件,才能使函数式取到最大或最值,否则不能由均值不等式求最值,只能用函数的单调性求最值。
通关二、已知 , 则
其中 称为平方平均数, 称为算术平均数, 称为几何平均数, 称为调和平均数.
【证明】 因为 , 所以 . 因为
, 所以 , 当且仅当“ ”时等号成立. 因为
, 所以 , 当且仅当“ "时等号成立. 因为 , 所以 , 当且仅当“ "时等号成立. 因为
所以 , 当且仅当“ ”时,等号成立.
结论一、常见基本不等式
1. , 当且仅当 时取等号.
2. , 当且仅当 时取等号. 3. , 当且仅当 时取等号.
4. , 当且仅当 时取等号 , 当且仅当时取等号.
5. 同号 ,当且仅当 时取等号.
例1 , 给出下列推导,其中正确的有_______________
(1) 的最小值为 ;
(2) 的最小值为 4 ;
(3) 的最小值为 .
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为, 所以 (当且仅当时取等号.
(2)因为 , 所以 (当且仅当时取等号.
(3)因为 , 所以 (当且仅当 即时取等号 因为, 与矛盾, 所以上式不能取等号, 即 .
变式（2020山东卷11）已知且，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 ABD
【解析】 选项: , 当且仅当时,等号成立, 故选项正确; 选项: , 所以 , 故选项正确; 选项: , 当且仅当 时,等号成立, 故选项不正确 选项: 因为 2, 所以, 当且仅当 时,等号成立, 故选项正确. 故选.
结论二、和定积最大，积定和最小
1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且若，为定值,则，当且仅当时，等号成立；
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且ab=P，P为定值，则，当且仅当时，等号成立.
例 2 已知 .
(1)若 , 求的最小值;
(2)若，求ab的最大值.
【答案】 (1)4 (2)4
【解析】 （1）解法一 因为且,所以，即a+b≥4(当时取等号), 所以 的最小值为
解法二 因为且, 所以, 即 当且仅当 时取等号 , 所以 的最小值为
(2) 解法一 因为 , 所以, 即 当且仅当 时取等号), 所以 的最大值为
解法二 因为 , 所以 当且仅当时取等号, 所以的最大值为
解法三 因为, 所以 当 且仅当 时取等号 , 所以 的最大值为 4 .
变式 已知 , 则的最大值为
【答案】16
【解析】 解法一 因为, 所以 (当且仅当 即时,等号成立),故当时, 的最大值为 16 .
解法二 因为, 即 , 可得 当且仅当时,等号成立), 故当时, 的最大值为 16 .
结论三、已知 , 求 的范围
把 整体代换, 展开得:
例 3 已知实数 满足 ，且 , 则的最小值为______________
A.24 B.16 C.18 D.12
【答案】
【解析】, 所以 , 当且仅当 时,等号成立. 故选 A.
变式 设 , 若是 与 的等比中项,则 的最小值为( )
A. B. 4 C. 1 D.
【答案】 B
【解析】 因为 , 所以 , 于是
，当且仅当时成立，故选B.
结论四、己知 , 求 的范图
把 整体代换, 展开得:
例 4 已知 , 且 , 求 的最小值.
【解析】 解法一 因为 , 所以 . 因为 , 所以 当且仅当 , 即时,等号成立 又 , 所以 . 所以当时,取最小值 16 .
解法二 由 , 得 . 因为 , 所以 . 因为, 所以 , 所以 当且仅当 , 即 时,等号成立,此时 所以当 时,取最小值 16 .
变式 若两个正实数满足, 且恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为正实数 满足 , 所以 , 当且仅当 时,即 时取得最小值 8 . 因为 恒成立，所以，解得，故选C.
结论五、柯西不等式
若 都是实数,则 , 当且仅当 时, 等号成立.
例 5 设 ,且 ,则 的最小值为_____________
【答案】
【解析】 由柯西不等式得 , 当且仅当 时,等号成立. 所以 , 故 的最小值为 .
变式 已知关于 的不等式 的解集为 .
(1)求实数 的值;
(2)求 的最大值.
【解析】 (1)由 , 得 ,则 , 解得 .
(2) 当且仅当 , 即 时,等号成立,故 =4.
结论六、权方和不等式
已知, 则 , 当 时,等号成立.
例 6 已知 , 则 的最小值为______________
【答案】 125
【解析】由权方和不等式 得 当且仅当 , 即 时上式取最小值, 即 =25 .
变式 为正实数,且 ,则 的最小值是_______________
【答案】
【解析】, 当且仅当 , 即 时取得等号.板块八、立体几何
大招一 空间立体几何的结构
通关一、多面体的图形与结构特征
名称 图形 结构特征
棱柱 两个面互相平行,其余各面是平行四边形,侧棱互相平行
棱锥 底面是多边形，侧棱交于一点
棱台 上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点
通关二、旋转体的图形与结构特征
名称 图形 结构特征
圆柱 两个底面互相平行,有无数条母线, 且长度相等,都与轴平行,过轴的截 面是全等的矩形
圆锥 面是圆面,有无数条母线,长度相 等且交于一点,平行于底面的截面是 与底面大小不相等的圆,过轴的截面是全等的等腰三角形
名称 图形 结构特征
圆台 圆台上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形
球 过球心的截面是大小相等的圆
结论一、几何体的结构特征
例1.如图所示观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱
解析：
图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;图③是棱锥,故正确;图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱.故选C.
变式 下列说法正确的是（ ）
A．有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
解析：
选项错,如图 选项正确,如图, 其中底面是矩形, 可证明都是直角, 这样四个侧面都是直角三角形; 选项错,如图选项错,由棱台的定义知,其侧棱的延长线必相交于同一点. 故选B.
结论二、柱体
例2.底面是菱形的直棱柱,它的对角线的长分别是9和 15 , 高是5 ,则这个棱柱的侧面积为__________.
解析
设底面两条对角线的长分别为,则,所以,所以菱形的边长,所以.故棱柱的侧面积为160.
变式 已知正四棱柱的对角线的长为且对角线与底面所成角的余弦值为,则该正四棱柱的体积等于__________.
解析
记正四棱柱的底面边长为,高为则,解得.故正四棱柱的体积等于2.
结论三、椎体
要点诠释: 有关正棱锥的计算问题,要抓住四个直角三角形:正棱錐的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形,即右图
例3.侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体,则棱长为1的正四面体的体积是__________.
解析
如图, 为底面正三角形的中心,,故在直角三角形中,有,故此正四面体的体积
变式 已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
解析
正四棱锥底面的对角线的长度为 ,故正四棱锥的高,所以体积为
故选D.
结论四、棱台
要点诠释：有关正棱台的计算问题,应抓住三个直角梯形、两个直角三角形:即正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径、侧棱、斜高、两底面边长的一半,组成三个直角梯形(梯形, ,)和两个直角三角形(,)
例4.正四棱台的高为 17,两底面的边长分别是4和16,则这个棱台的侧棱长为__________,斜高长为__________.
如图过点作,垂足为,过点作,垂足为.由题意知,,在直角三角形中,
,即斜高长为.又,在直角三角形中,,即此棱台的侧棱长为19. 故此棱台的侧棱长为19，斜高长为
变式 已知正三棱台侧棱长为5,上底面边长和下底面边长分别为2和5,则该三棱台的高为__________,斜高为__________.
解析
正三棱台中,是等边三角形的重心,连结并延长,交于,连结并延长,交于.连结,过点作,交于,过作,交于,则,所以正三棱台的斜高.正三棱台的高
结论五、旋转体
例5.圆台的母线长为,母线和轴的夹角为30°，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则圆台的高与上下两底面面积之和分别为__________，__________.
解析
圆台的轴锥面如图,设它的上底面半径为,则下底面半径为,有,圆台,上下两底面面积之和.
变式圆锥轴截面顶角为,母线长为,则轴截面的面积为__________过顶点的圆锥的截面中,最大截面的面积为__________.
解析
圆锥的轴截面为顶角为的等腰三角形,腰长为,故高为,底边长为,从而轴截面面积为.过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形,且腰长为1,设顶角为,三角形的面积为,由轴截面的顶角为知,,故当为直角时,过顶点的截面有最大面积.
要点诠释：球的截面的性质
（1）球的截面是圆面；
（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
（3）球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：
例6.在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为和，则球的半径为__________.
解析
球的半径为，截面圆心分别记为，如图，因为所以.同理，所以，设，则.在
中，，在所以解得
变式 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为和，则这两个截面间的距离为__________.
解析
设两个截面半径分别为，则，解得，而球心到两个截面的距离分别为.若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为，如图（a）；若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为，如图（b）.
结论七、展开与折叠最值
思考折叠前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变，充分利用不变量和不变关系；折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不分别位于两个半平面内但垂直于折线的直线折叠后仍然垂直于折线
例7如图，长方体中,，并且，则沿着长方体的表面自到的最短线路的长为__________.
解析 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.
三个图形（a），（b），（c）中的长分别为
因为，所以故最短路线长为.
变式 如图所示，正三棱锥的侧棱长为1，，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值.
解析
过作正三棱锥侧面展开图，如图所示,因为，，所以以.所以的周长的最小值为3.
大招二 表面积与体积
通关一、多面体的表面积和体积公式
名称 侧面积 全面积 体积
棱柱 棱柱 直截面周长 或
直棱柱
棱锥 棱锥 各侧面面积之和
正棱锥
棱台 棱台 各侧面面积之和
正棱台
要点诠释：表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长
通关二、旋转体的表面积和体积公式
名称 侧面积 全面积 体积
圆柱 （即）
圆锥
圆台
球
要点诠释
表中分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径，分别表示圆台的上下底面半径，表示球的半径.
结论一、公式法
1.柱体的体积公式：
2.锥体的体积公式：
3.台体的体积公式：
4.球的体积：
例1.如图，在长方体中，分别过的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为,若，则截面的面积为__________.
【答案】
【解析】由可知，又因为，解得.在中，，所以.
变式 如图，在三棱柱中，若分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，那么____________.
【答案】
【解析】设三棱柱的高为，，则，
所以，所以，所以.
结论二、等体积法（颠倒法）
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的。尽量使颠倒后的底面在已知多面体的表面或者对角面上.
例2 三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点是上任意一点，连结，，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，由题意知三棱锥，所以.故选C.
变式 已知长方体，棱.
（1）求点到平面的距离.
（2）连接，过点作的垂线交于，交于.
①求证：；
②求点D到平面的距离
【解析】（1）解法一 设点到平面的距离为.因为，所以.在中，由已知条件有
，，所以而，，所以.
解法二 连结交于点，则，因为上底面，从而有，因为，所以面，又面，所以面面，且面面.过作交于，则面，所以点到平面的距离即为长.在中，由已知条件可得，，，所以.
（2）①证明 因为长方体中棱，所以又，且，所以，从而，所以.因为面，且，所以，且，所以，且，所以又因为，所以.
②，且，所以，所以点到平面的距离可以转化为点到面的距离.又因为，所以即为所求距离，.
结论三、割补法
运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体。要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减法”。
例3 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，是正方形，取中点，若，则连结，易知底面三角形是边长为2的正三角形，且为正三角形，于是，且，，不难算得，于是.因此.若，则连结，此时有，可计算出，同上可知三棱柱的体积为.故选.
变式 如图，已知三棱雉中，之间的距离为，且，则三棱雉的体积为_____________。
【答案】
【解析】以，为邻边补成平行四边形，以为侧棱补成平行六面体，如右图，则三棱雉的体积与平行六面体的体积之间有，易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线，之间的距离.因为，所以四边形为矩形.所以.
结论四、正方体与球的组合
正方体的棱长为，内切球半径为，棱切球半径为，外接球半径为.
例4 若三棱雉的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______。
【答案】
【解析】此三棱雉可以看成边长为的正方体的一个角，故它的外接球的直径为，从而它的外接球的表面积为.
变式正方体全面积为24，则它的内切球的表面积为__________接球的表面积__________。
【答案】
【解析】由球与正方体的对称性易知，正方体的外接球和内切球的球心都与正方体的中心重合，体对角线为外接球的一条直径，内切球的直径等于正方体边长的一半.正方体的全面积为24，故它的边长为，故它的体对角线长为，即它的内切球的半径为1，外接球的半径为，故它的内切球的表面积为，外接球的表面积为.
结论五、正四面体与球的组合
正四面体的棱长为，它的高为，体积为，外接球半径为，内接半径为.
例5 知正四面体棱长为a，则其外接球的表面积为__________，内切球的表面积为__________.
【答案】
【解析】正四面体的外接球和内切球是同心球，且球心在正四面体一截面的高上.
解法一 如图，正四面体中，内切球切底面于，切侧面于，则，为底面和侧面的中心.连结，则.取中点，连结，，，分别在，上.设内切球半径为，外接球半径为，，
为等腰三角形，连结并延长交于，则垂直平分，.因为，所以，所以，所以，
所以外接球的表面积为，内切球的表面积为
解法二 由于球心将正四面体分割成四个全等的三棱雉，且每个三棱雉的高为内切球的半径.因为正四面体的体积，又，所以又因为，所以.所以外接球的表面积为，内切球的表面积为.
变式 如图所示，正四面体的外接球的体积为，则正四面体的体积为_________.
【答案】
【解析】解法一 如图，为底面的中心，大圆圆心在上，设正四面体棱长为，由题意知，故.所以，，
所以在中，，解得.所以.
解法二 在中应用射影定理.如图，为底面的中心，在正四面体中，大圆圆心在上，为球的大圆直径.由题意知，故.因为为球的直径，故，，设，则，故，由射影定理知，，解得.故.
解法三 将正四面体置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径.由得，所以体对角线长为，因此正方体边长为2，所以正方体的面对角线即正四面体的棱长，为，所以.
结论六、表面积和体积最值问题
1.求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.
2.求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值.
3.组合体中的最值问题一般思路：
(1)根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
(2)利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方法解决.
例6 已知正四棱锥内接于一个半径为的球，则正四棱锥体积的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如右图，记为正四棱雉外接球心，为底面的中心，则，，三点共线，连结，，.设，则，，，所以正四棱锥的体积，当且仅当，即时，等号成立.故选C.
变式 如图所示，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于，的任意一点，.
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积的最大值.
【解析】（1）证明 因为是底面圆周上异于，的一点，且为底面圆的直径，所以.因为，，所以因为，，，所以.
（2）解法一 设，在中，，故
，即.因为，所以.所以当，即时，三棱雉的体积取得最大值.
解法二 在中，，.当且仅当时，等号成立，此时.所以三棱雉的体积的最大值为.
解法三欲使最大，只需最大，只需到的距离最大.又到的最大距离为1，所以最大值为.
大招三 共线、共面与截面
【知识通关】
通关一、公理1
(1)自然语言：如果一条直线.上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
(2)图形语言：如图所示.
(3)符号语言：，，且，
(4)作用：①检验一个面是否是平面的依据；②判断直线是否在平面内的依据；③判断点是否在平面内的依据.
通关二、公理2
(1)自然语言：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(2)图形语言：如图所示.
(3)符号语言：，，不共线有且只有一个平面，使得，，.
(4)作用：①确定一个平面的依据；②判断两个平面重合的依据；③证明点、线共面的依据.
由公理2，结合初中所学的“两点确定一条直线”，易得以下推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
要点诠释：
三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上三点才能确定一个平面.
通关三、公理3
(1)自然语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(2)图形语言：如图所示.
(3)符号语言：,且,且.
(4)作用：①判断两个平面是否相交的依据；②可以找到两个平面的交线；③可以判定点在直线上.
要点诠释：
平面的三公理及其推论是解决立体几何问题的基础和依据,可以解决点线共面问题、点共线和线共点问题,也是研究立体几何逻辑推理的基础,是将空间几何问题转化为平面几何问题的依据.
[结论大招]
结论一、共点、共线问题
1.如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线；
2.如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线；
3.如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在两个平面的交线上.
例1 已知正方体，，分别为，的中点,，.
(1)若交平面于点,
（2）求证:,,三点共线
【解析】（1）正方体中，记平面为,平面为.因为,所以,，，，所以点是与的公共点.同理,点也是与的公共点.所以.又由可知,，，，所以,即，，三点共线.
(2)因为延长，，则与必相交,设交点为.因为,所以点在面与面的交线上.又平面,由公理3可知在直线上,所以，，，三线共点.
变式 已知空间四边形的对角线是,,点，，,,,分别是,,
,,,的中点,求证:三线段,,交于一点且被该点平分.
【解析】证明如图，连结EF，FG，GH，HE，因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF//AC// HG，EH//BD//FG，所以四边形EFGH是平行四边形.设EG∩ FH=0 ，则O平分EG ，FH.同理，四边形MFNH是平行四边形.设 MN∩FH = O' ，则O'平分MN，FH.因为点0，0'都平分线段FH，所以О与0'两点重合，所以MN过EC和FH的交点，即三线段EC ， FH ，MN交于一点且被该点平分.
结论二、共面问题
1.先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内;
2.过有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.
例2：正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F， G ，H ，K，L分别是DC ，DD1，A1D1 ，A1 B1，BB1 ，BC的中点，求证：这六点共面.
【解析】证明连结BD和KF ，因为E，L是CD，CB的中点，所以EL// BD.又因为矩形BDD1B1中，KF//BD，所以KF//EL，所以KF ，EL可确定平面，从而E，F，K，L在同一个平面内，同理EH//KL，故E，H ，K，L共面于平面β.又因为平面与平面β都经过不共线的三点E，K，L，故平面与平面β重合，所以E，K，L，F ，H共面于平面.同理可证G∈，所以E，K，L，F， H，G六点共面.
变式 如图，a∩b=A，a∩c =B，a∩d = F ，b∩c = C，c∩d = D ， b∩d=E，求证:a ，b， c ，d共面.
【解析】证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为.又A∈ ，B∈ ，所以a.A ∈ b，C∈b，所以b.B∈c，C∈c，所以c ，所以a，b ， c都在内.又D∈c，E∈b，所以D∈，E∈.因
为D∈d，E∈d ，所以d，所以a，b，c，d共面.
结论三、截面问题
画截面的重点是画出所要求的截面与已知立体图形的各个面的交线(前提是相交)，只需分别找到截面与各面的两个公共点即可.主要的依据有:三个平面两两相交，那么它们的交线交于一点或者两两平行;两个平行平面与第三平面相交，则它们的交线平行.
例3：(1)如图( a) ，求作经过棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和CC1的中点E，F及点D1的截面，并求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积.
(2)如图(b)，求作经过棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1的AB和CC1的中点E，F及点D1的截面.
【解析】(1)因为D1，E∈平面A1ADD1，所以连结D1E并延长，与DA 延长线交于点P，同理连结D1F并延长，与DC延长线交于点Q，连结PQ，所以△D1PQ为切割平面，过正方体的顶点B(分析见下).因为F，B∈面BCC1B1，连结EB，FB，所以四边形D1EBF就是所求的截面.(分析:其中点B在PQ所在直线上，可通过平面几何知识证明.)在△PDD1中，由于E为AA1中点，EA // DD，，所以A为PD中点，同理C为DQ中点，所以PA =AD =DC= CQ，从而△PAB与△BCQ都是等腰直角三角形，所以LPBA +LABC + LCBQ =
180°，P，B，Q共线.由作截面的方法可知，截面过正方体的中心，将正方体平分为两部分，且这两部分关于正方体的中心对称，因此所求的体积为正方体体积的一半，即.
(2)因为D ，F∈平面CC1D1D，所以连结D1F并延长，交DC延长线于点G，所以点G∈底面ABCD，又因为点E∈底面ABCD，所以连结GE交BC于M，并延长与DA延长线交于点H，所以点H∈侧面ADD1A1，所以连结D1H ，交AA1于N，△D1GH所在平面为切割平面.又因为N，E∈平面A1ABB1，M，F∈平面BCC1B1，所以连结NE与MF，则五边形D1NEMF即所求作的截面.
变式：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别为BC ，AB ，C1D1的中点，求作正方体的过P，Q，R的截面.
【解析】 因为P，Q∈平面ABCD ，所以连结PQ并延长，交DA的延长线于N，交DC的延长线于M，又因为R，M ∈平面D1C1CD，所以连结RM交C1C于E，并延长MR与DD1延长线交于点S，因为S，N∈平面ADD1A1，所以连结SN交A1A于F，交A1D1于G，所以△SMN所在平面为切割平面，并且与正方体棱的交点已确定.又因为F，Q∈平面A1ABB1，P，E∈平面BCC1B1，所以连结FQ与PE，则六边形PQFGRE即为所求作的截面.
大招四 空间平行关系
通关一、直线与平面平行的判定定理
自然语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
简称:线线平行，则线面平行.图形语言:如图所示.
符号语言:.
要点诠释:
在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.
通关二、直线与平面平行的性质定理
自然语言:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行.
简称:线面平行，则线线平行.
图形语言:如图所示.
符号语言:.
要点诠释:
（1）的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有，则要用判定定理，在内找与平行的直线;若条件中有，则要用性质定理，找(或作)过且与相交的平面.
（2）当直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫作直线与平面的距离.
（3）一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面.
平面和平面垂直的判定定理的两个条件，缺一不可.
通关三、平面与平面平行的判定定理
自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
简称：线面平行，则面面平行.
图形语言：如图所示.
符号语言：
要点诠释:
1.如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行.
2.要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题.
通关四、平面与平面平行的性质定理
自然语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
简称:面面平行，则线线平行.图形语言:如图所示.
符号语言: .
要点诠释:
两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
通关四、平面与平面垂直的性质定理
自然语言:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
图形语言:如图所示.
符号语言:，=CD，AB，ABCDAB.
结论一、线线平行
思考途径:
1.转化为判定共面二直线无交点;
2.转化为二直线同与第三条直线平行;
3.转化为线面平行;
4.转化为线面垂直;
5.转化为面面平行.
支持定理:
配图助记:
例1：如图，四边形ABCD是矩形，P面ABCD，过BC作平面BCEF交AP于F，交DP于E，求证:四边形BCEF是梯形.
【解析】证明因为四边形ABCD是矩形，所以BC//AD，又AD平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC平面BCFE，平面BCFE∩平面PAD =EF，所以BC//EF.又因为BC//AD，所以EF//AD ，显然EF≠AD，又AD = BC，所以EF≠BC，所以四边形 BCEF是梯形.
变式 已知E，F，G，H为空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD ，DA上的点.
（1）若E，F，G，H都分别是所在边的中点，求证:四边形EFCH为平行四边形;
（2）若EH //FG ，求证:EH //BD.
【解析】证明（1）因为E是AB的中点，H是AD的中点，所以EH// BD且EH=BD，同理有FC//BD ，FG =BD，所以EH//FG且 EH =FG，故四边形EFGH为平行四边形.
因为EH /|FG，EH面BCD ， FG面BCD，所以EH//面BCD.
又因为EH面ABD，面BCD∩面ABD =BD，所以EH//BD.
结论二、线面平行
思考途径:
1.转化为直线与平面无公共点;
2.转化为线线平行;
3.转化为面面平行.
支持定理:
配图助记:
例2：如图，四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，PD的中点.求证:AF//平面PCE.
【解析】证法一(线线平行线面平行)取PC的中点G，连结EG ， FG.由F为PD中点，知FG // CD且FG =CD.又由已知有AECD ，所以FGAE.所以四边形AEGF是平行四边形，所以AF//EC.又AF平面PCE，EG 平面PCE，所以AF//平面PCE.
证法二(面面平行线面平行)取DC中点M ，连结FM ，AF ，AM.因为四边形ABCD是矩形，E，M分别是AB，CD 的中点，所以AM//EC.因为F ，M分别是PD，CD 的中点，所以FM//PC.又FM∩AM = M ，AM面AFM ，FM面AFM ，所以面AFM//面PCE.因为AF平面AFM ，所以AF//平面PCE.
变式 如图，三棱柱ABC-A，BC中， D是BC的中点.求证:
A1C//平面AB1D.
【解析】证法一(线线平行线面平行)连结A1B，记A1B∩AB1=E，连接 DE.因为ABC- A1B1C1是三棱柱，所以四边形A1ABB1是平行四边形，所以E是A1B的中点.又D是BC的中点，所以DE//A1C.因为DE平面AB1D ，A1C平面AB1D，所以A1C//平面AB1D.
证法二(面面平行线面平行)取B1C1，中点M，连结A1M ，CM ， DM.因为ABC一A1B1C1是三棱柱，所以MC//B1D.因为M，D分别为B1C1，BC的中点，所以MD// A1A，MD =A1A，所以四边形AA1MD是平行四边形，有A1M //AD.又 A1M∩ MC= M ，且A1M面A1MC，且 MC面A1MC，所以面A1MC//面AB1D.因为A1面A1MC，所以A1C//平面AB1D.
结论三、面面平行
思考途径:
1.转化为判定二平面无公共点;2.转化为线面平行;
3.转化为线面垂直.支持定理:
配图助记:
例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M ，N ，E，F分别是A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点.求证:平面AMN //平面EFDB.
【解析】证明连结MF，因为M，F是A1B1，C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，所以MFA1D1，又 A1D1AD ，所以MFAD ，所以四边形AMFD是平行四边形，所以AM//DF.因为DF面EFDB，AM面EFDB，所以AM//面EFDB.同理由ANBE，可得AN//面EFDB，又 AM ，AN平面AMN，AM ∩AN =A，所以平面AMN//平面EFDB.
变式 已知长方体ABCD - A'B'C'D'中，E，F分别是AA'，CC'的中点.求证:平面 BDF//平面B'D'E.
【解析】证明因为BB'// DD'， BB'= DD'，所以四边形BDD'B'为平行四边形，故有BD//B'D'.取BB'的中点G，连结AG，FG.因为AE//B'G ，AE=B'G ，所以四边形AEB'G为平行四边形，故有AG/[B'E.又因为GF//BC// AD ，GF = BC =AD ，所以四边形ADFG为平行四边形，故有AG//DF ，所以B'E//DF，又B'E∩B'D'= B' ，DF∩BD = D ，所以平面BDF//平面B'D'E.
大招五 空间垂直关系
通关一、直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂间
(2)图形语言:如图所示.
(3)符号语言:
通关二、直线与平面垂直的性质定理
自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.图形语言:如图所示.
符号语言:
要点诠释:
直线与平面垂直的定义常常逆用，即oLB
若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
通关三、平面与平面垂直的判定定理
(1)两个平面垂直的定义
如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.平面与β垂直，记作.
(2)两个平面垂直的判定定理
自然语言:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
图形语言:如图所示.
符号语言:.
要点诠释:
( 1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的;
(2)由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直;
(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
结论一、线线垂直
思考途径:
1.转化为相交垂直;2.转化为线面垂直;
3.转化为线与另一线的射影垂直;4.转化为线与形成射影的斜线垂直.支持定理:
配图助记:
例1：如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G，求证:AE⊥SB，AG⊥SD.
【解析】证明因为SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC.又因为ABCD为正方形，所以BC⊥AB，所以BC⊥平面ASB.因为AE 平面ASB，所以BC⊥AE.又因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE，所以AE上平面SBC.又因为SB 平面SBC，所以AE⊥SB，同理可证AG⊥SD.
变式 如图，四面体P-ABC中，PA上面ABC，AB上BC，过A作AE⊥PB交PB于E，过A作AF⊥PC交PC于F.求证:PC⊥EF.
【解析】证明因为PA上面ABC，且BC 面ABC，所以BC⊥PA，且BC⊥AB，所以BC⊥面ABE，所以BC⊥AE.又PB⊥AE，且 BC∩PB =B，所以AE⊥面PBC，且 PC 面PBC，所以AE⊥PC.又AF⊥PC，且AF∩AE=A，所以PC⊥面AEF ，且EF 面AEF，所以PC⊥EF.
结论二、线面垂直
思考途径:
1.转化为该直线与平面内任一直线垂直;
2.转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
3.转化为该直线与平面的任意一条垂线平行;
4.转化为该直线垂直于另一个平行平面;
5.转化为该直线与平面的垂线平行.支持定理.
支持定理：
配图助记:
要点诠释：
平面和平面垂直的判定定理的两个条件：，缺一不可．
通关四、平面与平面垂直的性质定理
自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
图形语言：如图所示．
符号语言： ．
要点诠释：
(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；
(2)由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；
(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．
结论一、线线垂直
思考途径：
1．转化为相交垂直；
2．转化为线面垂直；
3．转化为线与另一线的射影垂直；
4．转化为线与形成射影的斜线垂直．
支持定理：
；② 所成角为90°；③ (三垂线定理及其逆定理)．
配图助记：
如图，是正方形垂直于平面，过A且垂直于
的平面分别交于点求证：，．
【解析】证明：因为平面，平面，
所以．又因为为正方形，所以，所
以⊥平面．因为平面，所以．又
因为平面，所以，所以平面．又因为平面，所以，同理可证．
变式 如图，四面体中，面，，过A作交于，过作交于．求证：．
【解析】证明 因为面，且面，所以，且，且面，所以．又，且，所以面，且面，所以．又，且，所以面，且 面，所以．
结论二、线面垂直
思考途径：
1．转化为该直线与平面内任一直线垂直；
2．转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
3．转化为该直线与平面的任意一条垂线平行；
4．转化为该直线垂直于另一个平行平面；
5．转化为该直线与平面的垂线平行．
支持定理：
① ；② ； ③ ；④ .
配图助记：
如图，在正方体，为的中点，
为底面的中心．求证面.
【解析】证法一 由于，且，所以面，
，所以连结，设，则
因为
，，
所以，所以，，所以面.
证法二 由于，且，所以面，且
面，所以.取中点，连结，则
在正方形中，由，分别为的中
点，可知，又且，所以
面,又面，所以所以面PAC．
变式 在四棱锥中，底面为矩形，底面，
分别为，AB的中点．若，求证：面
【解析】证法一 取中点，连结则
所以，所以四边形是平行四边形．因为底面，
且面，所以．又由底面是矩形有，所以
面．又面PAD，所以．又因为，
所以是等腰直角三角形．因为为中点，所以，
所以．又，面．又，所以面．
证法二 先完全仿照证法一可证明面取中点，
连接，则，所以面面，
所以面MRN，所以MN⊥CD．因为∠PDA＝45°，所以PA＝AD，
又BC＝AD，所以PA＝BC，又AN＝BN，且＝∠CBN＝90°，
所以根据三角形全等可知PN＝NC，又PM＝MC，所以因为
CD∩PC＝C，所以MN⊥面PCD
结论三、面面垂直
思考途径：
1．转化为判断二面角是直二面角；
2．转化为线面垂直．
支持定理：
二面角的平面角为；② ； ③
配图助记：
在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，
SA＝AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
证明：平面SAC⊥平面AMN．
【解析】 证明因为SA⊥底面ABCD，CDC平面ABCD，所以SA⊥CD．
又因为CD⊥AD，SAC平面SAD，ADC平面SAD，SA∩AD＝A，
所以CD⊥平面SAD．AMC平面SAD，所以CD⊥AM．又因为
SA＝AD＝AB，M是SD的中点，所以AM⊥SD．SDC平面SCD，CDC平面SCD，SD∩CD＝D，所以AM⊥平面SCD．SCC平面SCD，所以AM⊥SC．又因为AN⊥SC，AM，ANC平面AMNAM∩AN＝A，所以SC⊥平面AMN．又因为SCC平面SAC，所以平面SAC⊥面AMN．
变式 如图，在直四棱柱中，，，点M是棱BB1，上一点
（1）求证：面A1BD；
（2）求证：
（3）试确点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．
【解析】(1)证明 由直四棱柱，得
所以是平行四边形，所以而BD 平面平面，
所以面
(2)证明因为面ABCD，ACC面ABCD，所以又因为BD⊥AC，且所以AC⊥面而MD 面所以MD⊥AC
(3)当点M为棱的中点时，平面平面取DC的中点的中点连结交DC于O，连结OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC．又因为DC是面ABCD与面的交线，而面ABCD⊥面所以BN⊥面又可证得O是的中点，所以BM//NO且BM＝NO，即BMON是平行四边形，所以BN//OM，所以OM⊥平面因为OMC平面所以平面
大招六 空间角度关系
通关一、异面直线所成的角
如图，已知两异面直线经过空间任一点，分别作直线a'//a，b'//b，相交直线a'，b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)．
通关二、直线与平面成的角
(1)直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；
(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为；
(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°.
通关三、二面角
二面角；从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形叫作二面角．
二面角的平面角：如图，在二面角
的棱l上任取一点P，以点P为垂足，在半平面
内分别作垂直于棱l的射线PA和PB，则
射线PA和PB构成的∠APB叫作二面角的平面角．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角的取值范围是．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
【结论大招】
结论一、线线角
1．过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间问题转化为平面问题)．
2．当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点．
3．通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．但应注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
例1 如图，在正方体
(1)求AC与所成的角
(2)M，N分别是的中点，求异面直线
AM和CN所成角的余弦值．
【解析】(1)连结所以所成锐角或直角就是异面直线AC与所成的角．连结知是等边三角形，得，故异面直线AC与BC，成60°角．
在平面内作EN//AM交AB于E，则EN与CN所成的锐角
或直角即为AM与CN所成的角，E为AB的四等分点(分析：由于M
为的中点，因此若取AB中点为，有因此，
又N是的中点，所以E为BF中点，为AB的四等分点)．设正方体
的棱长为a，在△CNE中，由余弦定理
得即异面直线AM和所成角的余弦值为
变式 如图，在直三棱柱中，，点D，F
分别是的中点，若求AD与成角的余弦值．
【解析】解法一 (构造辅助平面)连结DF，由题意知，
取AB的中点N，连结则FN平行且等于AD，所以FN与所成
的锐角或直角就是异面直线AD与CF所成的角．设，在△CFN中，由余弦定理得即AD与CF所成角的余弦值为
解法二(将线段平移到几何体之外) 过C作CM//AD交的延长线于M，
则四边形ACMD为平行四边形，所以
CM与CF所成的锐角或直角为异面直线AD与CF所成角．设
则中，
由余弦定理得：．
即AD与CF所成角的余弦值为
结论二、线面角
1．作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；
2．证：即证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
3．求：一般来说是借助解三角形的知识求角．
例2 如图，在棱长为1的正方体
（1）求与平面所成的角
（2）求与平面所成的角的余弦值
【解析】 (1)连结BD与AC交于O，因为底面ABCD
且底面为正方形，所以，又，
所以BD⊥平面所以斜线在平面内的射影，
所以为与平面所成的角．
在所以
（2）解法一 是正三角形，且，所以棱锥是正三棱维，则在底面的射影为底面的中.过作面垂足为H，
连结是与平面成的角．
因为，得，
故
解法二 连结与交于点E．因为且
所以BC1⊥面又BCC面所以面
且面，所以过作，交A1E于点H，则由面面垂直性质定理可知面所以是与平面所成的角．因为，所以得，故．
变式 如图，正方体的棱长为1，.
（1）求AO与所成角；
（2）求AO与平面ABCD所成角的正切值．
【解析】（1）因为所以AO与所成角就是∠OAC．
因为AB⊥平面从而有OC⊥AB，又因为OC⊥OB，所以
OC⊥面AOB，所以OC⊥OA．在Rt△AOC中，OC所以∠OAC＝30°
（2）作OE⊥BC，平面平面ABCD，所OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角．在Rt△OAE中，， ，所以．
结论三、二面角
1．垂面法：由二面角的平面角的定义知，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角．
2．平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角．
例3 如图，正方体的棱长为是AB的中点．
（1）求二面角的大小；
（2）求二面角的大小．
【解析】（1）因为BC⊥面，所以，
所以即为二面角的平面角，所以此二面角
的大小为45°．
（2）过点P作交于F．因为BC⊥面且PFC面所以PF⊥BC，又所以PF⊥面过点F作，于E，连结PE，则∠PEF为二面角的平面角．因为正方体的棱长为1，所以BP=因为所以在等腰中，由可得所以在中，.因为∠FBP=45°，所以在等腰Rt△BPF中所以在Rt△PFE中，所以二面角B的大小为30°
变式 长方体，，与平面ABCD成30°角，
与平面成45°角，求二面角的正弦值或余弦值的大小
【解析】 解法一作BF⊥AC与AC交于点因为⊥底面ABCD，
且BF 底面ABCD，所以，又，且所以BF⊥面作交于E，连结EF，则∠FEB为二面角的平面角，且．因为与平面ABCD成30°角，则与平面成45°角，则．
又因为，所以．．在Rt△ABC中．在Rt△ABE中，．所以．
解法二 作BF⊥AC交AC于点F，因为底面ABCD，且BF 底面ABCD，所以，又AC⊥BF，且所以BF⊥面所以面在平面上的射影为．，．根据直角三角形的射影定理，所以，
所以所以所求二面角的余弦值为.
大招七 空间向量与立体几何
通关一、空间坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向, 如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
通关二、平面法向量的求法
(1) 设平面的法向量为;
(2) 找出 (求出) 平面内的两个不共线的向量的坐标 ，;
(3)根据法向量的定义建立关于的方程组;
(4) 解方程组, 取其中的一组解, 即得法向量.
要点诠释：
求平面的法向量时,建立的方程组有无数组解,利用赋值法,只要给，，中的一个变量赋一特殊值(常赋值,)即可确定一个法向量,赋值不同, 所求法向量不同,但不能作为法向量.
通关三、用向量法求空间角
1. 求异面直线所成的角
(1) 选好基底或建立空间直角坐标系;
(2) 求出两直线的方向向量，；
(3) 代入公式 .
两异面直线所成角的范围是 , 两向量的夹角的范围是 , 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为直角时,其补角才是异面直线的夹角.
2. 求线面角
(1) 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）;
(2)通过平面的法向量来求, 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角, 取其余角就是斜线和平面所成的角.
3. 求二面角
(1) 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量, 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2) 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
结论一、空间向量的基本定理
如果三个向量，，不共面,那么对空间任一向量,存在唯一一个有序实数组，，使其中，，叫作空间的一个基底, 记作.
例1 如图所示,在平行六面体中,是的中点,是的中点,是的中点,点在上,且,设,，用基底表示以下向量:
(1)；（2）；(3)；(4).
【答案】(1)；（2）；(3)；(4).
【解析】连接，，
(1) ;
(2) ;
(3)
;
(4)
变式 设点为空间任意一点,点，，是空间不共线的三点,又点满足等式: , 其中,，，求证: ，，，四点共面的充要条件是.
【解析】需要分两方面来证：充分性即证：若,则，，，四点共面;必要性即证:若，，，四点共面,则有.
先证充分性: 因为 , 所以 , 所以
, 即 . 由共面向量定
理知，，，四点共面.
再证必要性:设,由条件
得
，
所以,即
因为，，，四点共面,而点为空间任意一点,所以只能,即.综上,命题成立.
结论二、空间向量的坐标运算
设,，则
(1) ,；
（）;，
(2) （），，（）,
，;
(3) .
例 2 已知，，.
(1)求，;
(2) 问当实数的值为多少时,的模最小;
(3) 问是否存在实数,使得向量垂直于向量;
(4) 问是否存在实数,使得向量平行于向量.
【答案】(1)，；(2)；(3)时；(4)时.
【解析】(1) ；
，，
(2)，
, 所以当 时,的模最小.
(3),故当 时,有垂直于向量.
(4)若存在实数,使得向量平行于向量,则存在实数,使得,即
,故,从而有
, 无解,故不存在实数,使得向量平行于向量.
变式 已知,,,.
(1) 求线段,的长;
(2) 求证:这四点,,,共面;
(3) 求证:,;
(4) 求向量与所成的角.
【答案】(1),; (2)见证明过程；(3) 见证明过程；(4).
【解析】 (1) ，，，
；
(2) 证明：，，.要证这四点共面,只需证可写成向量 ,的线性组合.
假设存在实数,,使,即,
则,解得,,故从而向量,,共面,故
这四点,,,共面.
(3) 证明,,,,,
,故,.
(4),,,
故向量与所成的角为.
结论三、平行的判定和性质
设直线，的方向向量分别为, ,平面 ，的法向量分别为,.
1. 线线的平行关系: (或与重合) ;
2. 线面的平行关系 : 或 存在实数, ，使
（其中，为平面内的两个不共线的向量)；
3. 面面的平行关系: （，重合）.
例3 如图,四棱锥中,底面，,底面为梯形,,，，点在棱上,且.求证:平面.
【解析】证法一 以为原点,，所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则，，，，. 设
,则,， 因为,所以 ,
解得,则有, ，，，
因为，平面, 所以平面.
(或者求出平面的法向量得出与垂直也可证明结论)
证法二 因为,，所以是等腰直角三角形.因为平面,所以,又,所以平面,所以.又,所以也是等腰直角三角形,所以.连接,交于点,则.在中,,所以.又平面，平面,所以平面.
变式 如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,是等腰直角三角形, ，，.
(1)求证:平面；
(2)设线段的中点为，在直线上是否存在一点,使得平面 若存在,请指出点的位置,并证明你的结论；若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见证明过程；(2) 存在点,当为中点时,平面.
【解析】(1)证明 因为为等腰直角三角形,,所以.又因为平面平面 ，平面,平面平面,所以平面.所以. 因此,，，两两垂直.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设,
则，，，，.因为,，所以 .从而,.所以，，,
，，所以，.因为平面，平面,，所以平面.
(2)存在点,当为中点时,平面.设，.从而,由得, 即为中点时,,又平面,直线不在平面内,故平面.
结论四、垂直的判定和性质
设直线，的方向向量分别为 , ，平面，的法向量分别为，.
1. 线线垂直:;
2. 线面垂直: ;
3. 面面垂直: .
例4 如图,四棱锥的底面是正方形,底面，,，点，分别为棱，的中点.
(1)求证:平面；
(2)求证:平面平面.
【解析】证明以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1),，，，则,,于是,，.因为,所以与，共面. 又面，所以平面.
(2)因为,所以,即.又,所以,
即.于是面,由(1)平面,则面面.
变式 如图,已知长方体中,,,.棱上是否存在点,使平面平面 证明你的结论.
【答案】存在点,使面面，见证明过程.
【解析】如图建立空间直角坐标系,则,，,，假设点存在,且,平面平面，.
证法一 在平面中作,垂足为.因为，，三点共线,所以.因为,所以,所以,所以.因为面面,所以面,所以,所以,所以.所以存在点,使面面.
证法二 ,,,设平面的法向量为,
平面的法向量为,则,,
即可取,,所以平面平面,
即,解得.所以存在点,使平面平面.
结论五、点到面的距离
求定点到平面的距离,可设平面的法向量为,面内一点,则点到平面的距离 .
例 5 如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,，底面，，为的中点,为的中点.
(1)证明:直线平面；
(2)求异面直线与所成角的大小；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)见证明过程；(2);(3).
【解析】(1)作于点,如图所示,分别以，，所在直线为，， 轴建立空间直角坐标系.,，，，，,，.
证明,,.设平面的法向量为 ,则,.即,取,解得.
因为,所以平面.
(2)设与所成的角为,因为,,所以.
又因为,所以,即与所成角的大小为.
(3)设点到平面的距离为,为在平面的法向量上的投影的绝对值.
由,得,所以点到平面的距离为
变式 如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,,分别是与的中点,点在平面内的射影是的重心.
(1)求与平面所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)；(2) .
【解析】(1)连结,则是在面的射影,即是与平面所成的角.如图建立空间直角坐标系,坐标原点为,设则,,,,,,所以,,所以,解得.所以,,所以.所以与平面所成角的余弦值是.
解法一 ,，，设为平面的一个法向量,则,令得:.线段在上投影的绝对值即为所求距离,
故.
解法二 由(1)有，，，.，
，所以平面.又平面, 所以平面平面 ,又面面,所以点在平面的射影在上.设,则 .由，即,解得.所以, 即,即点到平面的距离为.
结论六、线线角
设直线, 的方向向量分别为, ,则, 所成角满足:, .
要点许释：
空间两条直线所成角的范围是,异面直线所成角的范围是,而两个向量之间的夹角范围是 , 这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方.
例 6 如图,在棱长为的正方体中,,,分别是,,的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出,,,的坐标;
(2)求证:,且;
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1) ,,,；(2)见证明过程；(3).
【解析】
(1) 在空间直角坐标系中,,,
,.
(2) 证明 因为,,,,
，所以.又，
，所以.
（3），，，
，，又异面直线所成角不大于，故异面直线与所成角的余弦值为.
变式 如图，正四棱锥的底面边长与侧面棱长都是2，是的中点.
（1）求异面直线和所成角的大小.
（2）求异面直线和所成角的余弦值.
【解析】（1）解法一 因为，所以和所成的角就是和所成的角.因为是正三角形，所以，所以和所成的角为.
解法二 设在底面的射影为，由于为正四棱锥，所以为底面正方形的中心.以点为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形，所以斜高，，所以，，，，，所以，，
，所以.所以向量与向量所成的角为，即直线和所成的角为.
（2）由（1）的解法二得，，所以
.
而直线和所成角只能在至之间，所以和所成角的余弦值为.
结论七、线面角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，则与所成角满足：
.
例7 如图，已知点在正方体的对角线上，.
（1）求与所成角的大小；
（2）求与平面所成角的大小.
【解析】 如图，以为原点，为单位长，建立空间直角坐标系.则，.连结，.在平面中，延长交于.设，由已知，由可得，解得，所以.
（1）因为，所以，即与所成的角为.
（2）平面的一个法向量是.因为，所以.可得与平面所成的角为.
变式 如图，已知长方体中，，，连结，过点作的垂线交于，交于.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】 如图建立空间直角坐标系.因为∽，所以.
（1），，，，，，所以
，，.
因为，
，所以，，即，，又，所以平面.
（2）设平面的一个法向量为，因为，，而，所以，令，得，而，所以所求的距离.
（3）由（2）知，，而，设与所成角为，则，s以直线与平面所成角的正弦值为.
结论八、二面角
设平面的法向量分别为，则所成的二面角满足：
（为平面所成的二面角，）.
例8 如图，已知矩形所在平面外一点，平面，分别是的中点，，
（1）求证：平面；
（2）求证：，且；
（3）求直线与所成的角；
（4）求直线与平面所成的角；
（5）求平面与平面所成的角.
【解析】 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.由已知条件可得，，，.分别是的中点，故，，.
（1）证明 ，，，设，解得，故，又平面，平面，平面，所以平面.
（2）证明 ，，.
，.，
，故.
（3），，，所以，直线与为异面直线，故其所成角为.
（4）直线的一个方向向量为，，，设为平面的一个法向量，则有，故为平面的一个法向量，
，故，故直线与平面所成的角为.
（5），，设为平面的一个法向量，则有
，故为平面的一个法向量，为平面的一个法向量. ，故，即平面与平面所成的角为.
变式 如图，在直三棱柱中，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】解法一 （1）证明 因为三棱柱为直三棱柱，所以.在中，，，，由正弦定理得，所以，即.所以平面，又平面，所以.
（2）如图，作交于点，连结，由三垂线定理知.所以为二面角的平面角.在中，
.在中，，
所以，即二面角的余弦值为.
解法二 （1）证明 因为三棱柱为直三棱柱，所以.在中，，，，由正弦定理得，所以，即.如图，建立空间直角坐标系，则，，，.所以，.因为，所以.
（2）可取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，，又，所以，所以，.不妨取，则..结合图像知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.板块九 直线与圆
大招一、直线的方程
【知识通关】
通关一、直线的倾斜角
（1）定义：如下图，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转发最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.
（2）规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
（3）范围：直线的倾斜角的取值范围是.
通关二、求斜率的常用方法
（1）当倾斜角不是时，；.
（2）直线经过两点，其斜率为；
（3）方程为的直线的斜率为.
（4）常用倾斜角与斜率的对应关系：
倾斜角
斜率 1
通关三、直线方程的几种形式
名称 方程 说明 适用条件
斜截式 是斜率 与轴不垂直的直线
是纵截距
点斜式 是直线上的已知点
是斜率
名称 方程 说明 适用条件
两点式 （） 是直线上的两个已知点 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 是直线的横截距 不过原点且与两坐标轴不垂直的直线
是直线的纵截距
一般式 （） 当时，是直线的横截距 所有直线
当时，、、分别为直线的斜率、横截距、纵截距
【结论大招】
结论一、直线的倾斜角与斜率
1.当时，直线平行于轴或与轴重合；
2.当时，直线的倾斜角为锐角，值增大，直线的倾斜角也随着增大；
3.当时，直线的倾斜角为钝角，值增大，直线的倾斜角也随着增大；
4.垂直于轴的直线倾斜角等于；
5.经过两点，的直线的斜率公式是：.
例1 直线的倾斜角的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 已知直线的方程为，其斜率，记其倾斜角为，由，得，即.由，得.
变式 若直线经过，两点（），那么的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 由直线经过，两点，可利用斜率公式得.又，则倾斜角的取值范围是.故选B.
结论二、三点共线
经过两点，（）的直线的斜率公式为.若点都在某条斜率存在的直线上，那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即，则直线与或与的斜率相同，且又过同一点或，因此直线与或与重合.
例2 若三点，，共线，则实数__________.
【答案】
【解析】 由题意得，.因为三点共线，所以，所以，解得.
变式 若三点，，在同一直线上，则的关系是__________.
【答案】
【解析】 由三点共线知，化简得应满足.
结论三、直线过定点模型
过定点的直线系方程：，还可以表示为（斜率不存在时可设）.
例3 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是__________.
【答案】5
【解析】 由题意可知，动直线经过定点，动直线即
m(x-1)-y+3=0,经过定点B(1,3).注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,则有PAPB,所以=10.故 (当且仅当|PA|=|PB|=时取等号)
变式 已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l的方程为kx-y-k+1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为( )
A. 或 B.或 C. D.
【答案】 A.
【解析】因为直线l的方程kx-y-k+1=0可化为k（x-1）-（y-1）=0,所以直线l过定点P(1,1),如图所示.又直线PA的斜率 = =-4,直线PB的斜率 ==，所以当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率k的取值范围是k 或k -4.故选A.
大招二 直线的位置关系
通关一、两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程
相交
垂直
平行 且 或
重合 且
通关二、两条直线的交点
对于直线它们的交点通过方程组 求解
（1）方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
（2）方程组无解 平行；
（3）方程组有无数解 重合
通关三、点线对称问题
（1）求已知点关于点的对称点： 关于点 的对称点为．
（2）点关于直线的对称点： 两直线连线与已知直线斜率之积等于-1，②两点的中点在已知直线上．
（3）直线关于某点对称的问题:直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的,我们往往利用平行直线系去求解．
（4）直线关于直线的对称问题：直线关于直线的对称问题，包含有两种情形：①两直线平行②两直线相交。对于①，我们可以转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转换为点关于直线的对称问题.
（5）两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
①点（x，y）关于x轴的对称点为（x，-y）；
②点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y）；
③点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y）；
④点（x，y）关于直线x-y=0的对称点为（y，x）；
⑤点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（-y，-x）.
结论一、直线的平行
设直线 ，则 且，平行于直线的直线系方程为
例１若直线x+(1+m)y-2+m=0与直线2mx+4y+9=0平行,则m的值为＿＿＿＿＿
【答案】 1或－２
【解析】 因为两直线平行,所以,所以,即m=1或m=-2
变式 已知是直线上的一点是直线外一点,则方程 表示的直线与直线 的位置关系是（ ）
A 平行 B 重合 C 垂直 D 斜交
【答案】A
【解析】是直线 上的一点,故有 , 是直线外一点,故有，是一个实数，从而表示的直线与直线平行且不重合.故选A.
结论二、直线的垂直
设直线，，则 ，垂直于直线 的直线系方程为：
例2 已知直线 ，,若 ,则实数a的值是______
【答案】－3或0
【解析】 若，,且，则，解得 或
变式 直线过点(-1,2)且与直线垂直,则的方程是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 解法一 由题意可得的斜率为，所以,即 .故选A.
解法二 由题意可设的方程为 ,把点(-1,2)带入直线的方程得，所以C=-1,即．故选A.
结论三、直线系方程
经过两条已知直线，的交点的直线系方程为:（不包括直线）
例3　　直线经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为＿＿＿＿＿
【答案】3x+4y=0及x+y+1=0
【解析】 设所求的直线为,即．由题意知：，，它在x轴，y轴上的截距分别为依题意有或，解得，将其带入所设方程，得及．
变式已知直线经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线2x＋3y+5=0,则直线的方程为＿＿＿＿＿．
【答案】3x-2y-4=0
【解析】直线的方程可设为 (其中为常数)，即．因为直线与直线垂直，所以，解得=1.故直线的方程为
结论四、两点间的距离公式
平面上任意两点A(,),B(,)间的距离公式为
例4函数,则y的取值范围为_____
【答案】(-1,1)
【解析】设，，为平面内三点,则，．因为，且，所以，即．函数的值域为．
变式 已知函数,则的最小值为＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】将函数表达式变形为:可以看作到点与到点的距离之和,即在x轴上求一点P,使最小.由右图可知,可转化为求两点A'(1,-1)和B(2,2)间的距离,其距离为函数f(x)的最小值.所以f(x)的最小值为
结论五、点到直线的距离公式
点到直线的距离
例5 已知直线，两点，若且，则（ ）
A.直线l与直线 不相交
B.直线l与线段 的延长线相交
C.直线l与线段 的延长线相交
D.直线l与线段 相交
【答案】C
【解析】与同号，即和在直线的同侧，如图所示．而，即到的距离大于到的距离，显然，与线段的延长线相交．故选C．
变式 我们知道: 在平面内，点到直线Ax+By+C=0的距离公式为 ．通过类比的方法,可求得在空间中,点(2,4,1)到平面x+2y+2z+3=０的距离为（ ）
A.3 B.5 C. D.
【答案】 B
【解析】 因为在平面内，点到直线的距离公式为,类比可得:点(2,4,1)到平面x+2y+2z+3=0的距离为.故选B
结论六、两平行直线间的距离公式
两条平行直线与间的距离
例6 已知直线:x+y+1=0, :x+y-1=0,则，之间的距离为( )
A.1 B. C. D.2
【答案】 B
【解析】 在上任取一点(-1,0)，两条平行线间的距离就等于点(-1,0)到直线的距离，为 ．故选B．
变式 已知直线，，若，则与的距离为＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】直线，当 时，，解得．当a=１时, 与重合,不满足题意;当a=-1时, ,此时则与的距离为.
结论七、中心对称
中点坐标公式：，点为点与的中点．
点关于的对称点为．直线关于点的对称问题可以转化为点关于点的对称问题．
例7若直线与直线关于点(2,1)对称，则直线恒过定点（ ）
A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)
【答案】B
【解析】 设上任意一点坐标为，则关于的对称点为,又因为此点在上,则，即，所以直线恒过定点．故选B．
变式 若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于点(0,2)对称,则圆C的标准方程为＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】 因为点(1,0)关于点(0,2)对称的点的坐标为(-1,4),所以所求圆的圆心为(-1,4),半径为1,于是圆C的标准方程为
结论八、轴对称
点P(a,b)关于直线的对称点为P'(m,n),则有．直线与直线的对称问题可转化为点与直线的对称问题．
例8 点A(2,-3)关于直线的对称点为（ ）
A.(3,-2) B.(4,-1) C.(5,0) D.(3,1)
【答案】 B
【解析】 设点A(2,-3)关于直线的对称点为P(a,b),则 = =1，所以a-b=5① ,又线段AP的中点( , )在直线上,即 ，整理得②，联立①②解得a=4,b=-1，所以点A(2,-3)关于直线的对称点P点的坐标为(4,-1).故选B.
变式 点(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为＿＿＿＿＿
【答案】 (1,-3)
【解析】 设点(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为(a,b),则 ，解得，所以点(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为(1,-3)
大招三 圆的方程
通关一、圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程 圆的一般方程
定义 平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程
圆心
半径 r
区别与联系 （1）圆的标准方程确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长； （2）圆的一般方程的代数结构明显,圆心坐标和半径长需要通过代数运算了解； （3）二者可以互化，将圆的标准方程展开可得一般方程,将圆的一般方程配方可得标准方程．
通关二、几种特殊圆的标准方程（ｒ＞０）
特殊条件 圆的方程
圆心在坐标原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
过原点 （a,b不同时为０）
与x轴相切
与y轴相切
与两坐标轴都相切 或
以为直径端点
结论一、圆的一般方程
已知方程
１.当时,方程表示以为圆心，以为半径的圆；
２．当时,方程表示一个点；
３.当时,方程没有意义,不表示任何图形．
例１方程表示圆的充要条件是( )
A. １ C.m< D.m<或m>１
【答案】D
【解析】 此方程表示圆的充要条件是，即，
解得m< 或m>1.故选D.
变式 如果圆的方程为 ，那么当圆面积最大时,圆心坐标为（　　　　　）
A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(0,-1)
【答案】 D
【解析】 化为圆的标准方程: ，圆的面积最大等价于最大,此时k=0,圆心坐标为(0,-1).故选D．
结论二、求圆的方程的两种方法
１.直接法：根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程；
２.待定系数法：①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于ａ，ｂ，ｒ的方程组,从而求出ａ，ｂ，ｒ的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件设出圆的一般方程：，列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
例2 过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=（ ）
A.2 B.8 C. D.10
【答案】C
【解析】设过A,B,C三点的圆的方程为，则，解得D=-2,E=4,F=-20,所求圆的方程为．令x=0,得 +4y-20=0.设，则，所以．故选C．
变式若圆心在x轴上、半径为 的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是（ ）
【答案】D
【解析】设圆心O(a,0)(a<0),则=，即|a|=5,解得a=-5,所以圆O的方程为 ．故选D．
结论三、点与圆的位置关系
１.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:d>r 点在圆外；d=r 点在圆上；点在圆内．
２.根据点的坐标与圆的方程 的关系判断；
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内．
例3 已知点M(a,b)在圆O:外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C．相离 D.不确定
【答案】B
【解析】点M(a,b)在圆外，所以，圆O(0,0)到直线ax+by=１
的距离d= <1,所以直线与圆相交.故选B
变式 已知是圆内一点,现有以M为中点的弦所在直线和直线,则 （ ）.
A.,且与圆相交 B.,且与圆相交
C.,且与圆相离 D.,且与圆相离
【答案】
【解析】 由圆的性质可知中点弦与垂直,所以斜率=,中点弦的方程为: ,可得.另一方面,,因为在圆内,所以,所以,直线与圆相离.故选C.
结论四、与圆有半的对称问题
1.圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
(2 两圆关于某点对称,则此点为两圆圆心连线的中点.
2.圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置;
(2)两圆关于某条直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
例4 已知圆,圆与圆关于直线对称,则圆 的方程为（ ） .
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】 设圆的圆心为,则依题意有,解得,对称圆的半径不变为1.故选B.
变式 若直线始终平分圆的周长,则 的最小值为____________.
【答案】 4
【解析】直线平分圆的周长,即直线过圆心, 从而有, 所以 ,当且仅当时取等号.故的最小值
为.
结论五、确定圆心位置的方法
圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;
(3) 两圆相协时,协点与两圆圆心共线.
例5 （2022全国II卷理5 )若过点 的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 的距离为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交, 不合乎题意,所以圆心必在第一象限.设圆心的坐标为,则圆的半径为,圆的标准方程为.由题意可得 ,可得 ,解得或,所以圆心的坐标为或,圆心到直线 的距离均为.故选.
变式 若直线与圆的两个交点关于直线对称,则点 所在的圆为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】 由题意知直线与直线互相垂直, 所以.又圆上两点关于直线对称,故直线过圆心,所以,结合选项 可知,点在圆上,故选.
结论六、圆的参数方程
已知圆心为 ,半径为的圆的参数方程为:
（θ是参数，θ∈）；特别地，当圆心在原点时，其参数方程为（θ是参数）.
例6 若直线通过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】解法一 因为 , 故原点到直线的距离不大于1 , 即, 从而 . 故选 .
解法二 由题意知 , 即 , 故, 得到 . 故选 .
解法三 .故选 .
变式 在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当 变化时,的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】 解法一 由题意可得
其中
, 因为 , 所以
, 所以当时, 取得最大值3 . 故选C.
解法二 由题意知点的轨迹方程是,所以圆心到直线 的距离, 所以,故选C.
大招四 直线与圆的位置关系
通关一、直线与圆的位置关系的判定
判断方法 直线与圆的位置关系
几何法:由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断 d>r 直线与圆相离
d=r 直线与圆相切
d代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数来判断 <0 方程无实数解,直线与圆相离
=0 方程有唯一的实数解,直线与圆相切
>0 方程有两个不同的实数解,直线与圆相交
通关二、圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d,R,r的关系 d>R+r d=R+r R-r通关三、圆的方程
1.过直线与圆的交点的圆系方程是 ;
2.以为圆心的同心圆系方程是 : ;
3.与圆同心的圆系方程是;
4.过同一定点的圆系方程是.
结论一、直线与圆的位置关系判定步骤
（1）明确圆心的坐标和半径长,将直线方程化为一般式;
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离;
（3）比较与的大小,写出结论.
例 1 若直线关系 与圆 有公共点,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】 圆心到直线的距离不大于1即可,即1. 故选 D.
変式 若直线关系与圆相切,则直线与圆 的位置关系是 （ ）.
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】 A
【解析】因为直线与圆相切,所以,解得,因为,所以,所以直线的方程为 ,圆的圆心到直线的距离,所以直线与圆 相交. 故选 .
结论二、切线方程的求解
1.求过圆上的一点的切线方程;
如图,利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于,
即.
(1)过圆上一点的切线方程是
(2)过圆上一点的切线方程
是.
2. 求过圆外一点的圆的切线方程:
当斜率存在时,设为,则切线方程为,即.
由圆心到直线的距离等于半径,即可求出的值,进而写出切线方程.
例2 已知圆的方程为:及圆上一点,则过的圆的切线方程为______________
【答案】
【解析】 解法一 由题意知点在圆上,且,所以可得切线斜率 .所以切线方程为, 整理后可得.
解法二 设切线方程为,即,所以 ,整理可得,即,解得 . 所以, 即.
变式 过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程
是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 设两切线切点分别为,则两切线方程为 .又在两切线上,所以.所以两切点的坐标满足 方程.故选.
结论三、圆的弦长问题处理方法
几何法:如图所示,设直线被圆截得的弦为,
圆的半径为,圆心到直线的距离为,则有关系式:
2.代数法:若斜率为的直线与圆相交于,两点,则 (其中).特别地,当 时,;当斜率不存在时,.
例3 已知直线与圆相交于两点,且(其中为原点) ,那么的值为___________
【答案】
【解析】 如图,作,所以, 所以
, 即, 所以.
变式 天津卷12)已知直线和圆相交于两点. 若,则的值为___________
【答案】 5
【解析】 因为圆心到直线的距离,由可得,解得.
结论四、切线长问题
已知圆C和圆外的一条直线l,则过直线上的点作圆的切线,切线长的最小值为,则若最小,只需最小即可,所以P点为过C作垂线的垂足时,最小
例4 由直线上一点向圆引切线,
则切线长的最小值是（ ）.
A.1 B.
C. D.3
【答案】 A
【解析】 如图,,因为固定, 故求最小,即求最小,
即,故的最小值为1.故选A.
变式过点作圆的切线,切线长外为,点到直线的 距离为,若,则 （ ）
A.或10 B.2或10 C.或 D.2或3
【答案】 B
【解析】依题意,因为,所以,
整理得,解得或.故选B.
结论五、圆与圆的位置关系判定步骤
(1)确定两圆的圆心坐标判定步骤和半径长;
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距,求;
(3)比较的大小, 写出结论.
例5 若圆与圆外切,则正数的值是_________
【答案】4
【解析】圆,圆心为,半径为.圆可化为 ,圆心为,半径是1.由两圆相外切得, 解得: .
变式 已知圆的方程为,圆的方程为,那么这两个圆的位置关系不可能是( ).
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
【答案】
【解析】 因为圆的方程为,所以圆的圆心坐标为,半径为2.又因为圆的方程为,所以圆的圆心坐标判定步骤为,半径为1. 因此有有两圆,两圆的半径和为3,半径差的绝对值为1,故两圆的圆心距 不可能小于两圆的半径差的绝对值,不可能是内含关系. 故选.
结论六、相交圆公共弦所在直线的方程
设圆(1),
圆(2),
若两圆相交,则有一条由得公共弦,由（1）(2)得(3)
方程(3)表示圆与的公共弦所在直线的方程.
例6 已知圆和圆,求两圆的公 共弦所在的直线方程及公共弦长.
【解析】设两圆的交点为,则两点的坐标是方程组 的解.两个式子相减,得.由于两点的坐标都满足此方程,因此为两圆的公共弦所在的直线方程.易知圆的圆心为 ,半径为.又的圆心到直线的距离为 ,所以,即两圆的公共弦长为.
变式 若圆与圆的公共弦的长为,则=_____
【答案】1
【解析】两圆的方程相减,得公共弦所在直线方程为,则.
结论七、与圆的几何性质有关的最值
(1)记为圆心,圆外一点到圆上距离最小为,最大为;
(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为以该点为中点孩的弦;
(3)记圆心到直线的距离为,直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为,最小距离为;
(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.
例7 (2020全国卷文6)已知圆,过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 圆可化为, 以圆心的坐标为,半径为3. 设,当过点的直线和直线垂直时,圆心到过点的直线的距离最大,所截得的弦长最短,根据弦长公式,最小值为.故选.
变式 (2020北京卷5) 已知半径为1的圆经过点,则其圆心到原点的距离的最小值为 ( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】 A
【解析】 设圆心为,则1 ,
化简得,所以圆心的轨迹是
以为圆心,1为半径的圆,所以
,所以,当且仅当
在线段上时等号成立.故选.
结论八、与圆的代数结构有关的最值
1.形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
2.形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
3.形如形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
例8 已知圆为圆上的动点,则的最大值为_____,最小值为_____
【答案】 36 16
【解析】 解法一 圆的标准方程为,可设点
的坐标为是参数.则
(其中).所以.
解法二 是圆上点到原点距离的平方,所以要求的最值,即求圆上距离原点距离最远和最近的点.结合图像知,距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1,距离的最小值
等于圆心到原点的距离减去半径1.
所以.
变式 设点是圆上任一点,则的取值范围为________
【答案】
【解析】 解法一 设,则有,所以
,所以,所以,即 .所以.又因为 , 所以.解得 .
解法二 （根据几何意义求解） 的几何意义是过圆上一动点和定点 的连线的斜率,利用此直线与圆有公共点,可确定出的取值范围.由 得,此直线与圆有公共点,故点到直线的距离 ,所以,解得.另外,直线与圆的公共点还可以这样来处理:由消去后得,此方程有实根,故,解得板块十 圆锥曲线
大招一 椭圆的定义和性质
通关一、椭圆的标准方程
当焦点在轴上时,,其中;
当焦点在轴上时,,其中.
要点诠释：
1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有和;
3.椭圆的焦点总在长轴上,当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为;
4.在两种标准方程中,因为,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
通关二、椭圆的标准方程a,b,c的几何意义
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且
可借助右图帮助记忆
恰构成一个直角三角形的三条边,其中是斜边,,为两条直角边.
通关三、椭圆的几何性质
标准方程
图形
范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a,
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(-c,0)F2(c,0) F1(0,-c)F2(0,-c)
顶点 A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，-b)，B2(0,b) A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)
轴 A1A2，B1B2为椭圆的长轴和短轴，长轴长2a，短轴长2b
焦距 |F1F2|=2c
离心率
a,b,c的关系 c2=a2+b2
通关四、求椭圆的方程有两种方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,确定的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)待定系数法:这种方法是求椭圆方程的常用方法,一般步骤是：第一步,作判断:根据条件判断椭圆的焦,点是在轴上,还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能(这时需要分类讨论);
第二步,设方程:根据上述判断设方程为或;
第三步,找关系:根据已知条件,建立关于的方程组(注意椭圆中固有的等式关系);第四步,得椭圆方程:解方程组,将解代入所设方程,即所求.评注:当椭圆焦点位置不明确时,可设为,也可设为,且.
结论一，椭圆定义的理解
设椭圆上的点到两焦点的距离之和为,则有,这一条件不能忽略.
(1)若,则点的轨迹是线段;
(2)若,则点的轨迹不存在.
例1设定点,动点满足条件|,则点的轨迹是（ ）.
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
答案：
解析： ,当且仅当时取等号.当时,点的轨迹是线段;当时,点的轨迹是椭圆.故
选D.变式已知椭圆的焦点为在椭上,在的延长线上,且,则点的轨迹形状为（ ）.
A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.两条平行线
答案：
解析：因为,即,所以点的轨迹为以为圆心,为半径的圆.故选.
结论二、椭圆上点的性质
若P为糊圆上一点,则.
例2已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为5,则到另一个焦点的距离为（ ）.
A.2 B.3 C.5 D.7
答案：B
解析：设所求距离为,由题意得.根据椭圆的定义得,所以.故选B.
変式若为椭圆上一点,分别是圆和上的点,则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
答案
解析：从题意中容易知道为椭圆的左右焦点,于是.于是有
.而,于是.故选.
结论三、焦点三角形的周长
若P为椭圆上一点,则的周长为定值.
例3已知椭圆的左、右焦点分别为,点在上,且的周长为16,则的值是（ ）.
A.2 B.3 C. D.4
【答案】D
【解析】设椭圆的长轴长为,焦距为,则.由椭圆定义可知,的周长为,所以
.因为,所以解得.故选.
变式：已知椭圆的左、右焦点为,点关于直线的对称点仍在椭圆上,则的周长为_____________
【答案】
解析：设关于直线的对称点的坐标为,点在椭圆上,则,则,则,故的周长为.
结论四、焦点三角形周长拓展
若AB过村圆的左焦,点则的周长为4a
例4过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是___________
答案：18
解析：的周长,因为为椭圆上的点,故.故的周长为.
变式：已知为椭圆的两个焦点,过的直线交尼圆于两点,若,则_____________
答案：18
解析：,故.
结论五、椭圆的标准方程
对于方程
(1)表示椭圆的充要条件为;
(2)表示焦点在轴上的椭圆的充要条件为;
(3)表示焦点在轴上的椭圆的充要条件为.
例5已知表示焦点在轴上的椭员,则的取值范围是（ ）.
A.或 B. C. D.或
答案：
解析：由解得或.故选.
变式 若方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为方程,即表示焦点在轴上的椭圆,所以,,故.故选D.
结论六、椭圆的标准方程的求法
1.待定系数法:
(1)若能够根据题目中条件确定焦点位置,可先设出标准方程,再吐题设确定方程中的参数,即“先定型,再定量”.
(2)由题目中条件不能确定焦,点位置,一般需分类议论;有时也可设其方程的一般式:且.
2.定义法:
先分析题设条件,判断出动点的轨迹,然后根枯椭圆的定义确定方程,即“先定型,再定量".利用该方法求标准方程时,要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
例6已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,),则椭圆的方程为________
答案：
解析：设所求的椭圆方程为.因为椭圆经过两点,,所以,解得.故所求的椭圆标准方程为.
变式：已知椭圆的中心在原点,长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程是____________
答案或
解析：由题意知,所以,故椭圆的标准方程为或.
结论七、椭圆的通径
过焦点作长轴垂线与粗圆的交点为$A,B,$则$AB$即为椭圆通径,.
例7椭圆的焦点为,过垂直于轴的直线交椭圆于一点,那么的值是________
答案：
解析：显然,于是可求得,所以.
変式：已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,若是
一个直角三角形的三个顶点,则点到轴的距离为（ ）.
A. B.3 C. D.
答案：
解析:因为,所以顶角为直角的情况不存在;而底角为直角时,到轴的距离为通径的一半,即.故选.
结论八、椭圆的焦半径
若点在上,则（左加右减）
例8椭圆上点P横坐标为2,则点P到右焦点的距离为________________
答案:
解析:由椭圆方程可知,所以
変式:已知椭圆,在椭圆上存在一点,它到两焦点距离之积为16,则点的坐标为___________
答案:或
解析:显然椭圆焦点在轴上,由椭圆方程得,所以.设,故由题意有=25-,解得.代人椭圆方程,得,所以所求点为或.
结论九、焦半径最值
F为椭圆的其中一个焦,点,若P是椭圆上的点,则a-c≤|PF|≤a+c
例9 直线(其中是实数圆相交于两点,且是直角三角形是坐标原点),则点与点之间距离的最大值为（ ）.
A. B.2 C. D.
答案:
解析:圆的圆心到直线的距离为,所以,即.因此所求距离为椭圆上点到焦点的距离,其最大值为.故选A.
変式:椭圆的右焦点为,其右准线与轴的交点为.在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是( ).
A. B. C. D.
(答案D) (解析1由题意,椭圆上存在点,使得线段的垂直平分线过点,即点到点与点的距离相等,而|,,于是,即
,所以.又,
故.故选D.
结论十、椭圆中的线段和差最值
设椭圆方程为 分别为構圆的左、右焦,点, 为平面上一定点, 为椭圆上任意一点.
1. 若定点 在椭圆内部, 则;
2. 若定点 在椭圆外部, 则 .
例 10 椭圆 的左焦点为 为椭圆上的动点, 是圆
上的动点,则 的最大值是_____________
答案 17
解析 :圆 的圆心为 , 半径为 . 由椭圆方程 可知 , 所以 , 左焦点为 ,右焦点为
变式 已知椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右焦点，点的坐标为，为椭圆上一点，则的最大值和最小值分别是______________，_______________
【答案】
【解析】 因为,因此有，又,所以,即的最大值和最小值分别是和.
结论十一、焦点三角形面积
若点在上，设，则△的面积. ,即与短轴端点重合时面积最大.特别地，若,此三角形面积为.
例11 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若△的面积为，则_____________________
【答案】
【解析】 解法一 依题意，有，可得，即，故有.
解法二 由椭圆焦点三角形面积公式得,所以.
变式 已知是椭圆的焦点，点在椭圆上且，则△的面积为____
【答案】
【解析】 利用椭圆焦点三角形面积公式得.
结论十二、焦点三角形内切圆
是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，△的内切圆半径为，则.
例12 点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且△的内切圆半径为，当在第一象限时，点的纵坐标为__________________
【答案】
【解析】 ,,所以.
变式 已知点为椭圆上一点，是椭圆的两个焦点,若△的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】
【解析】 由椭圆的定义可知△的周长为.设△的内切圆半径为，则△的面积，整理得，又，，故得，所以椭圆的离心率为.故选.
结论十三、与焦点有关的三角形面积
已知是过焦点的弦，则的面积
.
例13 椭圆=1的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点,则的周长为__________；若两点的坐标分别为和，且 的面积是1，则的值为 __________.
【答案】 8 1
【解析】 因为，，所以的周长为
。因为,，所以,即c=1，所以=+=，即.
故填“8” “1”.
变式 椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点,则的周长是_______；若的内切圆的面积为，两点的坐标别为和，则的值为_________.
【答案】 16
【解析】 因为，，所以周长为
.因为内切圆面积为,所以半径为1，即的面积为.又因为，所以即，所以=+=，即.
故填“16” “”.
结论十四、椭圆焦点弦弦长
已知椭圆，经过其焦点的直线交椭圆于两点，直线的倾斜角为，椭圆的离心率，则焦点弦长.
例14 过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于两点，则为__________.
【答案】
【解析】由题知,所以.由焦点弦长公式得.
变式 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直椭圆于两点,为坐标原点,则的面积为__________.
【答案】
【解析】 由题知,所以.由焦点弦长公式得.过右焦点且斜率为2的直线方程，即,到的距离，所以.
结论十五、椭圆离心率的几何意义
当越趋近于1时，越接近于0,椭圆越扁;
当越趋近于0时,越接近于1, 椭圆越接近于圆.
例15 已知焦点在轴上的椭圆方程,随着的增大该椭圆的形状( ).
A．越接近于圆 B.越扁 C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆
【答案】
【解析】 椭圆方程为焦点在轴上的椭圆方程 ,所以 ,解得 ，
由于在不断增大，即离心率 不断减小,所以椭圆的形状越来越接近于圆.故选A.
变式 如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的摊圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用和 , 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 和 ,分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式: ① ； ② ；
③ ； ④ ； 其正确式子的序号是( ).
①③ ②③ ①④ ②④
【答案】
【解析】 由題意知,故②正确,又因为椭圆由轨道Ⅱ变成轨道Ⅰ时越来越扁,设 为轨道Ⅰ和轨道Ⅱ对应的椭圆的离心率,所以， ,故③正确.故选B
结论十六、黄金椭圆
椭圆 中，若 成等比数列，即
例16 已知椭圆
(1)若长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则该椭圆的离心率为______________
(2)若长轴长、短轴长、焦距成等比数列,则该椭圆的离心率为________________
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)由题设可知,且,故,
即,即,所以
(2)由题设可知,且，故，即，由，可得，解得或（舍去），所以
变式 已知椭圆，A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一个焦点，若,则该椭圆的离心率为（ ）。
【答案】 B
【解析】由射影定理有.故选B.
结论十七、离心率的定义表示
例17 设分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段的中点在y轴上,若,则椭圆的离心率为( ）.
【答案】 A
【解析】本题存在焦点三角形,由线段的中点在y轴上,0为的中点,可得轴，从而,又因为，则直角三角形中，,且,所以. 故选A.
变式 在平面直角坐标系中,已知△顶点和,顶点在椭圆上，则____________
【答案】 2
【解析】 因为,.所以,即.故为椭圆的两焦点,所以
.
结论十八、离心率的正弦表示
设为椭圆的左右焦点,
是椭圆上的动点,若,,则椭圆
的离心率为.
例18设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点，， ,则的离心率为( ).
B. C. D.
【答案】 D
【解析】 解法一 设,则,即
故选D.
解法二 .故选D.
变式 已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且∠ ,则C的离心率为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一 设,则,,.故选D.
解法二 .故选D..
结论十九、离心率范围与焦点三角形顶角关系
设为椭圆的左、右焦点,P是椭圆上的动点,若
,则椭圆的离心率的取值范围为
例19 已知为椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 解法一 由椭圆上存在点 ,使,可得以原点为圆心，以为半径的圆与椭圆有公共点，所以,所以,所以,所以.
又,所以,即椭圆离心率的取值范围为.故选B.
解法二 由得,所以.故选B.
变式 已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上存在点使得是钝角,则椭圆离心率的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设,由得,所以. 故选B.
结论二十、离心率的焦半径比值表示
若椭圆上存在点P使得，则
.
例20 椭圆的两个焦点是.若为其上一点.且=2，则此椭圆离心率的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】 解法一 由+=,=,得=,=.
又-，即，得<.故离心率的取值范围为
解法二 因为,随着点P的左移，增大，故减小，
因此随点的左移递减。故点在右顶点时，<
故离心率的取值范围为.
解法三 由题知<.故离心率的取值范围为.
变式 椭圆的两个焦点是.若为其上一点，且=，则
此椭圆离心率的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】 解法一 由+=,=,得==.
又 得，故离心率的取值范围为.
解法二 由题知 ，故离心率的取值范围为.
结论二十一、椭圆焦半径比例模型
1.已知椭圆，经过其焦点的直线交椭圆于两点，直线的倾斜角为，椭圆的离心率满足：或.
2. 已知椭圆，经过其焦点的直线交椭圆于两点，直线的倾斜角为,椭圆的离心率满足：或.
例21 已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则（ ）
.1 . . .2
【答案】
【解析】由题知，带入结论得解得.故选.
变式 已知椭圆：，过上焦点且斜率为3的直线与相交于两点，若，则椭圆的离心率（ ）
. . . .
【答案】
【解析】由题知，带入结论得，解得.故选.
结论二十二、椭圆焦半径乘积范围
椭圆，，分别为其左右焦点，P为椭圆上一点，有以下重要结论：
①；
②；
③（当且仅当，即P为椭圆的短轴端点时， 取得最小值，且此时点P对两个焦点的张角最大）.
例 22：已知椭圆的左右焦点分别为，，P是椭圆上的一动点.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），又，
故当或时，.
当时，，
所以，即.
（2）解法一
即.又，
故当时，；
当或时，.
所以 ，即.
解法二 设 ， ，则.
又 ，
故，即.
变式 已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为____.
【答案】2
【解析】解法一 依据对称性，不妨设直径AB在 轴上， ， ， ，从而
解法二 ，
而，则的最小值是2.
结论二十三、斜率乘积定值模型（一）
经过原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上的动点，直线PA，PB的斜率都存在，则.
例 23：设是椭圆上的点且P的纵坐标，点，，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【解析】 因为点P在椭圆上，所以 ①，因为点P的纵坐标.所以，所以，，所以 ②.将①代入②得，，所以为定值，这个定值是 .
变式 已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，直线PM，PN的斜率为，，若，则椭圆的方程为____..
【答案】
【解析】 由题知 ，所以 .因为M，N两点关于原点对称，所以.
因为 ，所以 ，故椭圆的方程为.
结论二十四、斜率乘积定值模型（二）
直线l与椭圆相交于A，B两点，若为AB的中点，则，.
例 24：已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆与A，B两点，若AB的中点坐标为 ，则椭圆E的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 解法一 设，，根据题意得 ， ， .由椭圆方程可得 ，，两式作差，整理得 ，所以 .因为 ，所以 ， .故选D.
解法二 由结论可得 ，得， .故选D.
变式 已知直线l交椭圆与A，B两点，且线段AB的中点为，则l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 解法一 设，，由线段AB的中点为，得 ， .而 ，两式相减得 ，所以 ，所以直线l的斜率.故选A.
解法二 由结论可得 .故选A.
大招二 双曲线的定义和性质
【知识通关】
通关一、双曲线的标准方程
当焦点在轴上时，，其中；
当焦点在轴上时，，其中.
要点诠释：
1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；
2. 在双曲线的两种标准方程中，都有，和；
3. 双曲线的焦点总在实轴上：当焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，；
4. 在两种标准方程中，可以根据系数的正负来判定焦点在哪一个坐标轴上.
通关二、双曲线的几何性质
标准方程
图形
标准方程
几何性质 范围 ， ，
对称性 对称轴： 轴， 轴；对称中心：原点.
焦点 ， ，
顶点 ， ，
轴 线段 ， 分别是双曲线的实轴和虚轴； 实轴长为 ，虚轴长为
焦距
离心率
渐近线
，，的关系
通关三、求双曲线的方程的两种方法
1. 定义法
根据双曲线定义，确定，的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：
（1）；
（2）双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于.
注意：求轨迹方程时，满足条件：为双曲线的一支，应注意条件合理取舍.
2. 待定系数法
（1）一般步骤
①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；
②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；
③列：根据题意，列出关于，，的方程或方程组；
④解：求解得到方程.
（2）常见设法
①与双曲线共渐近线的双曲线可设为；
②若双曲线的渐近线方程为，则可设为；
③若双曲线过两个已知点，则可设为；
④与双曲线共焦点的双曲线方程可设为；
⑤与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为
.
结论一、双曲线定义的理解
1. 设双曲线上的点M到两焦点，的距离之差的绝对值为，则有，这一条件不能忽略.
①若，则点M的轨迹是分别以为端点的两条射线；
②若，则点M的轨迹不存在；
③若，则点M的轨迹是线段的垂直平分线.
2. 若将双曲线的定义中“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支可借助图形来确定.
例1：到两定点，的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线
【答案】D
【解析】 到两个定点的距离之差的绝对值小于两个定点间距离的点的轨迹是双曲线，等于两个定点间距离时，双曲线退化成两条射线，分别以两个定点为射线的两个端点.时，这三点共线，且点A在 ， 之外.也可通过求轨迹方程的办法求出，此时要注意自变量的取值范围.
变式 已知点 ， ，动点P满足条件 ，则动点P的轨迹方程为____.
【答案】
【解析】 由，结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以M，N为焦点的双曲线右支，双曲线中 ， ，所以 ， ，所以 ，轨迹方程为.
结论二、双曲线上点的性质
若P为双曲线上一点，，为双曲线的左、右焦点，则 .
例 2：若双曲线E：的左右焦点分别为，，点P在双曲线E上，且，则等于（ ）
A. 11 B. 9C. 5D. 3
【答案】B
【解析】 由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选B.
变式 P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】 由题意得双曲线的焦点分别为 ， ，且这两点刚好为两圆的圆心.由题意可得，当且仅当P与M， 三点共线，以及P与N， 三点共线时所求的值最大，此时 .故选D.
结论三、焦点三角形周长拓展
过双曲线上一个焦点作弦AB（交到同一支上），与另一个焦点F构造三角形FAB，则的周长等于.
例 3：如图，已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与左支交于A，B两点，若，且实轴长为8，则 的周长为____.
【答案】26
【解析】 由双曲线的定义知， ，，两式相加得.
又， ，故，故 的周长为 .
变式 设，为双曲线的两个焦点，过的直线交双曲线的同支于A，B两点，如果，则的周长的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 由双曲线的定义有 ，，于是的周长为 ，最大值当 时取得，最大值为.故选D.
结论四、双曲线的标准方程
对于方程，
（1）表示双曲线的充要条件为；
（2）表示焦点在轴上的双曲线的充要条件为，；
（3）表示焦点在轴上的双曲线的充要条件为，.
例 4：如果方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由题意知，，解得 ，故 的取值范围是.故选B.
变式 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】 由双曲线的焦点在轴上可知，需满足，解得.故实数的取值范围为.
结论五、求双曲线的渐近线
求双曲线或的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令得，或令得.
例 5：双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 令，得，所以渐近线方程为.故选B.
变式 双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 渐近线方程为，即.故选B.
结论六、双曲线方程的设法
1. 与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为
2. 渐近线为的双曲线方程为
3. 与双曲线有共同焦点的双曲线方程为
4. 与椭圆有共同焦点的双曲线方程为
例 6：（1）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程是____.
（2）与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程是____.
（3）与椭圆有公共焦点，且经过点 的双曲线的标准方程是____.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】 （1）与双曲线有相同的渐近线方程的双曲线方程为，将点代入，得：.所以所求双曲线的方程为，即.
（2）设所求双曲线方程为.因为双曲线过点，所以，解得或（舍去），所以所求双曲线的方程为.
（3）设所求双曲线方程为.因为双曲线过点，所以，解得或（舍去），所以所求双曲线的方程为.
变式 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____.
【答案】
【解析】 设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.
结论七、点到线距离定值
双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长.
例7：双曲线焦点到渐近线的距离为，则b等于（ ）.
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】焦点到的距离为，故，故选B.
变式：已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可设双曲线的右焦点为，渐近线的方程为，可得，可得，可得离心率.故选C.
结论八、比值为定值
双曲线的焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率.
例8：已知双曲线的焦点到渐近线距离与顶点到渐近线距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，双曲线顶点为，焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，所以相似（为坐标原点）.又由题意知，所以，即，又因为，所以，即.所以渐近线方程为：，故选A.
变式：设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以，因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，所以，所以双曲线的方程为，焦点坐标为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离，故选B.
结论九、等轴双曲线
已知双曲线方程为，当时，称为等轴双曲线.
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直；
（3）离心率.
例9：关于渐近线方程为的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为.其中所有正确结论的编号是（ ）.
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④
【答案】C
【解析】①因为渐进线的斜率为，所以①正确；②离心率，所以②正确；③设双曲线的方程为，将代入双曲线方程可得，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为，与实轴长相等，同理，当焦点在轴上时此结论也成立，所以③正确；④因为顶点到渐近线的距离小于焦点到渐近线的距离，所以④不正确.故选C.
变式：已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为，则该双曲线的实轴长为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为两条渐进线互相垂直，故可得，又因为焦距为，故可得，结合，解得，，，故实轴长.故选B.
结论十、离心率与渐近线斜率关系
在双曲线方程为中，，所以双曲线的渐近线方程可以表示为.
例10：（2020全国Ⅲ卷文14）设双曲线的一条渐近线方程为的离心率为__________.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，，.
变式(2020江苏卷6)：在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，，.
结论十一、过定点直线与双曲线相交问题
1.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为；如图（a）所示，，分别与渐近线平行，显然此时与双曲线只有一个交点；
2.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足；如图（b）所示，，分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的左右两支都有交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可；
3.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足.如图（c）所示，，分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的单支有两个交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可.
（a） （b） （c）
例11：斜率为2的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】直线与双曲线的两支分别相交，满足（其中为双曲线的两条渐近线的斜率），即，解得.所以双曲线的离心率的取值范围是.
变式：已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线为过点且倾斜角为的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使，所以.故选C.
结论十二、双曲线的通径
过焦点做实轴的垂线与双曲线垂的交点为，，则即为双曲线的通径，.
例12：(2020全国Ⅰ卷理15)已知已为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则的离心率为__________.
【答案】2
【解析】由题意可得，而，，即，变形得，化简可得，解得或(舍去).
变式：已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为，则__________.
【答案】6
【解析】双曲线的焦距为，则，即，则，由题意知，故，所以.
结论十三、焦点三角形的面积
若点在在上，设，则的面积
.
例13：(2020全国Ⅲ卷理11)设双曲线：的左右焦点分别为，,离心率为.
是上的一点，且.若的面积为4，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】A
【解析】因为，所以，.因为
，所以，，即.故选A.
变式：(2020全国Ⅰ卷文11)设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点是上且，则的面积为（ ）.
A. B.3 C. D.2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，，则，.因为，所以点在以
为直径的圆上，即是以点为直角顶点的直角三角形，，故选B.
结论十四、焦半径最值
为双曲线的右焦点，若是双曲线右支上的动点，则；若是双曲线左支上的动点，则.
例14：若椭圆或双曲线上存在一点到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“点”的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在椭圆中，，，，即，又，故，又，故.在双曲线中，，，，故，又，所以.A选项：，，错误；B选项：，，错误；C选项：，，错误；D选项：，，正确.综上，故选D.
变式：已知双曲线：的左右焦点分别为，,若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理可得，则由已知得，即，由双曲线的定义可知，则，即，由双曲线的几何性质可知，则，即，所以，解得，又，故双曲线的离心率.
结论十五、双曲线中的线段和差最值
设双曲线方程为，，分别为双曲线的左、右焦点，为平面上一定点，为双曲线右支上任意一点.
1.若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则的最小值是，最大值不存在；
2.若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则的最小值是，最大值不存在.
例15：已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________.
【答案】9
【解析】设双曲线的右焦点为，，，则的最小值为9.
变式：已知是双曲线的右顶点，动点在双曲线左支上，点为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A.9 B.8 C. D.
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为，则，所以
，故选A
结论十六、黄金双曲线
双曲线中，若a，b，c成等比数列，即,离心率.
例16：已知双曲线.
（1）若实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为__________.
（2）若实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题设可知，且，故，得，即，所以.
（2）由题设可知，且，故，即，由可得，解得或（舍去），所以.
变式：设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设双曲线的方程为，不妨设一个焦点为，虚轴的一个端点为，则.又渐近线的斜率为，所以由题意得（不符合，舍去），则，又双曲线中，故，即，由可得，解得或（舍去），故选D.
结论十七、双曲线焦点弦弦长
已知双曲线中，经过其焦点的直线交双曲线于，两点，直线的倾斜角为，双曲线的离心率为，则焦点弦长.
例17：过双曲线的右焦点为做一条斜率为的直线与双曲线交于，两点，则为__________.
【答案】32
【解析】由题知，所以，，由焦点弦长公式得，
变式：过双曲线的右焦点作一条斜率为2的直线与双曲线交于，两点，渐为坐标原点，则的面积为__________.
【答案】
【解析】由题意知，所以，，由焦点弦长公式得，到的距离，.
结论十八、离心率的定义表示
双曲线中，.
例18：如图，已知为正六边形，若以为焦点的双曲线恰好经过四点，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】设正六边形边长为1，则以为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，则，，故.因为，，所以，即，故.所以.
变式：过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是__________.
【答案】
【解析】由 ,可知 为 的中点,令右焦点为
则为的中点,因为为切点,所以
又,则.
结论十九、离心率求值的正弦表示
为双曲线的左右焦点,是双曲线上的动点,若,则双曲线的离心率为
例19、双曲线的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解法一设 ,则 ,即
故选B
解法二故选B.
变式已知是双曲线的左、右焦点,点 在 上, 与 轴垂直, 则的离心率为（ ）
A B. C D.2
答案：A
解析：解法一设,则 故选A.
解法二故选
结论二十、离心率的焦半径比值表示
若在双曲线上存在一点,使,则
例20双曲线的两个焦点分别为若为其上一点,且
则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B C D.
答案：B
解法一由双曲线的定义知,,即
又,故,即又,故.故选B
解法二利用的单调性,,随着的增加，
减小,也就是说,当点右移时,值减小,故要在双曲线上找到一点,使得
,而当点在双曲线的右顶点上时,得,即3故选B
解法三由题知,结合,所以,故离心率的取值范围为故选B.
变式已知双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为________.
解法一由定义知又已知解得.在中,由余弦定理得要求的最大值,即求的最小值.当为实轴的右端点时,解得,即的最大值为
解法二由定义知,又已知解得
从而只要就能得到点存在,解得等号可以取到,即的最大值为
解法三由题知,结合,所以,故离心率的取值范围为
结论二十一、双曲线焦半径比例模型
1.已知双曲线,经过其焦点的直线交双曲线于两
点,直线的倾斜角为,双由线的离心率满足:或其中
2.已知双曲线,经过其焦点的直线交双曲线于两
点,直线的倾斜角为,双曲线的离心率满足或
其中
例21已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：
解析：由题知,带入结论得故选.
变式已知双曲线的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则（ ）
A. B C D
由题知,带入结论得,解得,因为,所以,故选C.
结论二十二、斜率乘积定值模型(一)
直线与双由线相交于两点,若为的中点,则
.
例22已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则的方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解法一设双曲线方程为,代人双曲线方程两式相减可得即
,即,整理可得,又,两式联立可得
.双曲线方程为.故选B.
解法二由可得,即.故选B
变式已知直线与双曲线交于两点,且线段的中点的横坐标为1,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B C. D.
答案：B
解法一因为直线与双曲线交于两点,且线段的中点的横坐标为1,所以设,则有
,可得,所以,双曲线的离心率为.故选B.
解法二由题知,由得,可得,所以,
,双曲线的离心率为故选
结论二十三、斜率乘积定值模型(二)
经过原点的直线与双曲线相交于两点,是双曲线上的动点,直线的斜率都存在,则为定值
例23过原点的直线与双曲线交于两点,是双曲线上异于的一点,若直线与直线的斜率都存在且乘积为,则双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】解法一由双曲线的对称性,可设,则,由,得,即,即又
因为 均在双曲线上,所以 所以 所以
双曲线的离心率.
解法二所以
变式是双曲线上一点分别是双曲线的左、右顶点,直线的斜率之积为,则双曲线的离心率为________.
【答案】
解法一点在双曲线上,有由题意
又有可得,则
解法二,所以.
大招三、抛物线的定义和性质
通关二、扡物线焦点弦性质
已知是抛物线的焦点弦,为抛物线的焦点,垂直于抛物线的准线于两点,如图,记直线的倾斜角为,则有以下结论:
(1)
(2);
(3);
(4);
(5)以为直径的圆与轴相切;
(6)以为直径的圆与抛物线准线相切;
(7)三点共线.
【证明】(1)因为的焦点,设直线方程为由
因此,总有成立.
所以又因为,所以
,所以由方程(1)知,所以,将(3)代人(2)得.当不存在时,,.
(3)如图,
,又因为代人上式得
(5)设的中点为,则,故点到轴的距离,故以为直径的圆与轴相切.
(6)设的中点为,分别过作准线的垂线,垂足为,则所以以为直径的圆与准线相切.
(7)由题意知,,因为,结合,有,所以又与都经过同一点,所以三点共线
结论一、标准方程
对于拋物线,焦点坐标准线方程
对于拋物线,焦点坐标,准线方程
对于抛物线焦点坐标,准线方程
对于抛物线,焦点坐标,准线方程
例1抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】变形为,所以,所以,焦点为故选变式拋物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】拋物线方程变形为,所以,所以,焦点坐标为故选.
结论二、抛物线焦半径
抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径.有以下结论:
(1)对于拋物线;
(2)对于拋物线;
(3)对于抛物线;
(4)对于拋物线
例2若抛物线上的点到焦点的距离为10,则点到轴的距离是（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【解析】拋物线的焦点为,准线为,由到焦点的距离为10,可知到准线的距离也为10,故到轴的距离是9故选
变式如果是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,是抛物线的焦点,若,则______.
【答案】20
【解析】由抛物线方程,可得根据抛物线的定义,可知
,所以
结论三、抛物线定义
拋物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离
例3是抛物线上的点,是抛物线的焦点,则以为直径的圆与轴位置关系为（ ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定
答案：C
解析：利用拋物线的定义,数形结合,如图所示,
过作垂直于准线于,交轴于,设的中点为,则到轴的距离为, 即以为直径的圆与轴相切故选
变式 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于两点,作垂直于抛物线的准线,垂足分别是,已知线段的长度分别是,那么_________.
答案：
作的垂线,垂足为于是
结论四、的几何意义
已知拋物线焦点到顶点的距离为焦点到准线的距离为
例4抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1,则（ ）
A. B.1 C.2 D.4
答案：C
解析：抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即其到准线的距离
的最小值,很明显满足最小值的点为拋物线的顶点,据此可知,所以故选.
变式已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则_________.
答案：6
【解析】 如图所示，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.由抛物线的解析式可得准线方程为，则，，在直角梯形中，中位线. 由抛物线的定义有：.结合题意，，故.
结论五、抛物线的通径
已知是过抛物线的焦点的弦，设直线的倾斜角为，当轴()时，称弦为通径.通径是过焦点的所有弦中最短的，其长度为.
例5 抛物线与过焦点且垂直于对称轴的直线交于两点，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 抛物线的焦点为，对称轴为轴，故点的纵坐标为，代入得其横坐标分别为，故.故选C.
变式 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，，为的准线上一点，则的面积为（ ）.
A.18 B.24 C.36 D.48
【答案】 C
【解析】 设抛物线的方程为，易知，即.因为点在准线上，所以到的距离为，所以的面积为36.故选C.
结论六、抛物线最值
1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决.
例6 已知点是抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值是（ ）.
A. B.4 C. D.5
【答案】 D
【解析】 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，交轴于点，结合抛物线的定义则有，，当三点共线时，即，，此时有最小值，即.故选D.
变式 已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 D
【解析】 设抛物线的焦点为，因为抛物线的准线是，所以到的距离等于.过点作直线的垂线，当点为垂线与抛物线的交点时，点到直线与的距离之和最小，点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线的距离，所以到直线和的距离之和的最小值是.故选D.
结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值
已知直线过定点，与抛物线交于两点，若 ，，则，，当时，，.
例7 如图，抛物线，圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设直线斜率存在，设为，则直线的方程为.设，，则，，，.所以，.所以.把直线的方程代入抛物线方程，有，化简得，所以，即.当垂直于轴时，，同样得.故选D.
变式 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 不妨设，，因为，所以，又，所以，，所以.根据对称可得直线的斜率为.故选 D.
结论八、焦半径的倾斜角表示
1.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，在轴下方，则，(为直线的倾斜角)；
2.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，在轴左侧，则，(为直线的倾斜角).
例8 若是抛物线上一点，且在轴上方，是抛物线的焦点，直线的倾斜角为60°，则=__________.
【答案】 4
【解析】 解法一 直线的方程为，代入抛物线方程并整理得，解得， ，又因为在轴上方，所以点的横坐标为3，所以=3+1 =4.
解法二.
变式 过抛物线的焦点作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于两点(在轴左侧)，则__________.
【答案】
【解析】 解法一 过作垂直于抛物线的准线于 ，记直线交准线于点.设，，则，所以，所以.
解法二 ，.所以.
结论九、抛物线焦半径比例模型
1.已知抛物线，经过其焦点的直线交抛物线于两点，直线的倾斜角为，，满足：或(其中) ；
2.已知抛物线，经过其焦点的直线交抛物线于两点，直线的倾斜角为，，满足：或(其中) .
例9 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，设，则与的比值等于__________.
【答案】
【解析】 焦点弦所在直线的倾斜角为45°，，设，由结论可得，所以
变式 过抛物线的焦点作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于两点(在轴左侧)，__________.
【答案】
【解析】 根据抛物线的对称性知 ，设 ，由结论可得，所以.即·
结论十、焦点弦长的倾斜角表示
1.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则（为直线的倾斜角）；
2.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则（为直线的倾斜角）.
例10 (2020山东卷13)斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则=__________.
【答案】
【解析】 因为抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，又因为直线过焦点且斜率为 ，所以直线的方程为.代入抛物线方程消去并化简得.
解法一 解得.所以.
解法二 .设，，则.过分别作准线的垂线，设垂足分别为，如图所示.
解法三 由题意知，所以，所以.
变式 过抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则=__________.
【答案】 2
【解析】 解法一 由题意可知，过焦点的直线方程为，代入抛物线方程有，又，所以.
解法二 .由已知得，故.
结论十一、焦点三角形面积
已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则(为直线的倾斜角).
例11 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 因为，，由焦点三角形面积公式，.选D.
变式 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点(在第一象限)，为坐标原点，若的面积为，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 解法一 由题意知，，设，，直线的方程为，则，解得.由，，得，而，即，得.当时，由，得，，此时.同理当时，.综上，.故选B.
解法二 由题知，，所以，即或.因为，，所以，分别把和代入得.故选B.
结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积
已知是过抛物线的焦点的弦，过分别作准线的垂线，垂足分别为 ，则四边形的面积为(为直线的倾斜角).
例12 已知过抛物线的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则四边的面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 解法一 抛物线焦点，准线，直线，代入抛物线方程，解得，，所以.由抛物线的几何意义可知，，，所以.故选D.
解法二 由题知，，根据面积公式，.故选D.
变式 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若，则四边的面积为__________.
【答案】
【解析】 根据抛物线焦点弦长公式，，所以，带人梯形面积公式，.
结论十三、焦半径倒数之和为定值
已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则.
例13 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则=__________.
【答案】 1
【解析】 解法一 设点，，当时，由三点共线得，又，，于是 ，从而易得，当时，只可能与轴垂直，此时也容易验证，.
解法二 由结论得，所以.
变式 已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为_________.
【答案】
【解析】 解法一 过点分别作，垂直于准线，垂足分别为.过点作垂直于于，交轴于点，记准线与轴交点为.设，由抛物线的定义知，.在中，，，故，于是，解得，的中点到准线的距离.
解法二 如图，延长，交抛物线的准线于，作在准线上的投影，于是.设，，则弦中点到准线的距离为，，而，，所以，.因此，而，所以，从而，于是为所求.
解法三 由结论得，所以.所以，的中点到准线的距离.
结论十四、抛物线的中点弦问题
直线与抛物线相交于两点，若为的中点，则，；
直线与抛物线相交于两点，若为的中点，则，.
例14 已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 解法一 由题意可知直线的斜率一定存在.设斜率为，直线与抛物线的交点分别为，，所以，，所以.所以直线的方程为.故选B.
解法二 ，代入结论可得，所以.故选B.
变式 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点.若的中点为，则直线的方程为_________.
【答案】
【解析】 解法一 抛物线的方程为，，，则有，，两式相减得，所以，所以直线的方程为，即.
解法二 ，代入结论可得，，直线方程为.
结论十五、垂直过定点问题
1.直线与抛物线相交于，两点，若，则过定点；
2.直线与抛物线相交于，两点，若，则过定点.
例15：抛物线的弦的端点与顶点的连线成直角时，证明直线过定点；反之，抛物线的弦过定点时，证明.
【解析】证明：直线的方程是，由得.因为，所以直线的方程为，同理有.直线的斜率是，故直线的方程是，化简得，故直线过定点.
反之，可设，，直线为，联立，消去得.于是，，，故.
变式：直线交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，，则的值为__________.
【答案】2
【解析】将直线代入，消去得，由，得．设，，则，，（由线形状知，直线，的斜率一定存在），所以，满足，故符合题意.
大招四 直线与圆锥曲线
【知识通关】
通关一、直线与曲线联立
1.直线与椭圆联立
.
；；
；
；
；
；
.
2.直线与抛物线联立
，消去得.
；；.
通关二、中点问题与点差法
对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么.两式相减，得，即.当，两边同除，得.于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：，.
通关三、切点弦问题
假设椭圆：在两点，处的切线分别为，，若，相交于点，那么：，：.
点同时位于直线和直线上，于是.
所以直线的方程为.这就意味着当定点位于椭圆外时，它对应的“切线方程”实际上是该点对应的切点弦方程.
下面给出点对于几种标准圆锥曲线的切点弦方程：圆：的点弦方程为；椭圆：的切点弦方程为；双曲线：的切点弦方程为；抛物线：的切点弦方程为.
【结论大招】
结论一、直线与椭圆交点问题
（1），直线与椭圆有两个交点；
（2），直线与椭圆有一个交点（相切）；
（3），直线与椭圆无交点.
例1：若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围.
【解析】解法一：由可得，所以，即，因为，所以且.
解法二：直线恒过一定点.当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则，即.当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则.综上，且.
解法三：直线恒过一定点.要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部，，即.所以且.
变式：已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得.又，所以.故椭圆的方程为.
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为.由得.
因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得.另一方面，由直线与的距离等于4可得，从而.由于，所以符合题意的直线不存在.
结论二、切线问题
1.当点在圆上时，过该点的切线方程为；
2.当点在椭圆上时，过该点的切线方程为；
3.当点在双曲线上时，过该点的切线方程为；
4.当点在抛物线上时，过该点的切线方程为.
例2：已知一条直线与椭圆相切于点，求切线的方程.
【解析】设过点的直线的方程为，将其与椭圆的标准方程联立，消去参数可得方程.因为该直线与椭圆相切，所以其判别式.所以该直线方程为，即.
变式：已知椭圆，，是过点且相互垂直的两条直线，问实数为何值时，直线，都与椭圆相切.
【解析】设：，则：，与椭圆联立得，，即.同理，与椭圆相切，，于是，即，所以，即.
结论三、弦长问题
设椭圆与直线:相交于，两点，则弦长为：.
例3：已知椭圆：.
（1）若斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，求弦的长.
（2）若直线为，当为何值时，直线被椭圆所截得的弦长？
【解析】（1）设，，由椭圆方程得，，，所以右焦点，所以直线方程为，代入中整理得，所以，所以.
（2）由方程组消去得，.当，即时，方程组有两个解，直线与椭圆相交，所以，解得，即当时，直线被椭圆所截得的弦长为.
变式：已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆的右顶点，点（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，，求的取值范围.
【解析】显然直线的斜率存在，可设直线：.
（1）当时，直线：.联立直线与椭圆方程，化简得，所以①.联立直线与椭圆方程，有，所以②.于是由①，②得.设，，则.
（2）当时，，，所以.
综上，的取值范围是.
结论四、中点问题
1.已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为；
2.已知抛物线内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为.
例4：已知椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若，的斜率为，求椭圆的方程.
【解析】解法一：设，，代入椭圆方程得，，相减得.因为，，所以.由得，所以，.又，所以.将代入，解得，所.故椭圆方程为.
解法二：由得.设，，则，.所以，所以①.设，则，，所以.代入①得，.故椭圆方程为.
变式：已知抛物线的焦点为，设，为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线过点，求证：线段中点的横坐标为定值.
【解析】设线段中点的坐标为，，，因为不垂直于轴，不可能平行于轴，故直线的斜率为，直线的斜率为.
证法一：直线的方程为，联立方程，消去得，所.因为为中点，所以，即，所以，即线段中点的横坐标为定值2.
证法二：点，在抛物线上，故，两式相减得.故有，即，解得，即线段中点的横坐标为定值2.
结论五、垂直问题
1.斜率角度
.
2.向量角度
.
例5：已知椭圆：的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，点，且，求直线的方程.
【解析】（1）由已知，，解得，，所以，所以椭圆的方程为.
（2）由得.直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得.设，，则，，，所以，，中点坐标为.因为，所以，，所以，解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为或.
变式：在平面直角坐标系中，抛物线：，斜率为2的直线与抛物线交于，两点.若的垂直平分线分别交轴和抛物线正，两点（，位于直线两侧），当四边形为菱形时，求直线的方程.
【解析】设直线的方程为，，，联立，消得，，所以.所以，，，，即的中点为.故的垂直平分线方程为.令得.因为四边形为菱形，所以，关于对称，所以点坐标为，且在抛物线上，有，解得，所以直线的方程为.板块十一 排列组合与二项式定理
大招一 排列组合
知识通关
通关一、分类与计数原理
1、分类加法计数原理的概念
完成一件事可以有类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中种不同方法，在第二类方案中种不同方法在第类方案中种不同方法，那么完成这个件事共有=+++种方法.
2、分步乘法计数原理的概念
完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法做第步有种方法，那么，完成这个件事共有=×种方法.
3、两个计数原理的联系与区别
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一 每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事. 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.
区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的. 各步之间是相互依存，并且既不能重复也不能遗漏.
通关二、排列与排列数
1.排列与排列数：一般地，从个不同元素中取出()个元素，按一定顺序排成一列，叫作从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
2.排列数公式：==（、且）.个不同元素全部取出的一个排列，叫作个的一个全排列.这个公式中，即有
==.规定：=1.
通关三、组合与组合数
1.组合与组合数：一般地，从个不同元素中取出()个元素合成一组，叫作从个不同元素中取出个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
2.组合数公式：===（、且）.个不同元素全部取出的一个排列，叫作个的一个全排列.这个公式中，规定：=1.
3.组合数性质：
（1）=（、且）；
（2）=+（、且）；
[结论大招]
结论一、加法与乘法原理
1、分类加法计数原理：做一件事，完成有类办法，在第一类办法中由种不同方法，在第二类办法中由种不同方法，，在第类办法中由种不同方法，那么，完成这个件事共有=+++种不同方法.又称加法原理.
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同方法，做第二个步骤有种不同方法，，做第个步骤有种不同方法，那么，完成这个件事共有=×种不同的方法.又称乘法原理.
例1 一个口袋理有5封信，另一个口袋理有4封信，各封信内容均不相同.
（1）从两个口袋里任取一封信，有多少种不同取法？
（2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同取法？
（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同放法？
[答案]( 1)9 (2)20 (3)
[解析]（1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这事件，因此是两类办法，利用分类加法计数原理，共有5+4=9种取法.
（2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这事件，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4=20种取法.
（3）若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10种可能性，即可能装入0，1，2，，9封信等不同情况.但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能第九封信还有4种可能.由分类加法计数原理可知，共有种不同的放法.
变式 现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加.
（1）若只需1人参加，有多少种不同选法？
（2）若需老师、男生、女生各1人参加，有多少种不同选法？
（3）若需要1名老师和1名学生参加，有多少种不同选法？
[答案]( 1)16 (2)120 (3)39
[解析]（1）由3类选人的方法：3名老师中选1人，由3种方法；8名男生中选1人，由8种方法；5名女生中选1人，由5种方法；由分类加法计数原理，共有3+8+5=16种选法.
（2）分3步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法；由分步乘法计数原理，共有3×8×5=120种选法.
（3）选1名老师和1名学生，由分步乘法计数原理，共有3×13=39种选法.
结论二、排列
把从个不同元素中任意取出()个元素的排列，看成从个不同球中选出个球，放入排好的个盒子中，每个盒子里放一个球，我们用乘法原理排列这些球，如图：
盒子 1 2 3
放法数 -1 -2 -（-1）
第1步：从全体个球中选出一个放入第1个盒子，有种选法；
第2步：从全体-1个球中选出一个放入第2个盒子，有-1种选法；
第3步：从全体-2个球中选出一个放入第3个盒子，有-2种选法；
第m步：从全体-（-1）个球中选出一个放入第m个盒子，有-（-1）种选法.
根据乘法原理，一共有(-1)(-2)种放法.
例2 用0，1，2，3，4，5这六个数：
（1）可以组成多少个数字允许重复的六位数？
（2）可以组成多少个数字不允许重复的六位数？
（3）可以组成多少个数字允许重复的五位数？
（4）可以组成多少个数字不允许重复的五位数？
[答案]( 1)38880 (2)600 (3)6480 (4)600
[解析](1)先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其他位置的数字都有6种选法.因此所求六位数共有5=38880个.
(2)先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其他位置的数字全排就可以了.因此所求六位数共有5=600个.
(3)先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字允许重复，故其他位置的数字都有6种选法.因此所求六位数共有5=6480个.
(2)先选首位数字，由于0不能作首位数字，因此有5种选法；由于数字不允许重复，故其他位置的数字从剩余的5个数字中选出4个全排就可以了.因此所求六位数共有5=600个.
变式 用1，2，3，4，5这五个数：
（1）可以组成多少个数字允许重复的五位数？
（2）可以组成多少个数字不允许重复的五位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数？
[答案]( 1)3125 (2)120 (3)60
[解析] (1)由于数字允许重复，故每个位置的数字都有5种选法.因此所求五位数共有=3125个.
(2)由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了.因此所求五位数共有=120个.
(3)由于数字不允许重复，故每个位置的数字从5个数字中选出3个全排就可以了.因此所求三位数共有=60个.
结论三、组合
组合于排列都是从n个不同元素中取出m（mn）个元素中的计数问题，它们的差别是：排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序.
考虑于的关系：把“从n个不同元素中取出m（mn）个元素进行排列”这事件，分两步进行：
第一步：从n个不同元素中取出m个元素，一共有种取法；
第二步：把取出m个元素进行排列，一共有种排法.
根据乘法原理，我们得到“从n个不同元素中取出m（mn）个元素进行排列”一共有种排法,即=，由此我们可以得出：==，因为
=，所以组合数公式还可以写成：=.
例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名去参加支教.
（1）现要从中选2名教师去参加，有多少种不同的选法？
（2）现要从中选出男、女教师各2名去参加，有多少种不同的选法？
[答案]( 1)45 (2)90
[解析] (1) 从10名教师中选2名去参加支教的选法数，就是从10个不同元数中取出2个元素的组合数，即=45种.
（2）从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法=90种.
变式 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选2门，乙、丙各选修3门，则不同选修方案共有 种.
[答案] 96
[解析] 甲选2门有=6种选法，乙、丙各有=4种选法，由分步乘法计数原理可知，共有644=96种选法.
结论四、特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其它元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其它位置.
例4 2010广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.36种 B.12种 C.18种 D.48种
[答案] A
[解析] 解法一 从后两项工作出发，采用位置分析法：=36.故选A.
解法二 分两类：若小张或小赵入选，则有选法=24；若小张、小赵都入选，则有选
法=12，共有36种.故选A.
变式 6个队员站成一排，甲不能站在排头，也不能站在排尾，共有 种不同站法.
[答案] 480
[解析] 要计算甲不在排头和排尾的排法有以下三种方法：
解法一 要使甲不能站在排头和排尾，可以先甲在中间4个位置中任选1个位置，有种站法；然后对其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法. 根据分步计数原理，共有=480种.
解法二 由于甲不站在排头和排尾，这两个位置只能在其余5个人中选2个人站，有种站法；对于中间4个位置， 4个人有种站法. 根据分步计数原理，共有排法=480种.
解法三 若对甲没有限制条件，共有种排法，这里面包含下面三种情况：甲在排头；②甲在排尾；③甲不在排头，也不在排尾. 甲在排头种站法，甲在排尾种站法，这都不符合题设条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得到所求的的排法数，共有排法-2=480种.
结论五、直接与间接法
“至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
例5 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所有数字只有0和1则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A.10 B.11 C.12 D.15
[答案] B
[解析] 当与信息0110对应位置上的数字各不相同时，这样的信息个数只有1个；当与信息0110对应位置上的数字只有1个相同时，这样的信息个数只有4个；当与信息0110对应位置上的数字只有2个相同时，只需从四个位置中选出两个位置使相应的数字相同，有种方法，剩下的两个位置上的数字对应不相同，只有1种可能，故此时共有个不同的信息.根据分类原理知共有：1+4+=11个不同信息.故选B.
变式 某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种.（以数字作答）
[答案] 25
[解析] 从7门课程中选修4门所有的选法数为，甲、乙两门课程都选的选法数为，故甲、乙两门课程不能都选的选法数有-=35-10=25.
结论六、捆绑与插空法
1.捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤：①先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法；③然后“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；④根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种.
2.插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（kn-k+1）.求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共n-k个排成一排，其排列方法有种；②然后将要求两两不相邻的k个元素插入n-k+1个空隙中，相当于从n-k+1个空隙中选出k个，分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有：种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种.
例6 求不同的排法种数.
（1）6男2女排成一排，2女相邻；
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性别者相邻；
（4）4男4女排成一排，同性别者不能相邻；
[解析]（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：=10080.
（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解.6男先排，再在7个空位中排2女，即用插空法解决：=30240.
（3）是“相邻”问题，应先捆绑排位：=1152.
（4）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解：=1152.
变式 3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有（）
A.48种 B.36种 C.24种 D.18种
[答案] A
[解析]3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻，由捆绑法得不同排法共有=48种.故选A.
结论七、分组与分配
分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）
必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以.
例7 按以下要求将9个不同零件进行分组，各有几种分组方法？
（1）平均分成3份，每份3个；
（2）分成3份，一份2个、一份3个、一份4个；
（2）分成3份，一份5个、另两份各2个.
[答案] （1）280 （12）1260 （3）378
[解析]（1）（平均分组）从9个零件中取3个作为第1组，从剩下6个零件中取3个作为第2组，剩下3个为第3组，由于题目要求仅仅分组，无组别之分，即将9个零件分为第3堆，所以共有=280种分组方法.
（2）（不平均分组）可以分成3个步骤：先在9个零件中任取2个作为第一堆，有种取法；再从剩下7个零件中任取3个作为一堆，有种取法；然后从剩下的4个零件取4个作为一堆，有种取法.所共有分法=12860种.
（3）（部分平均分组）第一步，从9个零件中取5个，有种方法；第二步，从剩下4个零件中取2个，有种方法；第三步，从剩下2个零件中取2个，有种方法；由分步计数原理知，共有种方法，但是其中每堆都是2个的两堆是不计算顺序的，故得分法数有=378种.
变式 （2020全国 卷理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
[答案] 36
[解析]先把4名同学分3组，其中1组有两人，共有种方法，现在可看成是3组同学分配到3个小区，共有=36种方法.
大招二 二项式定理
通关一、二项式（n）展开式
=++++.从恒等式中我们可以发现这样几个特点：
（1）完全展开后的项数位：+1；
（2）展开式按照的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，、的指数呈此消彼长的特点，与的指数之和为；
（3）在二项式展开式中由于按的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为，左边的项视为，比如与虽然相等，但展开式却不同，前者按的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列，如果则视为进行展开；
（4）二项式展开式的通项公式（注意是第+1项）
通关二、二项式系数与系数
1.二项式系数：项前面的称为二项式系数,二项式系数的和为，即，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即
每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为展开式中的某项，对于可看作是n个相乘，对于意味着在这n个中，有个式子出，剩下个式子出，那么这种出法一共有种，所以二项式展开式的每一项都可看作是一个组合问题，而二项式系数便是这个组合问题的结果。
2.系数:是指该项经过化简后项前面的数字因数
注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数.二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式,二项式系数只由决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数,同时还有项本身的系数.
（2）二项式系数与系数的概念不同,但在某些情况下可以相等:当二项式中每.项的系数均为1时(排除项本身系数的干扰)，则展开后二项式系数与系数相同.
[结论大招]
结论一、展开式特定项系数
二项式展开式的通项中含有五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程(或方程组)的问题,这里必须注意是正整数，是非负整数，且.
（1）第项：此时，直接代入通项.
（2）常数项：即项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
例1 的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】由二项式定理得的展开式的通项为T，令，解得，所以的展开式中的系数为.故选C.
变式 (2020北京卷3)在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【解析】 展开式的通项为，令，可得，则的系数为，故选C.
结论二、二项式系数性质
性质 内容
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即
增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当二时，二项式系数逐渐增小
最大值 当是偶数时，中间一项(第项)的二项式系数最大，最大值为 ；当是奇数时，中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或
例2 设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】 因为m为正整数，展开式的二项式系数的最大值，同理，展开式的二项式系数的最大值，再由，可得，即
即，即，解得，故选B.
变式 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）.
A.-7 B.-28 C.7 D.28
【答案】C
【解析】 依题意可得，所以，令，得r=6，常数项为故选C.
结论三、与的联系
展开式通项:.
展开式通项:.
两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数，其绝对值相等，所以在考虑系数的绝对值问题时，可将其转化为求系数的问题.
例3 若，则等于（ ）.
A. B.-1 C. D.
【答案】A
【解析】虽然展开式的系数有正有负，但与对应系数的绝对值相同，且展开式的系数均为正数，所以只需计算展开式的系数和即可，令x=1，可得系数和为，所以.故选A.
变式 若，则.
A.243 B.27 C.1 D.-1
【答案】D
【解析】由二项式定理知二项式展开式的通项系数为正，为负，所以令x=1，则故选D.
结论四、赋值问题
1.对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可；同理求系数之差时，只需根据题目要求令x=1，或，y=1即可.
2.若,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为，奇次项系数之和为.令，可得.
例4 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=_______
【答案】 3
【解析】设，令x=1，则①,令，则 ②.由①-②得，所以，所以a=3.
变式 设，则的值为( ).
A.16 B.-16 C.1 D. -1
【答案】 A
【解析】根据已知条件，令x=1，可得，令，可得，所以.故选A.板块十二 概率与统计
大招一、统计
通过一、抽样方法
1.简单随机抽样：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫作简单随机抽样.
简单随机抽样必须具备以下特点：
简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的；
简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；
简单随机样本是从总体中逐个抽取的；
简单随机抽样是一种不放回的抽样；
简单随机抽样的每个个体呗抽取的可能性均为
2.系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法。系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样。
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样.
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等。因此，系统抽样又称等距抽样，分段的间隔一般为
（3）预先制定的规则指的是在第一段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.
3. 分层抽样：当总体由明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫作层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫作分层抽样.
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比。
通关二、频率分布直方图与茎叶图
1.画出频率分布直方图的步骤
(1)计算极差:找出数据的最大值与最小值，计算它们的差;
(2)决定组距与组教;取组距，用决定组数;
(3)决定分点:决定起点，进行分组;
(4)列频率分布表:对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率;
(5)绘制频率分布直方围:以教据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图.
小长方形的面积=组距×=频率.
2.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图:连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，即得频率分布折线图.
(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加，图时所分组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
3.制作茎叶图的步骤
(1)将数据分为“茎”“叶”两部分;
(2)将最大茎与最小茎之间的数宇按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线;
(3)将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出.
通关三、独立性检验
独立性检验的有关概念
分类变量:可以利用不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.
②2×2列联表:假设有两个分类变量 X 和 Y ，它们的可能取值分别为|x1，x2|和| y1，y2|，其样本频数列联表称为2×2列联表，如下表所示:
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
2.统计量:为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量， (其中n=a+b+c+d为样本容量) .
3.两个分类变量A和B是否有关系的判断方法
①当时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B没有关联；
当时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当时，有99%的把握判定变量A，B有关联；
当时，有99.9%的把握判定变量A，B有关联；
通关四、回归分析
1.n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线方程为，其中.
2.我们将这个方程叫作回归直线方程，，叫作回归系数，相应的直线叫作回归直线.
要点诠释:
其中，，称为样本点的中心.
结论大招
结论一、抽样方法中的计算问题的求法
1.系统抽样中的计算问题:系统抽样中被抽取的两个样本编号的间距相等，据此，若有n个总体，希望抽取m个体，确定抽样间距时，若为整数，则抽样间距为；否则，一般先剔除几个个体，使得为整数，抽样间距一般为不大于的最大整数.
2.分层抽样中的计算问题：分层抽样满足“”即或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比、样本容量、总体数量中的两个时，就可以求出第三个.
例 1 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）.
A.101 B.808 C.1212 D.2012
【答案】 B
【解析】 因为甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12，所以每个个体被拍到的概率为品 18，样本容量为12+21+25+43=101，所以这四个社区驾驶员的总人数N为.故选B.
变式 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）.
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
【答案】 C
【解析】 因为要从1000名学生中抽取一个容量为100的样本，所以系统抽样的分段间隔为.因为46号学生被抽到，则根据系统拍样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为，则当n=62时，，即在第62组抽到的是616号学生.故选C.
结论二、频率分布直方图的理解
例2某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20,22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ).
A.56 B.60 C.120 D.140
【答案】 D
【解析】自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为:0.7×200=140故选D
变式：某电子商务公司对10000名网络购物者2019年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3，0.9]内其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=_______.
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
【答案】(1)3 (2)6000
【解析】(1)由题意，根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2) ×0.1=1解得a=3.
由直方图得(3+2.0+0.8+0.2) ×0.1×10000=6000.
结论三、茎叶图
1.茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数.
2对于样本数据较少，但较为集中的一组数据:若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶，样本数据为小数时做类似处理.
3茎叶图通常用来记录两值教的数据，它可以用来分析单组数据，也可以对两组数据进行比较，通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，是否关于该茎对称，是否分布均匀等.
例3从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（ ）.
甲 乙
8 6 5 0
8 8 4 0 0 1 0 2 8
7 5 2 2 0 2 3 3 7
8 0 0 3 1 2 4 4 8
3 1 4 2 3 8
B.
C. , m甲＞m乙 D. ，m甲＜m乙
【答案】 B
【解析】甲的平均数
乙的平均数
所以.甲的中位数为20,乙的中位数为29,所以m甲变式：如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为　　
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
【答案】A
【解析】：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即，
则乙组数据的平均数为：66，故，故选．
结论四、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.平均数、中位数、众数
数字特征 样本数据
平均数 样本数据的算术平均数
中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个 数据（或最中间两个数据的平均数）
众数 出现次数最多的数据
2.样本方差与标准差
3.平均数、方差的有关性质
例4 ：如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为，，则　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】样本的数据均不大于10，而样本的数据均不小于10，
显然，由图可知中数据波动程度较大，中数据较稳定，
．故选：．
变式：为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田．这块地的亩产量（单位：分别是，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是　　
A．，，，的平均数 B．，，，的标准差
C．，，，的最大值 D．，，，的中位数
【答案】B
【解析】在中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在中，最大值是一组数据最大的量，故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：．
结论五、独立性检验
1. 独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对于一个实际问题，我们首先要确定能否用独立性检验的思想加以解决；
2. 如果确实属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太小,根据数据列出 列联表；
3. 提出假设H0 : 所研究的两类对象 (X, Y)无关；
4.根据公式计算的值；
5. 比较观测值 k与临界值表中相应的检验水平,根据小概率原理肯定或者否定假设, 即判断X, Y是否相关.
例5：某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率，
女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）由题意可知，，
故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【变式】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
超过 不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为；
由此填写列联表如下；
超过 不超过 总计
第一种生产方式 15 5 20
第二种生产方式 5 15 20
总计 20 20 40
（3）根据（2）中的列联表，计算
，
能有的把握认为两种生产方式的效率有差异．
结论六、回归直线方程
要点诠释：
线性回归直线一定经过样本点的中心（），据此性质可以解决有关的计算问题、判断结论的正确性。
例6：为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为　　
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【答案】B
【解析】由题意可得，
，代入回归方程可得，
所以回归方程为，
把代入方程可得，故选．
【变式】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为 厘米。
A．160 B．163 C．166 D．170
【解析】由线性回归方程为，
则，，
则数据的样本中心点，
由回归直线方程样本中心点，则，
所以回归直线方程为，
当时，，则估计其身高为166，故选．
大招二 事件的概率与概型
【知识通关】
通关一、随机事件及其概率
1.事件的相关概念
（1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件．
（2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件.
（3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件．
2.频率与概率
（1)事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。
（2)概率的统计定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率，简称为A的概率。
要点诠释：
（1)频数是一个整数，其取值范围为,因此随机事件A发生的频率的可能取值介于0与1之间，即0≤≤1.
（2)必然事件M的概率为1,即P(M)=1；不可能事件N的概率为0,即P(N)=0；随机事件A的概率满足.
通关二、概率的几个基本性质
1.任何事件的概率都在01之间，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
2.当事件A与事件B互斥时，P(AUB)=P(A)+P(B).
3.对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立，则P(A)+P(B)=1.
4.当事件A与事件B互相独立时，P(AB)=P(A)P(B).
【结论大招】
结论一、独立事件的概率与性
事件A,B相互独立 概率计算公式
A,B同时发生 P(AB)=P(A)P(B)
A,B同时不发生
A,B至少有一个不发生 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
A,B至少有一个发生 P=1-P()=1-P()P()=P(A) ＋P(B)-P(A)P(B)
A,B恰有一个发生 P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B) ＝P(A)+P(B)-2P(A)P(B)
例1： 已知A,B,C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，
事件C发生的概率是,求下列事件的概率：
（1)事件A,B,C至少发生一个；
（2)事件A,B,C只发生一个；
（3)事件A,B,C只发生两个；
（4)事件A,B,C至多发生两个．
【解析】（1)记“事件A,B,C至少发生一个”为,其对立事件为:“事件A,B,C一个也不发生”，从而. 所以事件A,B,C至少发生一个的概率为.
（2）记“事件A，B，C只发生一个”为，则事件，包括三种情况∶第一种是只发生事件 A，事件B，C不发生（即事件发生）;第二种是只发生事件B，事件A，C不发生（即事件发生）;第三种是只发生事件C，事件A，B不发生（即事件发生）;而这三种情况是不可能同时发生的，即事件，，彼此互斥.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P()=P()+P()+P()= 所以A，B，C 只发生一个的概率为
（3）记“事件A，B，C只发生两个”为，则事件，包括三种彼此互斥的情况∶; ;由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P（）=P（）+P（）+P（）=所以事件 A，B，C 只发生两个的概率为
（4）记“事件A，B，C至多发生两个”为，则包括彼此互斥的三种情况∶事件A，B，C一个也不发生，即;事件A，B，C只发生一个，即;事件A，B，C 只发生两个，即故P（）=+ P()
P（）= 所以事件 A，B，C 至多发生两个的概率为
【变式】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和,求：
（1)两个人都译出密码的概率；
（2)两个人都译不出密码的概率；
（3)恰有1个人译出密码的概率；
（4)至多1个人译出密码的概率；
（5)至少1个人译出密码的概率．
【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A,B为相互独立事件，且P(A)= ,P(B)= .
（1)两个人都译出密码的概率为：P(AB)=P(A)·P(B)=.
（2)两个人都译不出密码的概率为：
（3)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个
事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：
P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=.
（4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1个人译出
密码的概率为：1-P(AB)=1-P(A)P(B)=.
（5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”，所以至少1个人译出密
码的概率为：.
结论二、条件概率
1.条件概率：事件B在事件A已经发生的情况下，发生的概率称为B在A条件下的条件概率，记为B|A.
2.利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=.
3.利用缩小样本空间法计算（局限在古典概型内），即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A,原来的事件B缩小为AB,利用古典概型计算概率：P(B|A)= .
要点诠释：
P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间关系的应用，即P(B|A)= , P(A|B)= ,
P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A).
例2. 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为____________
【答案】
【解析】设事件为“第一次取到不合格品”，事件为“第二次取到不合格品”，
．
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①（B）；
②；
③事件与事件相互独立；
④，，是两两互斥的事件；
⑤（B）的值不能确定，因为它与，，中究竟哪一个发生有关．
【答案】②④
【解析】易见，，是两两互斥的事件，④正确；，，；，由此知，②正确；
，；而（B）
．
由此知①③⑤不正确。综上：正确的结论为：②④
结论三、古典概型
1.古典概型的概率公式P(A)=
2.从集合的观点看古典概型：从集合的观点来看，如果把一次试验中出现的n个等可能结果组成一个集合I,其中每个结果都是I的元素。包含m个结果的一个事件就对应于I的某个有m个元素的子集A(每个基本事件都对应于集合I的某个m元子集），所以该事件的概率是子集A的元素个数（记为card(A))与集合I的元素个数（card(I))的比值：P(A)=.
例3. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有m=10个基本事件，所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为．
故选D．
【变式】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标的所有情况数为．．故选．
结论四、几何概型
1.与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
2.与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；
3.与角度有关的几何概型，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A)=.
4.与体积有关的几何概型，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)= .
例4.为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，已知长方形面积为2，以为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到的距离大于1的概率.故选．
【变式】如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C. D.
【答案】B
【解析】根据图像的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则此点取自黑色部分的概率. 故选B.
结论五、随机模拟
利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率P（A），然后根据列等式求A的面积. 为了方便解题，我们常常设计出一个规则的图形（面积为定值）来表示随机取点的全部结果构成的区域.
例5 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为（ ）.
A. 7. 68 B. 8. 68 C. 16. 32 D. 17. 32
【答案】C
【解析】由随机模拟的思想方法可得黄豆落在椭圆内的概率为. 由几何概型的概率计算公式可得，而，则=0. 68×24=16. 32. 故选C.
变式 从区间[0，1]随机抽取2n个数. 构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为，从区间[0，1]随机抽取2n个数，构成n个数对，对应的区域的面积为. 所以，，故选C.
大招三 随机变量分布列、期望与方差
【知识通关】
通关一、离散型随机变量分布列
1. 离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为x的分布列.
X
P
为了简单起见，也可以用等式，表示X的分布列.
2. 离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1）；
（2）；
（3）（）.
通关二、离散型随机变量的均值与方差
1. 期望与方差的表示
一般地，若离散型随水变量X的概率分布列为：
X
P
则称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的均偏离程度，其算术平方根为随机变量x的标准差.
2. 均值的性质
若，其中是常数，X是随机变量，则均值的性质：
（1）（k为常效）；
（2）；
（3）；
（4）若相互独立，则.
3. 方差的性质
（1）（为常数）；
（2）；
（3）.
通关三、正态分布曲缆及特点
我们把画数（其中是样本均值，是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
（1）曲线位手轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰使（最大值）
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；
（6）当一定时，曲线的形状由确定；越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
【结论大招】
结论一、求解离散型随机变量X的分布到的步骤
1. 理解X的意义，写出X可能取的全部值；
2. 求X取每个值的概率；
3. 写出X的分布列；
4. 根据分布列的性质对结果进行检验.
例1 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投球次数的分布列.
【解析】设分别表示“甲、乙在第次投篮投中”，则.
（1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知
（2）的所有可能取值为1，2，3且； ,
综上的分布列为：
1 2 3
P
变式 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；
（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列.
【解析】设事件（）表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知
（1）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则
（2）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
（3）x的可能取值为1，2，3，4.
所以，x的分布列为：
X 1 2 3 4
P
结论二、期望与方差的一般计算步骤
1. 理解X的意义，写出X的所有可能取的值；
2. 求X取各个值的概率，写出分布列；
3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30， 35） [35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【解析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）=
所以X的分布列为：
X 200 300 500
P 0. 2 0. 4 0. 4
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n；
若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n；
若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n-200）-4n=800-2n；
所以F(Y）=2n×0. 4+(1200-2n)×0. 4+(800-2n)×0. 2=640-0. 4n.
当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n；
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m-200）-4n=800-2n；
所以E(Y）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m)×0. 2=160+1. 2n.
综上，当n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元
变式 为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望. 【解析】（1）设事件A为“甲乙排在前两位”，则.
（2）X的可能取值为0,1,2,3，则 .
所以x的分布列为：
X 0 1 2 3
P
结论三、二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生次的概率为"，k=0，1，2…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作x~B（n，p）.
X 0 1 n
P
要点诠释：
.
例3 为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.
（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；
（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望.
【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A所包含的等可能事件的个数为3，所以,故4人恰好选择了同一个公园的概率为
（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则. 4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数. 因此，随机变量X服从二项分布X可取的值为0，1，2，3，4. ，i=0，1，2，3，4.
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
X的期望为
变式 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x的分布列、期望E(X）及方差D(X）.
【解析】（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此，.
（2）X 的可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：；
.
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
因为X~B（3，0. 6），所以期望，方差.
结论四、超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则其中且.
要点诠释：
例4 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】（1）由已知得,所以事件A发生的概率为.
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
所以，随机变量x的分布列为：
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望.
变式 为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.
（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
（2）求选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望.
【解析】设事件为“3人中有名语文教师”， 为“3人中有j名数学教师”，事件A为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以 .
（2）语文教师人数X可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H（10，3，3），所以 .
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以.
结论五、利用期望与方差进行决策
若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量的期望，若时，则用来比较这两个随机变量的偏离程度. 若与比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若与比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.
例5 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下；
支付方式 支付金额（元）
（0，1000] （1000，2000] 大于2000
仅使用A |18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，所以A，B两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率.
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.
所以 .
所以x的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望.
（3）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为,虽然概率较小，但发生的可能性为,故不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.
变式 甲、乙去某公司应聘面试，该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选. 已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确

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