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2023年中考数学频考点突破--圆的动点问题
1．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B，O均落在格点上， 为⊙O的半径．
（1） 的大小等于　 　（度）；
（2）将 绕点O顺时针旋转，得 ，点A，B旋转后的对应点为 ， ．连接 ，设线段 的中点为M，连接 ．当 取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）．
3．如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为C，过B作 ，垂足为点E，直线 交 于点F.
（1）判断 与 的数量关系，并说明理由.
（2）若点C在直径 上方半圆弧上运动， 的半径为4，则
①当 的长为　 　时，以B、O、E、C为顶点的四边形是正方形；
②当 的长为　 　时，以B、O、F、C为顶点的四边形是菱形.
4．一块含有 角的三角板 如图所示，其中 ， ， .将此三角板在平面内绕顶点 旋转一周.
（1）画出边 旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积.
5．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
6．如图，在中，，，，半圆O的直径．点E与点C重合，半圆O以的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在所在的直线上．设运动时间为，半圆O与的重叠部分的面积为．
（1）当时，设点M是半圆O上一点，点N是线段上一点，则的最大值为　 　；的最小值为　 　．
（2）在平移过程中，当点O与的中点重合时，求半圆O与重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O与的边所在的直线相切？
7．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”。请研究如下美丽的圆，如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现 是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明。
8．如图．在中，，，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在内作半圆D．
（1）若，P为半圆D的中点，在半圆D移动的过程中，求CP的最小值．
（2）当半圆D同时与的两直角边相切时，请求出EF的长．
9．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线． 求证： ． 证明：延长CD至点E，使DE=CD，连结AE、BE．
（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
图①
（2）（结论应用）如图，在四边形 中， ， ， ， 是 的中点，连结 、 ．则 的度数为　 　°．
（3）在 中，已知 ， ， ， 为边 的中点， 且与 的平分线交于点 ，则 的长为　 　．
10．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°.
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在 上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F.
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.
11．如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦,点C是优弧AB上一个动点(点C不与A,B重合).
（1）设∠ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,试猜想点P在AB 上的位置是否会随点C的运动而发生变化 请说明理由;
（2）如图②,设A′B′=8,⊙O的半径为5,在(1)的条件下,四边形ACBP的面积是否为定值 若是定值,请求出这个定值;若不是定值,试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围.
12．如图，四边形 中的三个顶点在⊙ 上， 是优弧 上的一个动点（不与点 、 重合）．
（1）当圆心 在 内部，∠ABO＋∠ADO=70°时，求∠BOD的度数；
（2）当点A在优弧BD上运动，四边形 为平行四边形时，探究 与 的数量关系．
13．如图， 是半径为 的 上的定点，动点 从 出发，以 的速度沿圆周逆时针运动，当点 回到 地立即停止运动．
（1）如果 ，求点 运动的时间；
（2）如果点B是 延长线上的一点， ，那么当点 运动的时间为 时，判断直线BP与 的位置关系，并说明理由．
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为 cm，AC＝8cm，设运动时间为t秒．
（1）求证：NQ＝MQ；
（2）填空：
①当t＝　 　时，四边形AMQN为菱形；
②当t＝　 　时，NQ与⊙O相切．
15．如图，在 中， ，延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ．以点 为圆心，分别以 、 为半径作大小两个半圆，连结 ．
（1）求证： ；
（2）设小半圆与 相交于点 ， ．
①当 取得最大值时，求其最大值以及 的长；
②当 恰好与小半圆相切时，求弧 的长．
16．先阅读材料，再解答问题：
已知点 和直线 ，则点P到直线 的距离d可用公式 计算．例如：求点 到直线 的距离．
解：由直线 可知： ．
所以点 到直线 的距离为 ．
求：
（1）求点P（2，-1）到直线y=x+1的距离．
（2）已知直线 与 平行，求这两条平行线之间的距离；
（3）如图已知直线 分别交 轴于 两点，☉C是以 为圆心， 为半径的圆， 为☉C上的动点，试求 面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OC交DE于M．
由矩形得OM＝CM，EM＝DM．
∵DG＝HE．
∴EM﹣EH＝DM﹣DG．
∴HM＝GM．
∴四边形OGCH是平行四边形
（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE＝OC＝3．
∴DG＝1
（3）证明：设CD＝x，则CE＝ ．过C作CN⊥DE于N．
由DE CN＝CD EC得CN＝ ．
∴ ＝ ．
∴HN＝3﹣1﹣ ＝ ．
∴3CH2＝3[（ ）2+（ ）2]＝12﹣x2．
∴CD2+3CH2＝x2+12﹣x2＝12．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；矩形的性质；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OC交DE于M，利用矩形的性质可证得OM＝CM，EM＝DM，再证明HM＝GM，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论。
（2）利用矩形的性质，可求出DG的长，即可作出判断。
（3）设CD＝x，则CE＝ ．过C作CN⊥DE于N． 根据 DE CN＝CD EC ，求出CN，表示出HN，然后求出3CH2 ，就可求出CD2+3CH2的结果。
2．【答案】（1）45
（2）解：取 的中点N，连接MN， ，构成 ，延长AO交⊙O于点H，如图，
根据三角形三边关系， ,
当点 ，N，M三点共线时， 取最大值，
在 中， ，
∵点M，N分别是 的中点，
∴ ，
作 ，由网格图的特点可得，
在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于 ，如图所示，
，此时 ， ，
故连接OC与⊙O交于 ，点 即为所求．
【知识点】切线的判定与性质；旋转的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由图形可知，OA=OB，OB⊥OA，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为：45；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定及性质求解即可；（2）如图， 取 的中点N，连接MN， ，构成 ，延长AO交⊙O于点H，再利用三角形三边的关系判定即可。
3．【答案】（1）证明：相等，理由如下：连接OC,如图
∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC⊥CD,
又∵BE⊥CD，
∴∠CEB=∠OCE=90°,
∴BE//OC,
∴∠EBC =∠OCB,
∵OC=OB,
∴∠ABC =∠OCB,
∴∠ABC=∠EBC.
（2）；2或6
【知识点】勾股定理；菱形的判定；正方形的判定；切线的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】(2)①∵B、O、E、C为顶点的四边形是正方形
∴∠COB=90°
∵OC=OB=4
∴ BC=
故答案为： ；
②当点F在AB直径上方时如图1所示
∵B、O、F、C为顶点的四边形是菱形
∴OC=CF=BF=OB=4
∴OC=CF=OF=4
∴△OCF为等边三角形
∴∠OCF=60°
由（1）可得∠CEB=∠OCE=90°,
∴∠ECF=30°
在Rt△CEF中，
∵
∴
当点F在AB直径下方时如图2所示
同理可得：△OCB为等边三角形
∴OC=OB=BC=4,∠OCB=60°
∴∠BCF=30°
在Rt△CBE中，
故答案为：2或6.
【分析】(1)根据CD是 的切线，结合BE⊥CD, 得出BE∥OC，则知∠EBC =∠OCB，结合∠ABC =∠OCB, 即可得出结论；
(2)①根据正方形性质可得△OCB为等腰直角三角形，再根据勾股定理可得BC的长 ;
②分两种情况考虑，即当点F在AB直径上方时和当点F在AB直径下方时，根据菱形的性质，推出△OCF为等边三角形，结合直角三角形的性质求解即可.
4．【答案】（1）解：∵三角板 ， ， ， ，
∴AB=2BC=6cm，
∴由勾股定理：AC= ，
边 在平面内绕顶点 旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：
（2）解：BC扫过的面积S圆环=
【知识点】圆的认识；圆-动点问题
【解析】【分析】（1） 由绕定点沿定长画一周的图形为圆形可得“ 旋转一周所形成的图形 ”的图形为以点A为圆心，AC、AB长为半径所围成的圆环；（2）由圆环的面积=大圆面积-校园面积，由含30°直角三角形可得AC、AB的长度，代入即可.
5．【答案】（1）解：当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；
理由如下：连接OD．
∵CD平分∠OCE，
∴∠1=∠3，
而OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CE∥OD，
∵CE⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴ = ，即点D为半圆AB的中点．
（2）解：∵在直角△AOD中，OA=OD=5，
∴
过点A作CD的垂线，垂足为G，
∵
∴△AGC是等腰直角三角形，
∵AC=6，
∴
在直角△AGD中，
∴
∴线段AD的长度为 ，线段CD的长度为 ．
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】
(1)连接OD ，由 ∠1=∠3 ， ∠1=∠2得∠2=∠3 可以判定 CE∥OD ，由 CE⊥AB 知 OD⊥AB ，根据垂径定理可得 = 即点D为弧AB的中点，得到结论；
(2)过点A作CD的垂线，垂足为G ，构造等腰直角 △AGC ，然后由勾股定理求出DG的长进而得到结论。
6．【答案】（1）24cm；cm
（2）解：当点O与的中点重合时，如图②，点O移动了，
设半圆与交于点H，连接、．
为直径，
，
，
，
，，
；
（3）解：当半圆O与直线相切时，运动的距离为0或12，
（秒）或6（秒）；
当半圆O与直线相切时，如图③，
连接，则，
，，
，
，
移动的距离为，
运动时间为（秒，
综上所述，当x为0或6或时，半圆O与的边所在的直线相切．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）当N与点B重合，点M与点D重合时，最大，此时
如图①，过点O作于N，与半圆交于点M，此时最小，，
，
，
在中，
，
，
故答案为，；
【分析】（1）当N与点B重合，点M与点D重合时，最大，此时，过点O作于N，与半圆交于点M，此时最小，，利用勾股定理求出ON，即可求出MN；
（2）当点O与的中点重合时，如图②，点O移动了，利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质的出 ，， 可得 ；
（3）分为两种情况：当半圆O与直线相切时，运动的距离为0或12，则或6，当半圆O与直线相切时，连接，则，，根据等腰直角三角形的性质求出OB，再求出OC和移动的距离，即可求出运动时间。
7．【答案】（1）证明：连接OD、DB，
∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分OB，
∴DB=DO
∵DO=OB，
∴DB=DO=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO=∠DBO=60° ，
∵BC=OB= BD，∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD=∠BDC= ∠DBO．
∵∠DBO=60°，
∴∠CDB=30°
∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：这个确定的值是
连接OP，如图：
由已知可得：OP=OB=BC=2OE
∴
∵∠COP=∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴
【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OD，DB，利用垂径定理易证DE垂直平分OB，利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DO，可推出DB=DO=OB，可证得△ODB是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠BDO=∠DBO=60°，利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质，可求出∠CDB=30°，即可得到∠ODC=90°；然后利用切线的判定定理，可证得结论.
（2）连接OP，易证OP=OB=BC=2OE，可得到PO是线段OE，CO的比例中项，再利用∠COP=∠POE，可证得△OEP∽△OPC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出PE与PC的比值，由此可得到 是一个确定的值.
8．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC=4，∠BAC=30°
∴AC= ，AB=8
∵EF=2
∴半圆半径为1
∴DP=1
如图，当D、C、P三点共线时，CP最小
∵P为半圆D的中点，∠CBA=60°
∴CD⊥AB，CD=
∴CP的最小值是
（2）解：∵半圆D同时与两直角边相切，如图
∴DM⊥AC，DN⊥BC，
设半圆的半径为r，则CN=DM=DN=r
∴BN=4-r，
∵∠CAB=∠NDB=30°
∴tan30°=
∴r=
∴EF=2r=
【知识点】含30°角的直角三角形；点与圆的位置关系；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）当D、C、P三点共线时，CP最小，推出CD⊥AB，CD= ，即可得出CP的最小值；
（2）根据半圆D同时与两直角边相切，得出DM⊥AC，DN⊥BC，设半圆的半径为r，则CN=DM=DN=r，得出BN=4-r，推出tan30°的值，得出r的值，即可得解。
9．【答案】（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 、 ，
是斜边 上的中线，
，
又 ，
四边形 是平行四边形
又 ，
是矩形，
，
（2）15
（3）
【知识点】四边形的综合；圆-动点问题
【解析】【解答】［结论应用］解：（2）连接 ，如下图
∵ ， 是 的中点
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
（3）以点 为圆心， 为半径作圆交直线 于点 ，连接 ， ， ，
， ， ．
，
为直角三角形，
∵ ，
，
平分 ，
，
，
为圆的直径，
，
是直角三角形，
．
【分析】（1）先证明四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；
（2）连接DE，根据直角三角形斜边上的中线可得DE=BE=AB=AE，由等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得；
（3）以点 为圆心， 为半径作圆交直线 于点 ，连接 ， ， ，根据勾股定理的逆定理可得三角形ABC是直角三角形，可得，由CE平分 ，可得，则点F、E重合，根据圆周角定理和直角三角形的性质求解即可。
10．【答案】（1）证明：连结OC，如图所示.
∵AD＝CD ，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠A=30°.
∴∠CDB＝60°.
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=60°.
∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°.
∴OC⊥AC.
∴直线AC是⊙O的切线.
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示.
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴ 是等边三角形.
∴ .
∴在 中，
.
∵AB＝AD＋BD＝3，
∴ .
（3）解： 当点E运动到与点C关于直径BD对称时，如图所示.
此时，CE⊥AB，设垂足为K.
由（2）可知， .
∵BD为圆的直径，CE⊥AB，
∴CE＝2CK＝ .
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°.
∵ ，
∴∠E=∠CDB＝60°.
在 中，
∵ ，
∴ .
如图所示：
由 可知，在 中，
∵ ，
∴ .
∴当点E在 上运动时，始终有 .
∴当CE最大时，CF取得最大值.
∴当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为 .
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OC，利用等边对等角可求出∠ACD的度数，即可求出∠CDB的度数；再求出∠ACO=90°，可得到OC⊥AC，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）过点C作CH⊥AB于点H，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OCD是等边三角形，可求出CD的长；利用勾股定理求出CH的长，即可求出AB的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
（3）①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，如图所示. 此时，CE⊥AB，设垂足为K.，利用垂径定理求出CE的长；再利用圆周角定理求出∠E的度数，利用解直角三角形求出CF的长；②在Rt△EFC中，利用解直角三角形表示出CF的长，当点E在 上运动时，始终有 ，由此可知当CE最大时CF取得最大值，由此可求出CF的最大值.
11．【答案】（1）解：如图，
结论:点P在弧AB上的位置不会随点C的运动而发生变化
CP平分∠ACB
ACP=∠BCP (角平分线将这个角分为两个相等的角)
= (在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等)
即点P为劣弧AB的中点
（2）解：四边形 的面积不是定值.
当 经过圆心时，点 到 的距离最大,故四边形 的面积最大,此时 垂直平分 :设 交 于M
M=4， =5 M⊥
M=3 (直角三角形勾股定理求值)
M =2 =8
M=8 M =2 ⊥ =8 ;
的最大面积= ， 的面积=
点C在优弧上运动,且不与A、B重合
8 <四边形ACBP的面积≤40
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠ACP=∠BCP ，再利用圆周角定理可证得结论。
（2） 当 经过圆心时，点 到 的距离最大,故四边形 的面积最大,此时 垂直平分 :设 交 于M，利用勾股定理求出OM的长
12．【答案】（1）解：连接OA，如图1，
∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，即∠BAD=70°，
∴∠BOD=2∠BAD=140°
（2）解：①如图2，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OBC=∠ODC=180°-120°=60°，
又∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠OBA+∠ODA=180°-（∠OBC+∠ODC）
=180°-（60°+60°）
=180°-120°
=60°
②Ⅰ、如图3，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，
∵OA=OD，OA=OB，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA-∠ODA=60°．
Ⅱ、如图4，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OAB=∠OAD-∠BAD=∠OAD-60°，
∵OA=OD，OA=OB，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠ODA-60°，
即∠ODA-∠OBA=60°．
所以，当点A在优弧BD上运动，四边形 为平行四边形时，点O在∠BAD内部时， + =60°；点O在∠BAD外部时，| - |=60°．
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=140°；（2）分点O在∠BAD内部和外部两种情形分类讨论：①当点O在∠BAD内部时，首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，求出∠BOD的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据平行四边形的性质，求出∠OBC、∠ODC的度数，再根据∠ABC+∠ADC=180°，求出∠OBA+∠ODA等于多少即可．②当点O在∠BAD外部时：Ⅰ、首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，求出∠BOD的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据OA=OD，OA=OB，判断出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，进而判断出∠OBA=∠ODA+60°即可．
Ⅱ、首先根据四边形OBCD为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，求出∠BOD的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据OA=OD，OA=OB，判断出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，进而判断出∠ODA=∠OBA+60°即可．
13．【答案】（1）解：当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的 或 ，设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的 时，2π t= 2π 12，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的 时，2π t= 2π 12，
解得t=9；
∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．
（2）解：如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切
理由如下：
当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，
连接OP，PA；
∵半径AO=12cm，
∴⊙O的周长为24πcm，
∴ 的长为⊙O周长的 ，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．
【知识点】切线的判定；圆-动点问题
【解析】【分析】(1)当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的 或 时，分两种情况进行分析即可；
（2）直线BP与⊙O相切，根据已知可证得OP⊥BP，即可得出结论。
14．【答案】（1）解：证明：∵AB⊥MN，
∴PM＝PN
∴AB垂直平分MN，
∴NQ＝MQ
（2）；2
【知识点】菱形的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质；圆-动点问题
【解析】【解答】（2）解：①AP＝t，CQ＝t，则PQ＝8﹣t﹣t＝8﹣2t，
∵AQ⊥MN，PM＝PN，
∴当AP＝PQ时，四边形AMQM为菱形，
即t＝8﹣2t，解得t＝ ；
②作OH⊥QN于H，如图，
OQ＝AC﹣AO﹣CQ＝8﹣ ﹣t＝ ﹣t，OP＝t﹣ ，
当ON⊥QN时，QN为⊙O的切线，
∵∠NOQ＝∠PON，
∴△ONP∽△OQN，
∴OP：ON＝ON：OQ，
即（t﹣ ）： ＝ ：（ ﹣t），
整理得t2﹣8t+12＝0，解得t1＝2，t2＝6（舍去），
∴t＝2时，NQ与⊙O相切
【分析】（1）先利用垂径定理证得PM=PN，则AB垂直平分MN，然后利用线段垂直平分线的性质可证得结论。
（2）①AP=t，CQ=t，可用含t的代数式表示出PQ，根据菱形的判定方法，当AP=PQ时，四边形AMQM为菱形，可建立关于t的方程，解方程即可；②作OH⊥QN于H，用含t的代数式分别表示出OQ、OP，再证明△ONP∽△OQN，利用相似三角形的性质，可证得OP：ON＝ON：OQ，据此建立关于t的方程，解方程即可得出符合题意的t的值。
15．【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
∴
（2）解：①当 时， 取得最大值，
最大值 ，
在 中， ，
∴ ；
②当 恰好与小半圆相切时， ，
∵在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴弧 的长
【知识点】弧长的计算；三角形全等的判定（SAS）；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用SAS证明三角形全等，再求出AB=CD即可；
（2）①先求出三角形ABE面积的最大值为4，再利用勾股定理求出AB的值，最后求解即可；
②先求出AE=2，再求出∠ABE=30°，最后利用弧长公式计算求解即可。
16．【答案】（1）解：∵直线y=x+1，
∴k=1，b=1，
∴点P（2，-1）到直线y=x+1的距离= ；
（2）解：在直线y=2x+1上任取一点P（0，1），
∵直线y=2x+1与y=2x-5平行，
∴这两条平行线之间的距离等于点P（0，1）到直线y=2x-5的距离，
∵直线y=2x-5可变形为2x-y-5=0，其中k=2，b=-5，
∴点P（0，1）到直线y=2x-5的距离d＝ ，
∴这两条平行线之间的距离等于 ；
（3）解：令x=0得y=-4；令y=0得x=-3，
∴B（0，-4），A（-3，0），
∴AB= ，
设圆心C（2，2）到直线y＝ x 4即 x y 4＝0的距离为d，⊙C的半径为R=2，
∴d＝ ，
又∵⊙C上任意点P到直线y＝ x 4的距离h≤d+R＝ +2＝ ，
∴⊙C上任意点P到直线y＝ x 4的距离的最大值h=d+R＝ ，
∴△PAB的面积的最大值= AB×(d+R)＝ ×5×(d+R)＝ ×5×( +2)＝18．
【知识点】点到直线的距离；定义新运算；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式可求解；（2）在直线y=2x+1上任取一点P（0，1），这两条平行线之间的距离等于点P（0，1）到直线y=2x-5的距离，由点到直线的距离公式可求解；（3）先求出点C到直线AB的距离，即可求解．

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