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考点22解直角三角形
考点总结
1．锐角三角函数
（1）在Rt△ABC中
∠A 的正弦：sinA=∠A的对边/斜边
∠A 的余弦：cosA=∠A的邻边/斜边
∠A 的正切：tanA=∠A的对边/∠A的邻边
∠A 的余切：cotA=∠A的邻边/∠A的对边
（2）0结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，两个锐角互余。
（4）特殊角的函数值
1 1
2．解直角三角形，只有两种情况
（1）已知两条边
（2）已知一条边和一个锐角
真题演练
一、单选题
1．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南株洲·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．
①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）．
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
4．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m，，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）如图，△ABC中，，，，以AB上的一点O为圆心的圆与AC相切于点G，与BC交于D，E两点，连接DF，EF若，则弦DE的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
7．（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则________．
8．（2021·湖南郴州·中考真题）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________．
9．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图1，菱形的对角线与相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为__________厘米．
10．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）有一斜坡，坡顶离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若坡比为，则此斜坡的水平距离为__________ ．
三、解答题
11．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，矩形中为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上．
（1）证明：；
（2）若，求折痕的长度
12．（2021·湖南湘潭·中考真题）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．
某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作，用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼的高度．（结果保留整数，，）
13．（2021·湖南湘潭·中考真题）计算：
14．（2021·湖南湘西·中考真题）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
15．（2021·湖南娄底·中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．
16．（2021·湖南娄底·中考真题）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取）
17．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．
（1）如图①，若，证明：．
（2）如图②，若，，求的值．
（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
18．（2021·湖南郴州·中考真题）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度．
（参考数据：，，．结果精确到0.1米）考点22解直角三角形
考点总结
1．锐角三角函数
（1）在Rt△ABC中
∠A 的正弦：sinA=∠A的对边/斜边
∠A 的余弦：cosA=∠A的邻边/斜边
∠A 的正切：tanA=∠A的对边/∠A的邻边
∠A 的余切：cotA=∠A的邻边/∠A的对边
（2）0结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，两个锐角互余。
（4）特殊角的函数值
1 1
2．解直角三角形，只有两种情况
（1）已知两条边
（2）已知一条边和一个锐角
真题演练
一、单选题
1．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数的图象经过线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出；根据菱形的性质可得，，可判定是等边三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之间的数量关系求解．
【详解】
∵菱形ABCD，
∴
∴D点的坐标为（0，2）
设C点坐标为（，0）
∵线段DC的中点N
∴设N点坐标为（，1）
又∵反比例函数的图象经过线段DC的中点N
∴，解得
即C点坐标为（，0），
在中，
∴
∵菱形ABCD
∴，，
∴是等边三角形
又∵于E点，于O点
∴，
∵，，
∴
∴
又∵在中，
∴
∴
故选：D．
2．（2022·湖南株洲·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．
①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
①三点共线，直接计算可得；
②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出；
③方法同②．
【详解】
如图过E点作交的延长线于点M，
则
①当时,三点共线，
小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．
②当时，
等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．
③当时，
等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．
综上所述：说法正确的为：①②，共2个．
故选：C．
3．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）．
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【分析】
结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得：
∵米
∴米
故选：D．
4．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m，，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意及图形作如图所示辅助线，可得：，然后在在中，利用三角函数及勾股定理可得：，，依据图形可得：，利用其正切值可确定，即可确定，然后继续利用其正切值，即可求出答案．
【详解】
如图所示，延长AD交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BE于点F，
∵，
∴，
又∵，
在中，
∴，，
根据题意及图形可得：，
∴，
∴，
∴，
即电线杆的高度为米．
故选：B．
5．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）如图，△ABC中，，，，以AB上的一点O为圆心的圆与AC相切于点G，与BC交于D，E两点，连接DF，EF若，则弦DE的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接OG，OD，OE，过点O作OH⊥BE交BE于H，根据圆周角定理得，在证明四边形GCHO是矩形，得到OH=GC，最后解直角三角形即可得到答案.
【详解】
解：连接OG，OD，OE，过点O作OH⊥BE交BE于H，
∵∠DOE=2∠DFE，∠DFE=∠B，
∴∠DOE=2∠B，
∵OD=OE，OH⊥DE，
∴，∠OHC=90°，DH=DE
∵AC是圆的切线，
∴OG⊥AC，即∠AGO=∠OGC=90°，
∵∠C=90°=∠OHC，
∴四边形GCHO是矩形，
∴OH=GC，
在Rt△ABC中，
∴，，，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选D.
二、填空题
6．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
【答案】3
【分析】
在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
【详解】
解：在中，
在矩形中，
故答案为：3．
7．（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则________．
【答案】15．
【分析】
根据同角的余角相等得到，进一步根据三角函数求解即可．
【详解】
解：如图所示，
∵且四边形为平行四边形，
∴，，
又∵,
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴mm．
故答案为：15．
8．（2021·湖南郴州·中考真题）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解．
【详解】
解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
若使的值为最小，也就相当于为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示：
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
9．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图1，菱形的对角线与相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为__________厘米．
【答案】
【分析】
四边形是菱形，由图象可得AC和BD的长，从而求出OC、OB和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和．
【详解】
由图可知，（厘米），
∵四边形为菱形
∴（厘米）
∴
P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于．
此时，P、Q两点运动路程之和
∵（厘米）
∴（厘米）
故答案为．
10．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）有一斜坡，坡顶离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若坡比为，则此斜坡的水平距离为__________ ．
【答案】75m
【分析】
根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．
【详解】
解：∵坡比为2：5，BC=30m，
∴,即,
解得：AC=75，
故答案为：75m．
三、解答题
11．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，矩形中为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上．
（1）证明：；
（2）若，求折痕的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由折叠的性质证明再证明 从而可得结论；
（2）利用折叠与三角形全等的性质求解 再利用的余弦求解即可.
【详解】
解：（1） 矩形，
由对折可得：
为的中点，
（2），
由折叠可得：
12．（2021·湖南湘潭·中考真题）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．
某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作，用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼的高度．（结果保留整数，，）
【答案】米．
【分析】
利用俯角定义，结合正弦、正切的定义、含30°角的直角三角形的性质，分别解得的长，再计算AD的长即可．
【详解】
解：在中，
中，
（米）
答：万楼主楼的高度为米．
13．（2021·湖南湘潭·中考真题）计算：
【答案】
【分析】
根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可．
【详解】
解：
．
14．（2021·湖南湘西·中考真题）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
【答案】m
【分析】
由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有m，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：由题意得：，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有m，
∴，即，
解得：，
∴m．
15．（2021·湖南娄底·中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；
（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可证△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根据勾股定理，即可；
（3）将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，由△ABC为等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF= tanα+ tanβ,BE =1-tanα,CF= 1-tanβ，可证△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得结论．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，
，
即；
（3）证明：将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵，
∴AC= ，
在Rt△ABC中由勾股定理
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，即，
∴，
整理得，
即，
∴，
∴，
∴．
16．（2021·湖南娄底·中考真题）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角为，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到，取）
【答案】
【分析】
根据在P处测得A点的仰角为且A与P两点的距离为6千米，可以求出的长，再根据此时在P处测得B点的仰角为，为等腰直角三角形，可以间接求出的长，再利用平均速度的计算公式即可求解．
【详解】
解：根据在P处测得A点的仰角为且A与P两点的距离为6千米知；
在中，，
(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角为，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A处到B处的平均速度为：，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为．
17．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．
（1）如图①，若，证明：．
（2）如图②，若，，求的值．
（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的值为或．
【分析】
（1）先根据平行线的判定与性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据菱形的判定与性质即可得证；
（2）设与的交点为点，过点作于点，设，从而可得，先证出，从而可得，设，根据线段的和差可得，代入可求出，从而可得，再在中，解直角三角形可得，由此可得，然后在中，根据余弦三角函数的定义即可得；
（3）如图（见解析），设，从而可得，分①点在直线的左侧；②点在直线的右侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得．
【详解】
（1）证明：，，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
；
（2）如图，设与的交点为点，过点作于点，
，
是等腰三角形，，
设，则，
，
，
由折叠的性质得：，
在和中，，
，
，
设，则，
，
解得，
，
在中，，
，
则；
（3），
，
设，则，
由折叠的性质得：，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在直线的左侧时，过点作于点，
（等腰三角形的三线合一），
，
在中，，
，
又，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
②如图，当点在直线的右侧时，过点作于点，
同理可得：，
，
点在上，
由折叠的性质得：，
在中，，
，
，
综上，存在点，使得，此时的值为或．
18．（2021·湖南郴州·中考真题）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度．
（参考数据：，，．结果精确到0.1米）
【答案】观光电梯的高度为141.1米
【分析】
过点B作BE⊥AC于点E，根据斜坡（米），坡度可求得BE和AE的长，根据△BEC是等腰直角三角形可求出CE，最后根据AC=AE+CE可求出结论．
【详解】
解：过点B作BE⊥AC于点E，如图，
在Rt△ABE中，（米），坡度，即
设AE=x（米），则BE=2x（米）
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴（米），（米）
∵
∴△BEC是等腰直角三角形
∴（米）
∴AC=AE+CE=（米）
答：观光电梯的高度为141.1米

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