资源简介

（一）导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
(1).根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
(2).函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
（二）导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
（三）特别提醒
（1）曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
（2）曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．
（四）常用结论
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
例1. 2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
一、导数的几何意义
题型一： 导数的几何意义--求曲线的切线方程
例．曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
练习1.已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
【总结提升】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
切线的本质是割线的极限
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
题型二：导数的几何意义--求参数的值(范围)
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
例.（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
练习（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：两曲线的公切线问题
例.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
练习.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
【总结提升】
解决此类问题通常有两种方法
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝.
题型四：导数几何意义相关的应用问题
例．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
练习.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【规律方法】
求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考点一 求曲线的切线方程
例1．已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.
练习．已知函数
(1)过原点作的切线，求的方程；
(2)令，求在恒成立，求的取值范围
考点二 利用切线方程求参数
练习1．已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线．
(1)求函数的解析式及k的值．
(2)若对于任意恒成立，求m的取值范围
练习2．已知函数， ．
(1)证明： ，直线都不是曲线的切线；
(2)若，使恒成立，求实数的取值范围．
二、利用导数求函数的单调性
考点一 含参的单调性讨论
例．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若存在极大值M和极小值N，且，求a的取值范围．
练习．已知函数.其中实数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：关于x的方程有唯一实数解.
考点二 根据单调区间求参数
练习．函数.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若时，证明：.
三、利用导数求函数的极值、最值
考点一 极值与极值点
练习．已知函数，为的导函数，证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)在区间存在唯一极小值点；
(3)有且只有一个零点.
考点二 最值
练习2．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
四、利用导数求函数的零点
考点一 讨论零点个数
练习．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数问题
(3)当时，证明不等式．
考点二 根据零点个数求参数范围
练习1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若只有一个零点，求的取值范围．
练习2．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
五、利用导数证明不等式
练习1. 已知函数.
（1）若，比较与的大小；
（2）讨论函数的零点个数.
练习2.已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）当时，求证函数在（0，）上存在极值点m，且（一）导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
（二）导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
（三）特别提醒
（1）曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
（2）曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．
（四）常用结论
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
例1. 2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则________ ；
_________．（用数字作答）
1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
①求函数的增量；
②求平均变化率；
③得导数，简记作：一差、二比、三极限.
2.函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
一、导数的几何意义
题型一： 导数的几何意义--求曲线的切线方程
例．曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
练习1.已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
【总结提升】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
切线的本质是割线的极限
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
题型二：导数的几何意义--求参数的值(范围)
根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
例.（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
练习（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：两曲线的公切线问题
例.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
练习.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
【总结提升】
解决此类问题通常有两种方法
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝.
题型四：导数几何意义相关的应用问题
例．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
练习.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【规律方法】
求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考点一 求曲线的切线方程
例1．已知函数，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.
练习．已知函数
(1)过原点作的切线，求的方程；
(2)令，求在恒成立，求的取值范围
考点二 利用切线方程求参数
练习1．已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线．
(1)求函数的解析式及k的值．
(2)若对于任意恒成立，求m的取值范围
练习2．已知函数， ．
(1)证明： ，直线都不是曲线的切线；
(2)若，使恒成立，求实数的取值范围．
二、利用导数求函数的单调性
考点一 含参的单调性讨论
例．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若存在极大值M和极小值N，且，求a的取值范围．
练习．已知函数.其中实数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：关于x的方程有唯一实数解.
考点二 根据单调区间求参数
练习．函数.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若时，证明：.
三、利用导数求函数的极值、最值
考点一 极值与极值点
练习．已知函数，为的导函数，证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)在区间存在唯一极小值点；
(3)有且只有一个零点.
考点二 最值
练习2．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
四、利用导数求函数的零点
考点一 讨论零点个数
练习．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数问题
(3)当时，证明不等式．
考点二 根据零点个数求参数范围
练习1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若只有一个零点，求的取值范围．
练习2．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
五、利用导数证明不等式
练习1. 已知函数.
（1）若，比较与的大小；
（2）讨论函数的零点个数.
练习2.已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）当时，求证函数在（0，）上存在极值点m，且

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