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19.2.1正比例函数的概念
人教版八年级下册
情境引入
学习目标
1.理解正比例函数的概念；
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.（重点、难点）
正比例函数的概念
一
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
(3)h=0.5n
(4)T=-2t
问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
函数解析式 函数 常量 自变量
l =2πr
m =7.8V
h = 0.5n
T = -2t
这些函数解析式有什么共同点？
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
2，π
r
l
7.8
V
m
h
T
t
0.5
-2
n
函数=常数×自变量
y
k
x
＝
知识要点
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
思考
为什么强调k是常数，
k≠0呢？
y = k x (k≠0的常数)
比例系数
自变量
正比例函数一般形式
注: 正比例函数y=kx(k≠0)
的结构特征
①k≠0
②x的次数是1
1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
是，3
不是
是，π
不是
是，
是，
试一试
2.回答下列问题：
(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 ；(2)当n 时，y=2xn是正比例函数；
(3)当k 时，y=3x+k是正比例函数.
试一试
m≠1
=1
=0
∴ m-1≠0，
m2=1，
函数是正比例函数
函数解析式可转化为y=kx
（k是常数，k ≠0）的形式.
即 m≠1，
m=±1，
∴ m=-1.
解：∵函数 是正比例函数，
例1 已知函数 y=(m-1) 是正比例函数，求m的值.
典例精析
变式训练
(1)若 是正比例函数，则m= ；
(2)若 是正比例函数，则m= ；
-2
-1
m-2≠0，
|m|-1=1，
∴ m=-2.
m-1≠0，
m2-1=0，
∴ m=-1.
解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx，
把 x =-4, y =2 代入上式，得
2 = -4k，
∴所求的正比例函数解析式是 y= - ；
2
x
解得 k= - ，
2
1
（2）当 x=6 时, y = -3.
例2 若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2. （1）求正比例函数的解析式； （2）求当x=6时函数y的值.
设
代
求
写
待定系数法
做一做
已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于-1.则当x=6时，y的值为 .
-2
问题3 2021年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
正比例函数的简单应用
二
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？
1318÷300≈4.4（小时）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1 100 千米的南京站？
y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未 到 达 距 始 发 站 1 100千米的南京站.
例3 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
即 .
解：
（1）y=5×15x÷100，
（2）当x=220
时，
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
.
y是x的正比例函数.
列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
y=3x 是正比例函数
做一做
1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ）
A.圆的面积S与它的半径r
B.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t
C.正方形的面积S与边长a
D.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t
当堂练习
B
2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ）
（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ）
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ）
（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（ ）
×
×
√
注意：（1）中k可能为0；
（4）中2+k2＞0，故y是x的正比例函数.
√
3.填空
（1）如果y=(k-1)x是y关于x的正比例函数，则k满足_______.
（2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.
k≠1
2
4
（4）若 是关于x的正比例函数，m= .
-2
4.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求
y与x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，
∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
解：（1）y=0.5x；
（2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x.
解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.
课堂小结
正比例函数的概念
形式：y=kx（k≠0）
求正比例函数的解析式
利用正比例函数解决简单的实际问题
1.设
2.代
3.求
4.写
谢谢
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2022—2023学年度下学期八年级数学教学案 第6 周 第2节
课题 19.2.1 第1课时 正比例函数的概念
教学目标 知识与技能：理解正比例函数的概念，会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题。过程与方法：情感态度与价值观：
重点 会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题
难点 会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题
教具 多媒体、教学案
教与学的过程 教与学的过程教与学的过程 教 与 学 的 内 容
正比例函数的概念问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．知识要点: 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注: 正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征①k≠0;②x的次数是1 试一试1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ 2.回答下列问题：(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 ；(2)当n 时，y=2xn是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k是正比例函数.例1 已知函数 是正比例函数，求m的值. 变式训练(1)若是正比例函数，则m= ；(2)若 是正比例函数，则m= ；例2 ：若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2.（1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值.做一做已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于-1.则当x=6时，y的值为 .正比例函数的简单应用问题3 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？例3 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？ 做一做列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.当堂练习 1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ）A.圆的面积S与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tC.正方形的面积S与边长aD.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”. （1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ）（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ）（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ） （4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（ ） 3.填空（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_______. （2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____. （4）若是关于x的正比例函数，m= . 4.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式； （2）求收割完这块麦田需用的时间.
课后小结
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