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人教B版（2019）必修第三册《第七章 三角函数》章节练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）下列各组角中，终边相同的角是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.（5分）如图函数的部分图象，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.（5分）若，函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为
A. B. C. D.
4.（5分）如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是
A. B.
C. D.
5.（5分）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则
A. B. C. D.
6.（5分）将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是
A. B. C. D.
7.（5分）已知角、的终边相同，那么的终边在
A. 轴的非负半轴上 B. 轴的非负半轴上
C. 轴的非正半轴上 D. 轴的非正半轴上
8.（5分）在第四象限，则 所在的象限为
A. 第一象限或第三象限
B. 第二象限或第四象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列关于函数的表述正确的是 ( )
A. 函数f(x)的最小正周期是π B. 当时，函数f(x)取得最大值2
C. 函数f(x)是奇函数 D. 函数f(x)的值域为
10.（5分）下列化简正确是
A.
B.
C.
D.
E. 若，则
11.（5分）下列选项中，与的值相等的是
A.
B.
C.
D.
12.（5分）设函数，则下列命题中正确的是
A. 函数的定义域为 B. 函数是增函数
C. 函数的值域为 D. 函数的图象关于直线对称
E. 函数的值域是
13.（5分）已知，，则
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）给出下列命题：①存在实数，使；
②存在实数，使；
③是偶函数；
④是函数的一条对称轴方程．
其中正确命题的序号是 ______
15.（5分）设，若对任意实数都有，则实数的取值范围是 ______ ．
16.（5分）若一个角的终边上有一点且，则________。
17.（5分）定义在上的函数是奇函数，且，在区间上是单调递减函数．则关于函数有下列结论：
①图象关于直线对称；
②最小正周期是；
③在区间上是减函数；
④在区间上有个零点．
其中正确的结论序号是________把所有正确结论的序号都填上
18.（5分）在平面直角坐标系中，已知单位圆与轴正半轴交于点，为圆上一点，则劣弧的弧长为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数
求值；
若，求的值．
20.（12分）设是定义在实数集上的奇函数，且对任意实数恒满足，当时，
求证：是周期函数；
当时，求的解析式；
计算：
21.（12分）在中，，，的对边分别是，，，且
求的值；
若，，求边
22.（12分）如图是函数一个周期内的图象，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
求函数和的解析式；
若，求的所有可能的值；
求函数为正常数在区间内的所有零点之和．
23.（12分）已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
若，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：终边相同的角，需满足，，即，，
，，故选项错误，
，，故选项错误，
，，故选项正确，
，，故选项错误．
故选：
终边相同的角，需满足，，即，，分别代入，即可求解．
此题主要考查了终边相同的角的概念，是基础的会考题型．
2.【答案】A;
【解析】解：根据函数的部分图象经过点，
可得，，．
再根据五点法作图，可得，，函数，
故选：．
由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
这道题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了三角函数的图象与性质，函数图象的平移与解析式的关系，属于基础题.
把函数的图像向右平移个单位长度后得到，因为该图像与函数的图像重合即可求出的最小值.
解：函数的图像向右平移个单位长度，
，
，
，
与函数图像重合，
，
，
故当时，取得的最小值，
故选
4.【答案】B;
【解析】解：由图象知，函数的周期，
即，即，
则，
由五点对应法得，
即，
则，
故选：．
根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出的值即可得到结论．
这道题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定，和的值是解决本题的关键．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了对数的运算以及函数的奇偶性和周期性，由定义域为的奇函数满足，可知周期为，属中档题.
解：为奇函数，又，得
，
即函数的周期为，
故，
故选
6.【答案】D;
【解析】
这道题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
利用函数的图象变换规律，求得所得函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求得的值．

解：将函数图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变，
可得的图象；
再将所得图象向左平移个单位长度，可得的图象；
根据所得图象关于轴对称，
则有，，，
结合选项可知，当时，的一个可能的值为．
故选：．
7.【答案】A;
【解析】解：角、终边相同，，．
作差得 ，，的终边在轴的非负半轴上．
故选：．
由题意得 ，，作差得 ．
该题考查终边相同的角之间的关系，终边相同的角的表达形式．
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了象限角的概念与应用问题，是基础题目．根据所在的象限，写出的取值范围，从而求出角所在的象限即可．

解：在第四象限，
，；
，；
当为偶数时，为第二象限角，
当为奇数时，为第四象限角；
角所在的象限为第二或第四象限．
故选
9.【答案】AD;
【解析】函数的最小正周期是，故A正确；当时，，故B错误；因为，所以函数是偶函数，故C错误；函数的定义域为R，的值域为，所以的值域为，故D正确，故选AD．
10.【答案】ABE;
【解析】
此题主要考查诱导公式和三角等式的化简，属于基础题.
根据诱导公式分别化简即可判断.

解：由诱导公式，正确；
因为，故正确；
因为，故错；
因为，故错；
因为，
，
，，
所以故正确，
故选
11.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了诱导公式、两角和与差的三角函数公式和二倍角公式及其应用，属于基础题.
先得出，再由两角和与差的三角函数公式和二倍角公式逐一计算即可得出结论.

解：，
，故不符合题意；
，故符合题意；
，故符合题意；
，故不符合题意，
故选
12.【答案】ADE;
【解析】
此题主要考查了复合函数的单调性与对称性，函数的定义域和值域，考查学生的推理能力，属于中档题.
对函数进行分析判断即可得.

解：令，
该二次函数关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，故对，
函数的定义域为，值域为
在上是增函数，在上是减函数，
所以根据选项，，，，进行判断可得正确.
故选
13.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了同角三角函数关系和两角差的正切公式，属于基础题先把所求式子化简，然后把，代入结合两角差的正切公式即可得到结果.
解：因为，
所以

故选
14.【答案】③④;
【解析】
这道题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．
根据二倍角公式得到，结合正弦函数的值域可判断①；根据两角和与差的正弦公式可得到结合正弦函数的可判断②；根据诱导公式得到，再由余弦函数的奇偶性可判断③；将代入到得到，根据正弦函数的对称性可判断④．

解：，与正弦函数的值域矛盾，故①不对；
，从而可判断②不对；
，为偶函数，故③正确；
将代入到得到，
故是函数的一条对称轴方程，故④正确．
故答案为③④．
15.【答案】a≥2;
【解析】解：不等式对任意实数恒成立，
令，
则．




．
即实数的取值范围是
故答案为：．
构造函数，利用正弦函数的特点求出，从而可得答案．
该题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．
16.【答案】或;
【解析】
利用三角函数的坐标法定义，得到，，代入等式解之，此题主要考查了三角函数的坐标法定义，属于基础题．

解：因为角终边上有一点，
所以，，
又，所以，
解得或；
故答案为：或

17.【答案】①③④;
【解析】

此题主要考查函数性质的应用，属于中档题.
根据，则图象关于直线对称；，即最小正周期为；由奇函数关于原点对称的区域单调性一致，得函数在区间上是减函数；，所以函数在区间上有个零点.
解：对于①，定义在上的函数是奇函数，
则且，
则图象关于直线对称，故①正确；
对于②，因为有，
所以有，即最小正周期为，故②错误；
对于③，因为奇函数在区间上是单调递减函数，
所以在区间上是减函数，故③正确；
对于④，因为，
所以，，
所以，
结合单调性所以函数在区间上有个零点，故④正确.
所以正确的结论序号是①③④.
故答案为①③④.
18.【答案】;
【解析】
该题考查了弧长公式，属于基础题．利用弧长公式即可得出．

解：，为圆上一点．
即，
劣弧所对的圆心角为．
劣弧的弧长．
故答案为：．

19.【答案】解：因为，
所以；
由知，当时，，
因为
;
【解析】此题主要考查三角函数的化简求值，诱导公式，同角三角函数关系，属于基础题.
根据诱导公式以及同角三角函数关系化简可得，进而求出值；
由知，再利用同角三角函数关系把所求值的表达式化简成只含的式子，从而可得答案.
20.【答案】解：（1）证明：f（x）对任意实数x恒满足f（x+2）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即f（x）是周期为4的周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，x-2∈[0，2]，
则有f（x-2）=2（x-2）-（x-2）2=-+6x-8，
又由f（x）是周期为4的周期函数，则f（x）=f（x-4）=-f（x-2）=-6x+8，
故f（x）=-6x+8；
（3）根据题意，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，则f（0）=0，
f（x）对任意实数x恒满足f（x+2）=-f（x），
则f（1）+f（3）=0，f（2）+f（4）=0，则有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
又由f（x）是周期为4的周期函数，
则f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2021）=f（1）+f（2）+ +f（2021）=[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×505+f（2021）=f（1）=1；
故f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2021）=1．;
【解析】
根据题意，分析可得，即可得结论；
根据题意，当时，，结合函数的周期性和奇偶性可得答案；
根据题意，分析可得，结合函数的周期性分析可得答案．
此题主要考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性和周期性的判断和应用，属于基础题．
21.【答案】由，及正弦定理得，
所以，因为，所以，所以
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以，
由正弦定理得;
【解析】此题主要考查正弦定理和余弦定理及其应用，考查学生推理能力，属于中档题.
由已知条件及正弦定理可得，再由三角形的角的取值范围确定，继而可得的值；
由已知条件及三角函数恒等变换可得，由中可求得，代入公式中可得，再由正弦定理可得值.
22.【答案】解：（1）由图象可知：A=2，T=π，
所以：ω=2．
所以f（x）=2sin（2x+φ），又因为过点（0，2），
故2sinφ=2，即sinφ=1，φ=，
又因为0≤φ≤π，所以φ=．
所以f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，
把函数f（x）=2sin（2x+）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=2sin（x+），再把所得图象向右平移个单位长度，
得到函数g（x）=2sinx；
（2）由f（）=g（）可得：2cos2=2sin，即：2six+sinx-1=o，
解得：sin=-1或，所以=，或=或=，
所以sin（-）=-或1．
（3）因为f（x）=2cos2x，g（x）=2sinx，所以F（x）=2cos2x+2asinx，
令F（x）=0，即cos2x+asinx=0，即2six-asinx-1=0，解得sinx=，
因为sinx∈[-1，1]且a＞0，所以∈（-1，0），
①当sinx=时，由y=sinx的对称轴方程可得sinx=在[（2k-1）π，2kπ]，（1≤k≤9，k∈z）有两个解，且两解之和为（2k-1）π+2kπ=4kπ-π，
则在（0，19π）的根之和为3π+7π+11π+……+35π=；
②当＞1，即a＞1时，方程sinx=无解；
③当=1，即a=1时，方程sinx=的解为x=2kπ+，（1≤k≤9，k∈z），
则在（0，19π）的根之和为=；
④当0＜＜1，即0＜a＜1时，方程sinx=在[2kπ，（zk+1）π]，（0≤k≤9，k∈z）有两个解，且两解之和为2kπ+（zk+1）π=4kπ+π，
则在（0，19π）的根之和为π+5π+9π+…+37π=；
综上所求：当a＞1时，所有零点之和为171π；
当a=1时，所有零点之和为171π+95π=266π；
当0＜a＜1时，所有零点之和为171π+190π=361π．;
【解析】
由最值求出，由周期求出，再代入特殊点坐标出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律得出的解析式．
利用二倍角公式求出的所有可能值，求出的所有可能值．
对分类讨论，结合三角函数图象，求出每种情况下零点的和．
这道题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．
23.【答案】解：（1）由图可知：A=2．
∵，
∴T=4π．
∵ω＞0，
∴．
∵图象过点，
则，
即．
∵，
∴．
故；
（2）由，得，
∴，
∴，
∴，
∵α∈（0，π），
∴，
∴．;
【解析】
由函数图象直接得到和四分之一周期，进一步得到周期，由周期公式求得，再由在函数图象上代入求解的值，则函数解析式可求；
把代入中求得的函数解析式，求出的值，由倍角公式求出，结合的范围进一步求得，则的值可求．
该题考查利用的部分图象求函数解析式，考查了三角函数值得求法，是中档题．

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