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8.4 三元一次方程组的解法
人教版七年级下册
1.理解三元一次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组．
学习目标
复习引入
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
问题引入
三个小动物年龄之和为26岁
流氓兔比加菲猫大1岁
流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁
求
三
个
小
动
物
的年
龄
三元一次方程（组）的概念
一
互动探究
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
流氓兔的年龄
加菲猫的年龄
米老鼠的年龄
每一个未知量都用一个字母表示
x岁
y岁
z岁
三个未知数（元）
等量关系：
(1)流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26
(2)流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄
(3)2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18
用方程表示等量关系.
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是1
含三个未知数
未知数的次数都是1
因三个小动物的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
三元一次方程组的解
二
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？



能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
典例精析
例1：解方程组
解：由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8,z=6
把y=8代入④，得x=9
所以原方程的解是
x=9
y=8
z=6



类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
例2：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
三元一次方程组的应用
三
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组



(2) - ×4, - ,得
⑤

④
⑤+④,得
⑥

④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
当堂练习
1.解方程组 ,则x＝_____，
y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，
c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
课堂小结
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
谢谢
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2022—2023学年度下学期七年级数学教学案 第6 周 第4节
课题 8.4三元一次方程组解法
教学目标 知识与技能：了解三元一次方程组的概念及其解法。过程与方法：能解简单的三元一次方程组。情感态度与价值观：在解的过程中进一步体会“消元”思想．
重点 会用消元法解三元一次方程组
难点 化三元为二元
教具 多媒体、教学案
教与学的过程教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
复习引入1.解二元一次方程组有哪几种方法？ 2.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？三元一次方程（组）的概念问题引入三个小动物年龄之和为26岁，流氓兔比加菲猫大1岁，流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁，求三个小动物的年龄。问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )A． B. C. D. [注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．三元一次方程组的解类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.典例精析: 例1：解方程组 总结归纳: 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .例2：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.三元一次方程组的应用例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）. （1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.当堂练习1.解方程组 ,则x＝_____，y＝______，z＝_______.2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）A.2 B.3 C.4 D.53.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
课后反思
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