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集合
【知识点回归】
1.元素与集合
（1）特性：确定性、互异性（重点考查方向）、无序性。
（2）元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为 和 。
（3）表示方法：列举法、描述法、图示法。
（4）常用集合的符号
N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，
Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2.集合间的基本关系
（1）子集：若对任意 ，都有 ，则 或 。
（2）真子集：若 ，且集合 中至少有一个元素不属于集合 ，
则 或 。
（3）相等：若 ，且 ，则 。
（4）空集（重点考查方向）: 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（5）子集、交集、并集、补集之间的关系式：
(其中为全集)
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 若全集为 ，则集合 的补集为
图形表示
性质 ； ； ； ； ； ；
【例题回归】
一、元素的三大特性
例1、（确定性）下列四组对象中能构成集合的是( ).
A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数 D.倒数等于本身的数
例2、（互异性）已知集合，，若，求的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
例3、（无序性）下列命题中正确的是( )
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
跟踪训练1、已知集合，，若，则的值为( )
A.0 B. C.1 D.
二、元素与集合的关系
例4、设集合，若，则( )
A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2
跟踪训练2、已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
三、集合间的基本关系
例5、已知集合,,则之间的关系是( )
A. B. C. D.
跟踪训练3、集合之间的关系是( )
A. B. C. D.
例6．已知集合，集合，若，则的取值范围为
A． B．
C． D．
四、Venn图
例7、如图，U是全集，M，P，S是U的子集，则阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
跟踪训练4、如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
五、集合的基本运算
例8、设集合，，，则( )
A. B. C. D.
跟踪训练5、集合，，若，则实数a的取值范围是( )
A. B.或
C. D.或
跟踪训练6、已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【能力提升】
一、子集个数
（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个。
（2） U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．（摩根律）
1、集合的非空真子集的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2、集合的子集共有( )个
A.8 B.7 C.6 D.5
3、设集合，，则集合的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B)
4、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
5、高二（一）班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，在物理、化学中只选一门的学生都至少有6人，那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
三、德·摩根定律
(1)集合形式,
(2)命题形式：，
6、已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.集合
【知识点回归】
1.元素与集合
（1）特性：确定性、互异性（重点考查方向）、无序性。
（2）元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为 和 。
（3）表示方法：列举法、描述法、图示法。
（4）常用集合的符号
N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，
Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2.集合间的基本关系
（1）子集：若对任意 ，都有 ，则 或 。
（2）真子集：若 ，且集合 中至少有一个元素不属于集合 ，
则 或 。
（3）相等：若 ，且 ，则 。
（4）空集（重点考查方向）: 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（5）子集、交集、并集、补集之间的关系式：
(其中为全集)
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 若全集为 ，则集合 的补集为
图形表示
性质 ； ； ； ； ； ；
【例题回归】
一、元素的三大特性
例1、（确定性）下列四组对象中能构成集合的是( ).
A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数 D.倒数等于本身的数
【答案】D
【解析】集合中的元素具有确定性，对于A，B，C，
学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于D，符合集合的定义，D正确.
故选：D.
例2、（互异性）已知集合，，若，求的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
【答案】B
【解析】因为，则，或，又因为x在分母，所以，故，即；所以有，利用元素的互异性得，，故得，所以.
故选：B.
例3、（无序性）下列命题中正确的是( )
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
【答案】C
【解析】对于①，由于“0”是元素，而“”表示集合，所以①不正确；
对于②，根据集合中元素的无序性可知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性可知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.故选C.
跟踪训练1、已知集合，，若，则的值为( )
A.0 B. C.1 D.
【答案】B
【解析】根据集合中元素的互异性可知，.
因为，所以或.
当时，，此时；
当时，，因为，所以，
此时.所以的值为.
二、元素与集合的关系
例4、设集合，若，则( )
A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2
【答案】C
【解析】当时，解得，则，符合题意.当时，解得或.当时，，不满足元素的互异性，不符合题意；当时，，符合题意.所以或.故选C.
跟踪训练2、已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
三、集合间的基本关系
例5、已知集合,,则之间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,故一定是或的真子集.
跟踪训练3、集合之间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴
故,故选C.
例6．已知集合，集合，若，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解不等式得，
要使，当集合时，，解得；
当集合时，，解得．
综上：．故选D．
四、Venn图
例7、如图，U是全集，M，P，S是U的子集，则阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图知，阴影部分在集合M中，在集合P中，但不在集合S中，
故阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
跟踪训练4、如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由于题图中阴影部分在P中，且不在M，N中，则题图中阴影部分表示的集合是P的子集，也是的子集，即是或.故选CD.
五、集合的基本运算
例8、设集合，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：，所以，
所以，
故选：C
跟踪训练5、集合，，若，则实数a的取值范围是( )
A. B.或 C. D.或
【答案】D
【解析】集合或，，，，
当时，，符合条件；
当时，，或，
解得或，
则实数a的取值范围为.
故选：D.
跟踪训练6、已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题得，
所以.
故选：A.
【能力提升】
一、子集个数
（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个。
（2） U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．（摩根律）
1、集合的非空真子集的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】由题意，集合A的非空真子集为，，，，，，共6个.故选：B.
2、集合的子集共有( )个
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A
【解析】，
A的子集有：，，，，，，，
故共有8个
3、设集合，，则集合的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】联立方程组解得或因而集合含有2个元素，其真子集个数为3.故选C.
二、容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B)
4、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【答案】C
【解析】由题意得，该校阅读过《西游记》的学生人数为，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为.故选C.
5、高二（一）班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，在物理、化学中只选一门的学生都至少有6人，那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
【答案】C
【解析】把50名学生看成一个集合U，
选择物理课程的人组成集合A，
选择化学课程的人组成集合B，
选择生物课程的人组成集合C，
将选择不同科目的学生视为不同的集合，作出相应的Venn图，使用数形结合思想求解.
要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其他几个选择的人数均为最少，
故只选物理的最少有6人，只选化学的最少有6人，三门课程中只选化学、生物的最少有3人，只选物理、生物的最少有3人，只选生物的最少有4人，以上最少有42人，可作出如下图所示的Venn图，
所以三门课程中只选物理、化学的至多有8人，所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为.故选C.
三、德·摩根定律
(1)集合形式,
(2)命题形式：，
6、已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题得，
所以.
故选：A.集合——2023 年寒假高一复习学案
集合
【知识点回归】
1.元素与集合
（1）特性：确定性、互异性（重点考查方向）、无序性。
（2）元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈ 和 。
（3）表示方法：列举法、描述法、图示法。
（4）常用集合的符号
N*或 N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，
Z表示整数集，Q 表示有理数集，R表示实数集．
2.集合间的基本关系
（1）子集：若对任意 ∈ ，都有 ∈ ，则 或 。
（2）真子集：若 ，且集合 中至少有一个元素不属于集合 ，
则 或 。
（3）相等：若 ，且 ，则 = 。
（4）空集（重点考查方向）: 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（5）子集、交集、并集、补集之间的关系式：
A B A B A A B B A C IB C IA B I (其中 I 为全集)
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 ∪ ∩ 若全集为 ，则集合 的补集为
图形表示
性质 ∪ = ； ∩ = ； ∪ = ；
∪ = ； ∩ = ； ∩ = ；
∪ = ∪ ∩ = ∩ =
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集合——2023 年寒假高一复习学案
【例题回归】
一、元素的三大特性
例 1、（确定性）下列四组对象中能构成集合的是( ).
A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数 D.倒数等于本身的数
y
例 2 、（互异性）已知集合 A x, ,1 ，B x x
2 , x y, 0 ，若 A B，求 x2019 y2018

的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
例 3、（无序性）下列命题中正确的是( )
① 与 0 表示同一个集合
②由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1
③方程 (x 1)2 (x 2) 0 的所有解的集合可表示为 1,1,2
④集合{x∣4 x 5}可以用列举法表示
A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
1 2跟踪训练 、已知集合 A a ,0, 1 ， B {a,b,0}，若 A B，则 (ab)2021 的值为( )
A.0 B. 1 C.1 D. 1
二、元素与集合的关系
例 4、设集合 A 2,1 a,a2 a 2 ，若 4 A，则a ( )
A.-3 或-1或 2 B.-3或-1 C.-3或 2 D.-1或 2
x y z xyz
跟踪训练 2、已知 x，y，z 为非零实数，代数式 x y z xyz 的值组成的集合是 M，则
下列判断正确的是( )
A. 0 M B. 2 M C. 4 M D. 4 M
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集合——2023 年寒假高一复习学案
三、集合间的基本关系
例 5、已知集合 A x | x 4n 1,n Z ,B x | x 4n 3,n Z ,C x | x 8n 1,n Z ,则
A,B,C之间的关系是( )
A. C B A B. A B C C. C A B D. A B C
跟踪训练 3、集合
M x x 5k 2,k Z , P x x 5n 3,n Z , S x x 10m 3,m Z 之间的
关系是( )
A. S P M B. S P M C. S P M D. P M S
x 2
例 6．已知集合 A x 0 ，集合 B x m 1 x 2m 1 ，若 B A，则
2x 3
m的取值范围为
1 1 1 1
A． , B． , 2 , 2 2 2 2
1 1 1 1C． , 2 , , 2 , D．
2 2 2 2
四、Venn 图
例 7、如图，U 是全集，M，P，S 是 U 的子集，则阴影部分表示的集合是( )
A. (M P) S B. (M P) S C. (M P) US D. (M P) US
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集合——2023 年寒假高一复习学案
跟踪训练 4、如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.M (N P) B. UM (N P)
C.P U (M N) D. P UM UN
五、集合的基本运算
例 8、设集合U= x Z x 2 ，A 1,0,1 ，B 0,1 ，则 A UB ( )
A. 2, 1,0,1,2 B. 1,0,1 C. 1 D. 1,0
x 3
跟踪训练 5、集合 A x 0

， B x ax 1 0 ，若 A B A，则实数 a
x 1
的取值范围是( )
A. x 1 x 1

B. x x 1或 x 0
3
C. 1 1 x x 1 D.{x x 0 或0 x 1}
3 3
跟踪训练 6、已知全集 U 0,1,2,3,4 ，集合 A 1,2,3 ， B 2,4 ，则
U A B ( )
A. 0,1,3,4 B. 0 C. 0,2,4 D. 1,3,4
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集合——2023 年寒假高一复习学案
【能力提升】
一、子集个数
（1）若有限集 A中有 n个元素，则 A的子集有 2n个，真子集有 2n－1 个，非空
子集有 2n－1个，非空真子集有 2n－2个。
（2） U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．（摩根律）
小试牛刀
1、集合 A {0,1, 2}的非空真子集的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2、集合 A a,b,c 的子集共有( )个
A.8 B.7 C.6 D.5
x y x2 y
3、设集合M x, y 1 ，N x, y 1 ，则集合M N的真子
4 3 4 3
集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、容斥原理
如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类
元素个数+ 属于 B类元素个数—既是 A类又是 B类的元素个数。（A∪B = A+B - A
∩B)
小试牛刀
4、《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小
说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅
读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读
过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数
与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
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集合——2023 年寒假高一复习学案
5、高二（一）班共有学生 50 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六
门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 20 人，这三门
课程都不选的有 10 人，这三门课程都选的有 10 人，在这三门课程中选择任意两门课程的都
至少有 13 人，在物理、化学中只选一门的学生都至少有 6 人，那么同时选择物理和化学这
两门课程的学生人数至多为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
三、德·摩根定律
(1)集合形式CI (A B) (CIA) (CIB) ,CI (A B) (CIA) (CIB)
(2)命题形式： ( p q) ( p) ( q) ， ( p q) ( p) ( q)
小试牛刀
6、已知全集U 0,1,2,3,4 ，集合 A 1,2,3 ，B 2,4 ，则 U A B ( )
A. 0,1,3,4 B. 0 C. 0,2,4 D. 1,3,4
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