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6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标 把握航向 目的明确
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
重点：向量数乘运算的坐标表示．
难点：对向量数乘运算的坐标表示的理解．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意点：
(1)a＝λb，其中a为任意向量，b≠0；
(2)向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减；
(3)x1y2－x2y1＝0这个式子也可以写成＝(x2y2≠0)或＝(x1y1≠0)或＝(y1y2≠0) 或＝(x1 x 2≠0)，这几个式子的优点在于通过看两向量的横、纵坐标之比是否相等，即可判断两向量是否共线，应注意先判断分母之积是否为零.
知识点三　向量共线的正确理解
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a//b(b≠0) a＝λb，这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；
(2)x1y2－x2y1＝0这是代数运算，用它解决向量共线的优点是不需要引入参数“λ”，从而使问题的解决具有代数化、程序化的特点.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 平面向量数乘运算的坐标表示
例1　(1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b等于(　　)
A.(1，－2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0)
答案：A
解析：b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
(2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则等于(　　)
A.(－2，－2) B.(2，2) C.(1，1) D.(－1，－1)
答案：D
解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1).
反思感悟：平面向量坐标运算的技巧：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行；(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝.
题型二 向量共线的判定
例2　下列各组向量中，共线的是(　　)
A.a＝(－2，3)，b＝(4，6) B.a＝(2，3)，b＝(3，2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7，14) D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
答案：D
解析：A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
反思感悟：向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练2　下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝
答案：B
解析：A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；D选项，2×－(－3)×＝0，∴e1∥e2，不可以作为基底.
题型三 利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
答案：－3
解析：由题意知－6＝2λ，所以λ＝－3.
(2)已知点P(－1，2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).若向量与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________.
答案：－
解析：点P(－1，2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)，所以向量＝2(1－(－1)，－1－2)＝(4，－6)，又因为与向量a＝(λ，1)共线，所以4×1＋6λ＝0，解得λ＝－.
反思感悟：利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.需要注意的是当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)
A.－1或 B.1或－ C.－1 D.
答案：D
解析：非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，∴m＝.
(2)已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
答案：－
解析：＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，
由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意舍去).
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A.e1＝(2，2)，e2＝(1，1) B.e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8)
C.e1＝(1，0)，e2＝(0，－1) D.e1＝(1，－2)，e2＝
答案：C
解析：选项C中，e1，e2不共线，可作为一个基底.
2.如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　)
A.±2 B.－2 C.2 D.0
答案：B
解析：∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b＝λa，即(4，k)＝λ(k，1)＝(λk，λ)，∴解得或(舍去).
3.下列向量中，与向量c＝(2，3)不共线的一个向量p等于(　　)
A.(5，4) B. C. D.
答案：A
解析：因为向量c＝(2，3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A中向量与c不共线.
4.与a＝(12，5)平行的单位向量为(　　)
A. B. C.或 D.
答案：C
解析：设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则∴或
5.已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　)
A.(1，2) B.(－1，－2) C.(－1，2) D.(1，－2)
答案：A
解析：a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1，2).
6.向量a＝(1，－2)，a∥b，则b可能是(　　)
A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8) D.(－4，8)
答案：D
解析：由a∥b可排除A，B，C.
7.已知向量a＝(3，5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案：B
解析：由a∥b，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝.
8.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n等于(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
答案：C
解析：由于p＝ma＋nb，即(9，4)＝(2m，－3m)＋(n，2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)，所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4，解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.
9. (多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(－3，7)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0，1)，e2＝(0，－2) B.e1＝(1，5)，e2＝(－2，－10)
C.e1＝(－5，3)，e2＝(－2，1) D.e1＝(7，8)，e2＝(－7，－8)
答案：ABD
解析：因为A，B，D中都是两个共线向量，而C中两向量不共线，故C可以把向量a＝(－3，7)表示出来.
10.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A.k＝－2 B.k＝ C.k＝1 D.k＝－1
答案：C
解析：因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1，2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
二、填空题
11.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________.
答案：－
解析：因为向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，所以2a＋b＝(4，2λ＋1)，所以由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0，解得λ＝－.
12.已知＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1).若A，C，D三点共线，则k＝________.
答案：4
解析：因为＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1)，所以＝＋＝(10，k＋1)，又因为A，C，D三点共线，所以∥.所以10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.
13.已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________.
答案：(3，5)　(－2，－2)
解析：由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，所以2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，所以a＝(3，5)，2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，所以b＝(－2，－2).
14.已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
答案：5
解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
15.已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________.
答案：
解析：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则(x1－2，y1－4)＝(－6，2)＝(－9，3)，∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7，7).(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，∴x2＝4，y2＝，即D，则＝.
三、解答题
16.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值.
解：ma＋4b＝(2m，3m)＋(－4，8)＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，
因为ma＋4b与a－2b共线，所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2.
17.已知两点A(3，－4)，B(－9，2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
解：设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，∴(x－3，y＋4)＝(－9－x，2－y).解得x＝－1，y＝－2，
∴P(－1，－2).
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x，2－y).
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6).
综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).
18.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标.
解：设P(x，y)，
则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).
又∵＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得(5λ－4)6＋12λ＝0.
解得λ＝，∴＝＝，
又＝＋＝(1，0)＋＝，
∴点P的坐标为.
19.已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足＝＋λ(λ∈R).
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？
(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围.
解：设P(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3).
因为＝(3，1)，＝(5，7)，所以＝＋λ＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以所以所以点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ).
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝.
所以当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上.
(2)当点P在第三象限时，有成立，解得λ<－1.
所以实数λ的取值范围是(－∞，－1).
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标 把握航向 目的明确
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
重点：向量数乘运算的坐标表示．
难点：对向量数乘运算的坐标表示的理解．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意点：
(1)a＝λb，其中a为任意向量，b≠0；
(2)向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减；
(3)x1y2－x2y1＝0这个式子也可以写成＝(x2y2≠0)或＝(x1y1≠0)或＝(y1y2≠0) 或＝(x1 x 2≠0)，这几个式子的优点在于通过看两向量的横、纵坐标之比是否相等，即可判断两向量是否共线，应注意先判断分母之积是否为零.
知识点三　向量共线的正确理解
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a//b(b≠0) a＝λb，这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；
(2)x1y2－x2y1＝0这是代数运算，用它解决向量共线的优点是不需要引入参数“λ”，从而使问题的解决具有代数化、程序化的特点.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 平面向量数乘运算的坐标表示
例1　(1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b等于(　　)
A.(1，－2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0)
(2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则等于(　　)
A.(－2，－2) B.(2，2) C.(1，1) D.(－1，－1)
反思感悟：平面向量坐标运算的技巧：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行；(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
题型二 向量共线的判定
例2　下列各组向量中，共线的是(　　)
A.a＝(－2，3)，b＝(4，6) B.a＝(2，3)，b＝(3，2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7，14) D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
反思感悟：向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练2　下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝
题型三 利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.
(2)已知点P(－1，2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).若向量与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________.
反思感悟：利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.需要注意的是当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3　(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)
A.－1或 B.1或－ C.－1 D.
(2)已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A.e1＝(2，2)，e2＝(1，1) B.e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8)
C.e1＝(1，0)，e2＝(0，－1) D.e1＝(1，－2)，e2＝
2.如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于(　　)
A.±2 B.－2 C.2 D.0
3.下列向量中，与向量c＝(2，3)不共线的一个向量p等于(　　)
A.(5，4) B. C. D.
4.与a＝(12，5)平行的单位向量为(　　)
A. B. C.或 D.
5.已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　)
A.(1，2) B.(－1，－2) C.(－1，2) D.(1，－2)
6.向量a＝(1，－2)，a∥b，则b可能是(　　)
A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8) D.(－4，8)
7.已知向量a＝(3，5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A. B. C.－ D.－
8.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n等于(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
9. (多选)在下列向量组中，不能把向量a＝(－3，7)表示出来的是(　　)
A.e1＝(0，1)，e2＝(0，－2) B.e1＝(1，5)，e2＝(－2，－10)
C.e1＝(－5，3)，e2＝(－2，1) D.e1＝(7，8)，e2＝(－7，－8)
10.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A.k＝－2 B.k＝ C.k＝1 D.k＝－1
二、填空题
11.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2，1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝________.
12.已知＝(6，1)，＝(4，k)，＝(2，1).若A，C，D三点共线，则k＝________.
13.已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________.
14.已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
15.已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________.
三、解答题
16.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值.
17.已知两点A(3，－4)，B(－9，2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
18.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标.
19.已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足＝＋λ(λ∈R).
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？
(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围.
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