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2023年中考数学高频考点--三角形的动点问题
1．如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）∠A=　 　度；
（2）当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，求t的值；
（3）当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值．
2．在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6），（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
求：
（1）当t＝　 　秒时PQ∥AB；
（2）若△OPQ的面积为 ，试求t的值；
（3）△OPQ与△OAB能否相似？若能，求出点P的坐标；若不能，试说明理由
3．如图，△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点 P 从点 C开始，按 C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒 1cm，设出发的时间为 t 秒．
（1）出发 2 秒后，求△ABP 的周长．
（2）当 t 为几秒时，BP 平分∠ABC？
（3）另有一点 Q，从点 C 开始，按 C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒 2cm，若 P、Q 两点同时出发，当 P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 t 为何值时，直 线 PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？
4．如图，是等边三角形，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点匀速运动；同时，动点从点出发，以相同的速度沿向终点匀速运动，连结，以为边向其左侧作等边三角形，连结、、．设点的运动时间为．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）求的周长（用含的代数式表示）．
（4）当的长最短时，连结，直接写出此时的值和四边形的周长．
5．如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=8，点D为AB的中点．
（1）若点P在线段BC上以2个单位每秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点P以4个单位每秒的速度由点B—C—A运动，点Q从C点出发逆时针由C—A—B—C运动（当点P到达A点时运动停止），点Q的速度为　 　时，PQ线段垂直平分线段BC．（直接写出答案）
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动.如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s.它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t秒.
（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q点的三角形与 相似？
（2）如图2，Q在CB上，否存着某时刻，使得以点B、P、Q顶点的三角形与 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
7．如图，在平面直角坐标系中， 满足 ， ，点 、 分别在 轴和 轴上，当点 从原点 开始沿 轴的正方向运动时，则点 始终落在 轴上运动，点 始终在第一象限运动．
（1）当 轴时，求点 的坐标；
（2）随着 、 的运动，当点 落在直线 上时，求此时 点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形面积是 ？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当运动时间为t秒时，AP的长为　 　厘米，QC的长为　 　厘米；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上（点B在点C的左侧），点B，C的坐标分别为B（﹣8，0），C（5，0），点A在y轴正半轴上，且OA＝ OB．点P是射线BO上一动点．
（1）填空：点A的坐标是　 　；
（2）连接AP，若△ABP的面积为10，求点P的坐标；
（3）当点P在线段BO上运动时，在y轴负半轴上是否存在点Q使△POQ与△AOC全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当点P在射线BO上运动时，若△APC是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
10．如图，已知△ABC中，AB=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
11．如图，在△ABC中，AB=18cm，AC=12cm，BC=6 cm，点P从点B出发，以3cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点A以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求△ABC的边AB上的高CD.
（2）在点P和点Q的运动过程中，是否存在时间t使得AP=AQ？若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由.
12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）当四边形BFDE是矩形时，求t的值；
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．×
13．如图l，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知 ，动点M从点B出发以每秒lcm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值：若不能，请说明理由.
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）.
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由.
15．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3 cm /s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
16．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据教材中的分析．
（1）结合图①，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：
如图②，在中，，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．连接MB，若AB=8cm，的周长是14cm．
①求BC的长；
②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P，B，C构成的的周长是否存在最小值 若存在，标出点P的位置，并求的周长最小值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）60
（2）解：∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．
∴QA=2PA．
即
解得
当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．
∴PA=2QA．
即
解得
∴当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，t的值为 ．
（3）t=5或20
2．【答案】（1）
（2）解：如图，
过P作PC⊥OB于C，过A作AD⊥OB于D，则PC∥AD，∴△OPC∽△OAD，
∴ ，
∴ ，
∴PC＝ t，
∵△OPQ的面积为 ，
∴△OPQ的面积＝ OQ PC＝ （16﹣2t）× t＝﹣ t2+ t＝
解得t＝2或t＝6
（3）解：能相似，
理由：如图，∵△OPQ∽△OAB，
∴∠OAB＝∠OPQ，
∴PQ∥AB，
由（1）知，t＝ ，
∴OP＝ ，
∵△OPQ∽△OAB，
∴ ，
∵AD＝6，OA＝10，OD＝8，
∴ ，
∴OC＝ ，PC＝ ，
∴P点坐标是（ ， ），
同时，当△OPQ∽△OBA时，
∴ ，
∵OP＝t，OQ＝16﹣2t，
∴ ，
∴OP＝t＝ ，
∵△OPQ∽△OAB，
∴ ，
∵AD＝6，OA＝10，OD＝8，
∴ ，
∴OC＝ ，PC＝
∴P'（ ， ），
P点的坐标是（ ， ）或（ ， ）．
3．【答案】（1）解：如图1，
∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴由勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得PB=2 cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2 =（16+2 ）cm；
（2）解：如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD=PC．
在Rt△PBC与Rt△PBD中，
，
∴Rt△PBC≌Rt△PBD（HL），
∴BD=CB=6cm，
∴AD=10-6=4cm．
设PC=x cm，则AP=（8-x）cm
在Rt△BPD中， ，
即 ，
解得：x=3
∴当t=3秒时，BP平分∠ABC；
（3）解：分两种情况：①当P、Q没相遇前，P点走过的路程为tcm，Q走过的路程为2tcm，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分
∴t+2t=12
∴t=4s；
②当P、Q相遇后，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分
∴t-8+2t-16=12
∴t=12s
故当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
4．【答案】（1）解：∵是等边三角形
∴，
由题意，得
在△ACP和△CBQ中
∴（SAS）
（2）解：∵
∴，
∴∠ACP+∠BCP=∠CBQ+∠ABQ=60゜
即∠BCP=∠ABQ
∵是等边三角形
∴，
∴，
∴∠DCA=∠ABQ
在△ACD与△ABQ中
∴（SAS）
（3）解：∵
∴，
∴是等边三角形
∵CQ=2t，AC=6
∴AQ=AC CQ=6 2t
∴的周长为
（4）时，四边形的周长为12．
5．【答案】（1）解：①△BPD≌△CPQ，
理由如下：如图：
∵t=1s，
∴BP=CQ=2×1=2cm，
∵AB=12cm，点D为AB的中点，
∴BD=6cm．
又∵PC=BC-BP，BC=8cm，
∴PC=8-2=6cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CPQ中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，
∴点P，点Q运动的时间为4÷2=2s，
∴Q点的运动速度为6÷2=3（cm/s）．
（2）12或5.6
6．【答案】（1）解：如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，
∴ .
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB= =10（cm）.
∵BP=t，AQ=t，
∴PA=10-t，
∴ ，
∴t= ；
如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
t= .
综上所述，t= 或 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）解：如图3，当△BPQ∽△BAC时，
∴ .
∵BQ=14-t，BP=t，
∴ ，
∴t= ，
当△BQP∽△BAC时，
∴ ，
∴ ，
∴t= ，
∵Q在CB上，
∴t>8，
∴t= 舍去，
∴t= 时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.
7．【答案】（1）解： ， ，
， ，
轴， ， ，
， ， ， 点的坐标为 ；
（2）解：过 点作 轴，垂足于 ，
， ， ，
， ，
，
， ，
点在 上， 设 ，
， ， ，
， ， ， ，
；
（3）解：当点D在y轴正半轴时，设 ，作 轴于点E，如图，
，
解得： ，即 ；
当点D在y轴负半轴时，设 ，如图，
，
解得 ，即 ；
∴ 或 ．
8．【答案】（1）t；4﹣t
（2）解：设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t= ；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t= ；
∴当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形；
（3）解：∠CMQ=60°不变．理由如下：
∵在△ABQ与△CAP中 ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
9．【答案】（1）（0，4）
（2）解：如图，
，点P是射线BO上一动点，设 ，
，
（3）解：
或
依题意，设 ， ，
①当 时，
即
②当 时，
即
综上所述， 或
（4）解：如图，
在 中，
设 点的坐标为
①当 时，
②当 时，
或
③当 时
则 中，
即
解得
综上所述， 点的坐标为 或 或 或 ．
10．【答案】（1）解：全等，理由如下：
∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，∴PC=4﹣1=3cm，∴PC=BD．
∵∠B=∠C，∴△BPD≌△CPQ；
（2）解：∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间为：t=2秒，∴vQ=1.5cm/s；
11．【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于D，
设AD=x，则BD=18-x，
∵CD =AC -AD ，CD =BC -BD ，
∴AC -AD =BC -BD ，即12 -x =(6 ) -(18-x) ，
解得：x=6，
∴Rt ACD中，
CD= ；
（2）解：存在，
点P从点B运动到点A需要的时间为 （s），
点Q从点A运动到点C需要的时间为 =6（s），
由题可得，AP=AB-BP=18-3t，AQ=2t
则有18-3t=2t，解得t=3.6<6，
∴存在t=3.6，使得AP=AQ.
12．【答案】（1）证明：在Rt△CDF中，∠C=30°，
∴DF= CD，
∴DF= 4t=2t，
又∵AE=2t，
∴AE=DF．
（2）解：当四边形BFDE是矩形时，有BE=DF，
∵Rt△ABC中，∠C=30°
∴AB= AC= ×48=24，
∴BE=AB-AE=24-2t，
∴24-2t=2t，
∴t=6．
（3）解：∵∠B=90°，DF⊥BC
∴AE∥DF，∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
由（1）知：四边形AEFD是平行四边形
则当AE=AD时，四边形AEFD是菱形
∴2t=48-4t，
解得t=8，又∵t≤ = =12，
∴t=8适合题意，
故当t=8s时，四边形AEFD是菱形．
13．【答案】（1）解：设 ， ， ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解： ，而 ，
∴ ，
则 ， ， ， .
当 时， ，
即 ，
∴ ；
当 时， ，
得： ；
∴若 的边与 平行时，t值为5或6.
∵点E是边 的中点， ，
∴ ，
当点M在 上，即 时， 为钝角三角形，但 ；
当 时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在 上，即 时， 为等腰三角形，有3种可能.
如果 ，则 ，
∴ ；
如果 ，则点M运动到点A，
∴ ；
如果 ，
过点E作 于F，如图3所示：
∵ ，
∴ ，
在 中， ；
∵ ， ，
∴
则在 中， ，
∴ .
综上所述，符合要求的t值为9或10或 .
14．【答案】（1）解：∵S△PCQ 2t（16﹣4t），S△ABC 8×16=64，∴ 2t（16﹣4t）=64 ，整理得：t2﹣4t+4=0，解得：t=2.
答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的
（2）解：当△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等，即：当S△PCQ S△ABC时， 2t（16﹣4t）=64 ，整理得：t2﹣4t+8=0，△=（﹣4）2﹣4×1×8=﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等.
15．【答案】（1）解：经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点．
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD=PC=5cm，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）解：设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=(8-3t)cm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：
①当BD=PC且BP=CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），
则8-3t=5且3t=xt，解得x=3，
∵x≠3，
∴舍去此情况；
②BD=CQ，BP=PC时，△BPD≌△CPQ（SAS），
则5=xt且3t=8-3t，
解得：x=；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在△ACP与△BCP中，
，
∴△ACP≌△BCP，
∴PA=PB；
（2）解：①∵MN垂直平分AB．
∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，
∵AC=AB=8cm，
∴BC=6cm．
②如图，
当点P与点M重合时，的值最小，
∵MN垂直平分AB．
∴PB=PA，
∴PB+CP=PA+PC≥AC，
∴当点P与点M重合时，的值最小，为AC的长
∴△PBC的周长最小值是8+6=14cm．

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