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直线、平面垂直的判定及其性质
一、学习目标：
1：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题
2：理解直线与平面所成的角的定义及求法
二、教学过程
（一）知识回顾
自主练习
1．判断正误
(1)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β(　×　)
(2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α(　×　)
(3)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α(　√　)
(4)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l∥α，则l⊥β(×　　)
2．如图P为△ABC所在平面外一点．PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，则H是△ABC的___垂_____心．
3.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是_①②④_______．
4．(人教A版2019教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有__7______对．
解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7对．
（二）例题精析
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β且m α B．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
解析：选C　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：选C　选项A，B，D中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，
3．设α，β分别为两个不同的平面，直线l α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)
A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　依题意，由l⊥β，l α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．
方法小结
解决垂直关系的基本问题要注意
(1)紧扣垂直关系的判定定理与性质定理．
(2)借助于图形去判断．
(3)举反例排除去判断．
例1.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，
∵N是PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD，且NE＝CD，
而AM∥CD，且AM＝AB＝CD，∴NE綊AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD.而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形．又E为PD的中点，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.
例2《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马P ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.
(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．
(2)记阳马P ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．
解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD.
又DE 平面PCD，所以BC⊥DE.
又因为PD＝CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC.
而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.
(2)由已知，PD是阳马P ABCD的高，所以V1＝S长方形ABCD·PD＝BC·CD·PD.
由(1)知，DE是鳖臑D BCE的高，BC⊥CE，
所以V2＝S△BCE·DE＝BC·CE·DE.
在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝CD.
于是＝＝＝4.
例3如图，四棱锥P ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥P ABMO的体积．
解：(1)证明：如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，AM，则AO⊥OB.因为∠BAD＝，故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1，又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋2－2×1××cos＝.所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，OP都垂直，所以BC⊥平面POM.
(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.由△POM也是直角三角形，
故PM2＝PO2＋OM 2＝a2＋.在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋2－2×2××cos＝.由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2＋PM2＝AM 2，即a2＋3＋a2＋＝，得a＝，a＝－(舍去)，即PO＝.此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.所以四棱锥P ABMO的体积VP ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.
变式训练2
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明　(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD.
而PD 平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
例题3.如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，
所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC， 所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
例4， 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面CA1D；
(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.
例5　在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
(1)解　如图所示，取DE的中点M，连接PM，
由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，
又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM 平面PDE，
∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P－BCDE的高．
在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝DE＝，
而直角梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6，
∴四棱锥P－BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2.
(2)证明　取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN 平面PMN，∴BC⊥平面PMN，
∵PM 平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，
又BC，DE 平面BCDE，且BC与DE是相交的，
∴PM⊥平面BCDE，∵PM 平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.
变式训练3
1.,如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD
考点四 直线与平面所成的角
(
A
B
C
D
A
1
D
1
C
1
B
1
)例6在正方体中,求:
(1)直线和平面ABCD所成的角
(2)直线和平面所成的角
例7 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求BD与平面ADMN所成的角．
变式训练4
如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
1．【解析】(1)由已知可得，⊥，⊥，所以⊥平面PEF．
又平面，所以平面⊥平面．
(2)作⊥，垂足为．由(1)得，⊥平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由(1)可得，⊥．又=2，=1，所以=．
又=1，=2，故⊥．
可得,．则，，，，
为平面的法向量．设与平面所成角为，则．所以与平面所成角的正弦值为．
（三）课堂小结
1：线面垂直转化为线线垂直
2：面面垂直转化为线面垂直
三、课后作业
1.如图
四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积
解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.
又AC 平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.
由已知得，三棱锥E ACD的体积VE ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝，
故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝，
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥E ACD的侧面积为3＋2.
2．如图，在正三棱锥ABC A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．
(1)求证：BF∥平面A1EC；
(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.
证明：(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，
在正三棱柱ABC A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.
又因为F为AC中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.
因为E为BB1中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1.
所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.
又BF 平面A1EC，OE 平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.
(2)由(1)知BF∥OE，因为AB＝CB，F为AC中点，
所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.
又因为AA1⊥底面ABC，而BF 底面ABC，
所以AA1⊥BF.由BF∥OE，得OE⊥AA1，而AA1，AC 平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，
所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE 平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
3.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．
解答　(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
图7 41 12
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，
由于BC1∩AO＝O，故B1C⊥平面ABO.由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，且AO∩OD＝O，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，且AD∩BC＝D，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝.因为AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC A1B1C1的高为.
4.在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P－ABCD的体积．
解　(1)存在，当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.
证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，PM 平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
可得PM⊥平面ABCD，由PM 平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.
(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，可得MC＝AB＝MD＝a，
则CD＝a，PD＝2a，
由PM⊥MC，可得PC＝＝＝2a，
由S△PCD＝·a·＝a2＝8，可得a＝4，
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PM＝××(4＋8)×4×4＝32.直线、平面垂直的判定及其性质
一、学习目标：
1：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题
2：理解直线与平面所成的角的定义及求法
二、教学过程
（一）知识回顾
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l和平面α内的________都垂直，就称直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的________，平面α叫作直线l的________．
(2)直线与平面垂直的判定与性质
2．两个平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．
(2)两个平面垂直的判定和性质
自主练习
1．判断正误
(1)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β(　　)
(2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α(　　)
(3)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α(　　)
(4)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l∥α，则l⊥β(　　)
2．如图P为△ABC所在平面外一点．PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，则H是△ABC的________心．
3.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．
4．(2019人教A版教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
（二）例题精析
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β且m α B．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
3．设α，β分别为两个不同的平面，直线l α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)
A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
方法小结
解决垂直关系的基本问题要注意
(1)紧扣垂直关系的判定定理与性质定理．
(2)借助于图形去判断．(3)举反例排除去判断．
例1如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
变式训练：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马P ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.
(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．
(2)记阳马P ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．
例2.如图，四棱锥P ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥P ABMO的体积．
变式训练2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
考点三 平面与平面垂直的判定与性质
例题3.如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
例4， 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面CA1D；
(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.
例5　在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P－BCDE.
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
变式训练3
1.,如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD
考点四 直线与平面所成的角
(
A
B
C
D
A
1
D
1
C
1
B
1
)例5在正方体中,求:
(1)直线和平面ABCD所成的角
(2)直线和平面所成的角
例6 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求BD与平面ADMN所成的角．
变式训练4
如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
（三）课堂小结
1：线面垂直转化为线线垂直
2：面面垂直转化为线面垂直
三、课后作业
1.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
2．如图，在正三棱锥ABC A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．
(1)求证：BF∥平面A1EC；
(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.
3.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．
4.在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P－ABCD的体积．

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