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永川北山高级中学校2022-2023学年高二下学期入学考试
数学参考答案
1.【答案】D
【解析】直线过点，
直线的斜率，
设直线的倾斜角为，
则，．故选D．
2.【答案】B
【解析】设椭圆的另一个焦点为，
因为椭圆上一点到焦点的距离为，即，
又，所以．
因为是的中点，是的中点，
所以．故选B．
3.【答案】B
【解析】直线平面，直线的方向向量与平面的法向量垂直，即有，
，解得．故选：．
4.【答案】B
【解析】设小张第一次应该还贷万元，则小张每月还贷额成等比数列，首项为，公比为，所以依题意，，
于是万元．故选B．
5.【答案】C
【解析】，
，，
所以，故选：．
6.【答案】A
【解析】已知，则，
又，则，
可得，已知，则数列的公差为，
．故选A．
7.【答案】C
【解析】由题知直线过圆心，则，，即，，故选C．
8.【答案】C
【解析】，即，因此，，
设直线：，联立，即，
因此即，解得，因此．故选C．
9.【答案】AC
【解析】，故，故A正确；
，，故A与不垂直，故B不正确；
，则，故C正确；
，故A与不平行，故D不正确，故选AC．
10.【答案】AC
【解析】：过点，A正确；
若在轴和轴上的截距相等，
当截距为时，则有，；
当截距不为时，则有，解得，
综上若在轴和轴上的截距相等，则或，故B错误；
由，得或，故C正确；
若，则，解得或，又当时，，重合，所以，D错误．故选：．
11.【答案】BCD
【解析】设椭圆的方程为，
将，代入椭圆方程得，解得：．
椭圆的标准方程为：，离心率为，故A错误；短轴长为，故B正确；
直线，即，所以直线过，
因为点在椭圆 内部，所以直线与椭圆相交，故C正确；
若点，在椭圆上，中点坐标为，
当直线的斜率不存在时，直线，直线与椭圆的两个交点为，不合题意舍去，
当直线的斜率存在时，设直线为：，，
所以，两式相减得，
因为中点坐标为，所以
易得直线的斜率为，且直线过点，
则直线的方程为，D正确．
12.【答案】ABC
【解析】，
故AB正确；
，
，结合条件得到，
数列的奇数项、偶数项分别构成以，为首项、为公比的等比数列，
，
，C正确，D错误，故选ABC．
13.【答案】
【解析】联立方程解得．所求直线过点，
又所求直线与直线垂直，所求直线的斜率为，
所求直线方程为，即．
故答案为．
14.【答案】
【解析】因为点在直线上，则，
当时，，解得；
当时，有，
两式相减得，即，所以数列是等比数列，
因此有，故答案为：，．
15.【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，
若，可得在直角三角形中，
由，
可得，即，
所以，
所以．故答案为．
16.【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，是的中点，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则
令，则，，，
所以，故答案为．
解：由条件可得，
，
，，
，即
，
，
，
当时，取得最大值．
18.解：方程，可化为，
此方程表示圆，，即．
圆的方程化为，圆心，半径，
则圆心到直线：的距离为，
由于，则有，
，得，
19.解：Ⅰ由已知有，，所以，
所以双曲线方程为，或，渐近线方程为
Ⅱ设两交点坐标分别为，，
联立，消去得，
由已知，因为直线与双曲线右支交于不同的两点，
所以解得．
20.解：证明：在三棱柱中，
平面，，则平行四边形为矩形．
又，分别为，的中点，，则．
，，且，
平面．
由知，，．
又平面，平面．
平面，．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系．
由题意得，，，，．
，
设平面的法向量为，
，
令，则，，则，
又平面的法向量为，
．
由图可得二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
21.解：因为，，成等差数列，
所以，
所以
，得，
所以
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
据求解知，，，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
又因为，，，，，
，，，，，，
所以．
22.解：Ⅰ由题意可知：，则，椭圆的离心率，则，
，
椭圆的标准方程：；
Ⅱ设直线的方程为：，，，
联立，整理得：，
，整理得：，
，，
，
当时，取最大值，最大值为；
Ⅲ设直线的斜率，直线的方程为：，
联立，
消去整理得：，
由代入上式得，整理得：，
，，则，
则，同理可得：，
由，则，
，
由与共线，则，
整理得：，则直线的斜率，的值为． 永川北山高级中学校2022-2023学年高二下学期入学考试
数学试题卷
单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.经过点两点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆上一点到焦点的距离为，是的中点，则等于( )
A. B. C. D.
3.设直线 的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.小张于年月号申请到了万的无息创业贷款，约定：年的月号开始还贷，每月还贷额比上一次多，于年的月号还清，则小张第一次应该还贷约为( )
注意：，，
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5.如图，空间四边形中，，，，点是的中点，点在上，且，设，则，，的值为( )
A. B.
C. D.
6.设为等差数列的前项和，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，设抛物线的焦点为，过轴上一定点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，记面积为，面积为，
若，则抛物线的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9.已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
10.已知直线和直线，则( )
A. 始终过定点 B. 若在轴和轴上的截距相等，则
C. 若，则或 D. 若，则或
11.已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则( )
A. 椭圆的离心率为
B. 椭圆的短轴长为
C. 直线与椭圆相交
D. 若点，在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为
12.已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13.经过两条直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ．
14.已知数列的前项和为，点在直线上，则数列的首项 ，数列的通项公式 ．
15.已知为双曲线：的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，
则双曲线的离心率是 ．
16.如图，在直三棱柱中，，，
点是的中点，则点到平面的距离是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（满分19分）在等差数列中，为其前项的和，已知，．
求
求数列的最大值．
18. （满分12分）已知圆的方程：．
求实数的取值范围；
若圆与直线：交于，两点，且，求的值．
19.（满分12分）已知双曲线的离心率为，实轴长为．
Ⅰ写出双曲线的渐近线方程；
Ⅱ直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围．

20.（满分12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值．

21.（满分 12分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，．
求数列的通项公式；
若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
22.（满分12分）已知椭圆：的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若，求的最大值；
Ⅲ设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为若，和点共线，求．

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