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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标 把握航向 目的明确
1.能用坐标表示平面向量的数量积.
2.会用坐标表示两个平面向量的夹角.
3.能用坐标表示平面向量垂直的条件，会用向量的坐标判断两个向量是否垂直.
重点：向量的数量积、模、夹角的坐标表示.
难点：平面向量数量积的坐标表示的应用.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
注意点：
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两个向量的数量积的，若已知两个向量的模与夹角，则用公式a·b＝|a||b|cos θ，若已知两个向量的坐标，则用a·b＝x1x2＋y1y2求解；
(2)公式a·b＝x1x2＋y1y2使得用向量解决平面几何问题及代数问题成为可能，很好地体现了数形结合的思想；
(3)设a与b的夹角为θ，当x1x2＋y1y2＜0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＞0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＝0时，θ＝，所以可以用向量的数量积的坐标表示判断cos θ的符号、夹角的范围、三角形的形状等.
(4)公式a·b＝x1x2＋y1y2的推导过程如下：
∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j，
∴a·b＝(x1i＋y1 j)·(x2i＋y2 j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.
知识点二　平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
注意点：
两点间距离公式的推导过程如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，
∵＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，
∴||＝.
知识点三　平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝＝.
特别地，若a⊥b，则有x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
注意点：
用cos θ＝＝求向量夹角时，求得夹角的余弦值后，需要特别注意夹角的取值范围.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一　平面向量数量积的坐标运算
例1　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)
A.10 B.－10 C.3 D.－3
答案：B
解析：a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
反思感悟：进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：(1)|a|2＝a·a；(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
答案：C
解析：因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.
题型二　平面向量的模
例2　已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，求a－2b及其模的大小.
解：∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，
∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)，
∴|a－2b|＝＝.
反思感悟：求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方；(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练2　已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C.5 D.25
答案：C
解析：∵a＝(2，1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
题型三　平面向量的夹角、垂直问题
例3　(1)已知|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，则θ＝.所以向量a与b夹角的大小为.
(2)设向量m＝(2x－1，3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为(　　)
A.－1 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：因为向量m＝(2x－1，3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.
反思感悟：解决向量夹角问题的方法及注意事项：(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3　已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
答案：7
解析：∵a＝(－1，2)，b＝(m，1)，∴a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3).又a＋b与a垂直，∴(a＋b) ·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
题型四　平面向量数量积坐标形式的综合运用
例4　已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3，2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解：设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴.
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1) ·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②
由①②可得，即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)．
∴||＝＝，即||＝，D(1，1)．
反思感悟：在几何里利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解．
跟踪训练4　在平面直角坐标系内，已知三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：
(1)，的坐标；(2)|－|的值；(3)cos∠BAC的值．
解：(1)＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．
(2)因为－＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1，1)·(1，5)＝4，＝，||＝，
cos∠BAC＝＝＝.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A.|a|＝|b| B.a·b＝0 C.a∥b D.(a－b)⊥b
答案：D
解析：a－b＝(1，－1)，所以(a－b) ·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.
2.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5，∴cos θ＝＝＝(θ为a，b的夹角).又∵a，b的夹角的范围为[0，π].∴a与b的夹角为.
3.已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案：A
解析：由a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，知λa＋b＝(－3λ－1，2λ)，a－2b＝(－1,2)．又(λa＋b)·(a－2b)＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.
4.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2 C．4 D．12
答案：B
解析：a＝(2，0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.∴|a＋2b|＝＝2.
5.已知＝(－2，1)，＝(0，2)，且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A．(2，6) B．(－2，－6) C．(2，6) D．(－2，6)
答案：D
解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1)．
由∥，⊥，得解得∴点C的坐标为(－2，6)．
6.a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)
A.23 B.57 C.63 D.83
答案：D
解析：3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.
7.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C．5 D．25
答案：C
解析：∵|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，∴|b|＝5.
8.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
答案：B
解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
9.已知＝(－2，1)，＝(0，2)且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A.(2，6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2，6)
答案：D
解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2，6).
10.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)
A. B. C. D.
答案：D
解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
解得①②得x＝－，y＝－.
二、填空题
11.设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
答案：－1
解析：由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.
12.设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”为m n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
答案：(－2,1)
解析：设q＝(x，y)，则p q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3).∴∴∴q＝(－2，1).
13.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
答案：(－4,8)
解析：由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4，8)．
14.若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为________．
答案：
解析：设a、b的夹角为θ，则cos θ＝＝，故a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝.或直接根据计算a在b方向上的投影．
15.设a＝(2，x)，b＝(－4，5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是__________________．
答案：x<且x≠－
解析：∵θ为钝角，∴cos θ＝<0，即a·b＝－8＋5x<0，∴x<.
∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，
∴a与b反向，即θ＝π.故a与b的夹角为钝角时，x<且x≠－.
三、解答题
16.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
17.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
解：∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
18.在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解：∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.
故所求k的值为－或或.
19.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
∴＝(1，1)，＝(－3，3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解：⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
∴　得
∴C点坐标为(0，5)．
由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，所以·＝8＋8＝16>0，
||＝2，||＝2.
设与夹角为θ，则cos θ＝＝＝>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标 把握航向 目的明确
1.能用坐标表示平面向量的数量积.
2.会用坐标表示两个平面向量的夹角.
3.能用坐标表示平面向量垂直的条件，会用向量的坐标判断两个向量是否垂直.
重点：向量的数量积、模、夹角的坐标表示.
难点：平面向量数量积的坐标表示的应用.
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
注意点：
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两个向量的数量积的，若已知两个向量的模与夹角，则用公式a·b＝|a||b|cos θ，若已知两个向量的坐标，则用a·b＝x1x2＋y1y2求解；
(2)公式a·b＝x1x2＋y1y2使得用向量解决平面几何问题及代数问题成为可能，很好地体现了数形结合的思想；
(3)设a与b的夹角为θ，当x1x2＋y1y2＜0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＞0时，θ∈；当x1x2＋y1y2＝0时，θ＝，所以可以用向量的数量积的坐标表示判断cos θ的符号、夹角的范围、三角形的形状等.
(4)公式a·b＝x1x2＋y1y2的推导过程如下：
∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j，
∴a·b＝(x1i＋y1 j)·(x2i＋y2 j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.
知识点二　平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
注意点：
两点间距离公式的推导过程如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，
∵＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，
∴||＝.
知识点三　平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝＝.
特别地，若a⊥b，则有x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
注意点：
用cos θ＝＝求向量夹角时，求得夹角的余弦值后，需要特别注意夹角的取值范围.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一　平面向量数量积的坐标运算
例1　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)
A.10 B.－10 C.3 D.－3
反思感悟：进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：(1)|a|2＝a·a；(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
题型二　平面向量的模
例2　已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，求a－2b及其模的大小.
反思感悟：求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方；(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练2　已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C.5 D.25
题型三　平面向量的夹角、垂直问题
例3　(1)已知|a|＝1，b＝(0，2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为(　　)
A. B. C. D.
(2)设向量m＝(2x－1，3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为(　　)
A.－1 B.1 C.2 D.3
反思感悟：解决向量夹角问题的方法及注意事项：(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3　已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
题型四　平面向量数量积坐标形式的综合运用
例4　已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3，2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
反思感悟：在几何里利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解．
跟踪训练4　在平面直角坐标系内，已知三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：
(1)，的坐标；(2)|－|的值；(3)cos∠BAC的值．
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A.|a|＝|b| B.a·b＝0 C.a∥b D.(a－b)⊥b
2.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
3.已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
4.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2 C．4 D．12
5.已知＝(－2，1)，＝(0，2)，且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A．(2，6) B．(－2，－6) C．(2，6) D．(－2，6)
6.a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)
A.23 B.57 C.63 D.83
7.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C．5 D．25
8.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
9.已知＝(－2，1)，＝(0，2)且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A.(2，6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2，6)
10.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
11.设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
12.设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”为m n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
13.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
14.若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为________．
15.设a＝(2，x)，b＝(－4，5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是__________________．
三、解答题
16.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.
17.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
18.在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
19.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1/1

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