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2022-2023学年九年级数学中考复行四边形综合解答题》专题提升训练（附答案）
1．如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．
（1）求证△ODC≌△EDF．
（2）连接AF，已知 　 　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．
条件①：AF＝FC且AC＝2DC；
条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．
2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：∠DFA＝∠ECD；
（2）△ADF与△DEC相似吗？为什么？
（3）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝，AB＝4，点P沿AD→DB方向以每秒个单位长度运动，点M为AB中点，连结MD，作点A关于直线PM的对称点A′．设点P的运动时间为t秒．（t＞0）
（1）求MD的长．
（2）求PD的长（用含t的代数式表示）．
（3）当点M、P、C三点共线时，求t的值．
（4）当点A′落在直线MD上时，直接写出△PDA′的面积．
4．点A是线段MN的中点，在MN同侧有B，D两点，连结AD，AB，∠DAM＝∠BAN，DM∥BN，以AD，AB为边作平行四边形ABCD，分别延长BA与DM相交于点E，连结CA．
（1）求证：四边形EACD是平行四边形．
（2）已知AC＝7．
①若四边形ABCD是菱形，求BN的长．
②若DM：ME＝4：3，当平行四边形ABCD、平行四边形EACD其中一个为矩形时，则平行四边形ABCD的周长为 　 　．（直接写出答案）
5．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一动点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，MG∥DE交CE于点G，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM，则∠CAM＝　 　．
6．点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 　 　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，
请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°，AE＝1，CF＝3时，求线段OE的长．
7．已知，如图1，在 ABCD中，∠B＝60°，将△ABC沿AC翻折至△AEC，连结DE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若点E在直线AD下方，如图2，AB＝2，AE⊥CD，求BC的长；
（3）在翻折过程中，若△AED为直角三角形，求的值．
8．在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，连结AF、CE．
（1）如图1，求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）如图2，若AB＝AF，∠ACB＝45°，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，交AF于点M．
①试判断线段BH与AB的数量关系，并说明理由；
②当∠CBG＝15°，BC＝2时，连结EH，求△CEH的面积．
9．如图，AC为 ABCD的对角线，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，F为射线BC上一点．
（1）如图1，F在BC延长线上，连接AF与CD交于点G，若AC＝8，CD＝6；
①当G为CD中点时，求证：CF＝BC；
②当CF＝CA时，求CG长度；
（2）如图2，F在线段BC上，连接AF与CE交点于H，若∠D＝3∠ACE，FA＝FC，试探究AD，AC，AH三条线段之间的数量关系，并说明理由．
10．如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE平分∠BCD交AB于点E，点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ．
（1）求证：△PCQ是等边三角形；
（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
11．问题提出
（1）如图1，在 ABCD中，连接AC，∠DAC＝60°，AD＝6，点F是对角线AC上一点，CF＝4，点E是BC的中点，连接EF，求△EFB的面积；
问题解决
（2）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图2，某工厂有一块四边形空地ABCD，其中AD∥BC，CD⊥BC，AB＝AD＝100m，BC＝150m，点E是BC上一点，BE＝2EC．
AE与DE是两条排污管道，管理者现要建一个四边形净化水池BMNC，要求点M、N分别在AE、DE上，EN＝2AM．设AM的长为x（m），四边形BMNC的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照要求，发现当AM的长度为40m时，整体布局比较合理．试求当AM＝40m时，四边形BMNC的面积．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝　 　，CQ＝　 　，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；
（3）当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．
13．如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝10， ABCD的面积为40，点E从B出发沿BC以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，到达点C时停止运动；点F从D出发沿DA以相同速度向点A匀速运动，两点同时出发，同时停止，连接AE、CF．设点E、F运动的时间是t秒（t＞0）．
（1） ABCD中BC边上的高＝　 　；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形；
（3）当t＝3时， AECF是 　 　形；
（4）在点E、F运动的过程中，判断四边形AECF能否成为菱形，如果能，求出t的值；如果不能，说明理由．
14．如图，平行四边形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
（3）如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM，并说明理由．
15．（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．
16．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B，C的对应点分别是E，D．
（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若α＝60°时，点F是AC的中点，且，求证：
①DF⊥AC；
②四边形BFDE是平行四边形．
17．在 ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且BE'＝4，将BE'绕点B逆时针旋转a°得到．BE（0°＜a＜180°）．
（1）如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；
（2）如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．
①求线段BF的取值范围；
②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；
（3）如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值．
18．已知：四边形ABCD是平行四边形，点E是AB边的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为点G，交BC边于点F，点H是线段GF上一点，连接BH、DH，DH＝BC．
（1）如图1，求证：BH∥DE；
（2）如图2，延长BH交CD边于点K，连接FK，若DH∥FK，求证：BH＝HK；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接KE，延长KE至点M，连接AM、BM，若∠AMB＝135°，AD＝AE，BK＝2，求AM的长．
19．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F．
（1）如图1，求证：CE＝CF；
（2）如图2，FG∥BC，FG＝EC，连接DG、EG，当∠ABC＝120°时，求证：∠BDG＝60°；
（3）如图3，在（2）的条件下，当BE＝2CE，AE＝4时，求线段BD的长．
20．【数学初探】
在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角△ABC画出一个菱形，使∠A为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．
（1）请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同学开启大胆尝试，如图3，将△ABC的中线BO延长至点D，使DO＝OB，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．
（2）请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并求证．
【迁移应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，且时，求的值．
参考答案
1．（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，
∵DF＝DC，
∴△ODC≌△EDF（AAS）；
（2）选择②，四边形OCEF是正方形，
证明：∵△ODC≌△EDF（AAS），
∴OD＝DE，CD＝DF，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∵OD＝DC，
∴OD＝DE＝CD＝DF，
∴四边形OCEF是矩形，
∵∠BEC＝45°，
∴∠EOC＝45°，
∴∠OEC＝∠EOC，
∴OC＝CE，
∴四边形OCEF是正方形，
2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠ECD＝180°，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE+∠ECD＝180°，
∵∠AFE+∠AFD＝180°，
∴∠DFA＝∠ECD．
（2）解：相似，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝4，
∴∠ADF＝∠CED，
又∵∠DFA＝∠ECD，
∴△ADF∽△DEC．
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△EAD中，
DE＝＝6，
∵△ADF∽△DEC，
∴，即．
∴AF＝2．
3．解：（1）∵AD＝BD，M为AB中点，
∴DM⊥AB，AM＝BM＝AB＝2，
∴DM＝＝3；
（2）当0＜t≤1时，此时点P在AD上，
由题意得：PA＝t，
∴PD＝AD﹣PA＝﹣t；
当1＜t≤2时，此时点P在BD上，
由题意得：点P移动的距离＝AD+PD＝t，
∴PD＝t﹣AD＝t﹣，
综上，PD的长为﹣t（0＜t≤1）或PD＝t﹣（1＜t≤2）；
（3）当点M、P、C三点共线时，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∵M为AB中点，
∴AM＝BM＝AB＝2，
∴CD＝2BM．
∵AB∥CD，
∴＝2，
∴DP＝2PB，
∵BD＝，
∴PD＝．
由（2）知：PD＝t﹣（1＜t≤2），
∴t﹣＝．
∴t＝．
∴当点M、P、C三点共线时，t的值为；
（4）当点A′落在直线MD上时，△PDA′的面积为或3．理由：
当0＜t≤1时，此时点P在AD上，
过点P作PE⊥MD于点E，如图，
由轴对称的性质得：PA＝PA′＝t，∠PMA＝∠PMA′＝∠AMD＝45°，MA＝MA′＝2．
∴DA′＝MD﹣MA′＝3﹣2＝1．
∵PE⊥MD，DM⊥AB，
∴PE∥AM，
∴，
∴．
∴PE＝2﹣2t，DE＝3﹣3t，
∴ME＝DM﹣DE＝3﹣（3﹣3t）＝3t，
∵PE⊥MD，∠PMA′＝45°，
∴PE＝ME，
∴2﹣2t＝3t．
解得：t＝，
∴PE＝2﹣2t＝．
∴△PDA′的面积＝DA′ PE＝1×＝；
当1＜t≤2时，此时点P在BD上，
过点P作PE⊥MD于点E，如图，
由轴对称的性质得：∠FMA＝∠FMA′＝∠AMA′＝45°，MA＝MA′＝2．
∴DA′＝MD+MA′＝3+2＝5．
∵PE⊥MD，DM⊥AB，
∴PE∥AM，
∴，
∴，
∴PE＝2t﹣2，DE＝3t﹣3，
∴ME＝DM﹣DE＝3﹣（3t﹣3）＝6﹣3t，
∵PE⊥MD，∠PMA′＝45°，
∴PE＝ME，
∴2t﹣2＝6﹣3t．
解得：t＝，
∴PE＝2t﹣2＝．
∴△PDA′的面积＝DA′ PE＝5×＝3，
综上，当点A′落在直线MD上时，△PDA′的面积为或3．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵点A是MN的中点，
∴MA＝AN，
∵BN∥DM，
∴∠ANB＝∠AME，∠ABN＝∠AEM，
∴△ABN≌△AEN（AAS），
∴AE＝AB，EM＝BN，
∴AE＝CD，
∴四边形EACD是平行四边形；
（2）①解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵四边形EACD是平行四边形，
∴AC＝DE＝7，AE＝AD＝AB，
又∵∠DAM＝∠BAN＝∠EAM，
∴DM＝EM＝，AM⊥DE，
∴BN＝EM＝；
②解：如图，过点M作MH⊥AE于H，MG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠MAE＝∠MAD，MH⊥AE，MG⊥AD，
∴MG＝MH，
∵DM：ME＝4：3，
∴S△AMD：S△AME＝4：3，
∴（×AD×MG）：（AE×MH）＝4：3，
∴AD：AE＝4：3，
∴设AD＝4x，AE＝3x，
当四边形ACDE是矩形时，即∠E＝90°，
∴AD2＝DE2+AE2，
∴16x2＝49+9x2，
∴x＝（负值舍去），
∴AD＝4，AE＝3＝AB，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（4+3）＝14；
当四边形ABCD是矩形，即∠DAB＝90°＝∠DAE，
∴DE2＝AE2+AD2，
∴49＝16x2+9x2，
∴x＝（负值舍去），
∴AD＝，AE＝＝AB，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（+）＝；
故答案为：或14．
5．（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD＝DC，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：结论成立，理由如下：如图2，
∵CE∥AM，MG∥DE，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED＝GM，且ED∥GM，
由（1）知，AB＝GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（3）解：如图3，取线段CH的中点I，连接MI，
∵BM＝MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI＝BH，
∵BH⊥AC，且BH＝AM，
∴MI＝AM，MI⊥AC，
∴∠CAM＝30°．
故答案为：30°．
6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）点P在线段OA的延长线上运动时，如图3，延长EO交FC的延长线于点H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH＝1，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝EH＝OE，
∴OE＝CF+CH＝3+1＝4．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AEC，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE；
（2）如图，设AE和CD的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∵将△ABC沿AC翻折至△AEC，
∴AB＝AE＝2，∠B＝∠AEC＝60°，
∴AE＝CD，
又∵AD＝CE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CED（SSS），
∴∠CDE＝∠AED，
∴DO＝EO，
∵AE⊥CD，∠AEC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CE＝2EO，CO＝EO，
∵CD＝CO+DO，
∴2＝EO+EO，
∴EO＝﹣1，
∴BC＝CE＝2EO＝2﹣2；
（3）如图，当∠ADE＝90°时，
∵∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠CDE＝30°，
由（2）可知：△ADE≌△CED，
∴∠AED＝∠CDE＝30°，
∴AE＝2AD，
∴AB＝2BC，
∴＝2；
如图，当∠AED＝90°时，
同理可求：＝；
如图，当∠DAE＝90°，点E在AD的上方时，
过点A作AH⊥AB，交BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝210°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AEC，
∴∠BAC＝105°，
∵AH⊥AB，
∴∠HAC＝15°，∠AHB＝30°，
∴∠HAC＝∠HCA＝15°，
∴AH＝HC，
∵AH⊥AB，∠AHB＝30°，
∴AH＝AB，BH＝2AB，
∴BC＝（2+）AB，
∴＝＝2﹣，
如图，当∠DAE＝90°，点E在AD的下方时，
同理可求：，
综上所述：的值为2+或2﹣或2或．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵AO＝CO，∠AOE＝∠FOC，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）解：①AB＝BH，理由如下：
设∠CAF＝x，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴∠CAF＝∠ACE＝x，
∵∠ACB＝45°，BG⊥EC，
∴∠CBG＝45°﹣x，
∴∠AHB＝∠CBG+∠ACB＝90°﹣x，
∵AB＝AF，
∴∠ABC＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠ACB+∠FAC，
∴∠ABC＝∠AFB＝45°+x，
∴∠BAF＝90°﹣2x，
∴∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°﹣x，
∴∠BAC＝∠BHA，
∴AB＝BH；
②如图，过点B作BR⊥AC于R，过点E作EP⊥AC于P，
∵BR⊥AC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CBR＝45°，
∴BR＝RC，
∴△BRC是等腰直角三角形，
∴BC＝BR，
∵BC＝2，
∴BR＝2＝CR，
∵∠CBG＝15°，
∴∠AHB＝∠ACB+∠CBG＝60°，
又∵AB＝BH，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝AH，
∵BR⊥AH，
∴∠ABR＝30°，
∴AB＝2AR，
∵AB2﹣AR2＝BR2，
∴3AR2＝4，
∴AR＝，
∴AB＝，
∴AB＝AH＝，
∵AC＝AR+RC＝+2，
∴CH＝AC﹣AH＝2﹣，
∵∠CBG＝15°，
∴∠ABC＝75°，
∴∠AFC＝∠ABC＝75°，
∴∠FAC＝∠AFB﹣∠ACB＝30°＝∠ACE，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴AF＝CE＝AB＝，
∵EP⊥AC，∠ACE＝30°，
∴EP＝EC＝，
∴S△ECH＝×EP×HC＝××（2﹣）＝﹣．
9．解（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AD∥BF，
∴∠D＝∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG＝CG，
∵∠FGC＝∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD＝FC，
∴FC＝BC．
②在Rt△ABC中，AC＝8，CD＝6，
∴AD＝＝＝10，
∴BC＝10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵AC＝AF，
∴∠F＝∠CAF，
∵∠ACB＝∠F+∠CAF＝2∠F＝∠ACE+∠BCE＝2∠BCE，
∴∠F＝∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE＝CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE＝∠ECN，∠EAC＝∠ENC＝90°，CE＝CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC＝CN＝8，AE＝EN，
∴BN＝2，
∵BE2＝BN2+EN2，
∴（6﹣EN）2＝EN2+4，
∴EN＝，
∴AE＝CG＝；
（3）AC＝AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC，
∵∠D＝3∠ACE，
∴∠B＝3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC＝180°，
∴∠ACE＝∠BCE＝18°，∠B＝54°，
∵AF＝CF，
∴∠CAF＝∠ACF＝36°，
∴∠B＝∠BAF＝54°，
∴AF＝BF＝CF＝BC＝AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP＝36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP＝72°，
又∵∠CAF＝36°，
∴∠P＝72°＝∠ACP，
∴AC＝AP，
∵∠CHP＝∠ACE+∠CAF＝54°，∠PCH＝∠BCE+∠BCP＝54°，
∴∠CHP＝∠PCH，
∴CP＝PH，
∵∠CFP＝∠ACF+∠FAC＝72°，
∴∠CFP＝∠P，
∴CP＝CF＝PH，
∵AC＝AP＝AH+PH，
∴AC＝AH+AD．
10．证明：（1）∵将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，
∴△PCE≌△QCB，
∴CP＝CQ，∠PCE＝∠QCB，
∵∠BCD＝120°，CE平分∠BCD，
∴∠PCQ＝60°，
∴∠PCE+∠QCE＝∠QCB+∠QCE＝60°，即∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形；
（2）存在，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝60°，
∵在平行四边形ABCD 中，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB＝2cm，
∵将△PCE绕点C逆时针旋转60°，
∴△PCE≌△QCB，
∴EP＝BQ，
∴C△PBQ＝PB+BQ+PQ＝PB+EP+PQ＝BE+PQ＝2+CP，
∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小，
当CP⊥AB时，CP＝BCsin60°＝
∴△PBQ周长最小为（2+）cm；
（3）①当点B与点P重合时，P，B，Q不能构成三角形；
②当0≤t＜3时，由旋转可知，∠CPE＝∠CQB，
∵∠CPQ＝∠CPB+∠BPQ＝60°，
则：∠BPQ+∠CQB＝60°，
又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ＝180°，
∴∠CBQ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠QBP＝60°，∠BPQ＜60°，
所以∠PQB可能为直角；
由（1）知，△PCQ为等边三角形，
∴∠PBQ＝60°，∠CQB＝30°，
∵∠CQB＝∠CPB，
∴∠CPB＝30°，
∵∠CEB＝60°，
∴∠ECP＝∠EPC＝30°，
∴PE＝CE＝2，
∴AP＝AE﹣EP＝3﹣2＝1，
∴t＝1÷1＝1s，
③当3＜t＜5时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在；
④当t＞5时，由旋转得：∠PBQ＝60°，由（1）得∠CPQ＝60°
∴∠BPQ＝∠CPQ+∠BPC＝60°+∠BPC，
而∠BPC＞0°，
∴∠BPQ＞60°
∴∠BPQ＝90°，从而∠BCP＝30°，
∴BP＝BC＝2
所以AP＝7cm
所以t＝7s．
综上所述：t为1s或7s时，以点P、B、Q为顶点的直角三角形．
11．解：（1）过点F作FG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
在Rt△CGF中，
FG＝CFsin∠ACB＝4×sin60°＝2，
∴S△EFB＝＝3；
（2）①连接DB，与AE交于点O，分别过点N作NQ⊥ME于Q，NH⊥BC于H，
∵BE＝2EC，BC＝150m，
∴BE+EC＝150m，
即3EC＝150m，
∴EC＝50m，BE＝100m，
∵AD＝AB＝100m，
∴AD＝BE＝100m，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴四边形ABED是菱形，
∴ED＝100m，BD⊥AE，
∴EC＝ED，
∵CD⊥BC，
∴∠EDC＝30°，∠DEC＝60°，
∴∠BED＝120°，
∴∠AED＝∠AEB＝60°，
∴∠AED＝∠CED＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝100m，
∵NQ⊥AE，NH⊥BC，
∴NQ＝NH，
∵AM＝xm，
∴EN＝2AM＝2xm，EM＝AE﹣AM＝（100﹣x）m，
在Rt△ENQ中，NQ＝EN sin∠AED＝2x sin60°＝x（m），
∴NH＝x（m），
∴S△ENM＝EM NQ＝＝（50x﹣）m2，
＝25x（m2），
在Rt△BOE中，BO＝EB sin∠AEB＝100×sin60°＝50m，
∴S△BEM＝EM BO＝（100﹣x） 50＝（2500﹣25x）m2，
∴y＝S△ENM+S△CEN+S△BEM＝50x﹣+25x+2500﹣25x＝﹣x2+50x+2500；
②当AM＝40m时，y＝﹣×402+50×40+2500＝3700（m2），
∴当AM＝40m时，四边形BMNC的面积为3700m2．
12．解：（1）∵点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，
∴设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm，
故答案为：tcm；2tcm；
（2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；
根据题意得：AP＝tcm，CQ＝2tcm，
则BQ＝（6﹣2t）cm；
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝10﹣2t，
解得：t＝，
即秒时四边形ABQP是构成平行四边形；
当四边形DCQP是平行四边形，
根据题意得：AP＝xcm，CQ＝2xcm，
则PD＝（6﹣x）cm；
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x＝6﹣x，
解得：x＝2，
当PD＝BQ时，
10﹣2x＝6﹣x，
解得：x＝4，
因此2或或4秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形；
（3）设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2t，
∵AD＝6cm，BC＝10cm，
∴PD＝（6﹣t）cm，QB＝（10﹣2t）cm，
当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，
四边形ABQP和PDCQ的面积相等，
则6﹣t+2t＝t+10﹣2t，
解得：t＝2，
答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒．
13．（1）解：设 ABCD中BC边上的高为h，
∵ ABCD的面积为40，BC＝10，
∴10h＝40，
∴h＝4，
故答案为：4；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
由题意得：BE＝DF，
∴BC﹣BE＝AD﹣DF，
∴CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（3）解：如图1，过点A作AM⊥BC于M，
∴AM＝4，
由勾股定理得：BM＝＝3，
当t＝3时，BE＝DF＝3，
∴M与E重合，
∴∠AEC＝90°，
∴ AECF是矩形；
故答案为：矩；
（4）四边形AECF能成为菱形，理由如下：
如图2，过点A作AM⊥BC于M，则BM＝3，
由题意得：BE＝DF＝t，则CE＝10﹣t，
∴EM＝t﹣3，
当四边形AECF是菱形时，AE＝CE，
∴42+（t﹣3）2＝（10﹣t）2，
∴t＝＜10，
∵0＜t＜10，
∴当t＝时，四边形AECF能成为菱形．
14．解：（1）延长DF交CB的延长线于G，
∵平行四边形ABCD中，
∴CG∥AD，
∴∠A＝∠GBF，
∴△AFD∽△BFG，
∴＝，
∵运动时间为秒，
∴AF＝，
∵AB＝4，
∴BF＝，
∵AD＝2，
∴BG＝1，
∴CG＝3，
∵AD∥CG，
∴＝，
∵AE＝，
∴ED＝，
∴＝；
（2）当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，
由题意可知，AE＝x，AF＝x，
∵DB＝2，AB＝4，AD＝2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝60°，
过点E作EH⊥AB交于H，
∴EH＝AE sin60°＝x，
∴y＝×AF×EH＝×x×x＝x2；
此时当x＝2时，y有最大值3；
当2≤x≤时，E点在BD上，F点在AB上，
过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，
∵AD+DE＝x，AD＝2，
∴DE＝x﹣2，
∵BD＝2，
∴BE＝2﹣x+2，
在Rt△ABD中，DM＝，
∵EN∥DM，
∴＝，
∴＝，
∴EN＝1+﹣x，
∴y＝×AF×EN＝×（x）×（1+﹣x）＝﹣x2+x+x；
此时当x＝时，y有最大值2+；
当≤x≤2时，过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，
∴AB+BF＝x，DA+DE＝x，
∵AB＝4，AD＝2，
∴BE＝2﹣x+2，BF＝x﹣4，
∵PF∥DM，
∴＝，即＝，
∴PF＝x﹣2，
∵EQ∥DM，
∴＝，即＝，
∴EQ＝+1﹣x，
∴y＝×AB×（EQ﹣PF）＝×4×（+1﹣x﹣x+2）＝6+2﹣x﹣x；
此时当x＝时，y有最大值2+；
综上所述：当0≤x≤2时，y＝x2；当2≤x≤时，y＝﹣x2+x+x；当≤x≤2时，y＝6+2﹣x﹣x；y的最大值为2+；
（3）连接DH，
∵AH＝HB，AB＝4，
∴AH＝1，
∴DH⊥AB，
∵M是DF的中点，
∴HM＝DM＝MF，
∵EM＝HM，
∴EM＝DF，
∴△EDF是直角三角形，
∴EF⊥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF∥BD．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即（4﹣BF）2＝BF2+9，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴，
∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB＝FH＝3，，
∴，
∴，
∴四边形ABFE的周长＝；
（3）解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，
∴∠ABC＝135°，
∴∠ABN＝45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN＝∠BAN＝45°，
∴，
由折叠的性质可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AF2＝AN2+NF2，
∴AF2＝4+（6﹣AF）2，
∴，
∴，
∵AN∥MF，AD∥BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN＝MF＝2，
在Rt△AMF中，，
∴，
在Rt△MFE中，．
16．（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°．
∵△ABC绕点顺时针旋转得到△ADE，点E恰好在AC上，
∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°．
∵∠EDA＝∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°．
（2）证明：①∵∠CAD＝α＝60°，AD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∵点F是AC的中点，
∴DF⊥AC；
②∵点F是边AC中点，
∴AF＝AC，
∵BF＝AC，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAC＝30°，
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，
∴BC＝AC，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∴DE＝BF．
延长BF交AE于点G，则∠BGE＝∠GBA+BAG＝90°，如图3，
∴∠BGE＝∠DEA，
∴BF∥ED，
∴四边形BFDE为平行四边形．
17．（1）解：如图1，过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H，
∴∠EHC＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠EBA＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠EBA﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵点E'在BC边上且BE'＝4，将BE'绕点B逆时针旋转a°得到BE，
∴BE＝BE′＝4，
∴EH＝BE＝×4＝2，
又∵BC＝6，
∴S△BCE＝BC EH＝×6×2＝6；
（2）①解：方法一：过点E作EK∥BC交BG于点K，
则∠FEK＝∠FCB，
∵点F是CE的中点，
∴EF＝CF，
在△EFK和△CFB中，
，
∴△EFK≌△CFB（ASA），
∴EK＝BC＝6，FK＝FB，
∴BK＝2BF，
由旋转得：BE＝BE'＝4，
在△BEK中，EK﹣BE＜BK＜EK+BE，
∴6﹣4＜BK＜6+4，
即2＜2BF＜10，
∴1＜BF＜5；
方法二：如图2′，在线段FG上截取FK＝BF，连接EK、CK，
∵EF＝FC，BF＝FK，
∴四边形BCKE是平行四边形，
∴BE＝CK＝AB＝4，BC＝6，
在△BCK中，BC﹣CK＜BK＜BC+CK，
∴6﹣4＜BK＜6+4，
即2＜2BF＜10，
∴1＜BF＜5；
②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝60°，AB＝4，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，AD∥BC，AD＝BC，BE＝AB，
∵∠EBF＝120°，即∠EBK＝120°，
∴∠EBK＝∠A，
∵EK∥BC，
∴EK∥AD，
∴∠EKB＝∠BGA，
在△EKB和△BGA中，
，
∴△EKB≌△BGA（AAS），
∴BK＝AG，
由①知：BK＝2BF，
又∵AG＝AD﹣DG，
∴2BF＝BC﹣DG；
（3）方法一：如图3，延长AB至P，使BP＝AB＝4，连接PM，
∵B、N分别是AP、AM的中点，
∴BN＝PM，
当PM最小或最大时，BN最小或最大，
以AE为直径作⊙O，连接PO交⊙O于点M′，连接PE，
∵∠EBA＝90°，BE＝BA＝4，
∴AE＝4，
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝∠ABE＝90°，
∴点M始终在以AE为直径劣弧上运动，
∴PM的最大值为PE，此时点M″与E重合，点N″与点O重合，BN″＝BO＝2；
PM的最小值为PM′，
在Rt△POE中，OP＝＝＝2，
∴PM′＝OP﹣OM′＝2﹣2，
∴BN′＝PM′＝×（2﹣2）＝﹣，
故BN的最大值为2，最小值为﹣．
方法二：连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，
∵∠ABE＝90°，AB＝BE＝4，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵点P是AE的中点，
∴BP⊥AE，且BP＝AP＝EP＝2，
∵N是AM的中点，P是AE的中点，
∴PN是△AEM的中位线，
∴PN∥EM，
∴∠ANP＝∠AME＝90°，
∵点Q是AP的中点，
∴QN＝PQ＝AP＝，
在Rt△BPQ中，BQ＝＝＝，
当B、Q、N三点共线时，BN的最小值＝BQ﹣NQ＝﹣，
当点S与点E重合时，EM＝0，PN＝0，
此时，BN的最大值＝BP＝2．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DH＝BC，
∴AD＝DH，
∵DE⊥AF，
∴AG＝GH，
又∵点E是AB的中点，
∴BH∥DE；
（2）证明：∵EG∥BH，AF⊥DE，
∴AF⊥BK，
∴∠BHF＝∠FHK＝90°，
∵DA＝DH，
∴∠DAH＝∠DHA，
∵AD∥BC，DH∥FK，
∴∠DAH＝∠AFB，∠DHA＝∠KFH，
∴∠AFB＝∠KFH，
又∵FH＝FH，
∴△BFH≌△KFH（AAS），
∴BH＝HK；
（3）解：如图，连接AK，过点A作AR⊥EK于R，AN⊥AM交BM的延长线于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵BK∥DE，
∴四边形BEDK是平行四边形，
∴BE＝DK，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴AE＝DK，
设AE＝BE＝m＝DK，
∵AD＝AE，
∴AD＝m，
∵BH＝HK，AH⊥BK，
∴AB＝AK＝2m，
∵m2+（2m）2＝（m）2，
∴AK2+DK2＝AD2，
∴∠AKD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKD＝90°，
∴BK＝＝2m，
∵BK＝2，
∴2m＝2，
∴m＝，
∴AE＝BE＝＝DK，AK＝AB＝2，
∴EK＝＝5，
∵S△AEK＝×AE×AK＝×AR×EK，
∴AR＝2，
∵∠AMB＝135°，
∴∠AMN＝45°，
∵AN⊥AM，
∴MAN＝90°，
∴∠N＝∠AMN＝45°，
∴AM＝AN，
∵∠MAK＝∠BAK+∠BAM＝90°+∠BAM，
∵∠BAN＝∠MAN+∠BAM＝90°+∠BAM，
∴∠MAK＝∠BAN，
又∵AB＝AK，
∴△ABN≌△AKM（SAS），
∴∠AMK＝∠N＝45°，
∵AR⊥EK，
∴∠AMK＝∠MAR＝45°，
∴AR＝MR＝2，
∴AM＝＝2．
19．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠F＝∠BAF，∠CEF＝∠DAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠F＝∠CEF，
∴CE＝CF；
（2）证明：如图2，延长AB、FG交于点H，连接DH，
∵FG∥CE，CE∥AD，
∴FH∥BC∥AD，
∵AH∥DF，
∴四边形AHFD是平行四边形，
∵∠DFA＝∠FAB＝∠DAF，
∴DA＝DF，
∴四边形AHFD是菱形，
∴FD＝FH，AD＝AH，
∵∠ABC＝120°，
∴∠DFH＝∠DAH＝60°，
∴△FDH和△ADH都是等边三角形，
∴∠DFG＝∠DHB＝∠FDH＝60°，FD＝HD，
∵四边形BCFH是平行四边形，
∴BH＝CF，
∵FG＝CE，CE＝CF，
∴FG＝BH，
在△DFG和△DHB中，
，
∴△DFG≌△DHB（SAS），
∴∠FDG＝∠HDB，
∴∠BDG＝∠HDB+∠HDG＝∠FDG+∠HDG＝∠FDH＝60°；
（3）解：如图3，连接DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，∠DCB＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB＝＝30°，
过点B作BM⊥AE于点M，
∴EM＝AE＝2，
在Rt△BME中，
∵∠BEM＝30°，
∴BM＝BE，
∵BE2﹣BM2＝EM2，
∴BE2﹣（BE）2＝（2）2，
∴BE＝4，
∴AB＝CD＝BE＝4，
∵BE＝2CE，
∴CE＝BE＝2，
过点D作DN⊥BC于点N，
则∠NDC＝90°﹣∠DCB＝30°，
∴CN＝CD＝×4＝2＝CE，
∴点N与点E重合，
∴∠DEC＝90°，
∴DE2＝CD2﹣CE2＝42﹣22＝12，
∴BD＝＝＝2．
20．（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵FG垂直平分AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，AH＝EH，
在△AHF和△AHG中，
，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴HF＝HG，
∴AE与FG互相垂直平分，
∴四边形AFEG是菱形．
（2）BF＝2OG．
证明：如图1，取DH的中点K，连接OK，
∵OB＝OD，
∴点O是BD的中点，
∴OK是△BDF的中位线，
∴BF＝2OK，OK∥AB，
∴∠OKG＝∠AFG，
∵平移图2中的直线l恰好经过点D，
∴DF⊥AE，
由（1）可知：△AHF≌△AHG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGK，
∴∠OGK＝∠OKG，
∴OK＝OG，
∴BF＝2OG．
（3）如图2，取DF的中点K，连接AD，OK，过点D作DT⊥AB交BA的延长线于点T，过点B作BR⊥DF于点R，过点O作OQ⊥BF于点Q，
由（1）（2）知：AF＝AG，OK＝OG，BF＝2OG，
∵∠BAC＝60°，
∴△AFG和△OKG是等边三角形，
设OK＝x，则OG＝KG＝x，BF＝2x，
∠OGD＝∠AFD＝∠BFR＝60°，
∵∠BRF＝∠OQG＝90°，∠FBR＝∠GOQ＝30°，
∴FR＝BF＝x，GQ＝OG＝x，
∴BR＝＝＝x，OQ＝＝＝x，
∵，
∴＝，
即＝，
∴＝，
∴4DG＝3DF，
∵DF＝2DK＝2（DG﹣x），
∴DG＝3x，DF＝4x，
在Rt△DFT中，∠DFT＝60°，∠DTF＝90°，
∴∠FDT＝30°，
∴FT＝DF＝2x，DT2＝DF2﹣FT2＝（4x）2﹣（2x）2＝12x2，
∵AF＝FG＝FK﹣GK＝DF﹣GK＝2x﹣x＝x，
∴AB＝AF+BF＝x+2x＝3x，AT＝FT﹣AF＝2x﹣x＝x，
在Rt△ADT中，AD＝＝＝x，
∴＝＝，
故的值为．

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