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第8讲 一元二次方程
【考查要求】
（1）能根据现实情境理解一元二次方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程；理解一元二次方程解的意义．
（2）经历估计方程解的过程.
（3）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
（4）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
（5）了解一元二次方程的根与系数的关系．
（6）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
【基础过关】
1．一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况为（ ）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．设x1 x2是一元二次方程x2＋4x－3＝0的两个根，x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．
3．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于( )．
A．1 B．－1 C．0 D．2
4．解方程：(x＋1)2－4(x＋1)＝0
(
x
x
x
＋
1
x
第（
5
）题
)5．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： ．
(
A
C
B
P
Q
第（
7
）题
)
6．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是 ．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，点P从点A出发沿AC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动．若运动时间为x秒，
（1）CP＝ ，CQ＝ ；（用含有x的代数式表示）
（2）当x为何值时，△CPQ的面积是△ABC面积的三分之一？
【典型例题】
例1 解下列方程：
（1）x2－6x＋7＝0 （2）3x(x－1)＝2－2x
（3）(x－2)2－5(x－2)＋6＝0
例2 写出一个关于x的一元二次方程，且方程的二次项系数为3，两根分别为1、2.
例3 已知一元二次方程(x－m)2－2(x－m)＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程一个根为2，求m的值．
例4 张大叔从市场上买回一块矩形铁片，他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问：张大叔购回这块矩形铁皮共花了多少元钱？
例5 南京某特产专卖店的销售某种特产，其进价为每千克45元，若按每千克65元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低4元，平均每天的销售量增加40千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？
解：方法1：设每千克特产降价x元，由题意，得方程为： .
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得方程为： .
选择一种方法进行解答：
【课后作业】
1．方程x2＝2x的解为____________.
2．若关于x的一元二次方程x2－2x＋a－1＝0有两个相等的实数根，则a＝ ．
3．一元二次方程x2＋mx＋2m＝0的两个实根分别为x1、x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝ ．
4．若关于x的方程x2－2x＋4＝0的一个根为x1＝＋1，则另一个根x2＝　 　．
5．解方程：
（1）x2－4x－45＝0 （2）2x(2x－1)＝3(1－2x)
6．求证：无论m为何值，已知关于x的一元二次方程a(x－m)2－a(x－m)＝0(a，m为常数，且a≠0)，必有两个不相等实数根．
7．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝3，求方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0的根．
(
20 m
32
m
)8．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．（部分参考数据：322＝1024，482＝2304，522＝2704）
9．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．
10．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
(
（
第
4
题）
扩
充
区
域
原
广 场
)11．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【挑战中考】
一、填空题
1．（2022 淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（2022 南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
二、解答题
1．（2022 连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是 ．
2．（2022 徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 ．
3．（2022 镇江）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
4．（2022 泰州）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
5．（2022 宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
6．（2022 扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．
三、解答题
1．（2022 徐州）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
2．（2022 无锡）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
3．（2022 泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

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