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第四章 三角函数
考点一、三角函数的定义、三角函数的基本关系与诱导公式
1．设P(x，y)是角α的终边上任意一点，记r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
三角函数值在各象限内符号为正的口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝．
3．三角函数的诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
4．特殊角的三角函数值
角α度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
角α的弧度数 0 π
sin α 0 1 0
cos α 1 0 － - － －1
tan α 0 1 － －1 － 0
[学业水平考试真题]
1．(2017年1月广东学考)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(，－2)，下列等式不正确的是(　　)
A．sin α＝－ B．sin(α＋π)＝ C．cos α＝ D．tan α＝－
2．(2018年1月广东学考)若sin＝，且0<θ<π，则tan θ＝ ．
3．(2019年1月广东学考)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(4，－3)，则cos α＝ ．
4．(2020年1月广东学考)若sinα>0，且cosα<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．(2021年1月广东学考)已知，则的值为(　　)
A． B． C． D．
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2018年深圳市学考模拟题)已知角β的终边经过点P(1，－2)，则sin β＝(　　)
A．－2 B．－ C．－ D．
2．(2019年东莞学考模拟题)已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
3．(2019年佛山高一期中)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第 象限．
4．(2018年揭阳高一月考)sin 600°的值是(　　)
A． B． C．－ D．－
5．(2019年韶关高二期末)已知sin α＝，则cos＝(　　)
A． B．－ C． D．－
6．(2018年广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A)＝－，那么sin＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
7．化简的结果是(　　)
A．－1 B．1 C．tan α D．－tan α
8．(2015年福建高考)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A．　　　　　 B．－　　　　　C． D．－
9．已知α是第四象限角，cos α＝，则tan(π＋α)等于(　　)
A．　　　　　 B．－　　　　　C． D．－
10．已知tan α＝2，则的值为________．
11．已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于(　　)
A． B．－ C．－7 D．7
12．若tan α＝2，则 4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________．
考点二、三角函数的图象和性质
1．三角函数的图象和性质(k∈Z)
解析式 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在上递增，在上递减 在[2kπ－π，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减 在上都是增函数
最值 x＝＋2kπ时，ymax＝1；x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π时，ymin＝－1 无
对称性 对称中心：(kπ，0)对称轴：x＝kπ＋， 对称中心：对称轴：x＝kπ， 对称中心：对称轴：无
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
最值A，最小正周期T＝，相位ωx＋φ．
3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
[学业水平考试真题]
1．(2018年1月广东学考)函数f(x)＝4sin xcos x，则f(x)的最大值和最小正周期分别为(　　)
A．2和π B．4和π C．2和2π D．4和2π
2．(2021年1月广东学考)为了得到函数的图像，只需要把函数的图像上所有的点(　　)
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2019年惠州学考模拟题)函数f(x)＝x＋sin x，x∈R(　　)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数
2．(2021年全国Ⅰ卷)下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．(2017年全国卷Ⅱ )函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A．4π　　　　　B．2π　　　　C．π 　　 D．
4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点(，0)对称 B．关于点(，0)对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
5．(2016年武汉调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数　　　　　　　　　　　　　B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数　　　　　　D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
6．(2019年深圳高一月考)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．(2016年湖北八校第二次联考)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
8．(2016年全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin　　B．y＝2sin　　C．y＝2sin D．y＝2sin
9．(2019年东莞市学考模拟题)下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos
10．(2018年深圳市高一期中)函数f(x)＝sin(2x＋φ)(其中φ为常数，|φ|<)的部分图象如图所示，则φ＝ ．
11．(2015年全国卷Ⅰ) 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A． B．
C． D．
考点三、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinα cosβ ± cosα sinβ；
(2)cos(α±β)＝cosα cosβ sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝．
2．二倍角公式
(1)sin 2α＝2sinα cosα；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝．
[学业水平考试真题]
1．(2017年1月广东学考)函数f(x)＝sin xcos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x的最小正周期是____________．
2．(2020年1月广东学考)已知函数．
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)若满足，求的值．
3．(2021年1月广东学考)已知，则= ．
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))sin 27°cos 18°＋cos 27°sin 18°的值为(　　)
A． B． C． D．1
2．(2019年全国Ⅰ卷)tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋
3．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos的值为(　　)
A．　　　 B．－　　　　 C． 　 D．－
4．(2020年全国Ⅱ卷)若sin x＝－，则cos 2x＝________．
5．(2018年揭阳学考模拟题)如果α为锐角，sin α＝，那么sin 2α的值等于(　　)
A． B． C．－ D．－
6．(2019年广州高一月考)已知cos x＝，则cos 2x等于(　　)
A．－ B． C．－ D．
7．(2019年深圳市学考模拟)sin 15°sin 75°的值是(　　)
A． B． C． D．
8．(2018年潮州市高一期中)若tan α＝，则tan 2α的值为(　　)
A．1 B．－ C． D．
参考答案
考点一、三角函数的定义、三角函数的基本关系与诱导公式
[学业水平考试真题]
1．(2017年1月广东学考)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(，－2)，下列等式不正确的是(　D　)
A．sin α＝－ B．sin(α＋π)＝ C．cos α＝ D．tan α＝－
2．(2018年1月广东学考)若sin＝，且0<θ<π，则tan θ＝ ．
3．(2019年1月广东学考)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(4，－3)，则cos α＝ ．
4．(2020年1月广东学考)若sinα>0，且cosα<0，则角α是(　B　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．(2021年1月广东学考)已知，则的值为(　A　)
A． B． C． D．
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2018年深圳市学考模拟题)已知角β的终边经过点P(1，－2)，则sin β＝(　C　)
A．－2 B．－ C．－ D．
2．(2019年东莞学考模拟题)已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α等于(　D　)
A．－ B．－ C．－ D．－
3．(2019年佛山高一期中)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第 二 象限．
4．(2018年揭阳高一月考)sin 600°的值是(　C　)
A． B． C．－ D．－
5．(2019年韶关高二期末)已知sin α＝，则cos＝(　B　)
A． B．－ C． D．－
6．(2018年广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A)＝－，那么sin＝(　B　)
A．－ B． C．－ D．
7．化简的结果是(　C　)
A．－1 B．1 C．tan α D．－tan α
8．(2015年福建高考)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　D　)
A．　　　　　 B．－　　　　　C． D．－
9．已知α是第四象限角，cos α＝，则tan(π＋α)等于(　D　)
A．　　　　　 B．－　　　　　C． D．－
10．已知tan α＝2，则的值为____3____．
11．已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于(　A　)
A． B．－ C．－7 D．7
12．若tan α＝2，则 4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝____1____．
考点二、三角函数的图象和性质
[学业水平考试真题]
1．(2018年1月广东学考)函数f(x)＝4sin xcos x，则f(x)的最大值和最小正周期分别为(　A　)
A．2和π B．4和π C．2和2π D．4和2π
2．(2021年1月广东学考)为了得到函数的图像，只需要把函数的图像上所有的点(　A　)
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2019年惠州学考模拟题)函数f(x)＝x＋sin x，x∈R(　A　)
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数
2．(2021年全国Ⅰ卷)下列区间中，函数单调递增的区间是（ A ）
A． B． C． D．
3．(2017年全国卷Ⅱ )函数f(x)＝sin的最小正周期为(　C　)
A．4π　　　　　B．2π　　　　C．π 　　 D．
4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　B　)
A．关于点(，0)对称 B．关于点(，0)对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
5．(2016年武汉调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　D　)
A．函数f(x)是偶函数　　　　　　　　　　　　　B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数　　　　　　D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
6．(2019年深圳高一月考)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　A　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．(2016年湖北八校第二次联考)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为(　C　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
8．(2016年全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　D　)
A．y＝2sin　　B．y＝2sin　　C．y＝2sin D．y＝2sin
9．(2019年东莞市学考模拟题)下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　D　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos
10．(2018年深圳市高一期中)函数f(x)＝sin(2x＋φ)(其中φ为常数，|φ|<)的部分图象如图所示，则φ＝ ．
11．(2015年全国卷Ⅰ) 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　D　)
A． B．
C． D．
考点三、三角恒等变换
[学业水平考试真题]
1．(2017年1月广东学考)函数f(x)＝sin xcos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x的最小正周期是______π______．
2．(2020年1月广东学考)已知函数．
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)若满足，求的值．
解：(1)函数的最小正周期是，的最大值是1．
(2)由，得，
所以．
3．(2021年1月广东学考)已知，则= ﹣3 ．
[学业水平考试最新模拟题]
1．(2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇))sin 27°cos 18°＋cos 27°sin 18°的值为(　A　)
A． B． C． D．1
2．(2019年全国Ⅰ卷)tan 255°＝(　D　)
A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋
3．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos的值为(　A　)
A．　　　 B．－　　　　 C． 　 D．－
4．(2020年全国Ⅱ卷)若sin x＝－，则cos 2x＝________．
5．(2018年揭阳学考模拟题)如果α为锐角，sin α＝，那么sin 2α的值等于(　A　)
A． B． C．－ D．－
6．(2019年广州高一月考)已知cos x＝，则cos 2x等于(　D　)
A．－ B． C．－ D．
7．(2019年深圳市学考模拟)sin 15°sin 75°的值是(　C　)
A． B． C． D．
8．(2018年潮州市高一期中)若tan α＝，则tan 2α的值为(　D　)
A．1 B．－ C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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