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考点24二次函数
考点总结
1．二次函数
形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数。它的图像是一条抛物线。
2．的图像与性质
（1）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）。
（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。
当a0时，y随x的增大而减小。
3．的图像与性质
（1）由向上（或向下）平移k个单位得到的。
（2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,k）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=0时，y=k。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。
当a0时，y随x的增大而减小。
4．的图像与性质
（1）由向左（或向右）平移h个单位得到的。
（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=0。当xh时，y随x的增大而增大。
当ah时，y随x的增大而减小。
5．+k（a0）的图像与性质
（1）（a0）由（a0）先向右（或向左）平移h个单位，再向上（或向下）平移k个单位得到的。
（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=k。当xh时，y随x的增大而增大。
当ah时，y随x的增大而减小。
（4）二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k（a0）中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关。
6．通过配方把二次函数化成+k（a0）的形式，即
（1）对称轴，顶点坐标（）
（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=时，y=。当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大。
当a时，y随x的增大而减小。
7．最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。
解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。
8．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求。
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。
（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求。
9．抛物线与直线的交点
一次函数与二次函数交点的个数由方程组的解得个数决定。
当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。
当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点。
当方程组无解时，两函数图像没有交点。
10．二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数，当y=0时，二次函数就转化为一元二次方程。
（2）抛物线与x轴交点的个数就由一元二次方程中的决定。
若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若，抛物线与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。
11．二次函数与一元二次不等式之间的关系
若，的解集为；
的解集为。
若，的解集为；
的无解。
若，的解集为x可取任意实数。
的无解。
真题演练
一、单选题
1．（2022·湖南娄底·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南株洲·中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南张家界·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·湖南岳阳·中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
5．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·湖南娄底·中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·湖南湘西·中考真题）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ）
A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
8．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
9．（2020·湖南岳阳·中考真题）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·湖南株洲·中考真题）二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（ ）
A． B． C． D．、的大小无法确定
二、填空题
11．（2021·湖南益阳·中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中_______．
12．（2020·湖南岳阳·中考真题）在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________．
13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）二次函数的顶点坐标是__________．
14．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．
15．（2021·湖南怀化·三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
三、解答题
16．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021·湖南益阳·中考真题）已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上．
（1）若点也在上述函数图象上，满足．
①当时，求的值；
②若，设，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．考点24二次函数
考点总结
1．二次函数
形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数。它的图像是一条抛物线。
2．的图像与性质
（1）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）。
（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。
当a0时，y随x的增大而减小。
3．的图像与性质
（1）由向上（或向下）平移k个单位得到的。
（2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,k）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=0时，y=k。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。
当a0时，y随x的增大而减小。
4．的图像与性质
（1）由向左（或向右）平移h个单位得到的。
（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=0。当xh时，y随x的增大而增大。
当ah时，y随x的增大而减小。
5．+k（a0）的图像与性质
（1）（a0）由（a0）先向右（或向左）平移h个单位，再向上（或向下）平移k个单位得到的。
（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=k。当xh时，y随x的增大而增大。
当ah时，y随x的增大而减小。
（4）二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k（a0）中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关。
6．通过配方把二次函数化成+k（a0）的形式，即
（1）对称轴，顶点坐标（）
（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=时，y=。当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大。
当a时，y随x的增大而减小。
7．最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。
解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。
8．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求。
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。
（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求。
9．抛物线与直线的交点
一次函数与二次函数交点的个数由方程组的解得个数决定。
当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。
当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点。
当方程组无解时，两函数图像没有交点。
10．二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数，当y=0时，二次函数就转化为一元二次方程。
（2）抛物线与x轴交点的个数就由一元二次方程中的决定。
若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若，抛物线与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。
11．二次函数与一元二次不等式之间的关系
若，的解集为；
的解集为。
若，的解集为；
的无解。
若，的解集为x可取任意实数。
的无解。
真题演练
一、单选题
1．（2022·湖南娄底·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．
【详解】
解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：
由图知，显然，
当时，将其分别代入与计算得；
，
，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，
故选：D．
2．（2021·湖南株洲·中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
3．（2022·湖南张家界·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．
【详解】
解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，
∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
4．（2021·湖南岳阳·中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
【答案】D
【分析】
分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】
解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
5．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先画出二次函数的图象，再根据二次函数图象的平移画出二次函数的图象，利用图象比较a、b、m、n的大小关系．
【详解】
解：如图所示，
二次函数的图象与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象向下平移2个单位长度可得二次函数的图象，它与x轴的交点的横坐标为m、n，
通过观察图象得出结论：．
故选：C．
6．（2020·湖南娄底·中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把代入四个函数解析式，解方程即可得到答案．
【详解】
解：当
＜，
原方程没有实数解，
没有零点，故不符合题意，
当
显然，方程没有解，
所以没有零点，故不符合题意，
当
显然方程无解，
所以没有零点，故不符合题意，
当
所以有两个零点，故符合题意，
故选
7．（2020·湖南湘西·中考真题）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ）
①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【答案】D
【分析】
由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判断⑤．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x==1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a=，
代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0，
+c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确；
故选：D．
8．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】
将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
9．（2020·湖南岳阳·中考真题）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【详解】
解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
10．（2020·湖南株洲·中考真题）二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（ ）
A． B． C． D．、的大小无法确定
【答案】B
【分析】
首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.
【详解】
解：∵，b20,
∴a>0.
又∵，
∴b<0.
∵，，
∴,x1<0.
∵点，在该二次函数的图象上
∴，.
∴y1-y2=2bx1>0.
∴y1>y2.
故选：B.
二、填空题
11．（2021·湖南益阳·中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中_______．
【答案】6
【分析】
根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得．
【详解】
解：由表格可知，和时的函数值相等，
则二次函数的对称轴为直线，
因此，和的函数值相等，即，
故答案为：6．
12．（2020·湖南岳阳·中考真题）在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________．
【答案】
【分析】
当a大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解．
【详解】
解：当a大于0时，二次函数图象开口向上，
，，1，2，3中大于0的数有3个，
所以该二次函数图象开口向上的概率是，
故答案为：．
13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）二次函数的顶点坐标是__________．
【答案】（1，3）
【分析】
根据题目中函数的解析式可以得到此二次函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】
解：∵y=-2（x-1）2+3，
∴二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）
故答案为：（1，3）．
14．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．
【答案】3
【分析】
根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=b，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线x=b对称，可得，即可得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点列不等式可得出b、c的值，即可得答案．
【详解】
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线x==b，
∵抛物线经过不同两点，，
∴A、B两点关于直线x=b对称，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△==≥0，
∴≥0，即-4（b-2）2≥0，
∴b=2，
∴c=b-1=1，
∴=3，
故答案为：3
（2021·湖南怀化·三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【分析】
根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案．
【详解】
解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
∴ ,
∴ ,故①正确．
当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0 0,故②错误．
∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确．
故答案为：①③
三、解答题
16．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．
【分析】
（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）对于：当x=0时，；
当y=0时，，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，）
把A（3，0），B（0，）代入得：
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，
∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1，）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）
17．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
18．（2021·湖南益阳·中考真题）已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上．
（1）若点也在上述函数图象上，满足．
①当时，求的值；
②若，设，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）①；②；（2）直线与轴交于定点，定点的坐标为．
【分析】
（1）①先确定，再根据代入求解即可得；
②先确定，从而可得，再代入可得一个关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得；
（2）先分别求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出结论．
【详解】
解：（1）①对于二次函数，
在内，随的增大而增大，
，
，
则当时，，解得或（舍去），
当时，，解得；
②，
，
，
则，
化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最小值，最小值为；
（2）由题意，设与交于点，画图如下，
在已知函数的第一象限内的图象上，
，即，
轴，轴，点关于轴的对称点为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
关于直线的对称点为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，即，
设点的坐标为，
则，解得，即，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
即直线与轴交于定点．
参考答案
1．D
【分析】
在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．
【详解】
解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：
由图知，显然，
当时，将其分别代入与计算得；
，
，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点得出答案．
2．D
【分析】
由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
3．D
【分析】
先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．
【详解】
解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，
∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为解答本题的关键．
4．D
【分析】
分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】
解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
5．C
【分析】
先画出二次函数的图象，再根据二次函数图象的平移画出二次函数的图象，利用图象比较a、b、m、n的大小关系．
【详解】
解：如图所示，
二次函数的图象与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象向下平移2个单位长度可得二次函数的图象，它与x轴的交点的横坐标为m、n，
通过观察图象得出结论：．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和平移，解题的关键是掌握二次函数图象与x轴交点坐标的求解方法以及函数图象的平移方法．
6．D
【分析】
把代入四个函数解析式，解方程即可得到答案．
【详解】
解：当
＜，
原方程没有实数解，
没有零点，故不符合题意，
当
显然，方程没有解，
所以没有零点，故不符合题意，
当
显然方程无解，
所以没有零点，故不符合题意，
当
所以有两个零点，故符合题意，
故选
【点睛】
本题考查的是函数的零点，即函数与轴的交点的情况，掌握令，再解方程是解题的关键．
7．D
【分析】
由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判断⑤．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x==1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a=，
代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0，
+c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键．
8．C
【分析】
将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】
将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
9．A
【分析】
根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【详解】
解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
10．B
【分析】
首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.
【详解】
解：∵，b20,
∴a>0.
又∵，
∴b<0.
∵，，
∴,x1<0.
∵点，在该二次函数的图象上
∴，.
∴y1-y2=2bx1>0.
∴y1>y2.
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键.
11．6
【分析】
根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得．
【详解】
解：由表格可知，和时的函数值相等，
则二次函数的对称轴为直线，
因此，和的函数值相等，即，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
12．
【分析】
当a大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解．
【详解】
解：当a大于0时，二次函数图象开口向上，
，，1，2，3中大于0的数有3个，
所以该二次函数图象开口向上的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题．
13．（1，3）
【分析】
根据题目中函数的解析式可以得到此二次函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】
解：∵y=-2（x-1）2+3，
∴二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）
故答案为：（1，3）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．3
【分析】
根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=b，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线x=b对称，可得，即可得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点列不等式可得出b、c的值，即可得答案．
【详解】
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线x==b，
∵抛物线经过不同两点，，
∴A、B两点关于直线x=b对称，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△==≥0，
∴≥0，即-4（b-2）2≥0，
∴b=2，
∴c=b-1=1，
∴=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查二次函数与x轴交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题．
15．①③
【分析】
根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案．
【详解】
解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
∴ ,
∴ ,故①正确．
当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0 0,故②错误．
∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确．
故答案为：①③
【点睛】
本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题．
16．（1）抛物线的解析式为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．
【分析】
（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）对于：当x=0时，；
当y=0时，，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，）
把A（3，0），B（0，）代入得：
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，
∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1，）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）
【点睛】
本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．
17．（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
18．（1）①；②；（2）直线与轴交于定点，定点的坐标为．
【分析】
（1）①先确定，再根据代入求解即可得；
②先确定，从而可得，再代入可得一个关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得；
（2）先分别求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出结论．
【详解】
解：（1）①对于二次函数，
在内，随的增大而增大，
，
，
则当时，，解得或（舍去），
当时，，解得；
②，
，
，
则，
化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最小值，最小值为；
（2）由题意，设与交于点，画图如下，
在已知函数的第一象限内的图象上，
，即，
轴，轴，点关于轴的对称点为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
关于直线的对称点为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，即，
设点的坐标为，
则，解得，即，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
即直线与轴交于定点．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．

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