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第7章 四边形
第1题
在平面直角坐标系中有点A(-1,0),点B(0,2),点P是x轴上一动点,在直线上是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的P、Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
【解题策略】 本题可分为两种情况讨论：在以A,B,P,Q为顶点的平行四边形中，AB 可能是边，也可能是对角线.若AB是边，则PQ也一定是边，则AB∥PQ且AB=PQ,即PQ 可以看作由AB平移得到，由点A、点B的坐标，确定点Q所在的直线；若AB是对角线，则PQ也是对角线,AF与BQ为对边，则AP∥BQ,由此可确定点Q的位置，根据平行四边形对角线互相平分可知，PQ过AB中点，由此可确定点P的位置.或者设出点P、点Q的坐标，再分AB是平行四边形的边或对角线两种情况进行讨论即可.
【解法一】存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.
情况一
若AB是边，则PQ也一定是边,AB∥PQ且AB=PQ,BP，PQ可由AB平移得到，由于点 A(-1,0),点B(0,2),故点Q在直线y=2或直线y=-2上，如图7-1中点Q1和点Q2所示.
当点Q在直线y=2上时，点Q即为点Q1,点P即为点P1.点Q1也在直线y=+3上,所以点Q1的坐标为(-2,2).过点Q1作Q1H1⊥x轴于点H1,可得△Q1P1H1≌△BAO,P1H1=AO=l,所以点P1的坐标为(-3,0).
当点Q在直线y=-2上时，点Q即为点Q2,点P即为点P2.点Q2也在直线 y=+3上,所以点Q2的坐标为（-10,-2）.过点Q2作Q2H2⊥x轴于点H2，可得△Q2P2H2≌△BAO，P2H2=AO=1，所以点 P2 的坐标为（-9,0）.
情况二
若AB是对角线，则PQ也是对角线,AP与BQ为对边，则AP∥BQ,由此可确定点Q位置:点Q为直线y=2与直线y=+3的交点，即为图7-1中的点Q1,点Q1的坐标为 (-2,2）.此时点P即为点P3,AP3=Q1B = 2,所以点P3的坐标为（1,0）.
综上所述,存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.若AB是边，对应的点P, 点Q的坐标分别为（-3,0）,（-2,2）或（-9,0）, （-10,-2）；若AB是对角线，对应的点P、 点Q的坐标分别为（1,0）,（-2,2）.
【解法二】存在以A.B.P.Q顶点的四边形为平行四边形.
∵点P是x轴上一动点，点Q在直线y=+3上,
∴设点P ,Q的坐标分别为(a,0）,（b,+3）
若AB, PQ是对角线，则AB与PQ互相平分，即AB与PQ的中点重合.
∵点A的坐标为（-1,0）,点点的坐标为（0,2）,
∴AB中点的坐标为（-,1）,PQ中点的坐标为（）.
∴,解得，
∴点P的坐标为（1,0）,点Q的坐标为（-2,2）.
若AP.BQ是对角线，则AP与BQ互相平分，即AP与BQ的中点重合.
∵AP中点的坐标为（,0）,BQ中点的坐标为()，
∴,解得，
∴点P的坐标为（-9,0）,点Q的坐标为（-10,-2）.
若AQ,BP是对角线，则AQ与BP互相平分，即AQ与BP的中点重合.
∵AQ中点的坐标为(),BP中点的坐标为（,1）,
∴,解得，
∴点P的坐标为（-3,0）,点Q的坐标为（-2,2）。
【解后反思】一般而言，“平行四边形ABCD"与“以A、B、C、D四点为顶点的四边形是“平行四边形”是有较大区别的.“四边形ABCD"强调了四边形的四个顶点是点A、点B、点C、 点D,这四个顶点在平面上是按照顺时针（或逆时针）的方向排列的；而“以点A、点B、点C,点 D为顶点的四边形是平行四边形"没有明确在平面上这四个顶点是否按某一方式排列.
以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，若已知其中三个点的位置，求第四个点的位置(坐标），则可过这三个点中的任意一点作对边的平行线，这三条不同的平行线交于三个 点，则这三个点均满足题意，如图7-2所示.
若已知其中两个点的位置，求其他两个点的位置（坐标），则 连接已知两点的线段可以是平行四边形的边，也可以是对角线，此时应该通过画图、平移线段等方法分析，以此确定另外两点的 位置,此外，如果要确定另外两点的坐标，则还需运用全等三角形、勾股定理、锐角三角比等知识作进一步分析.
此外，还可以参考下面的方法：
我们知道,平行四边形对角线互相平分.在平面直角坐标系中，如何用坐标的关系式体现“对角线互相平分”呢？
如图7-3所示，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM=CM，BM=DM，
即点M分别是AC,BD的中点，
∴,
∴,,
即平行四边形对角顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等.
反之,在平面直角坐标系中，如果一个四边形满足“两组对角顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等"，那么这个四边形是平行四边形.
【举一反三】
1.如图7 - 4所示，在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=-3与y轴交于点C,与x轴负半轴交于点A.若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A ,C,E,F为 顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由.
2.在平面直角坐标系xoy中，直线y = -+1分别与x轴y轴交于点A,点B,点C是第一象限内的一点，且AB=AC,AB⊥AC，抛物线y=-x2+bx+c经过A,C 两点，与x轴的另一交点为D.
⑴求此抛物线的解析式(可在图7-5上画出图象并进行解答)；
⑵判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；
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⑶点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A ,B ,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标;若不存在,请说明理由.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第2题
如图7-6所示，已知AB=10,点C、点D在线段AB上且AC=DB = 2.P是线段CD上的动点，分别以AP.PB为边在线段AB的同侧作等边三角形 AEP和等边三角形PFB,连接EF,设EF的中点为G,当点F从点C运动到点D时，求点G移动的路径的长.
【解题策略】 在本题中，点G位置的确定依赖于点P位置的确定，可以设AF长为x，利用含x的式子表示点G的位置 (包括沿AB方向移动的水平距离和竖直距离)，依此来确定点 G的运动轨迹和运动路径长.此外，根据条件，可将现有图形看成一个残缺的等边三角形，可通过延长AE,BF补全此三角形， 在补全的图形中，点G是某平行四边形一条对角线的中点，可利用平行四边形对角线互相平
分的性质考虑点G的运动情况.
【解法一】如图7-7所示，过点E作EM⊥AB，交AB于点M,过点G作
GH⊥AB，交AB于点H,过点F作FN⊥AB,交AB于点N。
设AP=x(2≤x≤8)则PB10-x
∵在等边三角形AEP中,EM⊥AB，
∴AM=AP=x ,EM=AP=x.
同理,BN=BP=(lO-x),FN=BP=(10-x)
∵EM⊥AB ,GH⊥AB ,FN⊥AB,
∴EM∥GH∥FN,
∵点G为EF的中点，
∴点H为MN的中点,GH为梯形EMNF的中位线.
∴MH==(AB-AM-BN)=，GH=(EM＋FN)=，
由GH= (定值)可知，点G在运动过程中，到直线AB的距离保持不变,说明点G在平行于AB的一条直线上运动，且点G的运动路径与点H的运动路径相同.
∵AH=AM+MH= (2≤x≤8),AH的长随着x的增大而增大，
当x=2时,AH=；当x=8 时,AH=
当点P从点C运动到点D时(即x的值从2增大到8),点H移动的路径的长为=3,这也是点G运动的路径长.
∴点G运动的路径的长为3.
【解法二】 如图7-8所示，延长AE,BF交于点H，则易证四边形EPFH是平行四边形.
∵点G是EF的中点，
∴点G也是HP的中点.
连接HC,HD,分别取HC,HD的中点M,N,连接MN ,MG
∴MN∥AB,MG∥AB.
∴点G在线段MN上.
∴当点P从点C运动到点D时，点G从点M移动到点N,
∴点G移动的路径的长为MN=CD= (AB-AC-BD)=3.
【解后反思】 在本题中，解法一体现了利用函数观点对问题进行研究，即通过点P位置的确定来确定点G的位置(研究点P的水平移动与竖直移动)，从而获取点G的运动轨迹(在平行于AB的直线上运动).此时，点H可以看成点G在AB下的正投影，点H的移动变化和点G的移动变化是一致的.【解法二】通过补全图形，将问题放在一个熟悉的背景下考虑，体现了研究一般问题中将未知转化成已知的过程.
【举一反三】
1.如图7-9所示,OA丄OB，垂足为0,点P,Q分别是射线OA OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4.求动点C运动形成的路径的长.
2.如图7-10所示,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点，点E从点A出发，沿 AB运动到点B停止.连接EM并延长交射线CD于点F,过点M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG、FG
⑴设AE=x时,△EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长.
第3题
如图7-11所示，在△ABC中,AC＞BC,D为AB的 中点,E为线段AC上一点,AE=BC,F为EC的中点.
求证：∠AFD=∠ACB.
【解题策略】 在本题中，AE=BC,而这两条线段并不是同一个三角形中的两边长，这意味着无法在等腰三角形中使用该条件，条件比较分散.D,F分别是AB,EC的中点， 但DF不是△ABC的中位线，可以考虑构造中位线，使相对分散的相等线段集中.
【证法一】如图7-12所示，连接BE,取BE的中点M,连接MF,MD，
(
C
)
∵F为EC的中点,D为AB的中点,
∴MF∥BC,且MF=
MD∥AE，且MD=AE.
∴∠AFD=∠MDF,∠ACB=∠AFM.
∵AE=BC,
∴∠MFD=∠MDF=∠AFD=∠AFM,
∴∠AFD=∠ACB
【证法二】 如图7-13所示，延长AC至点N，使CN=BC,连接BN,易证AE=CN，
∵F为EC的中点，
∴EF=FC.
∵AF=FN
∴DF∥BN,且DF=BN.
∴∠AFD=∠N.
∵CN=BC,
∴∠N=∠CBN
∴∠ACB=∠N+∠CBN=2∠N.
∴∠AFD=∠ACB.
【解后反思】 在解答与中点有关的问题中，通常有以下思考问题的方向：⑴利用中点推导出线段相等，推导出相应三角形的面积相等；⑵利用中点、倍长和中点有关的线段，来构造全等图形，实现边或角的等量代换；⑶利用（或构造）中位线，证明线段相等或平行，有时构造中位线还能实现相对分散条件的集中.
【举一反三】
1.如图7-14所示，在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点，且BD=CE,M,N分别是 BE,CD的中点，过MN的直线交AB于点F,交AC于点Q,线段AP与AQ相等吗 为什么？
如图7-15所示，在△ABC中,分别以AB,AC为斜边作等腰直角三角形AMB和等腰直角三角形ANC,P是BC的中点.求证:PM=PN.
第4题
如图7-16所示，在△ABC中，∠BAC=45°,以AB边为边，以点B为直角顶点，在△ABC外部作等腰直角三角形ABD,以AC边为斜边，在△ABC外部作等腰直角三角形AEC,连接BE,DC,两条线段相交于点F,试求∠EFC的度数。
【解题策略】 由已知条件可知∠DBA=∠EAB=90°,即DB∥AE.而∠EFC与已知条件没有什么直接的联系，可以考虑借助DB∥AE这一结论，构造平行四边形，利用平行线性质 找到将∠EFC等量代换的角，再结合已知条件求该角.
【解法一】 如图7-17所示，过点D作DH∥BE,交EA 的延长线于点H,连接CH.
易证四边形BEHD为平行四边形.
∴DH∥BE.
∴∠CDH=∠EFC.
在△CEH与△EAB中，
，
∴△CEH≌△EAB.
∴CH=EB=DH, ∠CHE=∠EBA.
∴∠CHD=90°,
∴△CHD为等腰直角三角形，∴∠EFC=∠CDH=45°.
【解法二】 如图7-18所示，过点C作CG∥BE,交AB的延长线于点G,连接DG,易证四边形BECG为平行四边形,BG=EC=AE.
∴BE∥CG，∴∠EFC=∠DCG.
∵△AEC为等腰直角三角形,E为直角顶点，
∴∠EAC=45°.
∵∠BAC=45°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=90°.
∴∠DBA=90°,
∴∠DBG=90°=∠BAE.
在△BGD和△AEB中，
，
∴△BGD≌△AEB,
∴DG=BE,∠GDB=∠EBA.
∵BE∥GC，
∴∠ABE=∠BGC,
∴∠GDB=∠BGC,
易证 ∠DGC=90°.
∵BE=GC,
∴DG=GC.
∴△CDG是等腰直角三角形.
∴∠EFC=∠DCG=45°.
【解后反思】 平行四边形的对边平行且相等，对角相等.利用平行四边形的这一性质，可以将相关线段或角等量代换，所以，在解答一些几何问题中，可以构造适当的平行四边 形，利用平行四边形的相关性质，实现将线段或角的等值的位置转换，使条件集中，有助于求出线段的长或角的大小.
【举一反三】
1.如图7-19所示，在等腰梯形ABCD中.AD∥BC，AC⊥BD, AD=3,
BC=7,求梯形的面积.
2.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图7-20所示,△AOB和△COD均为等腰直角三角形, ∠AOB-∠COD=90°.若△BOC的面积为1,试求以AD,BC,OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.
小明是这样思考的:要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积.他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到点E,使得OE=CO,连接BE,可证△ OBE≌△OAD，从而得到的△BCE即是以AD.BC.OC+OD的长度为三边长的三角形(图7-21). 请你回答:在图7-21中,△BCE的面积等于 . 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题：
如图7-22所示，已知分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE,
AGFC,BCHI,连接EG、FH、ID.
⑴在图7-22中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；
⑵若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 。
第5题
已知:AABC和MDE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.
如图7-23所示,如果点D、点E分别在边AC、AB上，那么BM.DM的数量关系与 位置关系是 ；
⑵将图7-23中的△ADE绕点A旋转到图7-24的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.
【解题策略】 在图7-23中，点M为EC的中点，而EC为直角三角形的斜边，所以可以利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”判断BM、DM的关系‘在图7-24中，点M 依然为EC的中点，可以考虑倍长和中点有关的线段或构造中位线来求证.
【解】（1）BM=DM,BM ⊥DM.
（2）将图7 - 23中的△ADE绕点A旋转到图7 -24的位置时 （1）的结论依然成立.
【证法一】 如图7 - 25所示,分别取AC、AE的中点H ,F,连接HM.FM.
则 BH=AC.DF=AE.
∴点M为CE的中点，
∴HM∥AE, HM=AE, FM∥AC, FM=AC
∴HM=FD ,BH=MF ,∠CHM=∠CAE=∠MFE
∵∠BHM=∠CHM+90°,∠MFD=∠MFE+90°
∴∠BHM=∠MFD.
∴△BHM≌△MFD
∴BM=DM, ∠BMH=∠MDF.
∴∠BMD=∠BMH+∠HMF+∠FMD
=∠MDF+∠MFE+∠FMD
= 180°-90°
=90°.
∴BM、DM的数量关系与位置关系是BM=DM,BM⊥DM.
【证法二】 如图7-26,延长DM至点N,使MN=DM,连接CN,BN,BD
∵EM=CM, ∠DME=∠NMC,
∴△DME≌△NMC.
∴DE=CN .∠MCN=∠MED.
∵BA=BC，DA=DE，
∴AD=CN.
∵在五边形ABCED中,∠BAD＋∠ADE＋∠MED＋∠ECB+∠ABC=540°,
即 ∠BAD+∠MED+∠ECB=540°-90°-90°=360°.
又 ∵∠BCN+∠MCN+∠ECB=360°,
∴∠BAD=∠BCN.
∴△BAD≌△BCN.
∴BD=BN, ∠ABD=∠CBN.
∴∠DBN=∠DBC+∠CBN=∠DBC+∠ABD=∠ABC=90°.
∴DM=MN,
∴BM=DN=DM, BM⊥DM.
∴BM、DM的数量关系与位置关系是:BM⊥DM.
【解后反思】 运动变换问题是指随着图形中某一个元素的运动变化，导致问题的结论变化或者保持不变的综合性题目.解答此类问题时，要注意一些关键条件，如本题中的“EC的中 点M"；从关键条件入手，往往能够比较便捷地得到问题的解答，此外，图形的运动变换问题， 也可以从特殊位置(或特殊图形)入手，找到解决该问题的方法，再利用同样的研究路径探究一般位置下的图形问题.
【举一反三】
猜想与证明：
如图7-27所示，摆放了矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在同一条直线
上,CE在边CD上，连接AF.若M为AF的中点，连接DM、ME,试猜想DM 与ME的关系，并证明你的结论.
拓展与延伸：
⑴若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸 片ECGF,其他条件不变，则DM和ME的关系为 。
⑵图7-28摆放了正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点 M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立.
2、在△ABC中,∠ACB = 90°, AC=BC=4,M为AB的中点.D是射线BC上一个动点，连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接ED,N为 ED的中点，连接AN,MN.
⑴如图7-29所示，当BD=2时,AN= ,NM与AB的位置关系是 ;
⑵当 4＜BD＜8 时，
①依题意补全图7-30；
②判断(1)中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
(3)连接ME,在点。运动的过程中，当BO的长为何值时,ME的长最小？最小值是 多少？请直接写出结果.
第6题
在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B,D,F在同一条直线上,H是BF的中点.
⑴如图7-31所示.若AB=1，DG=2，求BH的长；
⑵如图 7-32 所示，连接 AH,GH，求证:AH=GH，AH⊥GH.
【解题策略】 由"H是BF的中点"可考虑倍长AH,即延长AH交EF于点M,连接 AG,GM,要证明结论成立只需证明△GAM是等腰直角三角形；或者利用正方形的性质，连接 AC，GE分别交BF于点M、点N,证明结论成立只需证明△AMH≌△HNG.
【解】(1)∵四方形ABCD和DEFG是正方形，
∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形.
∵AB =1,DG=2,
∴由勾股定理求得BD=,DF=2.
∵B,D,F三点共线，
∴BF=3.
∵H是BF的中点,
∴BH=
【证法一】 如图7-33所示，延长AH,交EF于点M,连接AG,GM.
∵四边形ABCD和DEFG是正方形,且点B ,D ,F三点共线
(
■ 7-33
)∴AB∥EF.
∴∠ABH=∠MFH
在△ABH和△MFH中,
,
∴△AHB≌△MFH.
∴AH=MH,AB=MF
∵AB=AD,
∴AD=MF.
在△ADG和△MFG 中，
,
∴△ADG≌△MFG.
∴∠AGD=∠MGF, AG=MG.
又∵∠DGM+∠MGF=90°,∴∠AGD+∠DGM=90°.
∴△AGM为等腰直角三角形.
∵AH=MH,
∴AH=GH,AH⊥GH
【证法二】 如图7-34所示，连接AC.GE，分别交BF于点M,N. 四边形ABCD和DEFG是正方形，且B,D,F三点共线，
∴AC⊥BF,GE⊥BF,DM=BD,DN=DF.
∵∠AMD=∠GNH=90。,MN=BF.
∵H是BF的中点，
∴BH=MN. ∴BH-MH=MN-MH.
∴BM=HN
∴AM=BM=DM.
∴AM=HN=DM
∴MD+DH=NH+DH.
∴MH=DN,
∵DN=GN,
∴MH=GN.
在△AMH和△HNG中，
,
∴△AMH≌△HNG.
∴AH=GH,∠AHM=∠HGN.
∵∠HGN+∠GHN = 90°,
∴∠∠AHM+∠GHN=90°.
∴∠AHG=90°
∴AH⊥GH
【解后反思】 证明两条有公共端点的线段垂直且相等，一方面依然考虑利用全等三角 形，另外也容易联想到等腰直角三角形.利用等腰直角三角形的性质，能够证明相应的两条线 段垂直且相等.当直接证明以这两条线段为边的三角形是直角三角形比较困难时，应借助已知 的其他条件(如本题中“H是BF的中点”)将目标范围扩大(如【证法一】中证△AGM是等腰直角三角形).
【举一反三】
1.四边形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形，∠BEF= 90°,BE=EF,G为DF的中点，连接EG,CG,EC
⑴如图7-35所示，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；
⑵将图7-35中的△BEF绕点B按顺时针方向旋转至图7-36所示的位置，在(1) 中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程;若不成立,请说明理由；
⑶将图7-35中的△BEF绕点B按顺时针方向旋转α(0°＜α＜＜90°).若BE =1,AB=，当E,F,D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值.
2.在矩形ABCD中，点F在AD的延长线上，且DF=DC, M为AB边
上一点，N为MD的中点，点E在直线CF上(点E、点C不重合).
(1)如图7-37所示，若AB=BC,点M、点A重合，E为CF的中 点， 试探究BN与NE的位置关系及爲的值，并证明你的结论;
(2)如图7-38所示，若AB=BC,点M、点A不重合，BN = NE,你在⑴中得到的两个结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
⑶如图7-39所示，若点M、点A不重合,BN=NE,你在⑴中得到的两个结论是否成立？请直接写出你的结论.
第7题
如图7-40所示，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,
AC,BD为对角线,AC=AB,
求证：BC2+CD2=2BD2.
【解题策略】 由条件“AB=AD",从静态角度看能想到等腰三角形；从动态角度看，想到旋转变换，可利用旋转将分散的角度、线段 聚集，如【证法一】.
由条件"∠BAD+∠BCD=90o,可以联想到勾股定理，于是构造出直角三角形.依据图形特征，可在顶点C或点A处构造直角，将零散的已知条件集中，如【证法二】.
由条件"AC=AB”，可联想到相似三角形."AC=AB”可转化为“”，即为三角形的边长比值.构造出与线段AC.AB有关的相似三角形是关键.可考虑构造与△ABC或△ADC相似的三角形，构造的方法可以延长AB至点E,使或延长AD到点F,使
，如【证法三】.
待证结论 (BC2+CD2=2BD2与勾股定理的符号描述接近，引领证题方向指向直角三角形.考虑将结论：“BC2+ CD2=2BD2”变形为BC2+CD2=
(CD)2=BD2，或“”将问题转化为直角三角形的构造来证明，如证法四.
【证法一】 如图7-41所示.
∵AB=AD,
∴将△ADC绕点A按顺时针方向旋转到△ABF,连接CF.
∴△ABF≌△ADC,
∴∠ABF=∠ADC，∠∠BAF=∠DAC,
AF=AC,FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，=1
∴△ACF∽△ABD.
∴=,∴CF=
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°,
∴∠ABC+∠ADC=360°-(∠BAD +∠BCD )=360°-90=270°.
∴∠ABC+∠ABF=270°.
∴∠CBF=90°.
∴BC2+FB2 =CF2 =(BD)2 = 2BD2.
∴BC2+CD2=2BD2.
【证法二】 如图7-42所示，过点C作∠DCG=∠BAD，截取CG=CD,连接DG, BG.
∵∠BAD+∠BCD=90°,
∴∠DCG+∠BCD=90°,即 ∠BCG=90°，
∴BC2+CG2=BG2.
∴BC2+CD2=BG2
∵AB=AD ,CG=CD ,∠DCG=∠BAD,
∴△ADB∽△CDG.
∴∠ADB=∠CDG,
∴,
∴∠ADC=∠BDG
∵△ADC∽△BDG.
∴
∴BG=BD,
∴BC2+CD2=2BD2,
【证法三】如图7-43所示，分别延长AB，AD至点E和点F,使DF =AD,BE=AB. 连接CF,CE,EF,则BD是△AEF的中位线，从而EF=2BD.
∵AB=AD， AC=AB,
∴
∴△ABC∽△ACE.
∴∠4=∠5,
同理，得∠3=∠6,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=9O0, ∴∠1+∠2+∠5+∠6=9O0.
∴∠7+∠8=90°.
∴∠FCE =90°.
∴CE2+CF2-EF2,
∴（BC）2 +（CD）2 =（BD）2.
∴BC2+CD2=2BD2.
【证法四】 如图7-44所示，过点B作BF丄BC,使得BF=CD,连接AF, CF,易得∠ABF=∠ADC,从而可证△ADC≌△ABF.
得出△ACF∽△ABD,于是推出CF=BD.
∴BC2+CD2=BC2+BF2-CF2=（BD）2=2BD2.
【解后反思】 在学习过程中，旋转变换应用背景一般出现在特殊三角形（等腰三角形和等边三角形）和特殊四边形（菱形和正方形）中，本题的背景是在条件 相对弱化的特殊四边形中，不易想到旋转思路.利用旋转变换得出解法的思维起点是对旋转变换运用背景的一种补充，解答的关键是提炼出基本图形，即等腰三角形，进而想到运用旋转变换构造辅助线.
以直角三角形知识为起点，构造合适的宜角三角形是问题解答的关键，本题中需要运用相 似三角形的知识找到边之间的关系，结合勾股定理解题.
【举一反三】
1.如图7-45所示，在四边形ABCD中,∠B+∠D =180°,AB=AD,E,F分别是线段 BC,CD上的点，且BE+FD=EF.求证∠EAF=∠BAD.
2.如图7-46所示，在Rt△ACB中，∠ACB = 90°,D为AB的中点,DE,DF分别交AC于点E,交BC于点F,且DE⊥DF.
⑴如图 7-46 所示，如果 CA=CB，求证:AE2+BF2=EF2；
（2）如图7-47所示，如果CA＜CB,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明;若不成立,请说明理由.
第8题
如图7-48所示，在边长为2的正方形ABCD中，AE平分 ∠DAC，AE交CD于点F,CE丄AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF，连接AH,FH,FH与AC交于点M,以下结论：
①FH=2BH；
②AC⊥FH；
③=1;
④CE=AF ；
⑤EG2=FG·DG.
其中正确结论的个数为( ).
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D.5个
【解题策略】“角平分线+垂直”的基本模型可引导同学们围绕AC.
AE.AD构造等腰三角形的三线合一[图7-49(a)].这种借助辅助线还原模型的过程，是数学学习经验的积累，紧接着就能在图中发现旋转型全等模型[图7-49(b)],轴对称型的全等模型……如此环环相扣，使问题得以解决.
此外，还可以从三角形相似的常见模型以及解直角三角形的角度展开计算，如图7-49 (c),图(d)所示.
【解法一】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠B =∠D=90°, ∠BAD=90°.
∵AE平分∠DAC,
∴∠FAD=∠CAF=22.5°.
在△ABH和△ADF中，
,
∴△ABH≌△ADF.
∴AH=AF, ∠BAH=∠FAD=22.5°.
∴∠HAC=∠FAC.
∴HM=FM,AC⊥FH.
∵AE平分∠DAC,
∴DF=FM,
∴FH=2DF=2BH，
故选项①②正确.
在 Rt△FMC中,∠FCM=45°,
∴△FMC是等腰直角三角形.
∵正方形的边长为2,
∴AC=2 ,MC=DF=2-2
∴FC =2-DF = 2 -(2-2)=4-2, =CF·AD≠1.
故选项③不正确.
∵AF=,
由图易知△ADF∽△CEF,
,
∴,
∴CE=CE=AF
故选项④正确.
⑤在Rt△FEC中,EG⊥FC,∴EG2=FG·CG.
,
∴CG==1
∴DG=CG.
∴EG2=FG·DG.
故选项⑤正确.
综上所述，本题正确的结论有4个，故选C.
【解法二】 如图7-50所示，延长AD,CE交于点N,连接FN.
∵AE平分∠DAC,CE丄AE, ∴△ACE≌△ANE.
∴AC=AN,CE=NE=CN.
∴AE垂直平分CN.
∴CF=FN.
易证 △ACF≌△ANF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠ACH=∠ACF=45°.
∵BH=DF,
∴CH=CF.
∴AC垂直平分FH,∠CHF=∠CFH=∠DFN=45°.
故选项②正确.
∵AH=AF.
∵AE平分∠DAC, FM⊥AC, FD⊥AD,
∴FD=FM,
∴BH=HM=FM=FD.
故选项①正确.
在Rt△FDN中，∠DFN=45°,
∴DF=DN.
易证 △ADF≌△CDN.
∴AF=CN.
∴CE=AF,
故选项④正确.
∵正方形边长为2,
∴AN=AC=2.
∴DN=DF=2.
∴==AN·DF=×2×（2）=4-2.
故选项③正确.
∵EG⊥CD,CE=NE,
∴EG∥DN.
∴CG=DG=CD=1.
∴EG =DN=X（2）=-1,FG=DG-DF=1-（2-2）=3-2.
∵（-1）2=3-2=（3—2）×1,
∴EG2=FG·DG.
故选项⑤正确.
综上所述,本题正确的结论有4个，故选C.
【解后反思】 正方形具有轴对称性、围绕对角线交点的90°旋转重合性.对正方形的考查，一般总是与解直角三角形分不开.解答以正方形为背景的几何题，要注意正方形的性质与 轴对称（翻折）、旋转等图形变换的结合，与线段垂直平分线、角平分线的结合，与全等三角形、相似的结合.
灵活运用正方形中的常见模型，如图7-51所示，在正方形ABCD中，围绕AF与DE,可由两者的相等推导垂直，或由垂直推导相等，以及与图形变换结合的不同位置下的数量与位置关系.
【举一反三】
1.如图7-52所示,正方形ABCD的边长为2,对角线AC.BD相交于点O, E是OC的中点，连接BE,过点A作AM⊥BE于点M,交BD于点F,则FM的长为 。
2.如图7-53所示，在正方形ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,DE平分∠ADO 交AC于点E,把△ADE沿AD翻折，得到△AD,点F是DE的中点，连接AF, BF ,F.若AE=，则四边形ABF的面积是
3.如图7-54所示,边长为1的正方形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合，直角边PM,PN分别与
OA.OB重合,然后将∠MPN按逆时针方向旋转，旋转角为θ(O°＜θ＜9O°),PM,PN分别交AB.BC于E、F两点，连接EF交OB于点G,
则下列结论中正确的是 (请填入正确答案的序号)
①EF=OE；
②=1:4；
③BE+BF=OA；
④在旋转过程中当△BEF与的面积之和最大时,AE=；
⑤OG·BD=AE2+CF2.
第9题
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在射线BC上(与B , C两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF,使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G.
⑴若点D在线段BC上，如图7-55所示.
①依题意补全图7-55；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系,并加以证明；
⑵若点D在线段BC的延长线上，且G为CF的中点，连接GE, AB=,则GE的长为 ，并简述求GE长的思路.
【解题策略】 ⑴依据题意，完成作图.由几何直观可知BC=CG且BC⊥CG.借助已知 图形进行三角形全等构造，将待证问题转化为求证△BCG为等腰直角三角形.
（2）正确作出几何图形，根据已知条件求出正方形ADEF的边长，可构造直角三角形进行 计算（思路一）；或结合几何直观进行分析:如考虑到“点G为CF的中点",借助中点构造“全 等8字图''（思路二），借助等腰直角三角形构造旋转相似形（思路三），将待求线段作为斜边构 造直角三角形，运用勾股定理求解（思路四）；或建立平面直角坐标系，利用坐标法进行计算（思路五）.
【解】(1)①补全图形，如图7-56所示；
②BC和CG的数量关系:BC=CG，位置关系:BC⊥CG.
证明：如图7-56所示.
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°,∠l+∠2=90°.
∵射线BA,CF的延长线相交于点G,∴∠CAG=∠BAC=90°.
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF=∠2+∠3=90°,AD=AF.
∴∠1=∠3
在△ABD和△ACF中，
,
∴△ABD≌△ACF.
∴∠B=∠ACF=45°.
∴∠B=∠G=45°,∠BCG=90°.
∴BC=CG,BC⊥CG.
(2)GE=
思路一 由(1)中G为CF中点画岀图形，如图7-57所示.
与(1)中②同理，得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG.
由 AB=,G 为CF的中点，可得 BC=CG=FG=CD=2；
过点A作AM⊥BD于点M,过点E作EN⊥FG于点N,可证△AMD≌⊥FNE,可得 AM=FN=1,NE为FG的垂直平分线,FE=EG；
在 Rt△AMD中,AM=1,MD=3,可得AD=，即 GE=FE=AD=.
【思路二】 如图7-58所示，过点F作FK⊥CF交BG的延长线于点K,可得等腰直角三角形GFK.
又 ∵BC=CG=GF=FK=2，
∴GK = 2.
在△AFG和△EFK 中，
,
∴△AFG≌△EFK
∴KE=GA=4,∠FKE=∠FGA=135°.
∵∠FKG=45°,
∴∠GKE=90°.
∴在Rt△GKE中运用勾股定理可GE=.
【思路三】 如图7-59所示，过点A作AK⊥CF于点K,连接DK ,AE.
∵∠GAD=∠B＋∠ADB=∠GAE+∠EAD,
又 ∵∠B=∠EAD=45°,
∴∠ADB=∠GAE.
∵ AK∥BD,∴∠ADB=∠KAD，
得∠GAE=∠KAD.
根据条件，得=，
于是可证得△AGE∽AKD.
∴=
在Rt△KCD中运用勾股定理，可得：KD=,AGE=.
【思路四】 如图7-60所示，过点G作GM⊥CE于点M.可证四边形AGMC是正方形,又根据已知数据可得AC=, CE=3.
所以在Rt△GME中，ME=2,GM=,所以由勾股定理求 得 GE=.
【思路五】 如图7-61所示，建立平面直角坐标系.分别过点A, E向x轴作垂线，垂足为M,H,可证得△AMD≌△DHE.
根据AB=,结合图形的几何特征条件，可求得点H的坐标为（3,0）,点E的坐标为（3,3）,点G的坐标为（0,2）.运用两点间距离公式可得GE=.
【解后反思】 本题的背景是在等腰直角三角形的基本作图下线段的旋转问题.在读题的过程中，应在记忆中搜索与此相关的几何模型和总结过的解题经验，比如说等腰三角形常见的旋转类型、线段垂直且相等的证明思路以及线段长度计算涉及的直角三角形构造等.
【举一反三】
(1)如图7-62所示，在△ACB和△ADB中，∠C=∠D=90°,过A,B,C三点可以作一个圆，此时AB为圆的直径,AB的中点O为圆
心.因为∠D= 90°,利用圆的定义可知点。也在此圆上，若连接DC,当∠CAB = 31°时，利用圆的知识可知∠CDB=( )
(2)如图 7-63所示，在△ACB 中,∠ACB=90°,AC=BC=3,CE⊥AB 于点E,点 F是CE的中点，连接AF并延长交BC于点D.CG⊥AD于点G，连接EG.
①求证:BD=2DC；
②借助(1)中求角的方法，写出求EG长的思路.(可以不写出计算的结果)
2.在△ABC中,AB=BC,∠B=90°,点D为直线BC上一个动点(不与点B、点C重 合)，连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连接EC.
(1)如果点D在线段BC上运动，如图7-64所示:
①依题意补全图7-64；
②求证:∠BAD=∠EDC；
③通过观察、实验，小明得出结论:在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°,请你帮忙证明∠DCE=135°.
（2）如果点D在线段CB的延长线上运动,利用图7-65画图分析,∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数;如果不是，说明你的理由.
第10题
阅读下面问题的解决过程：
问题:已知在△ABC中,P 为BC边上的一个定点，过点P作一直
线，使其等分△ABC的面积.
解决:情形1：如图7-66所示，若点P恰为BC的中点，作直线
AP即可；
情形2：如图7-67所示，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D,连接AP,过点D 作DE∥AP交AC于E,作直线PE,直线PE即为所求直线.
问题解决：
如图7-68所示，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作 法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明.
【解题策略】 可以先考虑过点B作折线段，将四边形ABCD的面积平分，即连接AC,取AC的中点O,则折线BOD可以将四边形的面积平分，再结合材料中构造平行线进行等积变形的方法化“折”为“直”；或者先构造平行线得到与四边形面积相等的三角形，在三角形中作中线将其面积平分，但要注意中点需在CD边上.
【解法一】 如图7-69所示，取对角线AC的中点O,连接BO,DO,BD.
∴折线BOD能平分四边形ABCD的面积.
过点O作OE∥BD交CD于点E,连接BE.
∴(或),
∴，∴
∴直线BE即为所求直线.
【解法二】 如图7-70所示，连接BD,过点A作MN∥BD交CD的延长线于点M,连接BM,则, 。
取MC的中点E,连接BE,则BE能平分△BCM的面积.
∴=，
∴直线BE即为所求的直线.
【解后反思】 等积变形原理：如图7-71所示，过△PBC的顶点P作所对的边BC的平行线L，则L上的任意一点，与BC 组成的三角形的面积等于△PBC的面积.由∠XPBC变形成△BC保持面积不变。因此，这种变形称为等积变形；此外.若△PBC与△BC 的面积相等，且点P与点在直线BC的同侧，则可得直线P∥BC.
本题的两种解法均运用上述原理，化“折"为“直。
【举一反三】
如图7 -72所示,FB ,AD,CE互相平行,△ABC的面积是1,求△DEF的面积.
2.如图7-73所示,五边形ABCDE，用三角尺和直尺作一个三角形，使该三角形的面积与所给的五边形ABCDE的面积相等.(不写作法，保留画图痕迹)
第七章平行四边形
第1题
1.解:抛物线与轴交于点,与轴负半轴交于点,点的坐标为,点的坐标为.
如答图7-1所示,
①过点作轴交拋物线于点,过点作交轴于点,此时四边形为平行四边形.
点的坐标为,
设,则,解得.
②平移直线交轴于点,交轴上方的抛物线于点,当时,四边形为平行四边形.
点的坐标为,
设.
,解得.
此时存在点和.
综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是,和.
2.解:(1)由题意可求点,点.
如答图所示,过点作轴,易证.
.
点的坐标为.
将点,点代人,
解得
二次函数的解析式为.
（2）令,解得.
点的坐标为.
可求出,
为直角三角形,
,
,
(3)由题意可知,要使得以四点构成的四边形为平行四边形,只需要点到轴的距离与点到轴的距离相等.
点的坐标为,
点到轴的距离等于1.
可得和.
解这两个方程得.
点的坐标分别为.
第2题
1.解:如答图所示,连接.
点是线段的中点,
动点运动形成的路径是以点为圆心的扇形,
路径长
2.解:(1)当点与点重合时,;
当点与点不重合时,.
在正方形中,,
,
在和中,
.
在中,,
过点作,垂足为,如答图所示,
则,
,
,
,
,即.
,其中.
(2)如答图7-5所示,即为点运动的距离.
在中,,
.
.
.
在中,分别是的中点,
是的中位线.
即点运动路线的长为2.
第3题
1.解:如答图7-6所示,取的中点,连接.
为的中点,
,且.
为的中点,
,且.
,
,
.
,
,
同理，
.
2.证明:如答图所示,过点作,过点作,垂足分别为,连接
∵是等腰直角三角形,
∴.
根据三角形中位线性质可得
即
在和中,
∴.
∴.
第4题
1.解:如答图7-8所示,过点作,交的延长线于点,再过点作于点
四边形是等腰梯形,
又
∴四边形是平行四边形.
∴.
是等腰直角三角形.
又
2.解:∵和均为等腰直角三角形,,
∴
又∵,
∴
∴易证.
∴
∴
∴即是以的长度为三边长的三角形.
∵与是等底同高的两个三角形,
∴
∴.
故答案为2.
(1)如答图7-9所示(答案不唯一),
以的长度为三边长的一个三角形是.
（2）如答图7-9所示,连接四边形和四边形都是正方形,
和都是等腰直角三角形.
,
,即以的长度为三边长的三角形的面积等于3.
故答案为3.
第5题
1.解:猜想:.
证明:如答图7-10所示,延长交于点.
四边形和是矩形,
,
.
又,
在和中,
在中,,
.
.
拓展与延伸：
(1).
(2)如答图7-11所示,连接.
四边形和是正方形,
和在同一条直线上.
在中,,
.
在中,,
.
2.解:(1),
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段,
是等腰直角三角形.
.
为的中点,
.
为的中点，
.
,
,
.
.
.
故填:,垂直.
（2）①补全图形如答图7-12所示;
②结论:(1)中与的位置关系不变.
证明:,
.
绕点按逆时针方向旋转得到线段,
为的中点,
.
在中,,
在中,.
为的中点,
.
.
点在线段的延长线上,
.
(3)如答图7-13所示,连接,过点作于点,过点作交的延长线于点,则等腰直角三角形.
在与中,
.
是等腰直角三角形.
,
,
.
,
当时,的值最小.
.
.
,
.
的长为6时,的长最小,最小值是2
.
第6题
1.解:(1).
理由:如答图7-14所示,过点作于点.
为的中点，
为的中点..
即,
,
即是等腰直角三角形,
（2）（1）中的结论仍然成立.
证明:如答图7-15所示,取线段的中点,连接,是等腰直角三角形,
,且
连接,取线段的中点,连接.
是正方形，
,且
是的中点,
.
同理.
,
在和中,
.
.
.
在中,,
,
,
即.
(3)当三点共线时,如答图7-16所示,连接.
,
.
在 中, ,
,
,
,
,
,
.
2．解: (1) 与 的位置关系是 .
证明:如答图 所示, 过点 作 于点 , 则 .
在矩形 中, ,
矩形 为正方形.
为 的中点, ,
.
为 的中点，
在 和 中,
,
,
,
.
可得 .
于是 .
（2）在(1)中得到的两个结论均成立. 证明:如答图 所示,延长 交 的延长线于点 , 连接, 过点 作 交 于点 .
四边形 是矩形，
为 的中点,
.
在 和 中,
,
.
,
,
,
.
由(1)得 .
.
,
在 和 中,
,
,
.
,
.
（3） 不一定等于 .
证明:如答图 所示, 延长 交 的延长线于点 ,连接 , 过点 作 , 点 在 的延长线上. 交 于点 .
同理,由(2)可证得 .
则 ,
是直角三角形.
与 相同, 可证 .
,
.
同 可得 ,
故 不一定等于 (只有当点 与点 重合时才相等).
第7题
1．证明:如答图 所示, 将 绕点 按顺时针方向旋转 的度数得到 旋转到 旋转到 .
,
.
点 共线.
,
.
在 和 中,
.
而 ,
2．解: (1) 证明:如答图 7-21 所示, 过点 作 , 交 的延长线于点 ,连接 . ,
在 和 中,
,
.
.
又
(2)成立.
证明:如答图 所示,延长 至点 ,使 , 连接 . 在 和 中,
.
又
第8题
1．解:如答图 所示.
四边形 是正方形,
,
在 和 中,
,
,
正方形 的边长为 是 的中点,
.
在 中, .
由 , 可得 .
, 即 ,
. 故填: .
2．解:如答图 所示, 连接 , 过点 作 于点 交 于点 . 四边形 是正方形,
,
根据对称性, ,
垂直平分 ,
平分 ,
.
.
.
,
.
.
.
.
故填: .
3．解:(1) 如答图 7 - 25 所示, 四边形 是正方形,
,
,
,
.
在 和 中,
, .
, 故正确.
(2) ,
, 故正确.
(3) , 故正确.
(4) 如答图 7 - 25 所示, 过点 作 .
,
.
设 , 则 ,
,
当 时, 最大.
即在旋转过程中, 当 与 的面积之和最大时, , 故错误.
(5) ,
,
在 中, ,
, 故正确.
故填:(1)(2)(3)(5).
第9题
1．解:(1) 31 .
(2) (1)证明:如答图 7 - 26 所示, 过点 作 交 于点 .
于点 ,
点 是 的中点.
.
点 是 的中点,
.
. (2) 于点 ,
.
于点 ,
.
为圆的直径.
,
.
于点 ,
思路一:解斜三角形法.
在 中, 因为 于点 .
所以可以求出 的长.
又因为 .
解 可求出 的长. (本题解 也可行)
思路二: 证明等腰直角三角形法.
如答图 所示, 延长 交 于点 .
交 于点 , 点 是 的中点,
点 为 的中点.
,
,
可解.
.
思路三: 相似法.
如答图 所示, ,
,
.
,
, ,
.
思路四:旋转法.
如答图 所示, 过点 作 交 于点 .
可证 ,
,
,
,
2．解: (1) 补全图形,如答图 7-30 所示.
（2）证明: ,
, 点 在线段 上,
,
证法一:如答图 所示,在 上取一点 , 使得 , 连 接 .
,
.
,
.
在 和 中,
.
证法二: 如答图 所示, 以 为圆心, 为半径作弧交 于点 , 连接 .
又
证法三:如答图 所示, 过点 作 交 的延长线于点
,
,
.
, , 即
.
,
.
(2) ,
理由:如答图 所示,过点 作 于点 .
在 和 中,
第10题
1．解:如答图 所示.
2．解: 如答图 所示, 即为 所求.

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