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数列通项公式题型全归纳
题型一:若给出的数列为等差或等比数列,可以直接利用等差或等比数列的通项公式求解;
例1：记为等差数列的前项和，已知，．求的通项公式；
解析：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
例2：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2.a3＋4构成等差数列，则an＝________.
解析：由已知得：解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1.
题型二：由与的关系求通项公式：利用公式(n≥2);
例1：已知数列的前项和满足，且.求数列的通项公式；
【解析】因为,,所以,,
两式相减得,整理得,
即,,所以为常数列,所以, 所以
例2：已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：求数列和的通项公式。
【解析】设的公比为q.
因为成等差数列，所以，即.
因为，所以.因为，所以.因此.
由题意，.所以，，从而.
所以的公差.所以.
变式1：已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
【解析】当时，，整理得，，解得；
当时，①，可得②，
①－②得，即，
化简得，
因为，，所以，
从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；
变式2：已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；
【解析】由，得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
当时，，也满足上式，所以；
变式3：设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，． 求和的通项公式；
【解析】当时，，
当时，==，
所以．所以，
于是，解得或（舍）所以=．
题型三.累加法：形如；已知a1且an－an－1＝f(n)，可以用“累加法”得：an＝a1+f(2)+f(3)＋…+f(n－1)+f(n)．
例1：数列{}中,a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；,求数列{an}的通项公式;
【解析】(1)由题意得，当n≥2时，an－an－1＝n，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋
＝＋1.又a1＝2＝＋1，适合上式，因此an＝＋1.
例2：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an的值为(　　)
A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgn
C．2＋nlgn D．1＋nlgn
【解析】解法一：∵an＋1－an＝lg，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lg＋lg＋…＋lg＋2＝lg＋2＝lgn＋2.
解法二：an＋1＝an＋lg(n＋1)－lgn，an＋1－lg(n＋1)＝an－lgn，所以数列{an－lgn}是常数列，an－lgn＝a1－lg1＝2，an＝2＋lgn.故选A.
变式1：已知数列满足，，则的最小值为_________.
【答案】
【详解】，
，
，
，
由累加得
，
所以 ，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，且，
或5时最小，时，；
时，；所以的最小值为故答案为：．
变式2：若，，，则_________．
【答案】
【分析】用累加法即可求出．
【详解】，
当时，
，，，
以上各式相加得：
而也适合上式，
．
故答案为：．
题型四：累乘法：形如；已知a1且＝f(n)，可以用“累乘法”得：
an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)．
例1：已知数列满足，.
(1)求证：是等比数列.
(2)求.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）化简已知条件，得到，从而证得是等比数列.
（2）先求得的表达式，由此求得.
(1)∵，∴，
又，，∴，，
∴是以1为首项，2为公比的等比数列.
(2)由（1）得，∴.
例2：已知数列满足，则___________．
【答案】
【分析】当时，由可得，两式作差变形可得，利用累乘法可求得数列的通项公式
【详解】将代入可得，解得，
由可得，
两式相减得即，
所以，
也满足，故对任意的，，
故答案为：
变式1：已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.
【解析】由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.
变式2：已知数列{an}满足a1＝1，前n项和Sn＝an，则______
解析：由题设知，a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1.∴＝.
∴＝，…，＝，＝，＝3.以上n－1个式子的等号两端分别相乘，
得到＝.又∵a1＝1，∴an＝.
变式3,已知数列中,,,求数列的通项公式.
解析：可得＝，则an＝···…··a1＝，∴an＝.
题型五：构造法；形如的形式;
方向一：当为常数时,一般通过()=()的方法构造新数列.
例1：已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为
【解析】an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，∴＝3，＝3，＝3，…，＝3.将这些等式两边分别相乘得＝3n.∵a1＝1，∴＝3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，∴an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也适合上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.也可用等用等比进行处理。
变式1：设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】化简已知得，再构造数列求通项得解.
【详解】解：因为，
，，，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列.，
所以，故答案为：
变式2：设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
【解析】(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.
方向二：形如的解析式，可化为的形式来求通项.
例1：数列中，，且，则通项公式__________.
【答案】
【解析】把题干中的递推关系式进行转换，构造出新数列，即可求解.
【详解】，
整理得，，
数列为常数列，
又，则，
.故答案为：
变式1：已知数列满足：.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
【解析】证明：因为，所以．
因为所以
所以．又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．
变式2：已知数列满足,且,求数列的通项公式.
解析：将带入得.
由①，可以得到②
②-①得，，所以数列的奇数项，偶数项都是以2为公差的等差数列。
当时，
当时，
方向:三：形如型：可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求.特别的，当A=C时我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以, 重新构造数列，来求.
例1：数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，a1＝－1，则数列{an}的前n项和Sn＝（ ）
A. B.
C. D.
【解析】∵an＋1＝3an＋2n＋1，∴＝·＋1∴＋2＝，
∴数列是以＋2＝为首项，为公比的等比数列，
∴＋2＝×＝，∴an＝3n－2n＋1，∴Sn＝(31＋32＋…＋3n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝－＝－2n＋2＋(n∈N*).故选B。
变式1：在数列{an}中，a1＝，an＝2an＋1－(n∈N*)，则数列{an}的通项公式
【解析】由an＝2an＋1－，得2nan＝2n＋1an＋1－1，所以数列{2nan}是首项和公差均为1的等差数列，于是2nan＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝(n∈N*).
变式2：数列满足，，则数列的通项公式为___________.
【答案】．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
变式:3：已知在数列中，，，则______．
【答案】
【分析】由构造法可得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式.
【详解】因为，，所以，
整理得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，所以，解得．
故答案为：.
方向四：形如：
例1：已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1，则{an}的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】∵an＋1＝2an＋3an－1，∴an＋1＋an＝3(an＋an－1)，
∴{an＋1＋an}是以a2＋a1＝3为首项，3为公比的等比数列，
∴an＋1＋an＝3×3n－1＝3n.①又an＋1－3an＝－(an－3an－1)，
∴{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－1为首项，－1为公比的等比数列，
∴an＋1－3an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n，②
由①－②得4an＝3n－(－1)n，∴an＝(n∈N*).故选A。
例2：数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2，则数列{an}的通项公式为（ ）
A. an＝n2－2n B. an＝n2－2n－2 C. an＝n2＋2n＋2 D. an＝n2－2n＋2
【解析】由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，
即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.故选D。
变式1：已知数列满足：，，（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；
(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，∴，
∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，
当时，
当n=1时，满足上式．所以，．
变式2：已知各项都为正数的数列满足
（1）证明：数列为等比数列
（2），求的通项公式
变式3：数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义可证明数列是等比数列；
（2）求出数列的通项公式，进而可得数列的通项公式．
(1)当时，，，解得：，
当时，由可知，，
两式作差可得：，即，
又，所以,所以.
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.
(2)由（1）知，
两边同除以，得，
又，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴，整理得，
故数列的通项公式为.
题型六：拦截法（不规则前n项和法）
例1：已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解；（2）利用等比数列及等差数列的求和公式分组求和即可得解.
【详解】（1）由题，当时，，即.
①
当时，②
①-②得，
所以.
当时，也适合，
综上，.
（2）由（1）知，，
则
.
例2：已知数列的各项均为正数，且对任意的都有.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，问是否存在正整数，对任意正整数有恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，，(2)存在，1010
【分析】（1）由得到：（），两式相减得即可求解；
（2）由（1）得到，利用裂项相消求和得到，由数列的单调性定义可得数列为递增数列，结合条件得到，即可求解.
【详解】（1）因为，，
当时，，
两式相减得（），即（）.
又当时，，得，满足上式.
故，.
（2）由（1）可得，，
则
，即.
又，
所以数列为递增数列，所以.
因为对任意正整数有恒成立，
所以，解得.又，所以.
所以存在正整数，使得对任意正整数有恒成立，且的最大值为1010.
变式1：已知等差数列，其前项和为，若
（1）求数列的通项公式。
（2）若数列满足：，求数列
的前项和。
解析：（1）因为，所以，解得，
所以．
（2）由(1)得:，①
所以，②
两式相减得：，所以，
又由式得，适合上式，所以．
所以，
所以．
题型七：取倒法；形如an＝(其中n≥2，mkb≠0)取倒数，得到＝· ＝·＋.
例1：在数列中,=3，,求.
解析：由变形得，。故数列是以为首项为公差的等差数列，则
变式1：在数列中,，，求
解析：
变式2：在数列中，求
解析：由变形得，。设，解得：。故数列是以为首项为公比的等比数列，则，
题型八：同取对数法
形如两边取常用对数，得
例1：已知数列，，求
解析：两边取常用对数，得，则数列为公比为2的等比数列.所以，
例2：已知数列，，求。
解析：等式两边同时加1，则两边取常用对数，，则数列为公比为2的等比数列，所以，，.数列通项公式题型全归纳
题型一:若给出的数列为等差或等比数列,可以直接利用等差或等比数列的通项公式求解;
例1：记为等差数列的前项和，已知，．求的通项公式；
例2：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2.a3＋4构成等差数列，则an＝________.
题型二：由与的关系求通项公式：利用公式(n≥2);
例1：已知数列的前项和满足，且.求数列的通项公式；
例2：已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：求数列和的通项公式。
变式1：已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
变式2：已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；
变式3：设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，． 求和的通项公式；
题型三.累加法：形如；已知a1且an－an－1＝f(n)，可以用“累加法”得：an＝a1+f(2)+f(3)＋…+f(n－1)+f(n)．
例1：数列{}中,a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；,求数列的通项公式;
例2：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则数列的通项公式(　　)
A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgn
C．2＋nlgn D．1＋nlgn
变式1：已知数列满足，，则的最小值为_________.
变式2：若，，，则_________．
题型四：累乘法：形如；已知a1且＝f(n)，可以用“累乘法”得：
an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)．
例1：已知数列满足，.
(1)求证：是等比数列.
(2)求.
例2：已知数列满足，则___________．
变式1：已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.
变式2：已知数列{an}满足a1＝1，前n项和Sn＝an，则______
变式3,已知数列中,,,求数列的通项公式.
题型五：构造法；形如的形式;
方向一：当为常数时,一般通过()=()的方法构造新数列.
例1：已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为
变式1：设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
变式2：设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
方向二：形如的解析式，可化为的形式来求通项.
例1：数列中，，且，则通项公式__________.
变式1：已知数列满足：.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
变式2：已知数列满足,且,求数列的通项公式.
方向:三：形如型：可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求.特别的，当A=C时我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以, 重新构造数列，来求.
例1：数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，a1＝－1，则数列{an}的前n项和Sn＝（ ）
A. B.
C. D.
变式1：在数列{an}中，a1＝，an＝2an＋1－(n∈N*)，则数列{an}的通项公式
变式2：数列满足，，则数列的通项公式为___________.
变式:3：已知在数列中，，，则______．
方向四：形如：
例1：已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1，则{an}的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
例2：数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2，则数列{an}的通项公式为（ ）
A. an＝n2－2n B. an＝n2－2n－2 C. an＝n2＋2n＋2 D. an＝n2－2n＋2
变式1：已知数列满足：，，（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
变式2：已知各项都为正数的数列满足
（1）证明：数列为等比数列
（2），求的通项公式
变式3：数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
题型六：拦截法（不规则前n项和法）
例1：已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例2：已知数列的各项均为正数，且对任意的都有.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，问是否存在正整数，对任意正整数有恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
变式1：已知等差数列，其前项和为，若
（1）求数列的通项公式。
（2）若数列满足：，求数列
的前项和。
题型七：取倒法；形如an＝(其中n≥2，mkb≠0)取倒数，得到＝· ＝·＋.
例1：在数列中,=3，,求.
变式1：在数列中,，，求
变式2：在数列中，求
题型八：同取对数法
形如两边取常用对数，得
例1：已知数列，，求
例2：已知数列，，求。

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