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双 曲 线
环节三 双曲线的应用（二）
引入新课
回顾
直线的方程、
椭圆的方程
二元二次
方程组
一元二次
方程
判别式
直线与椭圆的位置关系
联立
消元
计算
判断
如何研究直线与椭圆的位置关系？
引入新课
回顾
追问3 当直线与双曲线相交时，如何求交点的坐标呢
如何研究直线与椭圆的位置关系？
答案：与直线和椭圆相交时，求交点的方法类似，这也是本节课要探讨的问题．
知识应用
例1
追问2 怎样求直线与双曲线的两交点A，B ？
如图，过双曲线 的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点，求|AB|．
答案：将直线的方程与双曲线的方程联立，得
消去，整理，得 ．
解方程，得
将x1，x2的值代入①，得
则A,B两点的坐标分别为
知识应用
例1
追问3 由A ， B两点的坐标，如何求|AB| ？
知识应用
例1
追问4 不求A ， B两点的坐标，能否求出|AB| ？
知识应用
例1
追问4 不求A ， B两点的坐标，能否求出|AB| ？
知识应用
例1
追问5 如何求线段AB中点的坐标？
知识应用
例1
追问5 如何求线段AB中点的坐标？
由一元二次方程根与系数的关系，可知
由中点坐标公式，
则M(x0，y0)在直线AB上，
则线段AB的中点
答案：设A(x1，y1） B(x2，y2）线段的中点M(x0，y0) ，
则x1 ，x2是方程5x2+6x27=0的两根，
知识应用
例1
追问6 如何求△AOB的面积？
答案：已求得|AB|，再求出AB边上的高，即可求得面积
直线AB的一般式方程为
则原点O到直线AB的距离为
知识应用
例1
追问7 求△AOB的面积，还有其它的方法吗？
面积差
答案：设A(x1，y1） B(x2，y2） ，则有
知识应用
例1
追问7 求△AOB的面积，还有其它的方法吗？
答案：设A(x1，y1） B(x2，y2） ，
所以
由 得
则
知识应用
例2
问题2
如何判断点P能否为线段AB的中点？
已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
答案：将直线方程与双曲线方程联立，消元，得到一个一元二次方程，通过根与系数的关系，表示线段A,B的中点坐标，再判断点P的坐标能否写成这种形式．
知识应用
例2
已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
追问1 本题中，怎样表示过点P（1，1）的直线AB？
答案：经过点P（1，1）的直线有两类：
直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1；
直线l的斜率为k时，直线方程为y-1=k（x-1）．
知识应用
例2
已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
追问2 过点P（1，1）的直线一定与双曲线C有两个公共点吗？
答案：不一定，
例如，直线x=1与双曲线C有一个公共点．
知识应用
例2
已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
追问3 过点P(1,1)的直线l满足什么条件,才能与双曲线C有两个公共点？
答案：由 消去y，并整理得
当2k2≠0且 时，方程组有两解，
此时，直线l与双曲线C有两个公共点．
知识应用
例2
已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
追问4 怎样表示线段AB的中点？
答案：
当2k2≠0且 时，
设A(x1，y1） B(x2，y2）线段的中点M(x0，y0) ，
而 ，故
知识应用
例2
已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
追问5 至此，如何判断点P(1,1)能否是线段AB的中点？
答案：我们已经求得 ，
若P是线段AB中点，则 ，解得k=2．
而当k=2时，方程
化为
则当k=2时，直线与双曲线C无公共点，不符合题意．
所以，点P不是线段AB的中点．
再 见

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