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2023年中考数学专项突破——切线长定理
一、综合题
1．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．延长、相交于点D．
（1）求证：；
（2）设的半径为2，，求的长．
2．如图，A是△PBD的边BD上一点，以AB为直径的 切PD于点C，过D作DE PO交PO延长线于点E，且有∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是圆O的切线.
（2）若PB=6，DB=8，求 的半径.
3．如图，AB是⊙O 的直径，点D在⊙O 上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E.
（1）求证：BE=CE；
（2）若DE平行AB，求sin∠ACO 的值.
4．如图， ， ， 分别与 相切于 ， ， 三点， 是 的直径 ．
（1）连接 ， ，若 ， ，求 的长；
（2）若 ， ， ，请画出 关于 的函数图象．
5．如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画 ．
（1）补全图形，判断直线 与 的位置关系，并证明；
（2）若 ，求 的半径．
6．如图1，等腰直角三角形ABC的腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O的切线，切点是P，过点A作AB的垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．
（1）证明：△MON是直角三角形；
（2）当BM= 时，求 的值（结果不取近似值）；
（3）当BM= 时（图2），判断△AEO与△CMF是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由．
7．结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，
Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC= AC BC
= （x+3）（x+4）
= （x2+7x+12）
= ×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
（2）若AC BC=2mn，求证∠C=90°．
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．
8．如图，四边形ABCD中，连接AC，AC＝AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求 的长．（结果保留π）
9．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围.
10．如图1，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，PA＝PB，弦AB与PC交于点M
（1）求证：PB是⊙O的切线
（2）连接BC，若∠APB＝4∠BPC，AP＝6，求BC的长
（3）如图2，若AB＝4BM，求 的值
（4）如图3，若AP＝AC，PO与AB交于点D，PC与⊙O交于点N，连接DN，则 ＝　 　
11．如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果的周长为10，求PA的长；
（2）如果，
①求；
②连AE，BE，求．
12．如图， 为 的直径， 是 上的一点，连接 ， ． 是 的中点，过 作 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
13．CA、CB为⊙O的切线，切点分别为点A、B，延长AO交⊙O于点D，连接AB、CO，AB与CO交于点M，
（1）如图1，求证：∠ACB=2∠BAO；
（2）如图2，连接BD，求证：BD=2OM；
（3）如图3，在（2）的条件下，F为OD上一点，连接FM并延长交AC于点H，连接BH，若DF=2OF，HM=3，tan∠ACB= ，求线段BH的长。
14．如图，在四边形中，，以为直径作平分，动点P在左侧的半圆O上（P与点A，B均不重合）.
（1）求证：是的切线；
（2）记（1）中的切点为E，若，求的值.
15．如图矩形ABCO，点A，C分别在y轴与x轴的正半轴上，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），点D（1，0），点P为边AB上一个动点，过点D，P的圆⊙M与AB相切，⊙M交x轴于点E，连接AM，
（1）当P为AB的中点时，求DE的长及⊙M的半径；
（2）当AM⊥DP时，求点P的坐标与⊙M的半径；
（3）是否存在一点P使⊙M与矩形ABCO的另一条边也相切，若存在求出所有符合条件的点P的坐标．
16．如图，已知AB是 的直径， ，CD切圆 于点D，连 ，BD， 与BD交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值.
17．已知⊙ 中， 为直径， 、 分别切⊙ 于点 、 .
（1）如图①，若 ，求 的大小；
（2）如图②，过点 作 ∥ ，交 于点 ，交⊙ 于点 ，若 ，求 的大小.
18．
（1）探究问题：如图1，PM、PN、EF分别切⊙O于点A、B、C，猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．
（2）变式迁移：如果图1的条件不变，且PO=10厘米，△PEF的周长为16厘米，那么⊙O 的半径为　 　厘米．
（3）拓展提高：如图2，点E是∠MPN的边PM上的点，EF⊥PN于点F，⊙O与边EF及射线PM、射线PN都相切．
①画出符合条件的⊙O；
②若EF=3，PF=4，求⊙O的半径．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接，交于
，是的两条切线，
，，
，
，
，
为直径，是的切线，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的切线，
，
，
的半径为2，，
，
，
，
设，
，
，
解得．
．
【解析】【分析】（1）连接OP，交BC于点E，根据切线长定理可得PC=PB，∠CPO=∠BPO，根据垂直的概念可得∠PEB=90°，根据切线的性质可得∠ABP=90°，由同角的余角相等可得∠EPB=∠ABC，据此证明；
（2）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据三角函数的概念可得OD，利用勾股定理可得DC，设PC=x，然后由勾股定理求解即可.
2．【答案】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠OBP=∠E=90°,
∵OB为圆的半径
∴PB为圆O的切线;
（2）解：在R△PBD中,PB=6,DB=8，根据勾股定理得:PD= =10,
∵PD与PB都为圆的切线,
∴PC=PB=6
∴DC=PD-PC=10-6=4
在R△CDO中,设OC=T,则有
D0=8-r,
根据勾股定理得: (8-r)2=r2+42
解得:r=3,
则圆的半径为3
【解析】【分析】(1)由已知角相等,及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似,利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角,即可得证(2)在直角三角形PBD中,由PB与DB的长,利用勾股定理求出PD的长,由切线长定理得到PC=PB,由PD-PC求出CD的长在直角三角形OCD中,设OC=r,则有OD=8-r,利用勾股定理列出关于r的方程求出方程的解得到r的值,即为圆的半径
3．【答案】（1）证明：连接 ，如图，
、 为 的切线，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
；
（2）解：作 于H，如图，设 的半径为r，
，
，
四边形 为矩形，
而 ，
四边形 为正方形，
，
易得 和 都为等腰直角三角形，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
即 的值为.
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线长定理可得EB=ED，根据切线的性质可得OD⊥DE，AB⊥CB，则∠ADO+∠CDE=90°，∠A+∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ADO，则∠CDE=∠ACB，推出EC=ED，据此证明；
（2）作OH⊥AD于H，设半径为r，根据平行线的性质可得∠DOB=∠DEB=90°，结合OB=OD可得四边形OBED为正方形，则DE=CE=r，易得△AOD、△CDE为等腰直角三角形，则OH=DH=r，CD=r，根据勾股定理表示出OC，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．【答案】（1）解：∵AD，BC，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，
∴∠ODE＝ ∠ADE，∠OCE＝ ∠BCE，AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∠ODE＋∠OCE＝ （∠ADE＋∠BCE）＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝ = =5
（2）解：∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＋∠BOC＝90°，
∵∠AOD＋∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴ ，即
∴ （x＞0），
函数图象如下：
【解析】【分析】（1）由AD，BC，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，得出AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，得出∠COD＝90°，即可求出CD的长；
（2）由∠COD＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，得出∠ADO＝∠BOC，证出△AOD∽△BCO，得出 ，即 ，即可得出 关于 的解析式，即可得出 关于 的函数图象．
5．【答案】（1）解：图形如图所示，结论AB与⊙D相切．
理由：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∴DE为⊙D的半径，
∴⊙D与AB相切；
（2）解：设DE=DC=r，BE=x．
∵AC⊥BC，DC为半径，
∴AC是⊙D的切线，
∵AB是⊙D的切线，
∴AC=AE=2CD=2r，
∵∠ACB=∠BED=90°，
则有 ，解得 ，
∴⊙D的半径为3．
【解析】【分析】（1）根据要求画出图形，结论AB与相切，过点D作DE⊥AB于E，证明DE=DC即可；
（2）设DE=DC=r，BE=x，利用勾股定理构建方程组求解即可。
6．【答案】（1）证明：连接OP；
∵MB和MP是圆的切线，∴MP=MB；
又∵OP=OB，OM=OM，
∴Rt△MOP≌Rt△MOB；
∴∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON；
∵∠POM+∠BOM+∠AON+∠PON=180°，
∴2（∠NOP+∠POM）=180°即∠NOP+∠POM=90°；
∴△NOM是直角三角形．
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，
∴AO=OB=1，CM=BC﹣BM=2﹣ ；
∵∠MOB+∠AON=∠AON+∠ANO=90°
∴∠BOM=∠ANO；
∴Rt△OBM∽Rt△NAO，
∴OB：AN=BM：AO，得AN= ；
∵AN⊥AB，CB⊥AB，
∴AN∥BC；
∴CF：AF=CM：AN=（2﹣ ）： =2 ﹣3；
（3） 解：∵BM= ，OB=1，
∴tan∠MOB=MB：OB= ，即∠MOB=30°；
∴∠FMO=∠OMB=60°；
∴∠CMF=180°﹣2∠OMB=60°，∠EOA=180°﹣∠NOM﹣∠MOB=60°；
又∵∠C=∠OAE=45°
∴△AEO∽△CMF．
【解析】【分析】（1） 连接OP，根据切线长定理得出 MP=MB； 然后利用SSS判断出 Rt△MOP≌Rt△MOB ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON，根据平角的定义即可得出 ∠NOP+∠POM=90°，故 △NOM是直角三角形 ；
（2）根据同角的余角相等得出 ∠BOM=∠ANO ，然后判断出 Rt△OBM∽Rt△NAO， 根据相似三角形对应边成比例得出 OB：AN=BM：AO ，根据比例式即可求出AN的长，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 AN∥BC ，根据平行线分线段成比例定理得出 CF：AF=CM：AN ，根据比例式即可得出答案；
（3）根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan∠MOB=MB：OB= ，得出∠MOB=30°； 进而得出 ∠FMO=∠OMB=60° ，根据平角的定义得出 ∠CMF=60°=∠EOA ，根据等腰直角三角形的性质得出 ∠C=∠OAE=45° ，根据两组角对应相等的两个三角形相似得出 △AEO∽△CMF．
7．【答案】（1）解：如图1， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，
整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，
所以S△ABC＝ AC BC
＝ （x＋m）（x＋n）
＝ [x2＋（m＋n）x＋mn]
＝ （mn＋mn）
＝mn;
倒过来思考呢？
（2）解：由AC BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn， 整理，得： ，
＝2mn＋m2＋n2
＝（m＋n）2
＝ 改变一下条件……
（3）解：如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ACG中，AG＝AC sin60°＝ （x＋m），CG＝AC cos60°＝ （x＋m），
∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣ （x＋m），
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[
整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，
∴S△ABC＝ BC AG
＝ ×（x＋n） （x＋m）
＝ [x2＋（m＋n）x＋mn]
＝ ×（3mn＋mn）
＝ mn．
【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝ AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝ BC AG＝ mn.
8．【答案】（1）证明：设圆心为O，连接OE，AE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°， ∴∠AED＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°， ∴∠EAF+∠AEF＝∠AEF+∠DEF＝90°，
∴∠EAF＝∠DEF，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠OEA＝∠DEF，
∴∠OEA+∠AEF＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴EF是⊙O的切线
（2）解：连接OB， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝ CAD＝15°，
∴∠COE＝2∠CAE＝30°，
∴∠BOE＝90°， ∴ 的长＝ ＝π．
【解析】【分析】（1）设圆心为O，连接OE，AE，根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，由等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠DAE，求得∠OEF＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接OB，根据圆周角定理推出△OBC是等边三角形，求得OB＝BC＝2，根据弧长公式即可得到结论．
9．【答案】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在Rt△CDE中，DE＝ ＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝ cm，
∴菱形BFEP的边长为 cm；
②当点Q与点C重合时，如图①，点E离点D最远，此时Rt△CED的内切圆半径最大；
由①知，在Rt△CED中，ED＝4cm，CE＝5cm，CD＝3cm，
易得四边形OMDG是正方形，
设边长为rcm，则EG＝EH＝4﹣r，CM＝CH＝3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1；
当点P与点A重合时，如图②，点E离点D最近，此时Rt△CED的内切圆半径最小；
可知，在Rt△CED中，ED＝2cm，CD＝3cm，
则CE＝ ＝ cm，
同理易得四边形OMDG是正方形，
设边长为rcm，则EG＝EH＝2﹣r，CM＝CH＝3﹣r，
∴2﹣r+3﹣r＝ ，
解得r＝ ；
∴Rt△CED的内切圆半径r的取值范围为 ≤r≤1.
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得出点B与点E关于PQ对称 ，根据轴对称的性质得出 PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠BPF＝∠EFP， 故 ∠EPF＝∠EFP， 根据等角对等边得出 EP＝EF，所以 BP＝BF＝EF＝EP， 根据四边都相等的四边形是菱形得出 四边形BFEP为菱形 ；
（2） ① 根据矩形的性质得出 BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，根据轴对称的性质得出 CE＝BC＝5cm ， 在Rt△CDE中 ，利用勾股定理算出DE的长，进而根据 AE＝AD﹣DE 算出AE的长， 在Rt△APE中 利用勾股定理建立方程求解算出PE的长，从而得出答案； ②当点Q与点C重合时，如图①，点E离点D最远，此时Rt△CED的内切圆半径最大； 由①知，在Rt△CED中，ED＝4cm，CE＝5cm，CD＝3cm， 易得四边形OMDG是正方形， 设边长为rcm，根据切线 长定理得出EG＝EH＝4﹣r，CM＝CH＝3﹣r ，根据CE=EH+CH列出方程，求解即可； 当点P与点A重合时，如图②，点E离点D最近，此时Rt△CED的内切圆半径最小， 在Rt△CED中 利用勾股定理算出CE长， 同理易得四边形OMDG是正方形， 设边长为rcm，根据切线长定理得出EG＝EH＝2﹣r，CM＝CH＝3﹣r， 根据CE=EH+CH列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案。
10．【答案】（1）证明：连接BO，PO.
∵ PA为⊙O的切线，
∴ PA⊥OA，即∠PAO＝90°.
∵ PA＝PB， OA＝OB，
∴ ∠PAB＝∠PBA，∠OAB＝∠OBA.
∴ ∠PAB＋∠OAB＝∠PBA＋∠OBA，
即 ∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴ PB⊥OB，
∴ PB为⊙O的切线.
（2）解：连接PO.
∵ PA、PB为⊙O的切线，
∴ PA＝PB＝6，∠APO＝∠BPO，即∠1＝∠2＋∠3，
∠APB＝4∠BPC，
∠APM＝3∠BPM，
∴ ∠1＋∠2＝3∠3，
∴ 2∠2＋∠3＝3∠3，即∠2＝∠3＝ ∠1.
设∠2＝∠3＝α，则∠1＝2α，∠APB＝4α，
∴∠PBA＝ （180°－4α）＝90°－2α，
又∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠PBC＝180°－2α，
∴ ∠4＝180°－∠3－∠PBC＝180°－α－（180°－2α）＝α，
∴ ∠3＝∠4，
∴BC＝PB＝6.
（3）解：连接PO交AB于点Q，连接BO、BC.
∵ PA、PB为⊙O的切线，
∴ PA＝PB，∠APO＝∠BPO
∴ AQ＝BQ＝ AB，∠PQM＝90°
∵ AB＝4BM，
∴2BQ＝4BM，即BQ＝2BM
∴ M为BQ中点 .
设BM＝QM＝x，则AQ＝BQ＝2x，AM＝3x，
∵ ∠PQM＝∠CBM＝90°，BM＝QM，∠PMQ＝CMB
∴ △PQM≌△CBM（ASA）
∴ PM＝CM
∵ ∠PAC＝90°，
∴AM＝CM＝3x
∴
（4）
【解析】【解答】解：（4）如图，连接
设 ， ， 是⊙O的直径，
，
在 中，
=
是 的切线
， ，
又
又∵
中，
在 中，
故答案为： .
【分析】（1）连接BO，PO，根据切线的性质可得∠PAO＝90°，根据等腰三角形的性质可得 ∠PAB＝∠PBA，∠OAB＝∠OBA，推出∠PBO＝∠PAO＝90°，据此证明；
（2）连接PO，根据切线长定理可得PA＝PB＝6，∠APO＝∠BPO，即∠1＝∠2＋∠3，由已知条件可知∠APB＝4∠BPC，则∠APM＝3∠BPM，即∠1＋∠2＝3∠3，进而推出∠2＝∠3＝∠1，设∠2＝∠3＝α，则∠1＝2α，∠APB＝4α，∠PBA＝90°-2α，由圆周角定理可得∠ABC＝90°，则∠PBC＝180°－2α，结合内角和定理可得∠4＝α，则∠3＝∠4，据此解答；
（3）连接PO交AB于点Q，连接BO、BC，同理可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，则AQ＝BQ＝AB，∠PQM＝90°，根据AB＝4BM可得BQ＝2BM，设BM＝QM＝x，则AQ＝BQ＝2x，AM＝3x，证明△PQM≌△CBM，得到PM＝CM，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AM＝CM＝3x，据此求解；
（4）连接AN、ON，设PA=a，则AO=，PC=a，PN=a，证明△PAD∽△POA，根据勾股定理可得PA=a，然后表示出AD、PD、PO，进而证明△NPD∽△OPC，得到△NPD∽△OPC，据此求解.
11．【答案】（1）解：∵分别切于点
∴
∴△的周长
∴
（2）解：①
∵分别切于点
②连接OA，OB
∵PA，PB是切线，
∴
∵
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据切线长定理可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△的周长，再求出即可；
（2）①根据切线长的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用三角形的内角和求出即可；
②连接OA，OB，根据切线的性质可得，再利用角的运算可得。
12．【答案】（1）证明：延长 交 于点 ．
∵ 是直径， ，
∴点 是弧 的中点， ，
∵ 是 的中点，
∴弧 弧 弧 ，
∴弧 弧 ，
∴ ．
（2）连接 、 ．
∵弧 弧 ．
∴
∴ ．
在 中， ，
由（1）知， ，则 ，
∵ ，
∴OD=5，
在 中， ，
∴ ，
设 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
即 的长度为 ．
【解析】【分析】（1）在圆中证明线段的数量关系，可以通过转化，转到找线段对应的弧的关系。
（2）注意弧与所对的角和线段的关系。由弧CD=弧BG，可得 ，进而等角对等边DF=BF。已知AC=6,AB=10，勾股定理可得，BC=8。由（1）得BC=DG=2DE，可得DE=4。由AB=10,可知半径是5，即OB=OD=5.在 中，OE=3。因此BE=5-3=2。再应用方程的思想，设未知数 ，EF=4-x，在Rt△EFB中，应用勾股定理即可求出x的值。
13．【答案】（1）证明：连接OB
∵CA、CB为圆O的切线 ∴CA=CB
∵OA、OB为圆O的半径 ∴OA=OB
∴OC垂直平分AB ∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠BAO
∴∠ACB=2∠BAO
（2）证明：∵OM⊥AB ∴AM=BM
∵O为AD中点
∴OM为△ABD的中位线
∴BD=2OM
（3）解：延长CB、AD交于点E过B做BT⊥AC，过H做HQ⊥BC
tan∠ACB=
解△ACB可求tan∠CAM=2
∴tan∠ACM=tan∠MAO=
设CA=6a，在Rt△ACE中，AE=8a，CE=10a
∴AO=3a
∵FD=2OF
∴OF=a
∴FD=2a
∴FE=AF=4a
∵F、M分别为AE、AB的中点
∴MF为△ABE的中位线，
∴MF∥BE，
利用平行线分线段成比例可证H为AC中点
∵HM∥BC，易证AH=HM=3
∴AC=6 解△CHB，
∴BH=
【解析】【分析】（1）连接OB，利用切线长定理得CA=CB，∠ACM=∠BCM，由半径OA=OB可得OC垂直平分AB，然后利用余角关系得∠ACM=∠BAO，故∠ACB=2∠BAO；
（2）由（1）得OM⊥AB，利用垂径定理得AM=BM，又OA=OB，则可判断OM为△ABD的中位线，利用三角形中位线定理即可得解；
（3）延长CB、AD交于点E，作BT⊥AC，HQ⊥BC，在Rt△ACB利用tan∠ACB的值得求得tan∠CAM=2，则tan∠ACM=tan∠MAO=，设CA=6a，在Rt△ACE中，AE=8a，CE=10a，则AO=3a，FE=AF=4a，利用三角形的中位线定理和利用平行线分线段成比例可证H为AC中点，易证AH=HM=3，则AC=6，然后在△CHB中求出BH即可。
14．【答案】（1）证明：如图，过O作，垂足为E，
∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵是的直径，是的半径，
∴是的半径，
∴是的切线.
（2）解：如图，过点D作于点H，连接，
∵，，
∴∠BAD=∠ABH=∠BHD=90°
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
则，
∵，，均是的切线，A，B，E是切点，
∴，，，
∴在Rt中，
，
又∵，
∴，
在Rt中，由勾股定理得∶，
∵，，且，
∴平分，
即，
∵在中， ，
∴在Rt中，.
【解析】【分析】（1）过O作OE⊥CD，垂足为E，易得BC⊥AB，根据角平分线的性质可得OE=OB，进而根据到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线即可得出结论；
（2） 过点D作DH⊥BC于点H，连接OD，由有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ABHD是矩形， 则BH=AD=1，CH=1，根据切线长定理得DE=AD=1，CE=BC=2，CD=3，利用勾股定理求出DH，进而得到OA、OB，由勾股定理可得OD，根据角平分线的判定定理可得∠1=∠2=∠AOE，根据圆周角定理可得∠APE=∠AOE=∠1，然后根据三角函数的概念进行计算.
15．【答案】（1）解：如图所示：连结PM并延长交DE于点H，
∵四边形ABCO是矩形，B的坐标为（6，4），
∴OC＝AB＝6，AO＝BC＝4，AB∥OC，
∵⊙M与AB相切，
∴PH⊥AB，且AB∥OC
∴PH⊥DE，∠BAO＝∠AOC＝90°
∴四边形APHO是矩形
∴AP＝OH
当P为AB的中点时，OH＝AP＝3，
∵点D（1，0），
∴OD＝1
∴DH＝2，
∵MH⊥OC
∴DE＝2DH＝4
在Rt△DHM中，DM2＝MH2+DH2，
∴DM2＝（4﹣DM）2+4
∴DM＝
∴⊙M的半径为 ；
（2）解：如图所示：连接AD，连结PM并延长交DE于点H，
∵PM＝DM，AM⊥DP
∴AM是DP的中垂线．
∴AD＝AP，
在Rt△AOD中，AD＝
∴AP＝
∴点P（ ，4）
在Rt△DMH中，DM2＝MH2+DH2，
∴DM2＝（4﹣DM）2+ ，
∴DM＝
∴⊙M的半径为 ，
（3）解：①如图，当⊙M与OC相切时，
∵⊙M与OC相切
∴MD⊥OC，且MP⊥AB，∠BAO＝90°
∴四边形APDO是矩形
∴AP＝OD＝1，
∴P（1，4）
②如图，当⊙M与AO相切于点N时，连接DM，MN，延长PM交DC于点H，
∵⊙M与AO相切点N
∴MN⊥AO，且PM⊥AB，∠BAO＝90°
∴四边形APMN是矩形，且MN＝MP
∴四边形APMN是正方形，
∴AP＝MN＝PM
∴OH＝MN＝PM＝AP，
在Rt△DMH中，DM2＝MH2+DH2，
∴DM2＝（4﹣DM）2+（DM﹣1）2，
∴DM＝5﹣2 ，DM＝5+2 （不合题意舍去）
∴AP＝5﹣2
∴P（5﹣2 ，4）
③如图，当⊙M与CB相切于点N时，连接DM，MN，延长PM交DC于点H，
∵⊙M与BC相切点N
∴MN⊥BC，且PM⊥AB，∠ABC＝90°
∴四边形MNBP是矩形，且MN＝MP
∴四边形MNBP是正方形，
∴BP＝MN＝PM
∴AP＝6﹣BP＝6﹣MN＝OH
∴DH＝OH﹣OD＝5﹣MN
在Rt△DMH中，DM2＝MH2+DH2，
∴DM2＝（4﹣DM）2+（5﹣DM）2，
∴DM＝9﹣2 ，DM＝9+2 （不合题意舍去）
∴AP＝6﹣（9﹣2 ）＝2 ﹣3
∴点P（2 ﹣3，4）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OC=AB=6，AO=BC=4，AB∥OC，可证四边形APHO是矩形，可得AP=OH=3，由垂径定理可求DE的长，由勾股定理可求⊙M的半径；（2）由等腰三角形的性质可得AM是DP的中垂线，可得 ，由勾股定理可求⊙M的半径；（3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求AP的长度，即可得点P坐标．
16．【答案】（1）证明：∵AB是圆O的直径，CB⊥AB，
∴CB是圆O的切线，
又∵CD是圆O的切线，
∴CD=CB，∠DCO=∠BCO，
∴CO⊥BD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OC；
（2）解：∵OC⊥BD，
∴DN=BN
∵ .
∴ .
∵ ， .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
设 ，
∴ .
∴ .
∵ .
∴ .
∵ .
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得CD=CB，∠DCO=∠BCO，根据等腰三角形的三线合一得CO⊥BD，再由圆周角定理求出∠ADB=90°，则可判定AD∥OC；
（2） 由垂径定理得DN=BN，根据三角形中位线定理求出ON，证明△CDN∽△COD，列比例式求出CN(1+CN)=9， 设CN=a，解含a的方程，由CN∥AD，证明△AMD∽△CMN，根据相似三角形的的性质列比例式可得结果.
17．【答案】（1）解：连接OB，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴∠OBM=∠OAM=90°，
∵弧BC对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，∠BAC=25°，
∴∠BOC=2∠BAC=50°，
∴∠BOA=180° 50°=130°，
∴∠AMB=360° 90° 90° 130°=50°
（2）解：连接AD，AB，
∵BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∵AC过O，
∴BE=DE，
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【解析】【分析】（1）连接OB，利用切线的性质可得∠OBM=∠OAM=90°，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=50°，利用邻补角求出∠BOA=130°，根据四边形内角和即可求出∠AMB的度数；
（2）连接AD，AB，利用一组对边平行且相等可得四边形BMAD是平行四边形，可得BM=AD，根据切线及平行线的性质可得BD⊥AC，根据垂径定理可得BE=DE，利用垂直平分线的性质可得AB=AD=BM，根据切线长定理可得MA=MB，从而可得BM=MA=AB，即得△BMA是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出结论.
18．【答案】（1）解：△PEF的周长=2PA，理由如下，
分别相切⊙O于，
，分别相切⊙O于
同理可得
的周长
△PEF的周长=2PA，
（2）6
（3）解：①如图，
分别作的角平分线交于点O，以O为圆心，点O到的距离为半径作圆，或者分别作的角平分线交于点，以为圆心，点到的距离为半径作圆，即为所求，
②当在的右侧时，设与交于点，与相切于点C，
则，
连接
四边形是矩形
四边形是正方形
设的半径为r
即
解得
的半径为
当在的左侧时，设与交于点，与相切于点S，
则，
连接
四边形是矩形
四边形是正方形
设的半径为r
即
解得
的半径为1
综上所述，的半径为1或2.
【解析】【解答】解：（2）连接，如图，
是的切线，
的周长为厘米
厘米
厘米
的半径为厘米
故答案为：6
【分析】（1）由切线长定理可得PA=PB，EA=EC，FC=FB，由于△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+PF+FB=2PA，继而得解；
（2）连接OA，OP，由切线的性质可得∠PAO=90°，由△PEF的周长为16cm，可求出PA的长，再根据勾股定理可求出OA的长，即得结论；
（3）① 分别作的角平分线交于点O，以O为圆心，点O到的距离为半径作圆或分别作的角平分线交于点，以为圆心，点到的距离为半径作圆即可；② 分两种情况：当在的右侧时或当在的左侧时 ，根据正方形的判定与性质，勾股定理及切线长定理分别解答即可.

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