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(共17张PPT)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)
授课老师：某某某
学习目标及重难点
重点
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及
两角和与差的正弦、正切公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用
学习目标
1.理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，发展逻辑推理素养，培养数学整体观
2.两角和与差的余弦、正弦、正切公式之间的联系
3.运用和差角角公式求值
4.两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活运用
复习回顾
两角差的余弦公式
( )
注意：同名积，符号反，CCSS.
新课引入
探究1：由公式C(α-β)出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？
问题1：(1)cos(α-β)与cos(α+β)的异同点是什么？
(2)α+β与α-β有怎样的关系，推导cos(α+β)等于什么？
( )
解析：(1)都是角的余弦值，但角的形式不同
新课内容
思考1：由公式C(α-β)出发，你能推导出两角和的余弦公式吗？
问题1：(1)cos(α-β)与cos(α+β)的异同点是什么？
(2)α+β与α-β有怎样的关系，推导cos(α+β)等于什么？
( )
解析：(2)α+β=α-(-β)，可得cos(α+β)=cos(α-(-β))
则由公式C(α-β)，有
cos(α+β)= cos[α-(-β)]
= cosα cos(-β) + sinα sin(-β)
= cosα cosβ - sinα sinβ
两角和与差的余弦公式
对于任意角α，β有
上述公式称为两角和的余弦公式，简记作C(α+β)
(3)同名积，符号反，CCSS.
注意：
(1)公式中的α，β是任意角；
(2)公式的结构特点：左边是“两角和的余弦值”，
右边是“这两角余弦积与正弦积的差”；
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
新课内容
探究2：你能根据C(α-β)，C(α+β)及诱导公式，推导出用任意角α、β 的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)的公式吗？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试
诱导公式五：
诱导公式六：
将-β替换上式中的β可得，
sin(α- β)= sinα cosβ - cosα sinβ
= sinα cosβ + cosα sinβ
两角和与差的正弦公式
对于任意角α，β有
(2)异名积，符号同，SCCS.
注意：
(1)公式中的α，β是任意角；
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
S(α+β)
S(α-β)
【小结】先α后β，主角排前
两角和与差的余弦公式：
正弦：异名积，符号同，SCCS.
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
余弦：同名积，符号反，CCSS.
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
两角和与差的正弦公式：
练习巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1)sin15° (2)cos75°
(1)sin15 = sin(45 －30 )
= sin45 cos30 －cos45 sin30
=
=
解：
(2)cos75 = cos(45 +30 )
= cos45 cos30 －sin45 sin30
=
=
新课内容
探究3：你能根据C(α±β)，S(α±β)，推导出用任意角α、β的正切表示tan(α+β)，tan(α-β)吗？
解析：
tan(α+β) = ————
sin(α+β)
cos(α+β)
= ————————
sinαcosβ+cosαsinβ
cosαcosβ- sinαsinβ
= —————
tanα+tanβ
1- tanαtanβ
（这里有什么要求 ）
（这里又有什么要求 ）
将-β替换上式中的β可得，
tan(α-β) =
—————
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
分子分母同时除以cosαcosβ
两角和与差的正切公式
上和差，下乘积；符号上同，下反.
注意：
T(α+β)
T(α-β)
对于任意角α，β( )有
tan(α-β) =
—————
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
tan(α+β) =
—————
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
和角公式：S(α+β)，C(α+β)，T(α+β)
差角公式：S(α-β)，C(α-β)，T(α-β)
【新知小结】
正弦：SCCS
异名积，符号同
余弦：CCSS
同名积，符号反
tan(α-β) =
—————
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
tan(α+β) =
—————
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
T(α+β)
T(α-β)
先α后β，主角排前
正切：
上和差，下乘积；
符号上同，下反.
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
S(α+β)
S(α-β)
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
C(α+β)
C(α-β)
例题探究
例1：
解：
于是有：
例题探究
追问：由以上解答可以看到，在本题条件下有
证明：对于任意角α，
那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你能予以证明吗？
推广：若
证明：
例题探究
例2：利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1) sin72 cos42 -cos72 sin42 ； (2) cos20 cos70 -sin20 sin70 ；
(3) ————
1+tan15
1-tan15
解：(1)由公式S(α-β)，得
sin72 cos42 -cos72 sin42 = sin(72 -42 ) = sin30 =
(2)由公式C(α+β)，得
cos20 cos70 -sin20 sin70 = cos(20 +70 ) =cos90 = 0
(3)由公式T(α+β)及tan45 =1，得
课堂小结
两角差的余弦公式
02余弦
03正切
01正弦
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
tan(α-β) =
—————
tanα-tanβ
1+tanαtanβ
tan(α+β) =
—————
tanα+tanβ
1-tanαtanβ

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