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2023年中考数学重难点训练——圆-动点问题
一、综合题
1．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”。请研究如下美丽的圆，如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC。
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现 是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明。
2．一块含有 角的三角板 如图所示，其中 ， ， .将此三角板在平面内绕顶点 旋转一周.
（1）画出边 旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积.
3．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．
4．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
5．如图，四边形 中的三个顶点在⊙ 上， 是优弧 上的一个动点（不与点 、 重合）．
（1）当圆心 在 内部，∠ABO＋∠ADO=70°时，求∠BOD的度数；
（2）当点A在优弧BD上运动，四边形 为平行四边形时，探究 与 的数量关系．
6．如图．在中，，，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在内作半圆D．
（1）若，P为半圆D的中点，在半圆D移动的过程中，求CP的最小值．
（2）当半圆D同时与的两直角边相切时，请求出EF的长．
7．先阅读材料，再解答问题：
已知点 和直线 ，则点P到直线 的距离d可用公式 计算．例如：求点 到直线 的距离．
解：由直线 可知： ．
所以点 到直线 的距离为 ．
求：
（1）求点P（2，-1）到直线y=x+1的距离．
（2）已知直线 与 平行，求这两条平行线之间的距离；
（3）如图已知直线 分别交 轴于 两点，☉C是以 为圆心， 为半径的圆， 为☉C上的动点，试求 面积的最大值．
8．如图，已知 ， ， ， ，其内有一个圆心角为 扇形 ，半径 ．
（1）发现：如图1，当E、F在 边上，扇形 与 相切时，
①优弧 上的点与 的最大距离为　 　， 　 　，S扇形EOF=　 　；
②当 时，优弧 上的点与点D的最小距离为　 　；
（2）思考：如图2，当 时，扇形 在 内自由运动
①当扇形 与 的两条边同时相切时，求此时两切点之间的距离是多少？
② 与 垂直时，扇形 ▲ （填“有可能”或“不可能”）与 的边切于点F；
（3）拓展：如图3，将扇形的圆心O放在 的中点处，点E在线段 上运动，点F在 外，当优弧 与 的边有六个交点时，直接写出r的取值范围：　 　．
9．如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，AB=AC.
（1）如图1，若BD是⊙O的直径，求证：∠BAC=2∠ACD；
（2）如图2，若BD⊥AC，DE =3，CE=4，求BE的长；
（3）如图3，若∠ABC+∠DCB=90°，AD=7，BC=24，求AB的长；
（4）在（3）的条件下，保持BC不动，使AD在⊙O上滑动，（滑动中AD长度保持不变）直接写出BD+AC的最大值．
10．如图，在中，，，点O是射线上一点（点O不与，点C重合），M是射上一点，以O为圆心，为半径作半圆O与射线相切于点M，与射线相交于点P、Q．
（1）求点B到的距离；
（2）若点M是边的中点，点N是半圆O上一点，求的最小值；
（3）若半圆O与有公共点，直接写出半圆O长度l的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．
（1）当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是　 　；
（2）当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值．
12．如图，在 中， ，动点 沿线段 从点 向点 运动，当点 与点 重合时，停止运动，以点 为圆心， 为半径作 ，点 在 上且在 外， ．
（1）当 时 　 　，点 到 的最远距离为　 　；
（2） 与 相切于点 时（如图2），求 的长？并求出此时劣弧 长度？（参考数据： ）
（3）直接写出点 的运动路径长为　 　， 的最短距离为　 　．
13．已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ=1,我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点．
（1）已知点 , ,C（-1,1）中,　 　与点O为一对友好点，
（2）已知 O半径r=1，若直线 与 O有且只有一对友好点，求b的值；
（3）已知点, , D半径r=1，若直线y=x+m 与 D是友好图形，求m的取值范围．
14．小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点 是半圆 上一动点，线段AB=6，CD平分 ，过点 作 交 于点 ，连接 .当 为等腰三角形时，求线段 的长度.
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 的长度作为自变量 ， ， 和 的长度都是 的函数，分别记为 ， 和 .请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点 在半圆 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 ， ， 的长度，得到下表的几组对应值：
0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6
6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0
6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5
①上表中 的值是 ▲
②操作中发现，“无需测量线段 的长度即可得到 关于 的函数解析式”.请直接写出 关于 的函数解析式.
（2）小亮已在平面直角坐标系 中画出了函数 的图象，如图2所示.
①请在同一个坐标系中画出函数 和 的图象；
②结合图象直接写出当 为等腰三角形时，线段 长度的近似值（结果保留一位小数）.
15．如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝ ，点P是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．
（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；
（2）当圆心O到直线AB的距离为 时，求线段AP的长；
（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．
16．如图， 中， ， ，D为BC边上的一点，过D点作 交AB于点E， 交AC于点F，点M为点B关于直线DE的对称点，连结MF，设BD为5x.
（1）如图1，
①直接写出： ▲ ，BM=▲ .（用含x的代数式表示）
②当 时，求BD的长.
（2）如图2，连接MD，当 为直角三角形时，求所有可能的x的值.
（3）如图3，过M，F，D三点作圆O，当 时，点D的位置记为 ，点D沿BC方向从 移动到BC的中点时，圆心O移动路径的长度为　 　.
17．对于平面直角坐标系中的图形和图形．给出如下定义：在图形上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系
（1）如图1，点，点P在线段上运动（点P可以与点C，E重合），连接．
①线段的最小值为　 　，最大值为　 　；线段的取值范围是　 　；
②在点O，点D中，点　 　与线段满足限距关系；
（2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且，若线段与满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；
（3）的半径为，点H，K是上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点H，K，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OD、DB，
∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分OB，
∴DB=DO
∵DO=OB，
∴DB=DO=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO=∠DBO=60° ，
∵BC=OB= BD，∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD=∠BDC= ∠DBO．
∵∠DBO=60°，
∴∠CDB=30°
∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：这个确定的值是
连接OP，如图：
由已知可得：OP=OB=BC=2OE
∴
∵∠COP=∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴
2．【答案】（1）解：∵三角板 ， ， ， ，
∴AB=2BC=6cm，
∴由勾股定理：AC= ，
边 在平面内绕顶点 旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：
（2）解：BC扫过的面积S圆环=
3．【答案】（1）证明：连接OC交DE于M．
由矩形得OM＝CM，EM＝DM．
∵DG＝HE．
∴EM﹣EH＝DM﹣DG．
∴HM＝GM．
∴四边形OGCH是平行四边形
（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE＝OC＝3．
∴DG＝1
（3）证明：设CD＝x，则CE＝ ．过C作CN⊥DE于N．
由DE CN＝CD EC得CN＝ ．
∴ ＝ ．
∴HN＝3﹣1﹣ ＝ ．
∴3CH2＝3[（ ）2+（ ）2]＝12﹣x2．
∴CD2+3CH2＝x2+12﹣x2＝12．
4．【答案】（1）解：当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；
理由如下：连接OD．
∵CD平分∠OCE，
∴∠1=∠3，
而OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CE∥OD，
∵CE⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴ = ，即点D为半圆AB的中点．
（2）解：∵在直角△AOD中，OA=OD=5，
∴
过点A作CD的垂线，垂足为G，
∵
∴△AGC是等腰直角三角形，
∵AC=6，
∴
在直角△AGD中，
∴
∴线段AD的长度为 ，线段CD的长度为 ．
5．【答案】（1）解：连接OA，如图1，
∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，即∠BAD=70°，
∴∠BOD=2∠BAD=140°
（2）解：①如图2，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OBC=∠ODC=180°-120°=60°，
又∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠OBA+∠ODA=180°-（∠OBC+∠ODC）
=180°-（60°+60°）
=180°-120°
=60°
②Ⅰ、如图3，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，
∵OA=OD，OA=OB，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA-∠ODA=60°．
Ⅱ、如图4，
，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝ ∠BOD，
∴ ∠BOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠OAB=∠OAD-∠BAD=∠OAD-60°，
∵OA=OD，OA=OB，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠ODA-60°，
即∠ODA-∠OBA=60°．
所以，当点A在优弧BD上运动，四边形 为平行四边形时，点O在∠BAD内部时， + =60°；点O在∠BAD外部时，| - |=60°．
6．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC=4，∠BAC=30°
∴AC= ，AB=8
∵EF=2
∴半圆半径为1
∴DP=1
如图，当D、C、P三点共线时，CP最小
∵P为半圆D的中点，∠CBA=60°
∴CD⊥AB，CD=
∴CP的最小值是
（2）解：∵半圆D同时与两直角边相切，如图
∴DM⊥AC，DN⊥BC，
设半圆的半径为r，则CN=DM=DN=r
∴BN=4-r，
∵∠CAB=∠NDB=30°
∴tan30°=
∴r=
∴EF=2r=
7．【答案】（1）解：∵直线y=x+1，
∴k=1，b=1，
∴点P（2，-1）到直线y=x+1的距离= ；
（2）解：在直线y=2x+1上任取一点P（0，1），
∵直线y=2x+1与y=2x-5平行，
∴这两条平行线之间的距离等于点P（0，1）到直线y=2x-5的距离，
∵直线y=2x-5可变形为2x-y-5=0，其中k=2，b=-5，
∴点P（0，1）到直线y=2x-5的距离d＝ ，
∴这两条平行线之间的距离等于 ；
（3）解：令x=0得y=-4；令y=0得x=-3，
∴B（0，-4），A（-3，0），
∴AB= ，
设圆心C（2，2）到直线y＝ x 4即 x y 4＝0的距离为d，⊙C的半径为R=2，
∴d＝ ，
又∵⊙C上任意点P到直线y＝ x 4的距离h≤d+R＝ +2＝ ，
∴⊙C上任意点P到直线y＝ x 4的距离的最大值h=d+R＝ ，
∴△PAB的面积的最大值= AB×(d+R)＝ ×5×(d+R)＝ ×5×( +2)＝18．
8．【答案】（1）6；4；；
（2）解：① 或者
理由：（i）如图当扇形与 、 边相切时（当扇形与 、 边相切时），过点O做 ， ，连接 ，易证 ， ，
， 为等边三角形，
（ii）当扇形与 、 边相切时（当扇形与 、 边相切时），同理可求得 ，
②有可能
（3）
9．【答案】（1）证明：连接AO、CO ∵AO=AO，BO=CO，AB=AC
∴△OAB ≌ △OAC (SSS)
∴∠BAO =∠CAO=∠ABO
∴∠BAC=2∠ABD=2∠ACD.
（2）解：连接AO并延长交BD于点H，交BC于G由（1）知，
∠BAO =∠CAO ∴AG⊥BC，
∵ BD⊥AC ∴∠HBC+ ∠BHG=∠HAC+∠AHE=90°
∴∠HBC=∠HAC=∠HAB ∴∠DAC=∠DBC=∠HAB
又∵AB=AC， ∠ABH=∠ACD
∴△BAH ≌ △CAD (ASA)
∴BH=CD，AH=AD
又∵ BD⊥AC ∴HE=ED
在Rt△CED中，
∴
∴BE=BH+EH=5+3=8
以下方法也可：
（3）解：如图作直径BF，连接CF、DF、AO交BC于G，∴∠DFB+∠DBF=90°
又∵∠DFB=∠DCB ∠ABC+∠DCB=90°
∴∠ABC=∠DBF ∴ ∠ABD=∠CBF
∴弧CF=弧AD
∴CF=AD=7 (用弧的度数证明也可）
在Rt△BCF中，BF= ， OG= = ，
由AG⊥BC，得BG=12，AG = 9
在Rt△ABG中，
（4）解：(BD+AC)max =
10．【答案】（1）解：∵，，
∴，∴，
∵，，∴，，
如图①，过点B作于点E，
∵，∴，
∴点B到的距离为
（2）解：如图②，连接，连接交半圆O于点N，此时值最小，
∵半圆O与相切于点M，∴于点M，
∵，∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，∴，即，
∴，
∴，
∴的最小值为
（3）解：
11．【答案】（1）A、B、D
（2）解：如图，依题意作⊙O的“等直三角形”△TQP
∴TQ=PQ，∠TQP=90°
过Q点作MHx轴，交y轴于M点，过点P作PH⊥MH于H点
∴∠TMQ=∠QHP=90°
∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°
∴∠MTQ=∠HQP
∴△TMQ≌△QHP（AAS）
∴TM=QH，MQ=HP
设Q（x，y）
∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y，PH=MQ=x
∴P（x-y+3，x+y）
∵C（3，0）
∴PC=
∵OQ=
∴=．
12．【答案】（1）；
（2）解：如图2， 与 相切与点 ，
连接 ，则 ，
在 ， ，
，
在 中， ，
设 半径为 ，则 ，
在 中， ，
；
，
∴
．
∴劣弧 长度为 .
（3）；
13．【答案】（1）A
（2）解：如图，直线 与圆O相切是时，直线与圆有一个公共点，此时OG=OD=1，
根据直线的特点，知道直线与坐标轴构成等腰直角三角形，根据友好点的定义，只需将相切的直线沿着OD或OG向外平移一个单位长即可，分别到达E或H点，此时OE=2或OH=2，根据平移的性质，OE=EF=2，或OH=HM=2，根据勾股定理，得OM=OF=2 ，
∴b=2 或b=-2 ；
（3）解：如图，根据题意，得 ，x= ，∴点F的坐标为（ ， ）
由（2）可知DE=2=EF，∴DF=2 ，
当m>0时，得
解得： ，
同理可得，当m<0时，得 ，
解得： ，
综上所述，满足条件的m的取值范围是 ．
14．【答案】（1）解：①4.0；②∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分 ，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵ ，
∴∠ADC=∠BCD=45°，
∴AC=AD，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠BCD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD= ，
∴
（2）解：①如图所示.
②当BC=BD时，BC与BD即为交点，
∵∠ACB=90°， ，
∴∠CAD=90°，
∴∠ADC=∠BCD，
∵CD平分 ，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，
∵BC=CD，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ABDC为矩形，
∵AC=AD，
∴AC=BC，
∵AB=6，
∴AC= ，
当BC=CD时，图象无交点，则BC≠CD，
当BD=CD时，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠BDC=90°，则在等腰直角△ACD中， ，
在等腰直角△BCD中， ，
在Rt△ABC中， ，
∴ ，
∴ ，
故AC的长为：2.7或4.2.
15．【答案】（1）解：如图，
∵点O在PA上，PQ是⊙O的切线，
∴PQ⊥AP，
∵cot∠PAQ＝ ＝ ，
∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，则AQ＝5k＝15，
∴k＝3，
∴PA＝9，PQ＝12，
∴⊙O的半径为 ．
（2）解：如图，当点O在射线AB的上方时，过点Q作QK⊥AB于K，过点O作OH⊥AB于H．
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，
∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∴△PHO∽△QKP，
∴
设PA＝2m，则AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m，
∴
解得，m＝ 或﹣3，
经检验，x＝ 是分式方程的解，且符合题意．
∴AP＝3．
如图，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP＝ ．
综上所述，满足条件的AP的值为3或 ．
（3）解：如图，当⊙P与⊙O内切时，
由△PHO∽△QKP，可得 ,
∵OH⊥AP，
∴AH＝PH，
∴AP＝2PH，QK＝2PH，
∴PA＝QK＝12，
如图，当⊙O与AC相切于点A时，
∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，OA＝OP，
∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL），
∴AQ＝PQ，
∵OA＝OP，
∴OQ垂直平分线段AP，
∴AP＝2AH＝18，
观察图像可知：当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．
当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．
当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18．
16．【答案】（1）解：①6-5x；6x；
②如图2，
∵ ，
∴
∴
∵
∴四边形 是平行四边形
∴
∵ ，
即
∴ ，
（2）解：由题意得， ， ，
∴
由题意得， ，
，
∴ ，且
当 为直角三角形时，分类讨论：
①当 时，
∵
这种情况不成立
②当 时，如图
∴ ，
解得
③当 时，如图
∴ ，
解得 ，
综上所述，当 为直角三角形时， 或 ；
（3）
17．【答案】（1）；；；O
（2）解：∵，
∴结合（1）中的结果有∠GFO=∠ECO=30°，∠OGF=∠OEC=60°，
设F点的坐标为(a，0)，根据题意有a＞0，
则有OF=a，
分三种情况讨论：
第一种情况FG在⊙O内部，即时，
如图，
∵根据（1）的方法可得O点到线段FG的最小值为：OF×sin∠GFO=a，
则⊙O到线段FG的最小值为：1-a，最大值为1+a，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴，解得，
此时a的取值范围为：，
第二种情况，FG与⊙O有交点，如图，
根据限距关系的定义可知：此时线段FG与⊙O必满足限距关系，
随着FG向右平移的过程中，
当F点与表示1的点重合时，FG开始与⊙O有交点，此时OF与⊙O的半径相等，
即OF=1，则a=1；
当FG与⊙O相切时，此时圆心O到FG的距离为圆的半径1，此时OF==2，
即OF=2，则a=2；
当相切之后，若FG再往右继续平移，此时FG就在圆外，
∴此时a的取值分为为：，
第三种情况，当FG在⊙O外部，即时，
如图，
∵根据（1）的方法可得O点到线段FG的最小值为：OF×sin∠GFO=a，
则⊙O到线段FG的最小值为：a-1，最大值为a+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴，解得，
此时a的取值范围为：，
综上所述：F横坐标的取值范围为：，
∴；
（3）解：．

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