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高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）
第 6 章 三角
6.1诱导公式（第6课时）
由于角 ２kπ＋α（k ∈Z）的终边与角α的终边重合 ， 因此由定义有如下诱导公式 ：
由这组诱导公式 ， 求任意角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以转化为求 ［ ０ ，２π） 范围内一个角的相应值 ．
角 α 的终边与角 － α 的终边关于 狓 轴对称 （ 图 ６-１-１１ ）， 角 α的终边与单位圆交于点 P（ ｃｏｓ α ， ｓｉｎ α ）， 而角 － α 的终边与单位圆交于点 P′ （ ｃｏｓ （ － α ）， ｓｉｎ （ － α ）） ． 由于点P与点 P′关于x轴对称 ， 其横坐标相等 ， 而纵坐标互为相反数 ， 因此有如下诱导公式 ：
由这组诱导公式 ， 求负角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以转化为求正角的相应值 ．
将角 α 的终边绕着原点o按逆时针方向旋转 π 弧度 ， 得到角 π＋ α 的终边 （ 图 ６-１-１２ ）， 这说明角 α 和角 π＋ α 的终边在同一条直线上 ， 但方向相反 ． 角 α 的终边与单位圆交于点（ ｃｏｓ α ， ｓｉｎ α ）， 角 π＋ α 的终边与单位圆交于点 P′ （ ｃｏｓ （ π＋ α ），ｓｉｎ （ π＋ α ）） ． 由于点 P 与点 P′ 关于原点对称 ， 其横坐标和纵坐标都互为相反数 ， 因此有如下诱导公式 ：
由这组诱导公式 ， 求 ［ ０ ，２π） 范围内的角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以转化到 ［ ０ ， π ） 范围内一个角的相应值
角 α 的终边与单位圆交于点 P （ ｃｏｓ α ， ｓｉｎ α ）， 而角 π－ α 的终边与单位圆交于点 P′ （ ｃｏｓ （ π－ α ）， ｓｉｎ （ π－ α ）） ． 由于角 α 的终边和角π－ α 的终边关于y轴对称 （ 图 ６-１-１３ ）， 点 P 与点 P′ 关于y轴对称 ， 其横坐标为相反数 ， 而纵坐标相等 ， 因此有如下诱导公式 ：
利用以上四组诱导公式 ， 就可以将终边不位于坐标轴上的任
意角的正弦 、 余弦 、 正切及余切值 ， 与初中已学过的锐角的相应值有机地联系起来 ．
以上四组诱导公式说明 ， ２kπ＋ α （ k∈Z）， － α ， π± α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切值的绝对值等于角 α 的相应量的绝对值 ，但这两个值之间可能差一个正负号 ． 由于诱导公式较多 ， 记忆其中的正负号并不容易 ， 但有一个很简单的方法可以加以判断 ，即 ： 当 α 为锐角时 ， 等式两边必须同时为正数或同时为负数 ．
例如 ， ｃｏｓ （ π－ α ） 的绝对值应该同 ｃｏｓ α 的绝对值相等 ， 即成立 ｃｏｓ （ π－ α ） ＝±ｃｏｓ α ． 但当 α 为锐角时 ， π－ α 是第二象限的角 ， 这时 ｃｏｓ （ π－ α ） ＜０ ， 而 ｃｏｓ α ＞０ ， 所以前式中应该取负号 ，即有 ｃｏｓ （ π－ α ） ＝－ｃｏｓ α ．
例15：利用诱导公式求值 ：
解 　 因为
ｓｉｎ （ ２π－ α ） ＝ｓｉｎ （ － α ） ＝－ｓｉｎ α ， ｔａｎ （ π＋ α ） ＝ｔａｎ α ，
ｃｏｔ （ －π－ α ） ＝－ｃｏｔ （ π＋ α ） ＝－ｃｏｔ α ， ｃｏｓ （ π－ α ） ＝－ｃｏｓ α ，
ｔａｎ （ ３π－ α ） ＝ｔａｎ （ π－ α ） ＝－ｔａｎ α ，
所以
原式 ＝
课本练习
练习 ６． １ （ ６）
１． 证明 ：
（ １ ） ｓｉｎ （ ２π－ α ） ＝－ｓｉｎ α ；
（ ２ ） ｃｏｓ （ ２π－ α ） ＝ｃｏｓ α ；
（ ３ ） ｔａｎ （ ２π－ α ） ＝－ｔａｎ α ；
（ ４ ） ｃｏｔ （ ２π－ α ） ＝－ｃｏｔ α
２． 利用诱导公式求值 ：
３． 化简 ：
随堂检测
1、化简：
________
【答案】-1
【解析】原式=
2、化简
=
【解析】
3、（1）求函数
的值域；
（2）化简：
．
THANKS
“
”

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