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2023年【通用版】中考数学培优专题讲义
第12讲 “倍长中线”解决全等问题专题
题型汇总
题型1：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半（三角形三边关系）
小结：涉及三角形中线的问题，我们一般可采用倍中线法，把分居中线两旁的两条线和两个角综合到一个三角形中加以解决.
题型2：倍长中线后，证线段的倍数关系
小结：有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需要再证一次全等三角形，既“二次全等”.
在证二次全等时，难点通常会体现在倒角上，常见的倒角的方法有：
（1）“8”字型；
（2）平行线型；
（3）180°（平角、三角形内角和）；
（4）360°（周角、四边形内角和）；
（5）小旗子（三角形外角和）；
（6）90°（互余角）.
题型3：倍长中线后，利用相似三角形的性质证线段的倍数关系
小结：倍长中线后，根据全等三角形的对应关系，找到相似三角形，然后根据相似三角形的性质，最后根据线段的比例关系求出线段之间的数量关系.
二、解题过程中常用的知识点
1、证明全等三角形的方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL
2、三角形的三边关系：
（1）任意两边之和大于第三边；
（2）任意两边之差小于第三边；
3、平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）两直线平行，内错角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补；
三、中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。
【实训1】我们定义：如图1，在中，把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．我们称△是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为 “旋补交差角”， 点到中点间的距离成为“旋转中距”．如图1，即为 “旋补交差角”， 即为 “旋补中距”．
（1）若已知图1中的长度等于4，当，则 “旋补交差角” 　　，“旋补中距” 长度　　；
（2）若图1中的度数发生改变，则 “旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断 “旋补中距”是否也发生改变；
（3）已知图2中△是 “旋补交差三角形”， 的长度等于4，长度等于6，问是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先证点，点，点共线，点，点，点共线，由“旋补交差角”的定义可求解，由“”可证△，可得，由直角三角形的性质可求的长；
（2）由“”可证△，可得，可求，由“”可证△，可得，可求；
（3）由（2）的结论可求，，由三边关系可求解．
【解答】解：（1）如图1，
把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，，，
点，点，点共线，点，点，点共线，
、的交点与点重合，
“旋补交差角” ，
，，，
△，
，
点是的中点，，
，
故答案为：，2；
（2） “旋补交差角”度数不变， “旋补中距”长度不变，理由如下：
把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
在和△中，
，
△，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
如图2，延长至，使，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，，
△，
，
；
（3）存在最小值，最小值为1，理由如下：
如图3，取中点，连接，，，
△是 “旋补交差三角形”，
，，
点是中点，，
，
在中，，
当点在线段上时，有最小值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【实训2】如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）求证：．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，求出；
（2）根据题意得到，根据勾股定理计算即可证明；
（3）延长至点，使，连结，证明△，根据全等三角形的性质得到，，再证明，得到，证明结论．
【解答】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，即，
解得：；
（2）证明：点是的中点，
，
，
，
，，
；
（3）证明：延长至点，使，连结，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【实训3】（1）如图1，在中，，，平分．求证：；
（2）如图2，在中，点在边上，中线与相交于点，．求证：．
【分析】（1）求，，再求，得，即可证明；
（2）过点作交的延长线于点，先证明，得，得，证出，再得，即可证明．
【解答】证明：（1）在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）过点作交的延长线于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形．
【实训4】如图1，在中，，、在边上，连接、，；
（1）求证：；
（2）如图2，为上一点，连接、，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，，为中点，连接，若，，求的长．
【分析】（1）如图1中，过点作于点．利用等腰三角形三线合一的性质解决问题即可；
（2）过点作交于点，证明可得结论；
（3）如图3中，延长到，使得，则，设，则．首先证明，再利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，过点作于点．
，，，
，，
，
，即；
（2）证明：过点作交于点．
，，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长到，使得，则，设，则．
，
，，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题属于三角形专题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【实训5】（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图，
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　　；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）先判断出，由“”可证，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出，则，进而判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图2，延长到，使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，，
，
故答案为：；
（2），且，
理由是：由（1）知，，
，，
；
（3），
理由：如图2，延长到，使得，连接，
由（1）知，，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
即：．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
【实训6】如图，在和中，，，，绕点旋转．
（1）如图1，若连接，，则与的关系为 　，　；
（2）如图2，若连接，，取中点，连接，探究与的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当旋转到如图3的位置时，点落在延长线上，若，，请直接写出线段的长．
【分析】（1）由“”可证，得，，进而得出；
（2）延长交于点，延长到点，使，连接，先证，得，，再证，得，，则，然后证，即可得出；
（3）过点作于，由等腰直角三角形的性质可求，再由勾股定理求出的长，即可得出答案．
【解答】解：（1），，理由如下：
如图1，设与交于点，
，
，
即，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2），，理由如下：
如图2，延长交于点，延长到点，使，连接，
是中点，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（3）如图3，过点作于，
由（2）可知，，
，，，
，，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，本题综合性强，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键，属于中考常考题型．
【实训7】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点是的中点，点在上，且．
求证：．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长到点，使，连接；
②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【分析】（1）①如图1，延长到点，使，连接，先判断出，进而判断出，得出，，再判断出，即可得出结论；
②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，，先判断出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；
（2）如图3，过点作，交的延长线于点，先判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论．
【解答】（1）①如图1，延长到点，使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
②如图2，分别过点、作，，垂足分别为点，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图3，
过点作，交的延长线于点，
则，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
【实训8】（1）如图1，在中，，，为边上的中线．延长到点，使，连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　．
（2）如图2，在中，，为的中点，、分别在边、上，且，若，，求的长．
（3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别边、上，且，若，，求长．
【分析】（1）如图1，作辅助线，构建三角形全等，由“”可证，可得，由三角形三边关系可得；
（2）如图2，作辅助线，构建三角形全等，由“”可证，可得，根据勾股定理可得的长，由等腰三角形的性质可得；
（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，最后由含30度角的直角三角形的性质可得和的长，由勾股定理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，延长到点，使，连接，
为边上的中线，
，
，
，
，
中，，
，即，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，延长至，使，连接，，
同理得：，
，，
，
，
，
，
中，，
，
，，
；
（3）如图3，延长至，使，连接，，
同理得：，
，，
，，
，
延长，过作于，
，，
，
，
，，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，运用类比的方法添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【实训9】（1）如图，是的中线，，则的取值范围是　　
． ． ． ．
（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，是的中线，交于，交于，且，求证：．
【分析】（1）延长到点，使，连接，易证明，得到；在中，根据三角形三边关系定理，得，即，即可得出的范围；
（2）利用（1）中，得出，，进而得出即可得出答案．
【解答】解：（1）延长到点，使，连接，
，，，
，
，
在中，根据三角形三边关系定理，得，
即，所以的范围是．
故选：．
（2），
，，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法；注意此题中的辅助线的作法．能够根据全等三角形的性质，把要求的线段和已知的线段转换到一该三角形，根据三角形的三边关系进行求解．
【实训10】（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是　　；
（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，以为顶点作，使得角的两边分别交，于、两点，连接，且，试探索与之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）阅读理解：由“”可证，可得，由三角形三边关系可得；
（2）问题解决：由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，由三角形三边关系可得；
（3）问题拓展：延长至点，使，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求解．
【解答】解：（1）阅读理解：
，，，
，
在中，
，
，
故答案为：；
（2）问题解决：
解：（1）延长到，使得，连接、．
，，，
，
，
．
在中，，即；
（3）问题拓展：，
理由如下：延长至点，使，连接，
，，
，且，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【实训11】阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．
①求证：；②若，探索线段、、之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：如图3，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，联结、，那么下列结论①；②；③；④．其中一定成立是　①②④　（填序号）．
【分析】（1）问题解决：①延长到，使得，连接、．（或把绕点逆时针旋转得到，利用三角形的三边关系即可解决问题；
②若，则，在中，根据，即可解决问题；
（2）问题拓展：由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：（1）①延长到，使得，连接、．（或把绕点逆时针旋转得到，
，，
，
．
在中，，即．
②若，则，
由①知，，
，即，
在中，，
；
（2）：①是的中点，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，故此选项正确；
②延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，故②正确；
③，
，
，
故错误；
④设，则，
，
，
，
，
，故此选项正确．
故答案为①②④．
【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
【实训12】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中（已作）　对顶角相等　　　　　 （中点定义）
　　
（2）探究得出的取值范围是　　；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质解答．
【解答】解：（1）证明：延长到点，使，
在和中，
（已作），
（对顶角相等），
（中点定义），
，
故答案为：对顶角相等，；
（2），
，
，
，
故答案为：；
（3）延长交的延长线于，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【实训13】【初步探索】
（1）如图1，是的中线，探究与的大小关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长至点，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是　　
【灵活运用】
（2）如图2，是的中线，、分别在、上，且，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图3，为的角平分线，直线于点．点为上一点（与点不重合），周长记为，周长记为，比较与的数量关系并证明．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可；
（2）延长至，使得，连接，，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可；
（3）分两种情况进行解答即可．
【解答】解：（1）延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）延长至，使得，连接，
在和中，
，
，
，
在和中
，
，
在中，两边之和大于第三边，
又，，
（3）①点在点右侧时
延长到，使，连接，
，
在和中，
，
，
，，为三边，
，
，
，
即
②点在点左侧时，同理．
综上，
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【实训14】（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围是　　
（提醒：解决此问题可以用如下方法；延长到点使，再连接（或将绕着点顺时针旋转180得到．把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断．
（2）问题解决：如图②，在中是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个70角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）延长至，使，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论．
【解答】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示：
是边上的中线，
，
在和中，，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：；理由如下：
延长至点，使，连接，如图3所示：
，，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
【实训15】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再连接，（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
感悟解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．
①求证：；
②若，探索线段、、之间的等量关系，并加以证明
（2）问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）①延长到点使，连接，，就有，连接、，可证，则，由三角形的三边关系就可以得出结论；②由就可以得出，就可以得出，由勾股定理就可以得出结论；
（2）延长到使，连接可以得出就有，，由，，可以得出，进而得出，就有，得出，得出结论．
【解答】解：（1）①如图2，延长到点，使，连接，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②线段、、之间的等量关系为：．
证明：如图2，，
，
由①可得，，，
，，
，即，
中，，
；
（2）线段、、之间的数量关系为：，
理由：如图3，延长到，使，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理以及四边形的性质的综合运用，解答时作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系，运用全等三角形对应边相等进行推导是解决问题的关键．
【实训16】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长到，使得，再连接（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．
①求证：；②若，探索线段、、之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（2）①首先延长到，使得，进而得出，，以及，再利用三角形三边关系得出答案；
②由①知，，再利用勾股定理得出答案；
（3）利用全等三角形的判定与性质得出，进而得出，即，进而得出答案．
【解答】（2）证明：①如答题图1，延长到，使得，连接、．
则，，
，．
在中，，即．
解：②若，则，
由①知，，
，即，
在中，，
；
（3）解：如答题图2，将绕点逆时针旋转得到．
，，
，
点、、在同一直线上．
，，，
，故，即
，
在和中，
，
，即．
【点评】此题主要考查了几何变换综合以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出是解题关键．
【实训17】某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：
【探究】如图1，中，若，，点是的中点，试探究边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中（已作）　对顶角相等　（中点定义）
　　
（2）探究得出的取值范围是　　；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．
求证：．
【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形三边关系计算；
（3）延长到，使，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质证明即可．
【解答】（1）证明：延长到点，使，
在和中，
，（对顶角相等），（中点定义），
，
故答案为：对顶角相等；；
（2）解：，
，
，即，
故答案为：；
（3）证明：延长到，使，
由（1）得，，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是三角形的中线的概念和性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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