资源简介

2022-2023学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣2 D．x≠﹣1
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
3．（3分）利用平方差公式计算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的结果是（　　）
A．4﹣9a2 B．9a2﹣4 C．9a2﹣2 D．9a2+4
4．（3分）把多项式8a3b2+12ab3c因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．4ab B．4ab2c C．4ab2 D．8ab2
5．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝﹣
6．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝30°，则∠DBC的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
8．（3分）一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝（n为不小于2的整数），则a4的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图所示，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，使AD＝AC，E是BC边上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE．下列四个结论：
①∠ADE＝∠ACB；
②AC⊥DE；
③AE平分∠BED；
④DE＝CE+2BE．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　）
A．2 B．7 C．16 D．17
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：
①（﹣3）0＝　 　；
②a3 a4＝　 　；
③因式分解（﹣2x）2﹣1＝　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，P（1，﹣2）关于y轴对称点的坐标是 　 　．
13．（3分）若x2+mx+36是完全平方式，则m的值为 　 　．
14．（3分）若a﹣b＝﹣7，则a2﹣b2+14b的值是 　 　．
15．（3分）如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x°，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是　 　°．（用含x的式子表示）
16．（3分）如图所示，在坐标平面中，A（0，4），C为x轴负半轴上一点，CO＝3，AC＝5，若点P为y轴上一动点，以PC为腰作等腰三角形△PCQ，已知∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），连接OQ，则OQ的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题有8题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）5ab（2a﹣b+0.2）．
（2）．
18．（8分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E．F，AE＝CF．求证：DE＝BF．
19．（8分）先化简，求值：若x满足方程，求代数式的值．
21．（9分）如图是一个14×7的长方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，一条线段DE和一个三角形ABC的顶点都在格点上．
（1）直接写出S△ABC＝　 　；
（2）请利用平移或全等三角形的相关知识，仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留画图痕迹）；
①请画出格点△ABC的边AC上的高..和中线BH；
②在线段DE右侧找一个格点F，画出格点△DEF使它与以A、B、C为顶点的三角形全等；
③在所作的格点△DEF的边DE上找一点Q，再连接FQ，使∠DFQ＝45°．
22．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
23．（10分）已知AD是△ABC的边BC上的高，AE平分∠BAD交BC于点E，∠C＝∠B+∠BAD．
（1）如图1，求证：AE＝AC；
（2）如图2，点F是AB的中点，过点A作AG∥BC交CF的延长线于点G．
①求证：AG＝BE+2DE；
②如图3，连接EG交AB于H，若AD＝AH，求∠B的度数．
24．（10分）如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，
（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1，试判断线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若P为y轴上异于原点O和点B的一个动点，连接PA，过P点作PE⊥PA，且PE＝PA，连接AE，射线EO交AB延长线于Q，当P点在y轴上移动时，线段AQ的值是否发生变化．若不变化，求出AQ的值；若变化，请说明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市江夏区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣2 D．x≠﹣1
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2．
故选：C．
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
3．（3分）利用平方差公式计算（3a﹣2）（﹣3a﹣2）的结果是（　　）
A．4﹣9a2 B．9a2﹣4 C．9a2﹣2 D．9a2+4
【分析】原式利用平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4﹣9a2，
故选：A．
4．（3分）把多项式8a3b2+12ab3c因式分解时，应提取的公因式是（　　）
A．4ab B．4ab2c C．4ab2 D．8ab2
【分析】直接利用公因式的确定方法找出公因式进而得出答案．
【解答】解：8a3b2+12ab3c
＝4ab2（2a2+3bc），
故选：C．
5．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝﹣
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝＝，故A符合题意．
B、≠，故B不符合题意．
C、≠，故C不符合题意．
D、原式＝，故 D不符合题意．
故选：A．
6．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°与外角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2） 180°＝2×360°，
解得n＝6．
故选：D．
7．（3分）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝30°，则∠DBC的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【分析】根据折叠得到∠ABE＝∠A′BE，∠CBD＝∠C′BD，推出，即可求出答案．
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BD、BE折叠，
∴∠ABE＝∠A′BE，∠CBD＝∠C′BD，
且∠ABE+∠A′BE+∠CBD+∠C′BD＝180°，
∴，
∵∠ABE＝30°，
∴∠CBD＝60°．
故选：B．
8．（3分）一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝（n为不小于2的整数），则a4的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】将a1＝代入an＝得到a2的值，将a2的值代入，an＝得到a3的值，将a3的值代入，an＝得到a4的值．
【解答】解：将a1＝代入an＝得到a2＝＝，
将a2＝代入an＝得到a3＝＝，
将a3＝代入an＝得到a4＝＝．
故选：A．
9．（3分）如图所示，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，使AD＝AC，E是BC边上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE．下列四个结论：
①∠ADE＝∠ACB；
②AC⊥DE；
③AE平分∠BED；
④DE＝CE+2BE．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如图，延长EB至G，使BE＝BG，从而构造条件，得到△GAC≌△EAD，通过全等或线段的等量代换运算对结论进行判别，从而得到答案．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BG，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，
∴，
∵∠CAD＝2∠BAE，即，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC和△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
故结论①正确；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠AED，AE平分∠BED，
故结论③正确；
∵∠ACB＝90°，
在△BAE和△MAE中，
当∠BAE＝∠MAE时，∠EBA＝∠EMA＝90°，
则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠MAE时，则无法说明AC与DE垂直，故结论②错误；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故结论④正确．
综上所述，其中正确的有①③④．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　）
A．2 B．7 C．16 D．17
【分析】通过构造等边△ABQ和等边△MBP，得到△QBP≌△ABM （SAS），再证明△QMP≌△NMB （SAS），即可将线段AB、BM和MN集中到同一△QMB中，根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围．
【解答】解：如图，作等边△ABQ和等边△MBP，连接QP，QM，
在等边△ABQ和等边△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，
∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，
∴∠QBP＝∠ABM，
又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，
∴△QBP≌△ABM（SAS），
∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，
∵AM＝BN，
在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，
∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
∴∠MBN＝MPQ，
在△QMP和△NMB中，
，
∴△QMP≌△NMB（SAS），
∴MQ＝MN，
在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，
∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，
∴2＜MN＜16，
∴选项B，MN＝7符合题意，
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：
①（﹣3）0＝　1　；
②a3 a4＝　a7　；
③因式分解（﹣2x）2﹣1＝　（2x+1）（2x﹣1）　．
【分析】①根据零指数幂即可得出结论；
②由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可得出结论；
③根据平方差公式即可得出结论．
【解答】解：①（﹣3）0＝1；
②a3 a4＝a7；
③（﹣2x）2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．
12．（3分）在平面直角坐标系中，P（1，﹣2）关于y轴对称点的坐标是 　（﹣1，﹣2）　．
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：因为点P（1，﹣2）关于y轴对称，
所以纵坐标相等相等，横坐标互为相反数，
所以点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2）．
13．（3分）若x2+mx+36是完全平方式，则m的值为 　±12　．
【分析】根据多项式x2+mx+16是完全平方式，可得：m＝±2×1×6，据此求出m的值是多少即可．
【解答】解：∵多项式x2+mx+36是完全平方式，
∴m＝±2×1×6＝±12．
故答案为：±12．
14．（3分）若a﹣b＝﹣7，则a2﹣b2+14b的值是 　49　．
【分析】根据平方差公式分解因式，将a﹣b＝﹣7代入整理即可求出答案．
【解答】解：∵a﹣b＝﹣7，
∴a2﹣b2+14b＝（a+b）（a﹣b）+14b＝﹣7（a+b）+14b＝﹣7a﹣7b+14b＝﹣7a+7b＝﹣7（a﹣b）＝﹣7×（﹣7）＝49．
故答案为：49．
15．（3分）如图，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x°，其中60°＜x＜90°，则∠OAC的度数是　（180﹣）　°．（用含x的式子表示）
【分析】延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO，由等腰三角形的性质可得∠E＝＝90°﹣，由“SAS”可证△EAO≌△BAO，可得∠E＝∠ABO＝90°﹣，由角平分线的性质和外角的性质可求解．
【解答】解：如图，延长CA至E，使AE＝AB，连接BO，EO，
∵AB＝OC﹣AC，
∴AB+AC＝OC＝AE+AC，
∴EC＝OC，
∵AO平分∠NAC，
∴∠NAO＝∠OAC，
∵∠BAC＝∠EAN，
∴∠EAO＝∠BAO，
在△EAO和△BAO中，
，
∴△EAO≌△BAO（SAS），
∴∠E＝∠ABO＝90°﹣，
∵△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分线交于点O，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝180°﹣x°，
∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠NAC＝180°﹣x°+180°﹣2x°＝360°﹣3x°，
∴∠OAC＝180°﹣，
故答案为：（180﹣）．
16．（3分）如图所示，在坐标平面中，A（0，4），C为x轴负半轴上一点，CO＝3，AC＝5，若点P为y轴上一动点，以PC为腰作等腰三角形△PCQ，已知∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α为定值），连接OQ，则OQ的最小值为 　　．
【分析】延长AC至点M，连接PM，使PM＝AP，证出∠CPM＝∠APQ，进而证明△CPM≌△QPA（ SAS），得到∠PAQ＝∠M＝∠CAO，求出OC＝ON，当OQ⊥AN时，OQ有最小值，利用S△AON＝S△AOC，求出OQ的最小值．
【解答】解：延长AC至点M，连接PM，使PM＝AP，
∵∠ACO＝α，
∴∠M＝∠CAO＝90°﹣α，
∴∠APQ＝180°﹣2α，
∴∠APM＝2α＝∠CPQ，
∴∠CPM＝∠APQ，
又∵CP＝PQ，PM＝PA，
∴△CPM≌△QPA（ SAS），
∴∠PAQ＝∠M＝∠CAO，
∴OC＝ON，
∴当OQ⊥AN时，OQ有最小值，
∵S△AON＝S△AOC，
∴，
∴3×4＝5OQ，
解得，
∴OQ的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）5ab（2a﹣b+0.2）．
（2）．
【分析】（1）利用单项式乘多项式法则进行计算；
（2）利用分式运算法则对式子进行计算．
【解答】解：（1）原式＝10a2b﹣5ab2+ab．
（2）原式＝
＝
＝
＝．
18．（8分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E．F，AE＝CF．求证：DE＝BF．
【分析】先由AE＝CF根据等式的性质就可以得出AF＝CE，再由条件证明△ABF≌△CDE就可以得出结论．
【解答】证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴DE＝BF．
19．（8分）先化简，求值：若x满足方程，求代数式的值．
【分析】解分式方程，得到x的值，然后利用平方差、完全平方差公式以及整式混合运算法则对代数式进行化简，代入求值即可．
【解答】解：∵，
去分母得：x﹣2＝2，
解得x＝4，
经检验x＝4是分式方程得解，
又∵
＝
＝
＝
＝
当x＝4时，
原式＝．
21．（9分）如图是一个14×7的长方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，一条线段DE和一个三角形ABC的顶点都在格点上．
（1）直接写出S△ABC＝　8　；
（2）请利用平移或全等三角形的相关知识，仅用无刻度直尺完成下列画图（不写画法，保留画图痕迹）；
①请画出格点△ABC的边AC上的高..和中线BH；
②在线段DE右侧找一个格点F，画出格点△DEF使它与以A、B、C为顶点的三角形全等；
③在所作的格点△DEF的边DE上找一点Q，再连接FQ，使∠DFQ＝45°．
【分析】（1）利用分割法求解即可；
（2）①取格点R，连接BR，交AC于点P，则BP为所求作的高；取格点H，连接BH即可；
②利用数形结合的思想，作出EF＝AC，DF＝BC即可；
③取格点M，作射线FM交DE于点Q即可．
【解答】解：（1），
故答案为：8．
（2）①取格点R，连接BR，交AC于点P，则BP为所求作的高；取格点H，连接BH，则BH为所求作的中线，如图所示：
②取格点F，连接DF，EF，则△DEF为所求作的三角形，如图所示：
③取格点M，连接DM，FM，DE与FM交于一点Q，则Q点为所求作的点，如图所示：
∵DM⊥DF，
∴∠MDF＝90°，
∵DM＝DF，
∴，
即∠DFQ＝45°．
22．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，＝，
解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
23．（10分）已知AD是△ABC的边BC上的高，AE平分∠BAD交BC于点E，∠C＝∠B+∠BAD．
（1）如图1，求证：AE＝AC；
（2）如图2，点F是AB的中点，过点A作AG∥BC交CF的延长线于点G．
①求证：AG＝BE+2DE；
②如图3，连接EG交AB于H，若AD＝AH，求∠B的度数．
【分析】（1）根据AE平分∠BAD，，证明∠AED＝∠C，即可得出结论；
（2）①根据点F是AB的中点，则AF＝BF，证明△AFG≌△BFC，进而求出结论；
②由题意可以证得△AHE≌△ADE，△AEG≌△CAB，最后求出∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAD，
∴，
∵∠AED为△ABE外角，
∴，
∵，
∴∠AED＝∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AE＝AC；
（2）解：①∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，
∵AG∥BC，
∴∠GAF＝∠B，
在△AFG和△BFC中，
∵，
∴△AFG≌△BFC（AAS），
∴AG＝BC，
由（1）知：AE＝AC，又AD⊥CE，
∴，
∴AG＝BC＝BE+CE＝BE+2CD；
②在△AHE和△ADE中，
∵，
∴△AHE≌△ADE（SAS），
∴∠AHE＝∠ADE＝90°
∴∠AHG＝90°
∴∠GAF+∠AGH＝90°，
∵，，
∴∠ACB＝∠GAF+∠BAE＝∠GAE，∠B+∠AGH＝90°，
由（1）知：AE＝AC，
在△AEG和△CAB中，
∵，
∴△AEG≌△CAB（SAS），
∴∠AGE＝∠B，
∴2∠B＝90°，
∴∠B＝45°，
故∠B的度数为45°．
24．（10分）如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，
（1）求A点坐标；
（2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1，试判断线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若P为y轴上异于原点O和点B的一个动点，连接PA，过P点作PE⊥PA，且PE＝PA，连接AE，射线EO交AB延长线于Q，当P点在y轴上移动时，线段AQ的值是否发生变化．若不变化，求出AQ的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论；
（2）结论：AC＝CD，AC⊥CD．证明△BAO≌△CAD（SAS），推出BO＝CD，∠ABO＝∠ACD，可得结论；
（3）结论：AQ是定值＝6．如图2中，过点E作ET⊥y轴于点T，在TE上截取TK＝PT，连接PK．证明△AOP≌△PKE（AAS），推出OP＝PE，可得结论．
【解答】解：（1）∵2a2﹣2ab+b2﹣6a+9＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣3）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣3）2≥0，
∴a＝b＝3，
∴A（3，3）；
（2）结论：AC＝CD，AC⊥CD．
理由：∵△ABC，△AOD都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠OAD＝60°，AB＝AC，AO＝AD，
∴∠BAO＝∠CAD，
在△BAO和△CAD中，
，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴BO＝CD，∠ABO＝∠ACD，
∵AB⊥y轴，
∴∠ABO＝∠ACD＝90°，
∵AB＝OB＝3，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD，AC⊥CD；
（3）结论：AQ是定值＝6．
理由：如图2中，过点E作ET⊥y轴于点T，在TE上截取TK＝PT，连接PK．
∵AB＝BO，TP＝TK，∠ABO＝∠PTK＝90°，
∴∠AOB＝∠PKT＝45°，
∴∠AOT＝∠PKE＝135°，
∵∠APE＝90°，∠TPK＝45°，
∴∠OPA+∠EPK＝45°，
∵∠OPA+∠OAP＝45°，
∴∠OAP＝∠EPK，
∵PA＝PE，
∴△AOP≌△PKE（AAS），
∴OP＝PE，
∵TP＝TK，
∴OT＝ET，
∴∠TOE＝∠QOB＝45°，
∴∠Q＝∠OAB＝45°，
∴OQ＝OA，
∵OB⊥AQ，
∴AB＝BQ＝3，
∴AQ＝6．

展开更多......

收起↑