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第4章 全等三角形
第1题
如图4-1所示，在中，平分，求证：
【解题策略】从本题的结论出发，“截长”或“补短”都可以将问题转化成证明两条线段相等.
【证法一】如图所示，
延长至点，使，连接，则
∵，∴.∵平分，∴.
又∵，∴.∴.
即.
【证法二】如图所示，在上截取，连接.
平分，∴.
又∵，∴∴.
又∵，∴..
∵，∴.∴.
∴.
【解后反思】在证明形如分别表示图形中三条线段的长)时，可以考虑使用“截长补短”法，如同证法一中的“补短”和证法二中的“截长”，其目的均是将问题转化成证明一条线段长等于另一条线段长，这时候再考虑利用全等三角形的知识完成证明.
【举一反三】
1.如图4-4所示，在平行四边形中，点是上一点，.过点作线，在上取一点，使得，连接.当与相交时，，求证：
2.如图所示，在四边形中，.求证：.
第2题
如图4-6所示，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：.
【解题策略】由于是边上的中线，则可以考虑倍长，构造全等三角形，也可以考虑倍长来构造全等三角形.
【证法一】如图所示，延长到点，使得，连接.
是边上的中线，∴.
在和 中，，
∴.∴.
又∵，∴.∴.
又∵，∴.即.
∴
【证法二】如图所示，延长到点，使得，连接，
是边上的中线，
在和中，
.
∴.
又∵，∴.∴.
又∵，∴.∴.
【解后反思】 倍长和与中点有关的线段是一种常见的添加辅助线的方式，其目的是构造全等三角形(实质是作某三角形关于中点的中心对称图形)，利用全等三角形的性质，将边、角进行等量代换，使相关条件集中.
【举一反三】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.
如图所示，已知：是的中点，点在上，且.
求证：.
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质.观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，请对原题进行证明.
(1)如图所示，延长到点，使得，连接；
(2)如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点；
(3)如图4-12所示，过点作，交的延长线于点.
2.如图所示，在中，是边上的中线，点、点分别在边上，并且若，求证：.
第3题
如图所示，在四边形中，，平分，求证：.
【解题策略】由平分，可以考虑在上截取，则可证，再证即可；或者利用角平分线的性质，过点分别的垂线段，，可证，由此可得结论.
【证法一】如图所示，在上截取，连接.
平分
在和中，
.
又∵，∴
∴.
∴.
【证法二】如图4-16所示，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为点，易知.
平分，
在和中，
.
∴.
∵.
∴.
∴.
∴.
【解后反思】角平分线是一条具有特殊作用的线.在解有关角平分线的问题时，若巧用角平分线的某些性质，往往可以化难为易.处理角的平分线有两种基本方法：
(1)以角平分线为轴，翻折构造全等三角形；
（2）由角平分线上一点向角的两边作垂线.
【举一反三】
1.如图所示，在中，为的平分线，点为上的一点，且，连接，求的度数.
2.如图所示，为平分线上的一点，点和点分别在和上，且，试探究与的关系，并给予证明.
第4题
如图所示，在中，于点于点，，与交于点，求证：.
【解题策略】要证一条线段是另一条线段的2倍，可以考虑将短线段加倍，或将长线段取半，再证明构造后的线段与另一条线段相等.
【证法一】如图所示，
∵于点，∴.∴.
∵，，∴.∴.
又∵于点，∴.
∴.∴.
在和中，，
∴≌.∴.
∵,,
∴,即.
∴.
【证法二】如图所示，
于点于点，
∴点为的垂心.
连接并延长交于点，则.
由已知可知
∵
∴
∴.
∵，，且，
∴.∴
∴.
在和中，
，
又，
【证法三】 如图4-21所示，延长到点，使，易证.
，
，
由于点于点，
易得
在中，，
在中，于点，
【证法四】 如图所示，取的中点，连接.在于于点，同理，可证
易证
，
四点共圆.
【证法五】 如图所示，取的中点，连接
在中，，
由【证法四】得)
于点，
【解后反思】 证明两条线段相等，常需证明这两条线段所在的三角形全等;而要证明一条线段是另一条线段的2倍，则需通过“加倍或取半”的方法，通过添加适当的辅助线，构造出要证明相等的目标线段.在这一过程中，需要熟练运用全等三角形的判定方法、直角三角形性质、等腰三角形性质等内容.
【举一反三】
1.如图4-24所示，在中，平分交于点.交的延长线于点交的延长线于点，连接.给出四个结论:(1);.其中正确的结论有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第5题
如图4-26所示，在中，为的中点，过点作于点，延长交于点.求证:.
【解题策略】思路一:注意到在中，且，因此可设法构造一个与全等的三角形，并使其中的锐角等于;
思路二:注意到、分别在和中，且，故可设法在中构造一个与全等的三角形.因为，故可作的平分线.
【证法一】 如图所示，过点作交的延长线于点，则
在和中，
为的中点，
在中，，
在和中，
.
【证法二】 如图所示，作的平分线交于点，则
在中，，
在和中，
在和中，
【解后反思】 由全等三角形的性质可知，全等三角形对应边相等，对应角相等，因此，常考虑通过证明全等三角形来得到要证的边相等或角相等.但已知图形中不一定正好出现这样的全等三角形，如本题图形中的和显然不全等，但这两个三角形中满足一边一角对应相等，此时可以对其中一个三角形做适当“加工”-添加辅助线，以补全全等证明中需要的第三个条件，目的是使“加工”好的三角形与另一个三角形全等(方法一是“加工”，使其与全等，方法二是“加工”，使其与全等).从而解决问题.
【举一反三】
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
(2)如图所示，在中，点、点分别在上，设相交于点，若请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
（3）在中，如果是不等于的锐角，点、点分别在上，且那么请探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
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第四章全等三角形
第1题
1.证明:如答图所示,作交于点
又
是等边三角形.
2. 证明:如答图4-2所示,延长至点E，使,连接,.
,
,
又,
是等边三角形., .
,,
是等边三角形., .
,,
即.
,即
第2题
1.证明：（1）如答图所示,
在和中,
(2)如答图所示,
.
在和中，
在和中
,
3. ,
在和中，
.
又,而,
.
2.证明:如答图所示,延长至点,使,连接.
在和中,
,
，
，，，，，，，
为直角三角形.，，
第3题
1.解:如答图所示,在上截取,连接,过点作于点于点,则.于是
又,
为的角平分线,
为的平分线,,,,,
2.解:与互补.
如答图所示,过点作于点于点,
为角平分线上的一点,
在和中,,,又，
即与互补.
第4题
1.解:如答图所示,过点作于点.平分,
易证,
则.
，，，
∵在中，，
,
.
∴（3）正确.
作,交于点.
平分,
在和中,
,
,即.
由可得
,
在中,,
，，，，，∴（1）正确，（2）正确
.过点作于点
,,
平分,
在和中,
，
由题易知,则,
,
故选D.
2.解:如答图所示,在上截取,连接.
，又 ，
在和中,
,
,则,
是等腰直角三角形,点是的中点,
.
在与中,
，，，即是等腰直角三角形,
故答案为.
第5题
1. 解:(1)如平行四边形、等腰梯形等;
（2）与相等的角是或,四边形是等对边四边形;
（3）此时存在等对边四边形,是四边形,
如答图4-10所示,过点作于点,过点作交的延长线于点,则.
在和中,
,
,,
又∵
可证
.
四边形是等对边四边形.

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