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浙教版（2012）八年级数学下册 单元测试卷
第1章 二次根式
时间：100分 总分120分
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是 （ ）
A． B．6 C． D．12
3．当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个 （ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．估计的值应在 （ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．已知，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知时，则代数式的值 （　　）
A．1 B．4 C．7 D．3
8．如果，则取值范围为 （　　）
A． B． C． D．或
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如果是二次根式，那么应该满足的条件是_________．
10．若与的被开方数相同，则 ______ ．
11．计算：___________．
12．比较大小：________
13．已知整数x满足，则_____．
14．已知，则______．
15．已知，化简：，__________．
16．若两不等实数a，b满足，，则的值为 _____．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：
(1)
(2)
18．已知，
(1)求的值．
(2)若的小数部分为，的整数部分为，求的平方根．
19．（1）计算：；
（2）点A，B在数轴上的位置如图所示，点P在A，B两点之间，且其对应的数为x，化简：．
20．如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的长．
(2)出发几秒钟后，的面积等于18？
(3)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案）
21．下面是小颖同学进行二次根式运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
=（第一步）
=（第二步）
=（第三步）
=（第四步）
(1)任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是：_____________．
(2)任务二：第______步开始出现错误，请写出错误的原因：______________．该式运算的正确结果是___________________．
22．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是3，和4，则此三角形___________常态三角形（选填“是”或“不是”）；
(2)若是常态三角形．求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）．
(3)如图，中，，，点D为的中点，连接、若是常态三角形，求的面积．
23．观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)=________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
24．（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
25．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为，的面积为．
(1)当时，的最长边的长度是______（请直接写出答案）；
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
(3)若x为整数，则的最大值为______，并求出当取得最大值时______（请直接写出答案）．
参考答案：
1．B
【分析】根据最简二次根式的运算法则计算即可．
【解析】解：A．，故不是最简二次根式；
B．是最简二次根式；
C．，故不是最简二次根式；
D．，故不是最简二次根式；
故选B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．D
【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【解析】解：，
故选：D．
【点睛】题目主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
3．B
【分析】直接利用二次根式的定义，进行分析得出答案．
【解析】解：∵，，，，
∴、、、四个是二次根式，
因为a是实数时，、不能保证是非负数，因此与不一定是二次根式，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如的代数式是二次根式，正确把握定义是解题关键．
4．D
【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算即可得解．
【解析】解：
，
∵，
∴，
∴的值应在4和5之间，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
5．D
【分析】根据二次根式的减法法则进行运算，求出的值，再代入代数式进行计算即可．
【解析】解：，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的减法法则．熟练掌握二次根式的减法法则是解题的关键．
6．D
【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．
【解析】解：如图，连接、，
，
，
设C点到的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
7．C
【分析】先把变形得到，再两边平方可得到，最后整体代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，即，
∴，
∴..
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
8．B
【分析】根据算术平方根的非负性可得，根据可得，据此即可作答．
【解析】∵算术平方根非负，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴取值范围：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简以及绝对值的知识，掌握二次根式的化简以及算术平方根的非负性是解答本题的关键．
9．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0即可求解．
【解析】解：由二次根式有意义的条件可得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0．
10．
【分析】根据被开方数相同列出方程求解即可．
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
11．##
【分析】根据二次根式除法法则计算即可．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式除法法则是解题的关键．
12．
【分析】先得到，，即可作答．
【解析】∵，，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式大小的比较，掌握二次根式大小的比较方法是解答本题的关键．
13．1
【分析】先估算出与的值的范围，从而估算出与的值的范围，即可解答．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵整数x满足，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
14．9
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
15．##
【分析】根据二次根式和绝对值的意义化简求值即可得到答案．
【解析】解：，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式与绝对值，熟练掌握相关意义并化简是解题关键．
16．4
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出和，然后代入原式即可求出答案．
【解析】∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴原式＝．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是，本题属于基础题型．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算法则，先化简二次根式，再计算；
（2）根据平方差公式，完全平方公式先展开，再根据实数的运算法则即可求解．
【解析】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式，二次根式的混合运算是解题的关键．
18．(1)20；
(2)．
【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，再求出和的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；
（2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
【解析】（1）解： ， ，
，
∴；
（2）解；∵，
∴，，
∵的小数部分为，的整数部分为，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出和的值是解（1）的关键，能估算出x、y的范围是解（2）的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）先将二次根式进行化简，再根据二次根式的混合运算求解即可；
（2）先根据题意求出x的取值范围了，再化简即可．
【解析】解：（1）
；
（2）∵点P在A，B两点之间，且其对应的数为x，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解决本题的关键．
20．(1)
(2)或
(3)或或6或
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据题意求出，再根据勾股定理计算，得到答案；
（2）①当在上时，设t秒后，的面积等于18，可得，②当在时，如图，由，可得：，可得：，再求解时间即可；
（3）①当P在上、时， ②当P在上、时，，③当P在上，时， 如图， ④当P在上，时， 如图，过点B作于E，则，根据等腰三角形的性质、建立方程求解即可．
【解析】（1）解：在中，，，，
∴，
∵P从点B开始，按，且速度为2，
∴出发2秒后，，
由勾股定理得：；
（2）①当在上时，设t秒后，的面积等于18，
∴，
∴，解得：，
②当在时，如图，
由，可得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
综上：出发3秒钟或秒钟后，的面积等于18；
（3）①当P在上、时，， 解得：；
②当P在上、时，， 则， 解得：；
③当P在上，时， 如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， 解得：；
④当P在上，时， 如图，过点B作于E，则，
∵，
∴ 解得：，
∴，
∴， 解得：，
综上可得：t=3或6或或时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的概念和性质，掌握等腰三角形的概念、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
21．(1)
(2)二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则进行分析；
（2）根据去括号法则进行分析，原式先化简二次根式，然后算乘法，再算加减法，有小括号先算小括号里面的．
【解析】（1）解：任务一：第一步化简依据了二次根式的除法运算法则，
即；
（2）任务二：第二步开始出现错误，其错误原因是括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号，
正确的解答过程如下：
原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
22．(1)是
(2)
(3)的面积为或．
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）分①和②两种情况，利用直角三角形的性质、常态三角形的定义得出的长，从而可得的长，再根据勾股定理求得的长，然后利用直角三角形的面积公式即可得．
【解析】（1）解：，
是常态三角形，
（2）设的两直角边长为，斜边长为，
则，
∵是常态三角形，
，
，，
，，
则三边长之比按照从小到大为．
（3）∵中，，点D为的中点，
∴，
①∵，
当时，是常态三角形，
∵，
∴，（负值已舍），
在中，由勾股定理得：，
此时的面积为；
②当时，是常态三角形，
∵，
∴，（负值已舍），
在中，由勾股定理得：，
此时的面积为；
综上，的面积为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、二次根式的乘法运算与化简、利用平方根解方程．直角三角形斜边上的中线的性质，理解常态三角形的定义，并熟练掌握勾股定理是解题关键．
23．(1)；
(2)
(3)．
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
【解析】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．
24．（1），；（2）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出a的值，进而求出b的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值得到，两边平方即可得到答案．
【解析】解：（1）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
25．(1)5
(2)
(3)11；
【分析】（1）把代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的周长；
（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围；
（2）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的周长和面积．
【解析】（1）解：把分别代入，，得：
，，，
∵，
∴的最长边的长度是5．
故答案为：5．
（2）解：根据题意可知，，，
∴，
∴
．
（3）解：∵，且x为正整数，
∴x越大，越大，
∴当时，，，，
∵，
∴这样的三边不能组成三角形，
当时，，，，
∵，
∴此时这样的三边能够组成三角形，
的最大值为，
设中，，，
∴，
过点A作于点，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：11；．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，三角形面积的计算，三角形三边关系的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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