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1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理
要点感知 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.
预习练习 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
知识点 角平分线的性质
1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.没有
4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.
5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.
第5题图 第6题图
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.
7.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.
求证：OB=OC.
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：∠B=∠C.
9.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S1、S2，则S1∶S2等于( )
A.2∶1 B.∶1 C.3∶2 D.2∶
第9题图 第10题图 第11题图
10.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.无法确定
第12题图 第13题图 第14题图
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D到AB的距离为__________cm.
14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.
15.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.
16.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.
17.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB,AC于E,F两点.求证：AD⊥EF.
参考答案
要点感知 角的两边
预习练习 B
1.C 2.B 3.A 4.3∶2 5.DE=DF=DG 6.8
7.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，
∴OE=OD.
在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，
∴△OBE≌△OCD(ASA).
∴OB=OC.
8.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点，
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.
9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.5
15.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE.
∴BC=BD+CD=BD+DE.
∵AC=BC，
∴AC=BD+DE.
16.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，
∴DE=DC.
又∵BD=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF=EB.
17.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.
∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，
∴∠EDA=∠FDA.
∴AD⊥EF.

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