资源简介

5.2导数的计算
一、知识梳理
1．几个常用函数的导数
几个常用函数的导数：； ；；；
2．基本初等函数的导数公式
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则；
（7）若，则； （8）若，则．
3．导数运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；特别的
.
4．复合函数的导数
（1）复合函数的定义
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作．
（2）复合函数的求导法则
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
对于复合函数的求导，一般步骤为：
（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；
（2）利用求导法则分层求导；
（3）最终结果要将中间变量换成自变量．
二、题组突破
题组一：四则运算求导：
【1】求下列函数的导数
（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）方法1：．
方法2：因为，所以．
（2）．
（3）．
【2】求下列函数的导数
(1) (2)； (3)
【解析】　
题组二 复合函数求导
【3】求下列函数的导数：
【解析】　(1)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′uu′x＝＝.
(2)设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
(3)y＝，设y＝，u＝1－2x，则y′x＝＝·(－2)＝.
(43)设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝(sin u)′′＝cos u·2＝2cos.
【4】求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；(2)y＝；(3)y＝sin 2xcos 3x；(4)y＝x3ecos x.
【解析】　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)设y＝，u＝1－x2，则y′x＝＝·(－2x)＝.
(3)∵y＝sin 2xcos 3x，∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
(4)y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′＝3x2ecos x－x3ecosxsin x.
题组三 求导公式的应用
【5】已知函数，，其中为实数，为的导函数，若，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得，故选B
【6】设函数的导函数为，且，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，解得，故选D．
【7】已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．-e B．-1 C．1 D．e
【答案】B
【解析】由题意，函数，可得，
所以，则．故选：B.
【8】
A． B．2 C． D．e
【答案】B
【解析】由，有 ．
，解得．
【9】已知函数，其中a为实数，为的导函数，若，则a的值为________________．
【答案】3
【解析】因为，所以．
【10】求下列各函数的导数：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以．
（2）因为，所以．
【11】已知函数的导函数为，且满足，则________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
令，则，∴；令，则，
∴，∴．
【12】已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
【答案】　y＝x
【解析】　∵f(x)＝ex·sin x，∴f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
【13】(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
【答案】　CD
【解析】　因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
【14】设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________.
【答案】2e－1
【解析】因为f(ln x)＝2x－ln x，
令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，
即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，
因此f′(1)＝2e－1.
【15】曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A. B．2 C．3 D．0
【答案】　A
【解析】　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝， ∴＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
【16】已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
【解析】　(1)由题意得f′(x)＝
＝＝，
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以解得
则f(x)＝.
(2)由(1)可得，f′(x)＝，
所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝＝4，
令t＝，则t∈(0,1]，
所以k＝4(2t2－t)＝82－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是.5.2导数的计算
一、知识梳理
1．几个常用函数的导数
几个常用函数的导数：； ；；；
2．基本初等函数的导数公式
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则； （4）若，则；
（5）若，则； （6）若，则；
（7）若，则； （8）若，则．
3．导数运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；特别的
.
4．复合函数的导数
（1）复合函数的定义
一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作．
（2）复合函数的求导法则
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
对于复合函数的求导，一般步骤为：
（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；
（2）利用求导法则分层求导；
（3）最终结果要将中间变量换成自变量．
二、题组突破
题组一：四则运算求导：
【1】求下列函数的导数
（1）；（2）；（3）．
【2】求下列函数的导数
(1) (2)； (3)
题组二 复合函数求导
【3】求下列函数的导数：
【4】求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；(2)y＝；(3)y＝sin 2xcos 3x；(4)y＝x3ecos x.
题组三 求导公式的应用
【5】已知函数，，其中为实数，为的导函数，若，则实数的值为
A． B． C． D．
【6】设函数的导函数为，且，则
A． B． C． D．
【7】已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B．-1 C．1 D．e
【8】
A． B．2 C． D．e
【9】已知函数，其中a为实数，为的导函数，若，则a的值为________________．
【10】求下列各函数的导数：
（1）； （2）．
【11】已知函数的导函数为，且满足，则________________．
【12】已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
【13】(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
【14】设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________.
【15】曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A. B．2 C．3 D．0
【16】已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．

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