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05 指、对、幂函数
指、对、幂函数
【知识回归】
一、幂函数与指数函数
1.幂函数的概念
一般地，函数 = 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。
（特别提醒：x前面无系数）
2.根式
（1）如果 = ，那么 叫做 的 次方根。
（2）式子 叫做根式，其中 叫做根指数, 叫做被开方数。
为奇数 ,

（3） =
∣ ∣ = ≥ 0 , < 0 为偶数 。
3.指数函数及其性质
（1）概念：函数 = （ > 0 ,且 ≠ 1 ）叫做指数函数，
其中指数 是自变量，定义域是 ， 是底数。
（2）指数函数的图象与性质
底数 a>1 0图象
定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
性质 当 x>0 时，恒有 y>1；当 x<0 时，恒有 当 x>0 时，恒有 001
在定义域 R 上为增函数 在定义域 R上为减函数
（3）指数函数奇偶性：
ax－1
指数函数无奇偶性，形如 f(x)＝ 是奇函数
ax＋1
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05 指、对、幂函数
二、对数函数
1.对数的概念
一般地，如果 = （ > 0 ,且 ≠ 1 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记
作 = log ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。
以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lg 。
以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 ln 。
2.对数的性质与运算性质
（1）对数的性质：log 1 = 0 ,log = 1 , log = （ > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 ）。
（2）对数的运算性质
如果 > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 , > 0 ，那么：
①log = log + log ；
②log = log log ;
③log = log ∈ 。
log
（3）换底公式 3:log = （ > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 , > 0 ，且 ≠ 1 ）。log
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0)．
3.反函数
指数函数 = （ > 0 ，且 ≠ 1 ）与对数函数 = log （ > 0 ，且 ≠ 1 ）互为
反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线 = 对称。（例如：y=ex与 y=Inx）
【例题回归】
一、由幂函数定义求值
例 1、若幂函数 f x a2 a 1 xa 在 0, 上单调递增，则函数 g x bx a 1 b 0且b 1
过定点( )
A. 2,2 B. 2,1 C. 1,1 D. 2,2
例 2、已知幂函数 f (x) m2 3m 9 xm 3 在 0, 上单调递减，则实数 m 的值为_______.
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05 指、对、幂函数
例 3、已知函数 f x m 2 xm是幂函数，若 f k 2 3 f 9 8k 0 ，则实数 k 的最大值是
______.
二、指对函数图像
例 4、在同一平面直角坐标系中，函数 f x xa x 0 ， g x loga x的图象可能是( )
A. B. C. D.
三、比较大小
0.3 2
例 5、设 a 2 ,b 0.3 , c log2 0.3 ,则 a,b,c的大小关系( )
A. a b c B. b c a C. c b a
D. c a b
2 5 3
3 3 7 7 5 5
例 6 、已知 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系为( )
2 5 3
A.a b c B.b a c C.c b a D.a c b
b c
例 7、设 a，b，c 均为正数，且 2a log a 1 1 ， log b
1
1 ， log2 c .则( )
2 2 2 2
A.a b c B.c b a C.c a b D.b a c
四、指对幂综合计算
2
2 1 2
27 3 162 1 8

8
3
例 、 ________.
2 27
2
例 9、83 lg 5 +2lg 2 sin 3π ________.
2 2
2
8
10
3
例 、计算： 10lg3 log 1 3 log5 4 log2 5 ______.
27 9
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05 指、对、幂函数
五、定点问题
11 4 1例 、已知曲线 y ax 1 1（ a 0且 a 1）过定点 (k,b)，若m n b且m 0，n 0 ，则 的最小值
m n
9 5
为 A. B.9 C.5 D.
2 2
例 12、函数 f x ax 4 loga x 3 7 a 0,a 1 的图象必经过定点________.
六、反函数
例 13、函数 f (x) x 1的反函数为 f 1(x)，则 f 1(3) ___________.
七、指对幂大题（换元法求最值）
例 14 x x．已知函数 f x 9 2 3 4，x 1,2 ，求函数 f x 的最大值与最小值.
例 15．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知函数 f (x) a 2x 2a x 1 ，其中a 0且a 1．
(1)已知 f (x)的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
(2)若a 2，求 f (x)的最小值；
(3)若 f (x)在区间[0,1]上的最大值为 2，求 a的值．
例 16．（2022 x x秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数 f x loga 2 1 loga 8 2 (a 0且 a 1)．
(1)求函数 f x 的定义域；
(2)是否存在实数 a，使得函数 f x 在区间 1,2 上的最大值为 2？若存在，求出 a的值；若不存
在，请说明理由．
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05 指、对、幂函数
1
例 17．（2022秋·广西河池· 高一校联考阶段练习）已知函数 f x log3 x 3 log9 x
2
，

(1)当 x 1,27 时，求该函数的值域；
f x m log x x 9,81(2)若函数 3 对于 恒成立，求m的取值范围
八、各种分式（一次/二次：一次/二次）
ax2 bx 2
例 18．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆市东风中学校考期末）已知函数 f x 2 (a,b R)，x 1
则下列选项不正确的是（ ）
A． a,b R， f x 为增函数 B． b R ，对 a R ， f x 为偶函数
C． a R ，对 b R ， f x 有最大值 D． b R ，对 a R ， f x 有最大值
2
例 19．若函数 f (x) 3x x 3 2 的最大值为 a，最小值为b，则a b （ ）x 1
A．4 B．6
C．7 D．8
2
例 20．（2022 x 2x 2秋·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校考阶段练习）已知函数 f (x) ，
2x 2
定义域为 ( 4,1) ，则函数 f (x)（ ）
A．有最小值 1 B．有最大值 1
C．有最小值 3 D．有最大值 3
4x 1
（多选题）例 21．（2022秋·四川成都·高一树德中学校考期中）已知函数 f x ，则下列
x 2
选项正确的是（ ）
A． f x 的值域是{y | y 4} B． f x 在定义域上单调递减
C． f 2024 f ( 2020) 4 D． f 2023 f ( 2019) 8
22 2022 x
2 2
例 ．（ 秋·广西桂林·高一校考期中）函数 f (x) 2 的值域为________.x 3
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05 指、对、幂函数
ax b
例 23．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知函数 f x
x2
为定义在R 上的奇函数，
1
且 f 1 1 ，
2
(1)求 a，b的值，并证明 f x 为 1,1 上的增函数，
4t
(2)当 t 0,1 时，函数 f x 在 t, t 的最大值为 ，求实数 t的值.
5
九、连等式
2a b 1 1例 24、设 5 m ,且 2 ,则m ( )
a b
A. 10 B. 10 C. 20 D. 100
例 25、设 x, y, z为正数,且 2x 3y 5z ,则( )
A. 2x 3y 5z B. 5z 2x 3y C. 3y 5z 2x D. 3y 2x 5z
例 26、若 2a 3b 6c，且abc 0，则( )
A. a a 1 B. b b 1 C. a b 1 D. a b 1
c b a c c c b c
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05 指、对、幂函数
【巩固训练】
一、选择题
1. 给 出 下 列 函 数 ① ;② ;③ ;④ ;⑤
.其中满足条件 的函数的个数
是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2、已知 a log 0.2,b 20.22 ,c 0.2
0.3，则( )
A． a b c B． a c b C．c a b D．b c a
3、设 a 20.3 ,b 0.32 , c log2 0.3 ,则a,b,c的大小关系( )
A. a b c B. b c a C. c b a D. c a b
4、函数 f x a2 3a 3 ax是指数函数,则 a的值有( )
A. a 1或a 2 B. a 1 C. a 2 D. a 0且a 1
x
5、已知函数 f x a loga x 1 在 0,1 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a的值为( )
1 1
A. B. C. 2 D. 4
4 2
x m
6 、 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 2 1 ( m 为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记
a f log0.5 3 ,b f log2 5 , c f 2m ,则 a,b,c的大小关系为( )
A. a b c B. a c b C. c a b D. c b a
7、计算 log2 25 log3 2 2 log5 9的结果为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
1 1
8、设 2a 5b m ,且 2 ,则m ( )
a b
A. 10 B. 10 C. 20 D. 100
9.已知 , , ,则 , , 的大小关系是
( )
A. B. C. D.
2
10、若幂函数 y (m2 3m 3) xm m 2 的图像不过原点，则 m 的取值是( )
A. 1 m 2 B.m 1或m 2 C.m 2 D.m 1
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11 2 m
2 2m 3
、已知幂函数 y (m m 1)x ,当 x (0, )时为减函数,则( )
A.m 2 B.m 1 C.m 1 1 5或m 2 D.m
2
2 2 1
12、T (1) 31 ,T
1
( ) 3 ,T (1)3 ,则下列关系式正确的是( )
2 2 5 3 2
A. T1 T2 T3 B. T3 T1 T2 C. T2 T3 T1 D. T2 T1 T3
二、多项选择题
13、已知0 a b 1，下列不等式成立的是( )
a b 1 1
A. 1 1 1 1 1 2
B. a 2 b3 C. log 1 a log1 b D. loga logb
3 2 3 2 3
三、填空题
14、 log4 3 log8 3 log3 2 log9 8 __________.
1
2
15、函数 y m 2m 2 xm 1 是幂函数,则m __________.
四、解答题
16. 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性.
（2）求 的值域.
（3）证明 )在 上是增函数.
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05 指、对、幂函数
17、计算下列各式:(要求写出必要的运算步骤)
1

0.027 3 1 ( ) 2 2560.75 1 1（1） 3 ( )0 ;
6 2
1
(4) 2 log27 16 lg 25 lg 4 3 log 2（2） 3 .
9 log3 4
18、设 f x ＝loga (1＋x)＋loga (3－x)(a 0，a 1) ，且 f 1 ＝2 .
(1)求 a 的值及 f x 的定义域；
(2)求 f x 在区间 0,
3
上的最大值. 2
b 2x
19、已知定义域为R 的函数 f x x 是奇函数.2 a
（1）求 a,b的值
（2）用定义证明 f x 在 , 上为减函数
（3）若对于任意 t R ,不等式 f t 2 2t f 2t 2 k 0恒成立,求 k的范围
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05 指、对、幂函数
f (x) 4x 2x 120、已知函数 8
（1）求 f ( f (2))的值;
（2）若 x 2,2 ,求 f (x) 的最大值和最小值.
21.已知函数 的的定义域为 .当 时,求函数 的最值及
相应的 的值。
x 1 x
22、已知 1 log x 1 y 1 4 1 1 ,求函数 2 的最大值和最小值.
2 4 2
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【知识回归】
一、幂函数与指数函数
1.幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。
（特别提醒：x前面无系数）
2.根式
（1）如果 ，那么 叫做 的 次方根。
（2）式子 叫做根式，其中 叫做根指数, 叫做被开方数。
（3）
3.指数函数及其性质
（1）概念：函数 （ ,且 ）叫做指数函数，
其中指数 是自变量，定义域是 ， 是底数。
（2）指数函数的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
（3）指数函数奇偶性：
指数函数无奇偶性，形如f(x)＝是奇函数
二、对数函数
1.对数的概念
一般地，如果 （ ,且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。
以10为底的对数叫做常用对数，记作 。
以 为底的对数叫做自然对数，记作 。
2.对数的性质与运算性质
（1）对数的性质： , , （ ，且 , ）。
（2）对数的运算性质
如果 ，且 , , ，那么：
① ；
② ;
③ 。
（3）换底公式3: （ ，且 , , ，且 ）。
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．
3.反函数
指数函数 （ ，且 ）与对数函数 （ ，且 ）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线 对称。（例如：y=ex与y=Inx）
【例题回归】
一、由幂函数定义求值
例1、若幂函数在上单调递增，则函数且过定点( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为幂函数在上单调递增，
所以，
解得，
所以函数的图象过定点.
故选：D.
例2、已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为_______.
【答案】-2
【解析】由于幂函数在上单调递减，
令，整理得，解得或-2.
当时，函数，故函数在上单调递增，
当时，函数，故函数在上单调递减，符合题意.
故m的值为：-2.
故答案为：-2.
例3、已知函数是幂函数，若，则实数k的最大值是______.
【答案】6
【解析】函数是幂函数，
，，，故函数为奇函数，且在R上单调递增.
若，则，，求得，
实数k的最大值为6，
故答案为：6.
二、指对函数图像
例4、在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选项A中两条曲线都不是函数的图象；选项B中，中，中，不符合；选项C中，中，中，不符合；选项D中，中，中，符合，故选D.
三、比较大小
例5、设,,,则的大小关系( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,,,所以,故选C.
例6、已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，，
故令，则，
因为，所以，故恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
故，
又因为在上单调递增，所以，即.
故选：B.
例7、设a，b，c均为正数，且，，.则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在同一坐标系中分别画出，，，的图象，
与的交点的横坐标为a，与的图象的交点的横坐标为b，与的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出.
四、指对幂综合计算
例8、________.
【答案】
【解析】
故答案为：.
例9、________.
【答案】6
例10、计算：______.
【答案】3
【解析】
.
故答案为：3.
五、定点问题
例11、已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为A. B.9 C.5 D.
【答案】A
【解析】因为定点为，所以，，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
即，时取得最小值.
例12、函数的图象必经过定点________.
【答案】
【解析】恒成立，的图象必过定点.
故答案为：.
六、反函数
例13、函数的反函数为，则___________.
【答案】4
【解析】函数的反函数是，
，，
互换x，y，，得，，
则.
故答案为：4.
七、指对幂大题（换元法求最值）
例14．已知函数，求函数的最大值与最小值.
【答案】函数的最大值为，最小值为.
【详解】令，因为，所以，
所以函数可化为，
因为，由二次函数的图象和性质可知：
当，也即时，函数取最小值；
当，也即时，函数取最大值；
所以函数的最大值为，最小值为.
例15．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知函数，其中且．
(1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
(2)若，求的最小值；
(3)若在区间上的最大值为2，求a的值．
【答案】(1)；(2)；(3)3.
【详解】（1）因为，所以定点坐标为.
（2）当时，.
令，.
则，当，即时，函数有最小值.
（3）令，则.
①当时，可知在上单调递减，所以.
又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，
所以在处取得最大值.
由已知可得，，解得或.
因为，所以两个数值均不满足；
②当时，可知在上单调递增，所以.
又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增，
所以在处取得最大值.
由已知可得，，解得或（舍去），所以.
综上所述，.
例16．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数且．
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在实数时，使得函数在区间上的最大值为2．
【详解】（1）依题意，
即，
所以
即，
所以函数的定义域为．
（2），
令，
则，
．
易知二次函数的图像开口向下，
对称轴为直线，
所以函数在上单调递增，
所以．
假设存在满足题意的实数，
当时，函数单调递增，
，解得或（舍去），
当时，函数单调递减，
，解得（舍去），
综上，存在实数时，
使得函数在区间上的最大值为2．
例17．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知函数，
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若函数对于恒成立，求的取值范围
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可得：，
设，当时，则
故函数转化为，
∵函数开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
∴，
故的值域为.
（2）当时，则，
∵对于恒成立，即，
∴对于恒成立，
令，，
对，且，
则，
∵，则，
则，即，
∴在上为增函数，则，
故，即，
∴的取值范围是.
八、各种分式（一次/二次：一次/二次）
例18．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆市东风中学校考期末）已知函数，则下列选项不正确的是（ ）
A．，为增函数 B．，对，为偶函数
C．，对，有最大值 D．，对，有最大值
【答案】A
【详解】对于A：，
设,且，则，
令，
所以，
因为，所以.
要使为增函数，只需恒成立，
所以，
即，
而，所以矛盾，故A错误；
对于B：要使对为偶函数，按偶函数的定义，只需，即
，解得：b=0.
即，对为偶函数.故B正确；
对于C、D：定义域为R，
所以关于x的方程有解，
当时，存在，使得有解，此时，
当时，只需，即，
而，
所以关于y的一元二次不等式有解，故C、D正确；
故选：A.
例19．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【详解】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
例20．（2022秋·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校考阶段练习）已知函数，定义域为，则函数（ ）
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值3 D．有最大值3
【答案】B
【详解】，
，，
由基本不等式，，当且仅当时，即时等号成立，
∴，
即，最大值为1.
故选：B.
（多选题）例21．（2022秋·四川成都·高一树德中学校考期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．的值域是 B．在定义域上单调递减
C． D．
【答案】AD
【详解】因为，函数的值域为， A正确，
函数的定义域为，故 在 和 上是减函数， B错误；
又因为，所以函数关于点成中心对称，
故，， D正确， C错误；
故选：AD.
例22．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）函数的值域为________.
【答案】
【分析】利用分常数的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可.
【详解】因为函数，
又因为，所以，则，
所以，则有，
所以函数的值域为，
故答案为：.
例23．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且，
(1)求，的值，并证明为上的增函数，
(2)当时，函数在的最大值为，求实数的值.
【答案】(1)，；证明见解析(2)
【详解】（1）∵为定义在上的奇函数，
∴，解得，
由，则，
故，
∵，则为定义在上的奇函数，
故，符合题意.
对，且，
则，
∵，则，，，
∴，即，
故为上的增函数.
（2）由（1）知为的增函数，
∵，则在为增函数，
∴在上的最大值为，
由题意可得，解得，
故实数的值为.
九、连等式
例24、设,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为, ,所以, ,,,,
由得, ,,所以, ,故选A。
例25、设为正数,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取对数: ,
,
∴,
,
则,
∴,
∴,
故选D
例26、若，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：，，
又，，，
，即.
故选：A.
【巩固训练】
一、选择题
1.给出下列函数① ;② ;③ ;④ ;⑤ .其中满足条件 的函数的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D
【答案】 B
解析： 根据指数函数图像可知① 不是凸函数,是凹函数;② ,也是凹函数,不满足条件;③ ;也是凹函数;④ ;作图可知道是凸函数,成立;⑤ 是定义域内的凸函数,符合题意,故正确的个数为2,选B.
2、已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：则．故选B．
3、设,,,则的大小关系( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解析：因为,,,所以,故选C.
4、函数是指数函数,则的值有( )
A. 或
B.
C.
D. 且
【答案】
4、答案：C
解析：根据指数函数的概念得,解得.故选C
5、已知函数在上的最大值与最小值之和为,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
5、答案：B
解析：∵函数与在上具有相同的单调性,
∴函数的最大值、最小值应在的端点处取得,
由得.
6、已知定义在R上的函数 (为实数)为偶函数,记,,,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】
7、答案：C
解析：因为函数为偶函数,所以,即,所以
,
,,所以,故选C.
7、计算的结果为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】
8、答案：D
解析：原式.
8、设,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为, ,所以, ,,,,
由得, ,,所以, ,故选A。
9.已知 , , ,则 , , 的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
解析： ,
.
.
∵ ,
∴ ,故选B.
10、若幂函数的图像不过原点，则m的取值是( )
A. B.或 C. D.
【答案】B
解析：由幂函数的定义，可得，解得或2.当时，，其图像不过原点；当时，，其图像不过原点.故或.
11、已知幂函数,当时为减函数,则( )
A. B. C.或 D.
【答案】A
解析：因为为幂函数,
解得或
因为当时,为减函数,
解得
所以m的值为2.
12、,则下列关系式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
解析：幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系,幂函数的图象在直线的右侧,由低到高,幂指数由小变大;在y轴与直线之间,由低到高,幂指数由小变大.另外还应注意幂指数的取值对幂函数图象位置的影响:幂指数时,图象全是“抛物线型”,而幂指数时,图象全是“双曲线型”.
二、多项选择题
13、已知，下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
解析：本题考查对数的运算、指数函数、对数函数的单调性.因为，，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为，，所以，故D错误，故选AC.
三、填空题
14、__________.
【答案】
解析：原式
15、函数是幂函数,则__________.
【答案】-3
解析：因为是幂函数,所以,所以.
四、解答题
16. 已知函数 .
1.判断函数 的奇偶性.
2.求 的值域.
3.证明 )在 上是增函数.
【答案】1. 的定义域为 , ,所以 是奇函数。
2. ,∵ , , , 的值域为 .
3.设 ,则 .
∵ , , .
又∵ , ,
,即 .
所以函数 在 上是增函数。
17、计算下列各式:(要求写出必要的运算步骤)
1. ;
2. .
【答案】1.原式
2.原式.
18、设，且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
【答案】（1）∵ ,
∴,
∴,
由得.
所以函数的定义域为
（2）
∴当时, 是增函数;
当时, 是减函数.
所以函数在上的最大值是.
19、已知定义域为的函数是奇函数.
1.求的值
2.用定义证明在上为减函数
3.若对于任意,不等式恒成立,求的范围
【答案】1.∵为上的奇函数,∴.又得
经检验符合题意
2.任取,且则
∵,∴, 又∵∴ ∴在上为减函数
3.∵不等式恒成立,
∴∵为奇函数,∴
∵为减函数,∴
即恒成立,而
20、已知函数
1.求的值;
2.若,求的最大值和最小值.
【答案】1.
2.∵∴
∵
∴当时,当时,.
21.已知函数 的的定义域为 .当 时,求函数 的最值及相应的 的值。
【答案】 , 取最大值 , 取最大值 ; 无最小值.
解析： 本试题主要是考查了对数函数的定义域和形如二次函数的 最值的综合运用。根据已知条件,对数真数大于零,得到x的范围,然后利用设 为二次函数得到最值
22、已知,求函数的最大值和最小值.
【答案】由得,令,则,,
当,即,时, ,当时,即,时,指、对、幂函数
【知识回归】
一、幂函数与指数函数
1.幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。
（特别提醒：x前面无系数）
2.根式
（1）如果 ，那么 叫做 的 次方根。
（2）式子 叫做根式，其中 叫做根指数, 叫做被开方数。
（3）
3.指数函数及其性质
（1）概念：函数 （ ,且 ）叫做指数函数，
其中指数 是自变量，定义域是 ， 是底数。
（2）指数函数的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
（3）指数函数奇偶性：
指数函数无奇偶性，形如f(x)＝是奇函数
二、对数函数
1.对数的概念
一般地，如果 （ ,且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。
以10为底的对数叫做常用对数，记作 。
以 为底的对数叫做自然对数，记作 。
2.对数的性质与运算性质
（1）对数的性质： , , （ ，且 , ）。
（2）对数的运算性质
如果 ，且 , , ，那么：
① ；
② ;
③ 。
（3）换底公式3: （ ，且 , , ，且 ）。
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．
3.反函数
指数函数 （ ，且 ）与对数函数 （ ，且 ）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线 对称。（例如：y=ex与y=Inx）
【例题回归】
一、由幂函数定义求值
例1、若幂函数在上单调递增，则函数且过定点( )
A. B. C. D.
例2、已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为_______.
例3、已知函数是幂函数，若，则实数k的最大值是______.
二、指对函数图像
例4、在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
A. B. C. D.
三、比较大小
例5、设,,,则的大小关系( )
A. B. C. D.
例6、已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
例7、设a，b，c均为正数，且，，.则( )
A. B. C. D.
四、指对幂综合计算
例8、________.
例9、________.
例10、计算：______.
五、定点问题
例11、已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为A. B.9 C.5 D.
例12、函数的图象必经过定点________.
六、反函数
例13、函数的反函数为，则___________.
七、指对幂大题（换元法求最值）
例14．已知函数，求函数的最大值与最小值.
例15．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知函数，其中且．
(1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
(2)若，求的最小值；
(3)若在区间上的最大值为2，求a的值．
例16．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）已知函数且．
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例17．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知函数，
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若函数对于恒成立，求的取值范围
八、各种分式（一次/二次：一次/二次）
例18．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆市东风中学校考期末）已知函数，则下列选项不正确的是（ ）
A．，为增函数 B．，对，为偶函数
C．，对，有最大值 D．，对，有最大值
例19．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
例20．（2022秋·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校考阶段练习）已知函数，定义域为，则函数（ ）
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值3 D．有最大值3
（多选题）例21．（2022秋·四川成都·高一树德中学校考期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．的值域是 B．在定义域上单调递减
C． D．
例22．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）函数的值域为________.
例23．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且，
(1)求，的值，并证明为上的增函数，
(2)当时，函数在的最大值为，求实数的值.
九、连等式
例24、设,且,则( )
A. B. C. D.
例25、设为正数,且,则( )
A. B. C. D.
例26、若，且，则( )
A. B. C. D.
【巩固训练】
一、选择题
1.给出下列函数① ;② ;③ ;④ ;⑤ .其中满足条件 的函数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、已知，则( )
A． B． C． D．
3、设,,,则的大小关系( )
A. B. C. D.
4、函数是指数函数,则的值有( )
A. 或 B. C. D. 且
5、已知函数在上的最大值与最小值之和为,则的值为( )
A. B. C. D.
6、已知定义在R上的函数 (为实数)为偶函数,记,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7、计算的结果为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8、设,且,则( )
A. B. C. D.
9.已知 , , ,则 , , 的大小关系是( )
A. B. C. D.
10、若幂函数的图像不过原点，则m的取值是( )
A. B.或 C. D.
11、已知幂函数,当时为减函数,则( )
A. B. C.或 D.
12、,则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
13、已知，下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
14、__________.
15、函数是幂函数,则__________.
四、解答题
16. 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性.
（2）求 的值域.
（3）证明 )在 上是增函数.
17、计算下列各式:(要求写出必要的运算步骤)
（1）;
（2） .
18、设，且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
19、已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值
（2）用定义证明在上为减函数
（3）若对于任意,不等式恒成立,求的范围
20、已知函数
（1）求的值;
（2）若,求的最大值和最小值.
21.已知函数 的的定义域为 .当 时,求函数 的最值及相应的 的值。
22、已知,求函数的最大值和最小值.

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