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2023中考数学专项练习题——二次函数的定义和应用
一 、单选题（本大题共10小题，共30分）
1.（3分）函数是二次函数，则的值为
A. B. C. 或 D.
2.（3分）二次函数的图象的对称轴为（ ）
A. x=4 B. x=-4 C. x=2 D. x=-2
3.（3分）已知，那么函数的最大值是
A. B. C. D.
4.（3分）（2021 武昌）已知二次函数 图象上三点 ， ，，则 ，， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5.（3分）对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，某同学得出了以下结论：①；②；③；④为任意实数；⑤当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为
A. B. C. D.
6.（3分）已知抛物线的顶点在轴上，你认为的值应为
A. B. C. D.
7.（3分）如图，一段抛物线为，与轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于轴的直线与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.（3分）已知抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是
A. B.
C. D.
9.（3分）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是
A. B.
C. D.
10.（3分）（2020 江汉）如图，点A、B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线 的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A. 13 B. 7 C. 5 D. 8
二 、填空题（本大题共4小题，共12分）
11.（3分）已知二次函数（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为____________________.
12.（3分）与抛物线 关于y轴对称的抛物线是_______________.
13.（3分）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积厘米与时间秒之间的函数关系式为 ______ ．
14.（3分）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：；；；当时，，正确的是______填写序号．
三 、解答题（本大题共8小题，共64分）
15.（8分）（2018武汉中考改）已知抛物线经过点，与它的对称轴直线交于点，求抛物线的解析式.
16.（8分）分别写出抛物线与的开口方向、对称轴和顶点．
17.（8分）已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线关于的方程有两个相等的实数根．
求抛物线的解析式；
若，试比较与的大小；
若，两点在直线的两侧，且，求的取值范围．
18.（8分）已知，如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且经过点．
求该抛物线的解析式；
求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
求的面积．
19.（8分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物经过点，并与轴交于点．
求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点坐标______；
当时、请直接写出的取值范围______；
当时、请直接写出的取值范围______；
将抛物线向下平移，使得顶点落到直线上，求平移后的抛物线解析式______．
20.（8分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．

当时，
求的值；
通过计算判断此球能否过网．
若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值．
21.（8分）已知抛物线：的图象经过坐标原点，且与轴另一交点为．

求抛物线的解析式；
如图，直线：与抛物线相交于点和点点在第二象限，求的值用含的式子表示；
在中，若，设点是点关于原点的对称点，如图．
判断的形状，并说明理由；
平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角两边为边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且这三块区域的面积相等，四边形为直角梯形．
设的长度为，则的长为______；
设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
为何值时，有最大值？最大值是多少？
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】【试题解析】

此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
直接利用二次函数中自变量的最高指数是，且列式解答．

解：函数是二次函数，
，，
解得：．
故选：．
2.【答案】D;
【解析】略
3.【答案】C;
【解析】解：．
该抛物线的对称轴是，且在上随的增大而增大．
又，
当时，取最大值，．
故选：．
把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．
该题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
4.【答案】D;
【解析】略
5.【答案】B;
【解析】解：①抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于负半轴，
，，，
，
，结论①不正确；
②抛物线与轴有两个交点，
，
，结论②正确；
③当时，，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即，结论③不正确；
④抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为，，
，
即，
，
为任意实数，结论④正确；
⑤抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有②④⑤．
故选：
①由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与轴交点的位置，可得出，，，进而可得出；②由抛物线与轴有两个交点，可得出，即；③由二次函数的对称性结合当时，可得出当时，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出；④由抛物线的开口方向、，间的关系及抛物线的顶点总坐标，可得出，进而可得出，即为任意实数；⑤利用二次函数的性质，可得出当时，随的增大而增大．
此题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，逐一分析各结论的正误是解答该题的关键．
6.【答案】C;
【解析】解：根据题意，所以
故选
顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是
此题主要考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．
7.【答案】D;
【解析】解：翻折后的抛物线的解析式为，
设，，均为正数，
点，在第四象限，
根据对称性可知：，
，
即，
故选：．
首先证明，由，推出即可解决问题；
该题考查二次函数与轴的交点，二次函数的性质等知识，解答该题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】D;
【解析】

该题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解答该题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键．
如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，

由抛物线的对称轴为直线，
易得，
所以抛物线为，
顶点为，
与轴交点为，
由图象可知关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
直线在直线和直线之间包括直线，
．
故答案为．
9.【答案】D;
【解析】解：抛物线，
对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故选：
首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
此题主要考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
10.【答案】D;
【解析】解:顶点为A (1，4)时，,对称轴x=1，∴,顶点为B (4, 4)时，由平移得.
11.【答案】1;
【解析】解：∵二次函数（其中x是自变量），∴对称轴是直线，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，，，∴a=1或a=-2（不合题意舍去）.
12.【答案】;
【解析】略
13.【答案】 ;
【解析】解：，
则重叠部分面积，
．
故答案为：
根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．
根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．需注意的值的求法．
14.【答案】①③④;
【解析】解：根据图象可得：，，
对称轴：，
，
，
，
，故正确；
把代入函数关系式中得：，
由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，，
，故错误；
，
，
即：，故正确；
由图形可以直接看出正确．
故答案为：．
首先根据二次函数图象开口方向可得，根据图象与轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合的取值可判定出，根据、、的正负即可判断出的正误；把代入函数关系式中得，再根据对称性判断出的正误；把代入中即可判断出的正误；利用图象可以直接看出的正误．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧； 当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
15.【答案】解：由题意知，解得，，
∴抛物线的解析式为.;
【解析】略
16.【答案】解：y=5的开口方向向上、对称轴y轴和顶点（0，0）；
y=-的开口方向向下、对称轴y轴和顶点（0，0）．;
【解析】
利用二次函数的性质，得出开口方向，对称轴和顶点坐标即可．
此题主要考查了二次函数的性质，抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：，顶点坐标为
17.【答案】解：（1）∵抛物线y=a+bx+c经过A（2，0），
∴0=4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x=1，
∴-=1②，
∵关于x的方程a+bx+c=x有两个相等的实数根，
∴△=（b-1）2-4ac=0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为y=-+x；
（2）∵n＜-5，
∴3n-4＜-19，5n+6＜-19
∴点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，
∵抛物线y=-+x，
∴-＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n-4）-（5n+6）=-2n-10=-2（n+5）＞0，
∴3n-4＞5n+6，
∴＞；
（3）若点B在对称轴直线x=1的左侧，点C在对称轴直线x=1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n＜，
若点C在对称轴直线x=1的左侧，点B在对称轴直线x=1的右侧时，
由题意可得：，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜．;
【解析】
由题意可得①，②，③，联立方程组可求，，，可求解析式；
由，可得点，点在对称轴直线的左侧，由二次函数的性质可求解；
分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18.【答案】解：二次函数的图象经过点、，

解这个方程组，得
该二次函数的解析式是；
，
顶点坐标是；
对称轴是；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
解这个方程得：，，
即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．
的面积．;
【解析】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确得出二次函数解析式是解题关键．
直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
直接利用三角形面积求法得出答案．
19.【答案】（1，4） x＜-1或x＞3 0＜x＜3 y=+2x+1;
【解析】解：对于，当时，，
，
当时，，
，
抛物线与轴交于、两点，
设抛物线解析式为，
抛物线过点，
，
解得：，
，
顶点；
由图象知，当时、的取值范围为：或；
由图象知当时、的取值范围为：；
当时，，
抛物线向下平移个单位，
抛物线解析式为．
故答案为：；或；；．
列方程得到，，设抛物线解析式为，列方程即可得到结论；
由图象即可得到结论；
由图象即可得到结论；
当根据平移的性质即可得到结论．
该题考查了二次函数的性质，待定系数法取函数的解析式，正确的理解题意是解答该题的关键．
20.【答案】解：当时，，
点在抛物线上，且在轴上，
将点代入，得：，
解得：；
点与球网的水平距离为，即，
把代入，得：，
，
此球能过网；
把、代入，得：
，
解得：，
．;
【解析】这道题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答该题的关键．
将点代入即可求得；求出时，的值，与比较即可得出判断；
将、代入代入即可求得、．

21.【答案】解：（1）∵抛物线y=+bx+c的图象经过点（0，0）和（-，0），
∴，解得：，
∴抛物线F的解析式为y=+x．
（2）将y=x+m代入y=+x，得：=m，
解得：=-，=，
∴=-+m，=+m，
∴-=（+m）-（-+m）=（m＞0）．
（3）∵m=，
∴点A的坐标为（-，），点B的坐标为（，2）．
∵点A′是点A关于原点O的对称点，
∴点A′的坐标为（，-）．
①△AA′B为等边三角形，理由如下：
∵A（-，），B（，2），A′（，-），
∴AA′=，AB=，A′B=，
∴AA′=AB=A′B，
∴△AA′B为等边三角形．
②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（2，）；
（ii）当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（-，）；
（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（-，-2）．
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（-，）和（-，-2）．;
【解析】
根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
将直线的解析式代入抛物线的解析式中，可求出、的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出、的值，做差后即可得出的值；
根据的值可得出点、的坐标，利用对称性求出点的坐标．
利用两点间的距离公式勾股定理可求出、、的值，由三者相等即可得出为等边三角形；
根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点，设点的坐标为，分三种情况考虑：当为对角线时，根据菱形的性质对角线互相平分可求出点的坐标；当为对角线时，根据菱形的性质对角线互相平分可求出点的坐标；当为对角线时，根据菱形的性质对角线互相平分可求出点的坐标．综上即可得出结论．
该题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，解答该题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；将一次函数解析式代入二次函数解析式中求出、的值；利用勾股定理两点间的距离公式求出、、的值；分为对角线、为对角线及为对角线三种情况求出点的坐标．
22.【答案】120-3x;
【解析】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
由知，
，
，
，
；
，
，且，
抛物线开口向下
当时，有最大值，最大值是平方米．
根据三角形和矩形的面积得到，得到，于是得到结论；
由知，得到，根据矩形的面积公式即可得到结论；
把配方得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
此题主要考查了二次函数的应用、三角形的面积公式、矩形的性质、直角梯形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

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