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2023年中考数学高频考点--圆的综合
1．如图，已知⊙A与菱形ABCD的边BC相切于点E，与边AB相交于点F，连接EF.
（1）求证：CD是⊙A的切线；
（2）若⊙A的半径为2，tan∠BEF＝ ，求图中阴影部分的面积.
2．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F．
（1）画出旋转后的三角形．
（2）在（1）的条件下，
①求EF的长；
②求点E经过的路径弧EF的长．
3．顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为1个单位长度.
（1）在网格中画出△ABC向上平移5个单位，在向左平移4个单位后得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）从A到A2.所划过的痕迹长为多少？
4．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF=EF。
（1）求证：FC是⊙O的切线。
（2）若CF=5，tanA= ，求⊙O半径的长。
5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=10，BC=16，求DE的长．
6．如图，是⊙的直径，点在⊙上，平分交⊙于点，是⊙的切线，交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
7．如图，AB是 的直径， 于点E，连接CO并延长交AD于点F，且 ．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若 ，求CD的长．
8．已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ▲ ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（　　）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．
10．如图， 是半圆 的直径，过点 作弦 的垂线交 于 ，且交切线 于点 ， 与半圆 交于点 ，连结 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
11．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形　 　 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．
（1）在网格中画出△AB1C1；
（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）
13．如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
（1）直接写出ED和EC的数量关系：　 　；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC=　 　时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是　 　．
14．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，弦AE交BC于点F， ＝ ，∠ACB＝2∠EAB.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若cosB＝ ，AB＝5，则线段BF的长为　 　.
15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．
16．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF.
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：作AH⊥CD于H，连结AE，AC，如图，
∵BC与⊙A相切于点E，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，
而AE⊥BC，AH⊥CD，
∴AE＝AH，
即CD为⊙A的半径，
∴⊙A与边CD也相切；
（2）解：∵tan∠BEF＝ ，
∴∠BEF＝30°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝60°，
∵AE＝AF，
∴∠FAE＝60°，∠B＝30°，
∵AE＝2，
∴S扇形FAE＝ ，BE＝
∴S阴影＝S△ABE﹣S扇形AEF＝ ×2×2 ﹣ π＝2 ﹣ π.
2．【答案】（1）解：如图1所示．△ADF为所求
（2）解：①如图2，依题意，AE=AF，∠EAF=90°．
在Rt△ABE中，
∵AB=2，BE= BC=1，
∴AE= ．
在Rt△AEF中，
EF= = = ；
②∵∠EAF=90°，AE=AF= ，
∴l= = π，
∴弧EF的长为 π
3．【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示.
（2）解：△A2B2C2如图所示
（3）解：从A到A2所划过的痕迹长＝
4．【答案】（1）证明：连接OC，OD
∵点D是半圆的中点，
∴∠AOD=∠BOD=90°
∴∠ODC+∠OED=90°
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD
又∵CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC
∵∠FEC=∠OED，
∴∠FCE=∠OED
∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°，
即FC⊥OC
∴FC是⊙O的切线.
（2）∵tanA=
∴在Rt△ABC中，
∵∠ACB=∠OCF=90°，
∴∠ACO=∠BCF=∠A，
∵△ACF∽△CBF
∴
∴AF=10.
∴CF2=BF·AF
∴BF=
∴AO=
5．【答案】（1）证明：
连接OD、AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴点D是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠BED，
∵DE⊥AB，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：
∵AB=AC，且∠ADC=90°，
∴CD= BC=8，∠B=∠C，
∴AD= =6，
∵∠BED=∠CDA，
∴△BED∽△CDA，
∴ = ，即 = ，
∴AC=4.8．
6．【答案】（1）证明：连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
是的切线，
，
.
（2）解：过点作于，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
即，解得，
.
7．【答案】（1）证明：直径AB垂直于弦CD于点E，连接AC，
∴ ，
∴ ，
∵过圆心O的线 ，
∴ ，即CF是AD的中垂线，
∴ ，
∴ ．
即： 是等边三角形，
∴ ，
在 中， 有
∴ ，
∴点E为OB的中点；
（2）解： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8．【答案】（1）解：依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP=．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
9．【答案】（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE
（2）解：由（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB= ，
在Rt△POD中，cos∠POD= ，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴ ，∴OA=3，∴⊙O半径=3
10．【答案】（1）证明：∵ 是 的切线， 是 直径，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，AB=10，
∵ ，
又∵ ，且 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
11．【答案】（1）不是
（2）解：连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴OH= OB=3，
∴BH= OH=3 ，
∵BD=2BH=6 ，
∴AC=BD=6 ，
∴“奇妙四边形”ABCD的面积= ×6 ×6 =54
（3）解：OM= AD．理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴OM= AD．
12．【答案】（1）解：如图，△AB1C1为所作；
（2）解：AB= =5，
所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长= = π
13．【答案】（1）ED=EC
（2）解：DE是⊙O的切线．理由如下：
连结OD，如图，
∵BC为切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，
∵OC=OD，ED=EC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（3）2；正方形
14．【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
＝ ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）
15．【答案】（1）解：ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：
连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴ED与⊙O的位置关系是相切。
（2）解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，BD= = = ，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD
∴△FBD∽△BAD，
∴ =
∴FD=
∴AF=AD﹣FD=5﹣ = ．
16．【答案】（1）解：AF与圆O的相切。理由为：
如图，连接OC，
∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC。
∴∠OCP=90°。
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。
∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS）。∴∠OAF=∠OCF=90°。
∴AF为圆O的切线，即AF与⊙O的位置关系是相切
（2）解：∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF。
∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE= AC，OE⊥AC。
∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5。
∵S△AOF= OA AF= OF AE，∴AE= 。
∴AC=2AE= 。

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