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(共29张PPT)
向量的数量积
新知探究
问题1　前面我们已经学习了向量的加法和减法，请你归纳一下它们的结果有什么共同的特点？
向量的加法和减法的运算结果仍是向量．
新知探究
问题2　向量与向量之间有没有“乘法”呢？如果有，这种新的运算结果又是什么呢？还有，向量的加法与减法都能从物理学知识找到“原型”，如力的合成与分解．那么，在物理学中有没有关于向量乘法的“原型”呢？请你具体说说．
向量与向量之间有“乘法”，其运算结果是数．
如图所示，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，
那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cos θ，其中θ是F与s的夹角，
注意θ要满足的条件是0°≤θ≤180°．
s
F
F1
F2
θ
新知探究
问题3　物理学中“求力所做的功”是两个矢量间的某种运算，在数学上，矢量不考虑作用点就是向量，如果是两个向量，你能“定义”这种新的运算吗？思考后完成下表．
两个矢量F和s 两个向量a与b
F和s的夹角θ
W＝｜F｜｜s｜cos θ
a·b＝｜a｜｜b｜cos θ
a与b的夹角是θ
新知探究
问题4　零向量有没有数量积呢？应该如何定义？
有，
零向量的数量积是零．
新知探究
问题5　向量夹角与数量积的符号有什么关系？
当0°≤ ＜ 90°时，a·b＞0；
当＝90°时，a·b＝0；
当90°＜≤180°时，a·b＜0；
当＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜；
当＝180°时，a·b＝－｜a｜｜b｜．
新知探究
问题6　已知三角形ABC中，＜0，则三角形ABC的形状为（　　）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
∵＝·cos B＜0，
又∵B为△ABC的内角，
∴cos B＜0，
∴ ＜B＜π，故A正确．
A
新知探究
问题7　在初中我们学过的投影的定义是什么？
一般地，用光线照射物体，
在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．
新知探究
水平的力在做功，即功还可以理解为力F的水平分力的大小｜F｜cos θ与位移的大小｜s｜
的乘积．
问题8　回到功的物理意义：小物块在力F的作用下在水平方向上运动位移s，如果把力F分解成水平分力和垂直分力，那么哪个力在真正做功呢？
问题9　再抽去物理意义，｜b｜cos θ的含义是什么呢？
向量b在a方向上的投影．
新知探究
问题10　根据上述分析，你能给出投影向量的定义吗？
如图所示，已知两个非零向量a和b，
作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，
得到a在b上的投影r＝，r称为投影向量．
｜a｜cos称为投影向量r的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，
B
A
A′
b
r
O
可以表示为a· ．
a
新知探究
问题11　向量数量积的几何意义是什么？
几何意义是：
或a的长度｜a｜与b在a方向上投影数量｜b｜cos θ的乘积．
a与b的数量积等于b的长度｜b｜与a在b方向上的投影数量｜a｜cos θ的乘积．
新知探究
问题12　已知两个非零向量a ，b ，θ为a与b的夹角，e为与b 方向相同的单位向量．
据数量积公式，计算a·e，a·a．
a·e＝｜ a ｜｜ e ｜cos θ＝｜ a ｜cos θ，
a·a＝｜ a ｜·｜ a ｜cos 0°＝｜ a ｜2．
新知探究
追问1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？
a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b．
追问2：当θ＝0°和180°时，数量积a·b分别是什么？
当θ＝0°时，a·b＝｜ a ｜·｜b｜；
当θ＝180°时，a·b＝－｜ a ｜·｜b｜．
新知探究
问题13　你能写出向量数量积的性质吗？
数量积的性质
（1）若e是单位向量，则e·a＝a·e＝｜a｜cos θ．
（2）若a·b＝0 a⊥b．
（3）a·a＝｜a｜2，即｜a｜＝．
（4）cos θ＝ （｜a｜｜b｜≠0）．
（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，当且仅当a∥b时等号成立．
新知探究
问题14　a·（b·c）＝（a·b）·c成立吗？
（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，
因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立．
所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线．
例1　如图，已知向量a与b，其中｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b的夹角是150°．
初步应用
（1）求a·b；
（2）求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释．
（1）；
（2）．
（详解参考教材P102例1的解析）
a
b
a
b
O
B
B1
A
θ
初步应用
例2　已知向量a，b，c，其中｜a｜＝4，｜b｜＝6，且a与c的夹角θ＝120°，b与c的夹角γ＝60°，求a＋b在c方向上的投影数量．
1
（详解参考教材P103例2的解析）
例1　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．
初步应用
（1）求a与b的夹角θ；
（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求实数λ的值．
（2）求｜a＋b｜；
解答：（1）∵（2a－3b）·（2a－b）＝4a2－8a·b＋3b2＝64－8a·b＋27＝43，
∴a·b＝6，即｜a｜·｜b｜cos θ＝12cos θ＝6，
∴cos θ＝ ，
∵θ∈［0，π］，
∴θ＝ ．
例1　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．
初步应用
（1）求a与b的夹角θ；
（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求实数λ的值．
（2）求｜a＋b｜；
（2）∵｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，
（3） ∵（a－b）⊥（a＋λb），（a－b）·（a＋λb）＝0，
即a2＋（λ－1）a·b－λb2＝16＋6（λ－1）－9λ＝0，
解得：λ＝ ．
∴｜a＋b｜＝．
初步应用
追问1：若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
a·b＝0 a⊥b．
追问2： ｜a·b｜与｜a｜·｜b｜的大小关系如何？为什么？
｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．
因为｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cos θ｜．
由｜cos θ｜≤1，可得｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．
初步应用
追问3：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．
然后根据向量夹角的取值范围求角．
课堂练习
练习：教科书第103页练习1，2，3，4．
归纳小结
（1）从向量运算角度看，数量积是向量与向量之间的一种运算，数量积运算既有数量关系的表达式，又有明显的几何意义．
（2）从知识间联系的观点看，数量积的表达式中有向量、向量的模、向量的夹角，这比以前的任何一种运算都丰富．
（3）从解决问题的角度看，在一定的条件下，可以运用向量的数量积，用代数运算的方法求向量的模的大小、向量的夹角的大小，进而可以解决几何问题中的有关平行、垂直的证明或角度等问题．
（4）有一句话：如果没有运算，向量只是一“路标”，因为有了运算，向量的力量无限．
问题15　本节课我们学面向量的一种新型运算——平面向量的数量积，与前面几种运算相比，请你说说这种运算具有怎样的特点？
作业布置
作业：教科书第107页，A组1，2，3，B组1，2．
1
目标检测
A
已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为 ，则a·b等于（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：a·b＝1×2×cos ＝1，故选A．
2
目标检测
D
已知｜a｜＝8，｜b｜＝4，＝120°，则向量b在a方向上的投影为（　　）
A．4
B．－4
C．2
D．－2
解析：向量b在a方向上的投影为｜b｜cos＝4×cos 120°＝－2．
3
目标检测
2
已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b．若b·c＝0，则t＝________．
解析：因为b·c＝0，所以b·［ta＋（1－t）b］＝0，
即ta·b＋（1－t）·b2＝0，
又因为｜a｜＝｜b｜＝1，a，b的夹角为60°，
所以 t＋1－t＝0，所以t＝2．
4
目标检测
如图，在□ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝3，∠DAB＝60°，求：
（1）；
（2）．
A
B
C
D
解答： （1）因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
（2）因为与的夹角为60°，
所以＝·cos 120°
所以与的夹角为120°，
＝4×3×　　　＝－6．
所以＝｜｜｜｜·cos 0°＝3×3×1＝9．

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