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第十八章平行四边形
EAO=/FCO.
∠BAF=∠DCE.在△ABF和△CDE中，
E,F分别是AD,BC的中点，∴DE=7AD,BF=BC
A0=C0,
.△AOE≌△COF(ASA).AE=CF.
í∠BAF=∠DCE,
18.1平行四边形
∠AOE=∠COF
∠2=∠1，
∴.△ABF≌△CDE(AAS).∴AF=CE,
DE LBF,四边形DEBF是平行四边形，BE∥DF,
18.1.1平行四边形的性质
7.证明：：四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD.
∴.∠GBO=∠HDO.在△GBO和△HDO中，
第1课时平行四边形的边、角性质
.AB∥CD,OB=OD..∠1=∠2.在△BOE
即AE十EF=CF十EF.∴，AE=CF
I∠GBO=∠HDO,
课前预习：1，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
「∠E=∠F,
(2)连接BD交AC于点O.:四边形
OB=OD.
,.△GBO)≌AHDD(ASA),,.G
2.□ABCD平行四边形ABCD顶点AB与CD,AD与
和△DOF中，∠3=∠4，∴.△BOE≌△DOF
ABCD是平行四边形，.OB=OD.OA
∠GOB=∠HOD,
BCAB与BC,BC与CD∠BAD与∠BCD,∠ABC与
OB=OD.
OC.AE=CF,∴.OE=OF.∴.四边形EBFD是平行四边形
OH.又OA=OC,∴.OA-OG=OC-OH,即
∠ADC∠BAD与∠ABC
AC,BD3.(1)两组对边分别
AAS)..∠EBO=∠FDO.∴.∠EBO
∠1
∠FDC
7.证明：(1)：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴.AB=2BC
AG=CH.8.(1)证明：连接PM,PN.M
平行（定义）(2)对边相等(3)对角相等4.任意一点
∠2，即∠ABE=∠CDF.8.C9.310.3√7
,△ABE是等边三角形，EF⊥AB,AB=2AF,AB=AE
P分别是边AB,BC的中点，.PM∥AC
距离相等
课后作业：1.C2.D3.1PM=AC.,N,P分别是边CD,BC的中
当堂训练：1.平行四边形2.93.D4.80°5.21
六AF=BC.在R△ABC和R:△EAF中，BC=AF
AB=AE.
6.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,∠A=
5.4v3-36.证明：连接BD交AC于点
∴.Rt△ABC≌Rt△EAF(HL)..AC=EF.(2)△ACD
点，PN∥BD,PN=BD.又，AC=BD,.PM=PN
∠C,AD∥BC.∴∠E=∠F.BE=DF,AF=EC.在
O.:四边形ABCD是平行四边形，
是等边三角形，.∠DAC=60°，AC=AD.又∠BAC=30°，
「∠A=∠C,
∴.AO=CO0.同理OE=OF,.AO-OE=CO-OF,即AE
,Q是MN的中点，∴.MQ=NQ.∴.PQ⊥MN.(2)解：
CF.7.(1)解：：AE⊥BD,.∠AEO=90°.∠AOE
∴.∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°.∴.∠EFA=∠DAB=
△OEF的形状是等腰三角形.理由如下：，PM∥AC,
△AGF和△CHE中.
AF=CE.∴.△AGF≌△CHE
90°.又由(1)知AC=EF,.EF=AD.在△AEF和△FDA
∴.∠PMN=∠EFO.:PN∥BD,∴.∠OEF=∠PNM.又
l∠F=∠E,
50°，∴.∠EAO=40°.：AC平分∠DAE,.∠OAD=
(EF=AD.
PM=PN,.∠PMN=∠PNM..∠EFO=∠OEF
(ASA).∴.AG=CH.7.S=Se=S8.相等
∠EAO=40°.：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
中，3∠EFA=∠DAF,.△AEF2△FDA..AE=FD.
∴△OEF的形状是等腰三角形.
课后作业1.B2.C3.C4.205.3或56.号
∴.∠ACB=∠OAD=40°.(2)证明：：四边形ABCD是平
AF=AF.
行四边形，∴AO=CO.AE⊥BD,CF⊥BD,∠AEO=
9.证明：(1)：△ABC是等边三角形，∴∠ABC
∴.四边形ADFE是平行四边形.8.证明：(1)：△ACD是
7.证明：：在□ABCD中，AD=BC,AD∥BC,.∠ADF
∠AEO=∠CFO,
60°，又∠EFB=60°，.∠ABC=∠EFB.
等边三角形，∠ACD=60.:∠BAC=60,∠BAC=
∠CBE.,BF=DE,∴.BF+BD=DE十BD,即DF=BE.在
∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中.
∠EOA=∠FOC
EF∥DC.又DC=EF,.四边形EFCD是平
∠ACD..E是AC的中点，∴.AE=EC.在△ABE和△CFE
(AD-CB,
AO=CO.
行四边形.(2)连接BE.:∠EFB=60°，BF=EF
∠BAE=∠FCE,
△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBE,.△ADF≌
.△AEO≌△CFO(AAS)..AE=CF.
8.(1)证明：：四边
中，{AE=CE,
△ABE≌△CFE(ASA).
∴.△BEF为等边三角形.∴.BE=BF=EF,∠ABE=60
IDF-BE.
形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AO=CO.∴∠EAO
∠AEB=∠CEF
,CD=EF,.BE=CD又，△ABC为等边三角形，.AB
△CBE(SAS),.∠F=∠E.∴.AF∥CE.8.(1)解：四边
FCO.:∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF..OE
(2)由(1)知∠BAC=∠DCA,AB=CF,.CD∥AB,即DF∥
AC,∠ACD=60.∴.∠ABE=∠ACD..△ABE≌△ACD.
形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.,∠ABC十∠BCD=
OF.(2)解：能得到OE=OF,方法同(1).一般性结论
AB.,△ACD是等边三角形，.∠D=60.在Rt△ABC中，
..AE=AD.
180°.：CF平分∠DCB,∴，∠BCD=2∠BCF=120°
条过平行四边形对角线交点的直线与平行四边形的对边（或
专题二平行四边形的计算与证明
,∠ABC=180°-∠BCD=60°.(2)证明：：四边形ABCD
∠BAC=60,·∠ACB=30.·AB=7AC.:AE
对边延长线)相交，交点到对角线交点的距离相等
1.B2.C3.A4.B5.D6.30°7.88.169.3
是平行四边形，，AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD.
18.1.2平行四边形的判定
CE=2AC,·AB=CE.·CE=CF.又∠DCA=60,
.∠ABE=∠CDF.AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB
10.①②③1.212.S,=513.证明：四边形
第1课时平行四边形的判定（一】
∴△CEF是等边三角形.∴∠EFC=60°.∠EFC=∠D.
∠BAE=号∠BAD,∠DCF=，∠BCD..∠BAE=
课前预习：1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
BF∥AD..四边形ABFD是平行四边形.
ABCD是平行四边形，AD∥BC,AD=BC.:E,F分别是
∠DCF..△ABE≌△CDF(ASA)..BE=DF,
两组对边分别平行的性质2.(1)两组对边分别相等的四边
第2课时平行四边形的判定（二）
AD,BC的中点∴AE=7AD,CF=7BC.∴AE=CF.又
形(2)两组对角分别相等的四边形(3)对角线互相平分
课前预习：1.平行相等2.中点3.平行第三边的一半
9.(1)证明：：在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠DAE=∠F,∠D=
AE∥CF,.四边形AECF为平行四边形.AF∥CE.同理
∠FCE.点E是CD的中点，∴DE=CE.在△ADE和△FCE
的四边形
∥BC
BE∥DF.∴四边形EGFH为平行四边形.∴.EF与GH互
I∠DAE=-∠F
当堂训练：1.C2.平行四边形3.证明：，DE∥BF,
当堂训练：1.C2.43.证明：四边形ABCD是平行四边
中，
∠D=∠FCE,∴△ADE≌△FCE.(2)解：在□ABCD
∴.∠DEF=∠BFE.:∠AED=∠CFB.又AD∥BC,
相平分.14.解：FO=方AB且FO∥AB.理由：：四边形
DE=CE,
∴.∠DAF=∠BCF.又AE=CF,∴.△ADE≌△CBF.∴.AD=
形，.AD=BC,AD∥BC.:BE=SBC,FD=3AD,
ABCD是平行四边形，.OA=OC,AB∥CD,AB=CD.
中，CD=AB,BC=AD.BC=5..AD=5.由(1)知△ADE≌
BC.又AB=CD,∴.四边形ABCD为平行四边形.4.B5.D
.BE=DF.,DF∥BE,四边形BEDF是平行四边形
∴∠ABF=∠ECF,∠BAF=∠E.又CE=DC,∴CE=AB
△FCE,∴CF=AD=5,AE=EF=3.∴.AF=6,BF=10.又
6.D7.平行四边形
4.C5.B6.C7.17°8.89.解：连接
DE,FG.:BD,CE是△ABC的中线，
.△ABF≌△ECF.∴BF=CF.∴.OF为△ABC的中位线
∠BAF=90°，.在Rt△ABF中，由勾股定理，得CD=AB=
8.解：四边形ABFC是平行四边形，证明如下：，AB∥CD,
D,E分别是AC,AB边的中点.DE∥
.FO=号AB且FO∥AB.15.(1)证明：四边形ABCD
√/B-AF=√/10-6=8.即CD的长为8.
∴.∠BAE=∠CFE.点E是BC的中点，.CE=BE.在
第2课时平行四边形的对角线的性质
'∠BAE=∠CFE,
BC,DE=BC.同理可得FG∥BC,FG=BC,DE∥
是平行四边形，AD=BC,AD∥BC.∠ABC+∠BAD=
课前预习：1.互相平分COD02.底×高
△ABE和△FCE中，
∠BEA=∠CEF,∴△ABE≌△FCE FG,DE=FG..四边形DEFG是平行四边形..EF∥DG,
180°.AF∥BE,.∠EBA+∠BAF=180°..∠CBE=
BE=CE.
∠DAF.同理得∠BCE=∠ADF.在△BCE和△ADF中
当堂训练：1.D2.B3.D4.4√135.16
EF=DG.
I∠CBE=∠DAF,
6.证明：□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AO=
(AAS.AE=EF.又CE=BE,∴四边形ABFC是平行四课后作业：l.B2.C3.C4.B5.B
边形，
6.12cm6cm27.证明：连接BD交AC
BC=AD.
CO,AD∥BC.∴.∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中，
∴.△BCE≌△ADF(ASA)
课后作业：1.C2.D3.C4.125.平行四边形6.证于点O.:四边形ABCD是平行四边形
∠BCE=∠ADF,
明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.
..AO=CO.BO=DO.AD//BC.AD=BC
(2)解：点E在□ABCD内部，.S△E十S△AD
八年级数学·RJ·下册·127八年级数学下册
专题二
平行四边形的计算与证明
1.(甘肃)如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，
7.(沈阳)如图，在平行四边形ABCD中，点M为边
使点A落在点E处，且交BC于点F,若
AD上一点，AM=2MD,点E,点F分别是BM,
∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E等于()
CM的中点，若EF=6,则AM的长为
A.102°B.112
C.122°
D.92
T
(第7題图)
〔第8题图)
(第1题图)
(第2题图)
8.(包头)如图，在□ABCD中，AB=2,∠ABC的
2.(襄阳)如图，在口ABCD中，对角线AC和BD
平分线与∠BCD的平分线交于点E.若点E恰
相交于点O,△AOB的周长为15，AB=6,则
好在边AD上，则BE十CE的值为
对角线AC+BD的值为
9.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3√3，
A.21B.12
C.18
D.30
AD=3,M,N分别为线段BC,AB上的动点（含
3.如图，在□ABCD中，E,F
分别是BC,AD上的点，且
端点，但点M不与点B重合)，E,F分别为DM,
BE=DF,判定四边形
MN的中点，则EF长度的最大值为
AECF是平行四边形的最
B
简单的方法是
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(第9题图)
(第10题图)
C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
10.(天门)如图，在□ABCD中，若AD=2AB,
D.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
F是AD的中点，作CE⊥AB于点E,连接
4.一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是
(0,0),(2,0),(1,2),第四个顶点在x轴下方，
EF,CR,则下列结论：①∠DCF=∠BCD:
则第四个顶点的坐标为
()
②EF=CF;③∠DFE=3∠AEF.其中一定
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
成立的是
(填序号)
C.(3,2)
D.(-1,2)
11.如图，△ABC的周长是1，连接△ABC三边
5.(黑龙江)如图，□ABCD的对角线AC,BD相
的中点构成第2个三角形，再连接第2个三
交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC,BD于
角形的三边中点构成第3个三角形…依此
点E.P,连接OE,∠ADC=60°，AB=BC=
类推，第2021个三角形的周长为
1,则下列结论：①∠CAD=30°；②BD=√7；
8Sm=AB·AC,④OE=子AD:⑤SwP=2
其中正确的有
()
H
A.2个B.3个
C.4个D.5个
(第11题图)
(第12题图)
12.(西安)如图，在□ABCD中，AD>AB,O是
对角线AC,BD的交点，E,F分别是AB边
上的点，且EF=2AB:G,H分别是BC边上
(第5题图)
(第6题图)
6.(武汉)如图，在□ABCD中，∠D=100°，
∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接
的点，且GH=号BC若S,S分别表示
BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为
△EOF,△GOH的面积，则S,与S之间的
等量关系为
35

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