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第八章 机械能守恒定律
第4节 机械能守恒定律
复习与巩固
前面学习了哪几种形式的能量？
重力势能Ep
弹性势能Ep
动能Ek
WG = Ep1 - Ep2 = -ΔEp
势能
机械能
W弹 = Ep1 - Ep2 = -ΔEp
W合 = Ek2 - Ek1 = ΔEk
动能
其实在牛顿之前，我们已经能在力学领域发现能量的萌芽
它们与各自对应的力做功的关系式是什么？
伽利略理想斜面实验
追寻守恒量
思考：小球在光滑斜面A上从高为h处由静止滚下，经过光滑水平面滚上另一个光滑斜面B，速度变为0时的高度为h'，h和h'的大小关系是怎样的？如果减小斜面B的倾角呢？
在斜面A上：
在斜面B上：
A
B
h
h'
α
β
（
（
证明：设在斜面A和斜面B上的位移分别为x和x'，在斜面底端的速度均为v
试用运动学知识证明
????=????????????????????
?
=????????????????????????????????
?
= ????????????????????????????????????????????????
?
=????????????????
?
????′=????′????????????????
?
=??????????????????????????????????????
?
= ??????????????????????????????????????????????????
?
=????????????????
?
2????????=????2?????02
?
mg
（
α
x
x'
FN
A
B
A
B
追寻守恒量
这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的
能量
电能
热能
电磁能
机械能
核能
化学能
小球从A处以速度v1下落到B处时速度为v2，尝试寻找动能和重力势能的转化规律。(忽略空气阻力)
动能与势能的相互转化
动能定理：
????????=?????????????????????????????????????????????????
?
重力做功与重力势能关系：
????????=?????????????????????????????????
?
由以上两式可得：
移项得：
????????????????????????+????????????????=????????????????????????+????????????????
?
m
h1
mg
v2
m
h2
v1
A
B
B处机械能
A处机械能
=
?
思考1：若不忽略空气阻力，A处机械能还等于B处机械能吗？
思考2：若小球在外力作用下匀速下落，A处机械能还等于B处机械能吗？
?????????????????????????????????????????????????
?
增加的动能
结论：只有重力做功的系统，
动能和重力势能相互转化，
总的机械能保持不变
减少的重力势能
=
?
=?????????????????????????????????
?
物块在A处速度为v1，弹簧的弹性势能Ep1，到B处速度为v2，弹簧的弹性势能Ep2，弹簧始终被压缩，尝试寻找动能和弹性势能的转化规律。(忽略空气阻力和摩擦力)
动能定理：
????弹=?????????????????????????????????????????????????
?
弹力做功与弹性势能关系：
????弹=?????????????????????????
?
由以上两式可得：
移项得：
????????????????????????+????????????=????????????????????????+????????????
?
B处机械能
A处机械能
=
?
思考3：若不忽略空气阻力和摩擦力，A处机械能还等于B处机械能吗？
?????????????????????????????????????????????????
?
增加的动能
结论：只有弹力做功的系统，
动能和弹性势能相互转化，
总的机械能保持不变
光滑
Ep2
v2
B
Ep1
A
v1
光滑
=
?
减少的弹性势能
=?????????????????????????
?
动能与势能的相互转化
质量为m的物块从高处落到弹簧上，物块在A处速度为v1，弹簧的弹性势能Ep1，到B处速度为v2，弹簧的弹性势能Ep2，尝试寻找动能和势能的转化规律。(忽略空气阻力)
动能定理：
????????+????弹=?????????????????????????????????????????????????
?
弹力做功与弹性势能关系：
????弹=?????????????????????????
?
由以上三式可得：
移项得：
????????????????????????+????????????????+????????????=????????????????????????+????????????????+????????????
?
B处机械能
A处机械能
=
?
思考4：若不忽略空气阻力，A处机械能还等于B处机械能吗？
???????????????????????????????????????????????
?
增加的动能
结论：只有重力和弹力做功的系统，
动能和重力势能及弹性势能相互转化，
总的机械能保持不变
Ep1
Ep2
v1
v2
h1
h2
A
B
重力做功与重力势能关系：
????????=?????????????????????????????????
?
减少的势能
=
?
=(?????????????????????????????????)+(?????????????????????????)
?
动能与势能的相互转化
内容：
在只有重力或弹力做功的系统，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变
条件：
只有重力或弹力做功
表达式：
????????????+????????????=????????????+????????????
?
例1. 判断下列情况中，系统的机械能是否守恒：
抛出的篮球在空中运动(不计阻力)
用绳拉着物体沿着光滑斜面匀速上滑
跳伞运动员利用降落伞在空中匀速下落
物体沿着粗糙斜面加速下滑
机械能守恒定律
内容：
机械能守恒定律
在只有重力或弹力做功的系统，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
条件：
只有重力或弹力做功
表达式：
????????????+????????????=????????????+????????????
?
例2. 抛体运动的机械能守恒吗？
抛体运动：初速度不为零，只受重力作用
所有抛体运动都满足机械能守恒定律
巩固与练习
例3. 如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的推力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
C
巩固与练习
例4. 一个轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由下摆，不计空气阻力，在重物由A摆到最低点的过程中( )
A. 重物的重力势能减少 B. 重物的重力势能增加
C. 重物的机械能不变 D. 重物的机械能减少
A
D
两种理解方法：
球和弹簧组成的系统：只有重力和弹力做功，机械能 ；而其中弹簧的弹性势能 ；故重物的机械能 。
以重物为研究对象：弹簧的拉力做功，虽也叫“弹力”，但不引起重物弹性势能变化，所以重物机械能不守恒。
v
（1）确定研究对象。
（2）对研究对象进行正确的受力分析。
（3）判定各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件。
（4）解题方便为前提选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能。
（5）根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解。
应用机械能守恒定律的解题步骤：
例5. 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个单摆，摆长为 l，最大偏角为 θ。若阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速度大小是多少？
G
T
解：以最低点为参考平面
同学们，下课！

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