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八年级数学下册
专题一利用勾股定理解决折叠、最短路径问题
类型1利用勾股定理解决折叠问题
(一)直角三角形的折叠
1.如图，将一直角三角形纸片ABC折叠，使点B
与点A重合，折痕为DE.已知∠C=90°，
AC=5cm,BC=10cm,则CD的长为()
(第5题图)
(第6题图)
A.气em
25
15
B.cm
6.如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD=8,
C.25
D.15
折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落
cm
4 cm
在点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的
长为
()
A.3
B.4
C.5
D.6
7.如图，在长方形ABCD中，BC=6,CD=3,将
中
△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C‘处，
（第1题图)
(第2题图)
BC交AD于点E,则线段DE的长为()
2.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，
AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折，使点
B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕
为AD,则CE的长为
()
A.1cm
B.1.5 cm
A.3
B.15
C.5
4
n.9
C.2 cm
D.3 cm
8.如图，将一长方形纸片ABCD沿AE折叠，使
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,
点D落在BC边上的点F处，若AB=16cm,
AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD
BC=20cm.试计算CE的长.
折叠，使点C落在AB边上的点E处，那么
△ADE的面积为
(第3题图)
(第4题图》
4.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,
BC=8,将它的锐角A沿EF翻折，使点A落
在BC的中点D处，则DE的长为
(二)长方形的折叠
5.(青岛)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使
顶点C恰好落在AB的中点C'处.若AB=6,
BC=9,则BF的长为
()
A.4.5B.32
C.4
D.5
23
类型2利用勾股定理解决最短路径问题
9.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6,
E点是AB边的中点，F点是线段BC上的动
点，将△EBF沿EF折叠，得到△EB'F,连接
BD,则B'D的最小值是
()
(第13题图)
(第14题图)
14.如图，在一个长为2m,宽为1m的长方形草地
上，放着一根长方体的木块，它的棱与草地宽
AD平行且棱长大于AD,木块从正面看是边
长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达
A.2√10-2
B.6
点C处需走的最短路程是
(精确到
C.2√13-2
D.4
0.01m).
10.如图，圆柱的底面周长为24cm,高AB为
15.如图，一位同学要用彩带装饰一个长方体礼
5cm,BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着
盒，长方体高6cm,底面是边长为4cm的正
圆柱的表面爬行到点C的最短路径是()
方形，从顶点A到顶点C'如何贴彩带用的彩
带最短？最短长度是多少？
..
A.6 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.16 cm
11.如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是
12m,高是5m,要从A点环绕油罐建梯子，
正好到达A点的正上方B点处，则梯子最短
需要
(
A.12m
B.13m
C.17m
D.20m
12.我国古代有这样一道数学问
题：“枯木一根直立地上，高二
丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而
上，五周而达其顶，问葛藤之长
几何？”题意是：如图，把枯木看
作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为
20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠
绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，
则问题中葛藤的最短长度为尺。
13.如图，圆柱形容器的高为1.2m,底面周长为
1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B
处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，
离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则
壁虎捕捉蚊子的最短距离为
m(容器
厚度忽略不计).
241.③②-③，得y=√2+2.把y=V2十2代人③，得x十
∴AC=2.AB=2AC,.AB=4,.BD=4-1=3.∴.BC=
c2=(n2+1)2=n+2n2+1,.a2+b=c2..以a,b,c为边得ED=√/EC-CD=√2502-240=70(km),∴.EF=
√2(2十2)=1，解得x=一1一2√②.∴，原方程组的解为
√CD+BD=√3十（√5）=25：@当△ABC是饨角三角
长的三角形是直角三角形.
140km.:台风的速度为20km/h,.140÷20=7(h).即台
形时，如图2，同理得AC=2,AB=4,∴，BC=√CD十BD了
第2课时勾股定理的逆定理（二）
x=-1-22,
风影响该海港持续的时间为7h.
12解：原式=号·+是D
x+2
课前预习：1.若三角形的三边满足两条边的平方和等于第三
y=√2+2.
√(W5)+5=27.综上所述，BC的长为25或27
专题一利用勾股定理解决折叠、
边的平方，那么这个三角形是直角三角形2.AC十BC=
当x=巨+1时，原式
1
1
最短路径问题
2+1-12
13.解：易知四
第2课时勾股定理（二）
AB2∠ACB=90
课前预习：1.勾股2.勾股定理一一对应
当堂训练：1.B2.A3.48m4.解：根据题意知∠EAC=
1.D2.A3.6cm4.5.c6.D7.B
边形ABCD为直角梯形.：AB=CD一6m,CD=45m
当堂训练：1.C2.C3.A4.105.76.17m7.50
35°，AC=2×30=60(n mile),AB=2X40=80(n mile).
208.A9.D
8.解：△AFE与△ADE关于AE对称，∴△AFE2
:这块空地的面积为之(AB+CD)·BC=(5+4V6)X
,602+802=1002,∴.AC+AB2=BC.∴.∠CAB=90.
课后作业：1.D2.C3.能4.55.26.解：12+22
△ADE.∴.AF=AD=BC=20cm,EF=DE.在Rt△ABF中
.∠FAB=180°-∠EAC-∠CAB=55°，故乙船航行的角
由勾股定理，得BF=√AF-AB=√202-16=12(cm)
3=15=15(m).14.解：根据二次根式的意义
(W5)2,4-12=(√15).作图略.7.解：设AE=xkm时，度是南偏东55°.5.A6.解：连接
它到两广场的距离相等，则BE=(3一x)km.由题意，得
AC.,∠B=90°，.由勾股定理，得
政
.FC=BC-BF=20-12=8(cm).设CE=xcm,则EF
x+y-820,
DE=(16-x)cm.在Rt△ECF中，EF=CE十CF
有8-x-≥0…
.x十y=8..3x-y-a+
2十x2=(3-x)2+1.62,解得x=1.26.答：这个单车停放
AC=√AB十BC=√/32十=5.
点E应建在距离A1.26km处，才能使它到两广场的距离
:AC+AD=25+144=169=CD,.△ACD是直角三角
∴.(16-x)=x2+82..x=6,即CE的长为6cm.9.A
x十y=8,
〔x=3，
相等.
10.C11.B12.2513.1.314.2.60m
√W/x-2y+a+3=0.于是3.x-y-a=0,.y=5,
8.解：(1)∠PAB=30°，∠ABP=
形.“Sa服D=Sa十SaND=号X3X4十子X5X12=
15.解：如图，把长方体的面DCCD'沿CD'展
x-2y十a十3=0，
【a=4,
120°，.∠APB=180°-∠PAB-
6+30=36.7.解：(1)四边形ABCD的面：
开至面ABCD上，则在矩形ABCD'中，连接
:3+4>5,即x+a>y,.x,y,a为三边的三角形存在，它
∠ABP=30°.(2)过点P作PH⊥
的周长为3+5+4=12.
积为25-1-×1×2-号×2×4-2
1
AC的长为点A到点C的最短距离.由题意知
AB于点H.∠BAP=∠BPA=30°，∴.BA=BP=50X1
在Rt△ABC中，AB=6cm,BC=4×2=8(cm),由勾股定
第十七章
勾股定理
50(n mile).在Rt△BPH中，∠PBH=60,∴.BH=BP
1×5-号×1×4=14.5，周长为AB+BC
理，得AC=√AB+BCF=√6+82=10(cm).设AC交
17.1勾股定理
25(n mile).在Rt△BPH中，由勾股定理，得PH
CD+AD=√5+17+/26+/20=35+I7+√/26.
CD于点O,则可证△ADO≌△CCO,∴.OD=OC,即O是
第1课时勾股定理（一）】
(2)∠DAB是直角.理由如下：连接BD.AB十AD=5十
CD的中点，故从顶点A在面ABCD上沿直线到CD的中点
课前预习：1.c2勾股定理斜边的平方2.∠C=90
√Bp-B=253(n mile).:25√3>25，∴.海监船继续
向正东方向航行，没有触礁的危险
20=25,BD=25,.AB+AD=BD,.△ABD是直角三O,再在面DCCD上从O点沿直线到点C',贴的彩带最短
AC+BC=AB23.数形结合
角形..∠DAB是直角.
最短彩带的长为10cm.
17.2勾股定理的逆定理
当堂训练：1.证明：根据面积法有之(6十a)(a十6)=之ab
课后作业：1.C2.B3.等腰直角三角形4.250m5.18
第十七章整合与提高
第1课时勾股定理的逆定理（一）
6.解：连接AC.∠D=90°，∴.AC”=CD2+
2a6+合2，化简，得a2+6=2.2.C
考点专训：例1.6√5或65例2.3例3.(1)证明：122+
3.C4.C
课前预习：l.d2十6=2直角三角形2.互逆命题逆定理
AD..AC=√62+8=10(m).又AC=
当堂训练：1.B2.C3.直角三角形4.解：这个零件符合
92=15,即AD+BD=AB,∴.△ABD为直角三角形，且
5.C6.D7.(1)15cm(2)6cm8cm(3)W3
100,BC=242=576,AB=26=676,.AC+BC=AB.
要求，理由：AB十AD2=32+4=25=5=BD,∴.∠A=
∠ADB=90°.∴.AD⊥BC.(2)解：由(1)知，∠ADB=90°
8.解：在R1△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6,
90°，同理可得∠CDB=90°，故这个零件符合要求
“∠ACB=90.“这块地的面积为S△E一S△MD=子X
则∠ADC=90°，△ACD为直角三角形.∴.DC=
BC=号AB=3,AC=√AB-BC=3V5.AB是DC
5.解：AD=3,AE=4,ED=5,.AE+AD=ED..∠A
24X10-号×6×8=120-24=96(m2).7.解：△AEF是
√AC-AD=132-12=5.∴.BC=BD+DC=9+5
边上的中线，.DB=BC=3..CD=6.在Rt△ACD中，
90,即AD⊥AB.:∠C=90°，DC⊥BC.:BD平分
∠ABC,∴.DC=AD.AD=3,CD=3.6.A7.B
直角三角形，理由如下：设CF=x,则DF=3x,BE=CE=
14.S△c=2BC·AD=2X14X12=84.
AD=√AC+CD=V(3√3)+6=3√7.
8.解：(1)原命题是假命题.逆命题为：如果a2>b,那么a>
2BC=2x,AB=AD=4x,在R△ABE,RL△ECF,
优生特训：1.D2.B3.D4.D5.C6.C7.4.1
课后作业：1.C2.A3.B4.A5.C6.17.30
b,逆命题也是假命题.(2)原命题是真命题（定理）.逆命题
&359.解：延长AD交BC的延长线于点E
Rt△ADF中分别由勾股定理，得AE=AB十BE=(4x)十
8.号9.45°10.60：16911.14.512.(0,2)或(0，-2)
为：同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题〔逆定理).
(2x)2=20x2,EF=CE+CF=(2.x)2+x2=5.x2,AF=
或(-3,0)或(3,0)13.：过点A作AF
(3)原命题是真命题（定理）.逆命题为：有两个角相等的三角
∠B=∠ADC=90°，.∠CDE=90°.在
AD+DF=(4.x)2+(3x)=25.x.,20.x2+5.x2=25.x2,
BC于点F.在Rt△ABC中，∠B=45
Rt△ABE中，∠A=60°，.∠E=90°-∠A=30°..AE
形是等腰三角形，逆命题是真命题（逆定理）.
AE十EF=AF.∴.△AEF是直角
∴.AB=AC.BC=√2AB=2,BF=AF=
2AB.在R1△CDE中，CD=4,.CE=2CD=8..BE
课后作业：1.A2.B3.C4.C5.A6.直角三角形或
三角形.8.解：(1)海港C受台风影响
BC+CE=6十8=14.在Rt△ABE中，设AB=x,则AE=
等腰三角形7.6或108.解：：DE=12,S△AE=DE·
理由如下：过点C作CD⊥AB于点D
AF=1.:△ABC和△EAD是两个同样
2x,由勾股定理，得AB+BE=AE,x2十14=(2x)
AB=60,AB=10.AC=8,BC=6.62+82=102,
.'AC=300 km.BC=400 km,AB=500 km...AC+BC*=
大小的含45角的三角尺，∴.AD=BC=2.在Rt△ADF中，根
x=14,5,即AB的长为145.10.解：分两种情况：
∴AC+BC=AB,由勾股定理逆定理，得∠C=90.
AB,∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.，S△A=
3
2
据勾股定理，得DF=√AD一AF=√3，∴CD=BF+DF
9.解：c+a=2b,c-a=2b.(c+a)(c-a)=26·26.
号AC·BC=之AB·CD.CD=AC:BC=300X400=
AB
500
BC=1+√3-2=√3-1.14.证明：(1)略.(2)由(1)中
①当△ABC是锐角三角形时，如.2一a2=,即a2十b=c2.∴△ABC是直角三角形，且
240(km).以台风中心为圆心周围250km以内为受影响△ACE≌△BCD,得BD=AE,∠B=∠EAC=45°，故
∠C=90°.10.(1)n2-12nn2十1(2)解：是直角三角区域，∴海港C受到台风影响.(2)当EC=250km,FC
∠EAD=45°+45°=90°，.A+AD=DE.∴AD
图1，CD⊥AB,.∠CDA=90.CD=V5,AD=1,
形.证明如下：a2+b=(r2一1)2十(2n)2=n+2n2+1,250km时，正好影响港口C.在Rt△CED中，由勾股定理，BD=DE
八年级数学·RJ·下册·126

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