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2023高考数学二轮复习专项训练《任意角和弧度制》
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）是
A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角
2.（5分）在0°～360°范围内，与-390°终边相同的角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 210° D. 330°
3.（5分）将改写成的形式是
A. B.
C. D.
4.（5分）已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为
A. B. C. D.
5.（5分）将-885°化为α+k 360°（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（ ）
A. -165°+（-2） 360° B. 195°+（-3） 360°
C. 195°+（-2）360° D. 165°+（-3） 360°
6.（5分）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为
A. B. C. D.
7.（5分）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为黄金分割比时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为
A. B.
C. D.
8.（5分）如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为若一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）给出下列命题：
①是第四象限角；
②是第三象限角；
③是第二象限角；
④是第一象限角.
其中正确的命题是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
10.（5分）已知扇形的半径为6，弧长为5π，圆心角的绝对值为α，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
11.（5分）若角的终边落在第二象限，则
A. 点在第三象限
B. 角的终边经过点，则实数的取值范围是
C. 为其终边上的一点，且，则等于
D. 的值为
12.（5分）在半径为的扇形中，弧的长为，扇形的面积为，圆心角的大小为弧度，函数，，则下列结论正确的是
A. 函数是偶函数
B. 函数在区间上是增函数
C. 函数图象关于中心对称函数
D. 函数图象关于直线对称
13.（5分）下列各角中，与角终边相同的角是
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为__________
15.（5分）某次帆船比赛如图的设计方案如下：在中挖去以点为圆心，为半径的扇形如图，使得扇形的面积是面积的一半．设，则的值为______．
16.（5分）在内与终边相同的角为 ______ .
17.（5分）终边在x轴上的角的集合____．
18.（5分）已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径______时，面积最大．
四 、解答题（本大题共6小题，共60分）
19.（12分）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
最小的正角；
最大的负角；
内的角．
20.（12分）已知角的终边上有一点
求与角终边相同的角的集合；
求的值．
21.（12分）(12分)如图，写出终边落在阴影部分的角的集合。
21-1.
21-2.
22.（12分）某市要修建一个扇形绿化区域，其周长定为米，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形绿化区域的面积最大？最大面积是多少？
23.（12分）将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径上图，或让矩形一边与弦平行图对于图和图均记，问哪种裁法得到的矩形的面积最大？
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：．
是第三象限角，
是第三象限角．
故选：．
利用终边相同角的表示，求出所求角的最小正角，然后判断所在象限．
该题考查象限角、轴线角，基本知识的考查．
2.【答案】D;
【解析】解：∵-390°=-720°+330°=-2×360°+330°．
∴在0°～360°范围内，与-390°的角终边相同的角是330°．
故选：D．
3.【答案】D;
【解析】解：
故选：
将化为弧度制，并且，，即可求解．
此题主要考查终边相同的角，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】
利用勾股定理、弧长公式即可得出．
该题考查了勾股定理、弧长公式，属于基础题．

解：设此圆的半径为，则正方形的边长为
设这段弧所对的圆心角的弧度数为，则．
解得，
故选：．

5.【答案】B;
【解析】解：-885°=195°+（-3） 360°
故答案选：B
6.【答案】A;
【解析】解：设圆锥的底面半径为，高为，
则，
，，
设内切球的半径为，则，
，，
故选：．
利用弧长公式可求圆锥的底面半径，高，进而可求内切球的半径，可求圆锥的内切球的体积．
这道题主要考查了弧长公式，球的体积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】【试题解析】

此题主要考查扇形的面积公式的运用，以及弧度与角度的转化，属于基础题.
由题意，将扇子与剩下的部分分别表示出面积，然后得到圆心角.

解：由题意，设扇子的圆心角为，
则，
解得，因为，则，
所以
故选
8.【答案】D;
【解析】解：时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为，
，
一个扇形的圆心角为，弧长为，设其半径为，
则，
，
该扇形的面积，
故选：
依题意，可求得，利用扇形的弧长公式与面积公式可求得答案．
此题主要考查扇形的弧长与积公式，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABCD;
【解析】解：是第四象限角，故选项①正确；
是第三象限角，故选项②正确；
，因为是第二象限角，所以也是第二象限角，故选项③正确；
，因为是第一象限角，所以也是第一象限角，故选项④正确．
故选：
利用象限角的定义结合终边相同的角对四个选项进行逐一判断即可．
此题主要考查了任意角的概念的理解，主要考查了象限角与终边相同的角的理解和应用，属于基础题．
10.【答案】AD;
【解析】略
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了象限角、任意角的三角函数 、同角三角函数的基本关系 ，属于基础题.
因为角的终边在第二象限，所以，，，据此结合象限角、任意角的三角函数 、同角三角函数的基本关系对各个选项逐个判断，可得答案.解：因为角的终边在第二象限，
所以，，
所以点在第三象限，
则故正确；
因为是第二象限角，
所以解得
所以实数的取值范围是，故错误；
因为是第二象限角，所以，即
又，
解得，所以，故正确；
由角的终边落在第二象限，得，，
故原式
故错误.

答案：
12.【答案】BD;
【解析】解：扇形弧长，，
又扇形面积

函数为偶函数，即正确；
函数在区间上是增函数，即正确；
，函数图象不关于中心对称，即错误；
，函数图象关于直线对称，即正确．
故选：
先通过扇形的弧长和面积公式表示出和，并代入函数的解析式，整理得，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可．
此题主要考查命题的真假判断与应用，考查扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题．
13.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查终边相同的角的特征，属于基础题．凡是与角度终边相同的角，一定能写成，的形式，进而可得解.

解：与终边相同的角一定可以写成 ，的形式，
检验各个选项中的角，易知满足此条件．
故选
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查扇形的弧长及面积公式.
利用扇形的弧长及面积公式求解.

解：一个扇形的圆心角为，周长为，
设该扇形的半径为，弧长为，
所以，
且，
解得，
则该扇形的面积为
故答案为

15.【答案】;
【解析】解：设圆的半径为，，
，
，

，
扇形的面积是面积的一半，
，
，
故答案为：．
圆的半径为，，根据三角函数的定义可得，求出三角形面积和扇形的面积，即可求出
该题考查了解三角形的有关问题，扇形的面积公式，属于基础题
16.【答案】300°;
【解析】解：与终边相同的角，，
当时，符合题意．
故答案为：
与终边相同的角，，结合已知角的范围可求．
此题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
17.【答案】{α|α=kπ，k∈Z};
【解析】设终边在x轴上的角为α，
当α在x轴正半轴时，α=2kπ，k∈Z，
当α在x轴负半轴时，α=π+2kπ=(2k+1)π，k∈Z，
所以终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}．故答案为：{α|α=kπ，k∈Z}．
18.【答案】2;
【解析】解：设扇形的半径为，弧长为，
则，扇形的面积为，
所以当时，面积最大为．
故答案为：．
设扇形的半径为，弧长为，利用扇形的面积公司可求，即可得解．
这道题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：，
和终边相同，
其余的终边相同的角度可以写成，
当时是最小的正角，；
当时是最大的负角，；
当，，，时，、、、符合条件．;
【解析】此题主要考查的知识点是终边相同的角，
表示出与的角终边相同的角的集合，然后将取值即可得出结果．

20.【答案】解：因为角的终边上有一点，
所以，且角的终边在第二象限，
因为，
所以与角终边相同的角的集合为；
由知，
所以;
【解析】此题主要考查任意角的三角函数的定义，以及诱导公式，基本知识的考查．
利用三角函数的定义即可求解；
利用诱导公式化简，再代入求值即可．
21.【答案】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. (5分);由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 (12分);
【解析】略
22.【答案】解：设扇形绿化区域的半径为R，圆心角为α，弧长为l，其面积为S；
由已知得：2R+l=40，
∴，（0＜R＜∞）；
∴当R=10时，S有最大值为Smax=100；
此时l=20，∴；
即它的半径为10米，圆心角为2弧度时，区域面积最大，最大面积为100;
【解析】
根据扇形的周长与面积公式，列出解析式求出面积的最大值以及对应的半径与圆心角即可．
该题考查了扇形的周长与面积公式的应用问题，是基础题目．
23.【答案】解：对图1，∠MOA=θ，则S1=200sin2θ，（0°＜θ＜90°），
∴当θ=45°时，（S1）max=200c．
对图2，在△OMQ中，由正弦定理可得QM=，
由对称性可得，∠AOB的平分线OC为对称轴，则MN=2OMsin（60°-θ），
∴矩形PQMN的面积为S2=QM×MN=×2sinθsin（60°-θ）=[sin（2θ+30°）-]，（0°＜θ＜60°），
当θ=30°时，（S2）max=c．
综上，S2＞S1，
∴选择（2）裁法得到的矩形的面积最大．;
【解析】
对甲种裁法分析，则矩形的一边为，一边为，则得出面积，利用正弦函数取最值的方法求出最大面积；对乙种裁法分析，利用三角函数表示出，再，进而表示出面积，利用正弦函数取最大值的方法求出最大面积．比较看哪个面积大即可．
考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及运用两角和与差的正弦函数的能力，求正弦函数最值的能力．

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